Transformações geométricas

A introdução de transformações geométricas no ensino de Geometria é uma recomendação antiga. Pode-se descrever a Geometria como o estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes por transformações, o que, essencialmente, representa a aplicação, em Geometria, das propriedades de funções – um dos principais conceitos da Matemática. Com isso, o ensino da Geometria ganha, além de um aspecto dinâmico, uma abordagem mais intuitiva e menos formal que permite explorar relações entre figuras usando continuidade, simetria e linearidade.

Isometrias têm sido usadas pela humanidade nas suas criações desde os tempos mais remotos. Povos antigos utilizaram figuras geométricas como elementos decorativos e, com o

desenvolvimento das sociedades, as figuras adquiriram disposições mais complexas (8). Surgiram, assim, os ornamentos com repetições de uma mesma figura geométrica, como no caso de rosáceas, frisos e mosaicos ou pavimentações. A arte marajoara ou as pinturas de Volpi no Brasil atestam a presença de transformações geométricas nesse tipo de expressão artística. Podem-se citar ainda os azulejos do palácio de Alhambra (Espanha) que são uma referência mundial, bem como os trabalhos do artista gráfico holandês Escher, com suas divisões regulares do plano. Desta forma, o estudo dos ornamentos, em particular, como as cestarias indígenas, envolvendo as noções de simetria de uma figura plana, constitui um tema de muita beleza, permitindo interessante ligação entre a Matemática e a Arte (1, 4, 7).

Assim, na Educação Básica, justifica-se dar maior importância às transformações geométricas, não apenas pela relevância que elas têm na história da matemática recente, mas também porque se constituem em um campo rico de conexões, uma ferramenta útil para resolver problemas e, de uma maneira geral, para raciocinar sobre o plano e o espaço (3, 11).

As isometrias, transformações geométricas que preservam distâncias, e as homotetias que ampliam ou reduzem figuras, permitem dar um tratamento mais geral às noções de congruência e semelhança de figuras geométricas. Produzir e analisar transformações de figuras geométricas, identificando seus elementos invariantes, permite o desenvolvimento da percepção espacial e, de forma experimental, podem-se propiciar procedimentos indutivos, no caso das isometrias e semelhanças, que promovam a formulação de hipóteses sobre condições para que duas figuras sejam matematicamente congruentes ou semelhantes, a discussão e a validação das mesmas.

O estudo da Geometria por meio das transformações faz um forte apelo à visualização e interessa, entre outros aspectos, pelo dinamismo que imprime, uma vez que propicia aos estudantes a observação de movimentos de figuras geométricas em seu cotidiano (2).

Investir no desenvolvimento da visão geométrico-espacial por meio de atividades envolvendo transformações geométricas fornece um contexto para o estudo das características das figuras planas e espaciais. De fato, a exploração de figuras com mais de um eixo de simetria axial, por exemplo, pode ser utilizada para classificar figuras planas e discutir novas propriedades.

As transformações geométricas podem ser apreendidas em dois níveis: relações entre duas configurações geométricas (ou entre partes de uma mesma configuração) e aplicações pontuais do plano nele mesmo. No primeiro nível, o conceito de transformação aparece ligado ao contexto

das figuras, tratando-se então de “transformações de figuras” (envolve, por exemplo, atividades de reconhecimento de simetria entre partes de uma figura geométrica ou em uma foto). No segundo, aproxima-se do conceito de plano como conjunto de pontos, tendo as transformações um caráter funcional, em termos das funções em Geometria (envolve, por exemplo, o reconhecimento de como fica a representação de uma figura se a ela aplicarmos uma rotação de 180 graus em torno de um ponto fixado). Esses dois níveis de apreensão representam uma articulação entre os aspectos globais e pontuais de figuras e podem contribuir para o processo de conceptualização de noções geométricas. Cabe ainda observar que atualmente estão disponíveis ambientes computacionais de geometria dinâmica que, devido a suas diversas funcionalidades, permitem abordar a dialética global/pontual mencionada acima e explicitar propriedades invariantes, bem como relações entre concepções estáticas e dinâmicas de forma a caracterizar as diferentes transformações geométricas.

Quadro 7 – Exemplo de segmentação do conhecimento sobre “transformações geométricas”

Conhecimento

Observação de pinturas de Volpi, Mondrian, Escher ou outros artistas que exploram simetrias de reflexão, de translação ou de rotação no plano como elementos estéticos em suas composições, seguidas de questionamento e discussão coletiva que vise à caracterização, pelos estudantes, de cada um dos tipos de simetria. Confecção de pinturas pelos estudantes que utilizem os mesmos princípios estéticos, com a identificação do(s) tipo(s) de simetria presentes em cada uma.

Exploração de simetrias em “papéis rendados” obtidos por meio de recortes feitos em uma folha de papel dobrada sobre si mesma uma ou mais vezes.

Reprodução de modelos levados prontos e criação livre de “papéis rendados”

pelos alunos. Discussão sobre a existência de eixo(s) de simetria de reflexão, de simetrias de rotação ou translação presentes nas produções estudantes, e sobre a relação das mesmas com as dobras e cortes realizados. O uso de espelho sobre os eixos de reflexão pode ajudar à compreensão deste tipo de simetria e à fixação da nomenclatura.

Atividades investigativas utilizando programa de geometria dinâmica como, partindo do desenho do tipo “boneco palito”, fazer a reflexão desse boneco em relação a uma reta, e a exploração de propriedades das figuras ao se movimentar o eixo (sem cortar a figura, cortando a figura, colocando em posições diferente de horizontal e vertical), ou ainda, movimentar elementos da figura inicial, para observar a figura resultante.

Anos finais do Ensino Fundamental

Construção de mosaicos para pavimentação do plano por meio de transformações isométricas com o uso de software de geometria dinâmica, espelhos e outros materiais manipulativos como, por exemplo, polígonos regulares de papel ou de EVA, reconhecendo e argumentando sobre as características dos polígonos regulares que pavimentam o plano.

Construção de ampliações e reduções de figuras a partir de uma razão dada, bem como determinar razões entre figuras semelhantes, com o uso de pantógrafos, papel quadriculado ou software.

Composição de ornamentos utilizando-se de diferentes tipos de simetrias, como faixas decorativas e rosáceas.

Identificação de composição de isometrias que relacionam duas figuras geométricas congruentes.

Experimentação e visualização utilizando programas de geometria dinâmica relacionando mudanças nos coeficientes das leis algébricas de funções com transformações geométricas nos gráficos.

Exploração da representação das isometrias planas em coordenadas.

Investigação sobre as relações de tais representações com matrizes 2x2 e sobre a utilização dessas últimas na programação de procedimentos computacionais capazes de realizar transformações geométricas de figuras simples. Nesse contexto, pode-se ainda explorar a correspondência entre a composição de transformações e o produto matricial.