Transforma¸c˜oes Quadr´aticas em C 2

Na se¸cão anterior, dentre outros resultados, vimos o que é uma Transforma¸cão Quadrática sobre K[[x, y]]. Neste cap´ıtulo definimos Transforma¸cão Quadrática sobre C2_{, neste caso a Transforma¸cão Quadrática também pode ser chamada de Blowing-up.}

Observe que em C2 _{a sequência de Blowing-ups são melhores visualizadas então, além}

de definir e apresentar caracter´ısticas sobre Blowing-up, apresentamos alguns exemplos para melhor compreens˜ao.

Defini¸c˜ao 4.10 Uma Transforma¸c˜ao Quadr´atica ou um Blowing-up centrado

na origem de C2 _{´e uma aplica¸c˜ao em algum sistema de coordenadas de C}2 _{que satisfaz:}

T : C2 _{−→ C}2

(x, y) 7−→ (x, xy).

Chamamos T−1_{(0, 0) de divisor excepcional do Blowing-up e ´e representado pela reta}

E : x = 0.

Seja L : y − ax = 0 uma reta que passa pela origem de C2_{, ent˜ao}

T−1_{(L) = {(x, y) ∈ C}2_{; (x, y) ∈ L)}} = {(x, y) ∈ C2; T (x, y) = (x, ax)} = {(x, y) ∈ C2; x = 0 ou y = a)} = {(0, y) ∈ C2} ∪ {(x, a) ∈ C2}.

Assim, T−1_{(L) ´e a uni˜ao do divisor excepcional E e a reta y = a que corta E no}

ponto (0, a).

A transforma¸c˜ao T induz um isomorfismo anal´ıtico T : C2_{\E −→ C}2_\E.

Seja Cf um germe de uma curva anal´ıtica definida por um elemento f ∈ M ⊂ C(x, y),

dado por

f (x, y) = Fn(x, y) + Fn+1(x, y) + · · ·

Ent˜ao a equa¸c˜ao de T−1_(C

f) ´e dada por:

f (T (x, y)) = Fn(T (x, y)) + Fn+1(T (x, y)) + · · ·

= Fn(x, xy) + Fn+1(x, xy) + · · ·

= xn_(F

n(1, y) + Fn+1(1, y) + · · · ).

A série f (T (x, y)) é chamada transforma¸cão total de f que associada a curva T−1_(C f)

´e chamada transforma¸c˜ao total de Cf.

A curva Cf(1) ´e determinada pela equa¸c˜ao f(1)(x, y) = 0, onde f(1)(x, y) = Fn(1, y) + xFn+1(1, y) · · ·

´e chamada transforma¸c˜ao estrita de Cf.

Como T−1_{(0, 0) ´e o divisor excepcional dado por E : x = 0 temos que}

T−1(Cf) = E ∪ Cf(1).

Exemplo 4.11 Considere a curva Cf dada por f (x, y) = y2− a2x2− x3 = 0 com a 6= 0.

Esta curva é definida por um polinômio e não existem problemas de convergência, além disso f é definida para todo C2_.

A transforma¸c˜ao total de Cf ´e

T−1(Cf) : f (x, y) = x2y2− a2x2− x3 = x2(y2− a2− x) = 0.

A transforma¸c˜ao estrita de Cf ´e dada por

Cf : y2− a2− x = 0.

Figura 4.2: Curva Cf

As retas tangentes de Cf na origem s˜ao dadas por

F2 = y2− a2x2 = (y − ax)(y + ax) = 0

que tem uma transforma¸c˜ao estrita dada por duas retas horizontais que passam por P1 =

(0, a) e P2 = (0, −a) que s˜ao pontos de interse¸c˜ao de Cf(1) com E.

Note que depois de um blowing-up a curva Cf ´e transformada em uma curva suave

Cf(1).

No exemplo a seguir utilizamos ferramentas vistas nos cap´ıtulos anteriores exempli- ficando alguns conceitos. Dada uma curva (f ) obtemos uma curva equivalente (g) de modo a simplificar a resolu¸c˜ao da singularidade atrav´es de Blowing-ups.

Exemplo 4.12 Temos que h = x + P∞ i=1

j=i−1(−12)

j+1_xj+1_{y ´e irredut´ıvel, pois}

h = x · (1 +P∞ i=1 P j=i−1(− 1 2)

I(h, y) = I(x, y) = 1;

I(h, x) = ∞, pois f e x n˜ao s˜ao relativamente primos.

Como h é irredut´ıvel, a Fómula de Noether, nos permite calcular o ´ındice de interse¸cão entre h e qualquer curva irredut´ıvel. Assim, dado φ = x−y2_{, observe que o cone tangente}

da curva (h) ´e o mesmo que o da curva (φ), mas o cone tangente de (h(1)_{) ´e (x) e o cone}

tangente de (φ(1)_{) ´e (x − y). Pela F´ormula de Noether temos,}

I(h, φ) = mult(h) · mult(φ) + mult(h(1)) · mult(φ(1)) = 1 · 1 + 1 · 1 = 2.

Exemplo 4.13 Observe que calcular dimK_<y2_−xK[[x,y]]3_,y2_−x5_> n˜ao ´e uma tarefa simples. Po-

demos perceber que os elementos 1, x, y, x2_{, xy, x}2_{y n˜ao podem ser gerados por y}2_{− x}3 _e

por y2_{− x}5_{. Mas como garantir que são os ´}_{unicos elementos em K[[x, y]] que não são}

gerados por y2_{− x}3 _{e por y}2_{− x}5_?

Para responder a esta pergunta, seja f = y2 _{− x}3 _{e g = y}2 _{− x}5_{. Temos que}

f(1) _{= y}2_{− x e g}(1) _{= y}2_{− x}3_{. Assim, embora f e g tenham o mesmo cone tangente, f}(1)

e g(1) _{possuem cones tangentes distintos. Da´ı, pela F´ormula de Noether,}

I(f, g) = mult(f )mult(g) + mult(f(1))mult(g(1)_{) = 2 · 2 + 1 · 2 = 6.}

Logo I(f, g) = dimK_<y2_−xK[[x,y]]3_,y2_−x5_> = 6 e, portanto, 1, x, y, x2, xy, x2y ´e base de

K[[x,y]] <y2_−x3_,y2_−x5_>.

Exemplo 4.14 Considere a curva Cf onde f =

P∞

i=0(y2x n

− xn+3_).

Temos que mult(f (0, y)) = 2 = mult(f ), ou seja, f ´e regular em y.

Pelo Teorema da Prepara¸cão de Weierstrass existe u ∈ K[[x, y]], com u(0) 6= 0, tal que f u é um Polinômio de Weiestrass.

Considere u = (1 − x), da´ı f u = [ ∞ X n=0 (y2xn_{− x}n+3_{)](1 − x)} = ∞ X n=0 (y2xn_{− x}n+3_{) −} ∞ X n=0 (y2xn+1_{− x}n+4) = ∞ X n=0 (y2xn − y2nn+1_{− x}n+3+ xn+4) = y2_{− y}2x + y2_{x − y}2x2+ y2x2_{− · · · − x}3+ x4_{− x}4+ x5_{− x}5_{· · ·} = y2_{− x}3.

Assim, g := f · u = y2_{− x}3 _{´e um polinˆomio de Weierstrass. As singularidades de C} f

são as mesmas que as de Cg, como é mais fácil trabalhar com o polinômio g resolveremos

a singularidade em g.

A curva Cg é globalmente definida em C2. A transforma¸cão total de Cg é dada por

T−1(Cg) : x2₁y₁2− x3₁ = x2₁(y₁2− x1) = 0.

A transforma¸c˜ao estrita ´e dada por

Cg(1) : y2₁− x₁ = 0,

que possui a reta tangente na origem x1 = 0.

(a) Curva Cg (b) Curva Cg(1)

Figura 4.3: Sequˆencia de Blowing-ups (C´uspide).

Cap´ıtulo 5

Resolu¸c˜ao de Singularidades

Resolver a singularidade de uma variedade V consiste em encontrar uma modifica¸cão própria f : ˜_{V −→ V de modo que a variedade modificada ˜}V não tenha singularidades. Quando nos referimos a ”modifica¸cão própria”estamos nos referindo a um morfismo cuja imagem inversa de compacto é compacto. A modifica¸cão própria f : ˜_{V −→ V induz um} isomorfismo f′ _{: ˜}

V \ ˜W −→ V \f( ˜W ) onde ˜W ´e um conjunto anal´ıtico nunca denso em ˜V . O espa¸co projetivo Pn _{sobre um corpo K ´e o espa¸co quociente} K

n+1_{− {0}}

∼ , sendo ∼ a rela¸cão de equivalência induzida pela multiplica¸cão por escalar, isto é,

u ∼ v em K

n+1_{− {0}}

∼ ⇔ u = λv, para algum λ ∈ K

∗

Cada ponto (x0, · · · , xn) ∈ Kn+1−{0} define uma classe de equivalˆencia representada

por (x0 : · · · : xn) ∈ Pn. Se fossemos definir as variedades projetivas como zeros de

polinômios então, o polinômio f ∈ K[x1, · · · , xn] do espa¸co vetorial Kn+1 não definiria

uma fun¸c˜ao em Pn_{. Por exemplo, f (x, y) = x − y}2 _{satisfaz f (1, 1) = 0 e f (2, 2) = −2 6= 0}

mas, (2 : 2) = (1 : 1) em P1_.

Se f é um polinômio homogêneo de grau d, temos que

f (αx1, · · · , αx1) = αdf (x1, · · · , x1) (5.1)

e assim faz sentido falar sobre os zeros do polinˆomio f .

Defini¸c˜ao 5.1 _{Uma Variedade Projetiva X ⊂ P}n _{´e o conjunto de zeros de uma}

Defini¸c˜ao 5.2 _{Uma variedade quase-projetiva ´e um subconjunto aberto U ⊂ X de uma}

variedade projetiva X ⊂ Pn_.

Defini¸cão 5.3 _{Seja ϕ : U −→ V uma aplica¸cão, definimos o gráfico Γ}ϕ de ϕ como o

conjunto

Γϕ = {(x, ϕ(x)); x ∈ U} ⊂ U × V.

Defini¸c˜ao 5.4 _{Seja X ⊂ P}n_{uma variedade quase-projetiva e p ∈ X algum ponto. Seja}

X = Γϕ ⊂ X × Pn−1 o gráfico da aplica¸cão proje¸cão de X em Pn−1 em p. A aplica¸cão

π : ˜_{X −→ X ´e chamada Blowing-up de X em p. A imagem inversa E = π}−1_{(p) ⊂ ˜}_{X do}

ponto p ´e chamada divisor excepcional do Blowing-up.

Exemplo 5.5 Considere a superf´ıcie S : x2_{− y}2_{− z}2 _{= 0 representada pela Figura (5.1).}

Figura 5.1: Cone de Duas Folhas

S é singular na origem mas pode ser desingularizada através da seguinte transforma¸cão

quadr´atica:

σ : K[[x, y, z]] −→ K[[x1, y1, z1]]

x 7−→ x1

y 7−→ x1y1

A transforma¸c˜ao total da superf´ıcie S ´e dada por

σ−1(S) : x2₁_{(1 − y}2₁ _{− z}2₁) = 0,

e a transforma¸c˜ao estrita de S ´e dada pelo cilindro

S′ _{: y}2

1+ z12 = 1.

Figura 5.2: Resolu¸c˜ao da singularidade da superf´ıcie S.

Observe que a transforma¸c˜ao total consiste em duas componentes: o plano x1 = 0

e o cilindro y2

1 + z21 = 1 (Veja figura 5.2 ). O plano x1 = 0 ´e chamado hipersuperf´ıcie

excepcional e ´e a imagem inversa do ponto singular da superf´ıcie S por σ. O cilindro S′

não possui singularidade e é a desingulariza¸cão de S, além disso, σ|S′ _{é uma aplica¸cão}

pr´opria para S que ´e um isomorfismo fora da singularidade.

Defini¸c˜ao 5.6 Se X for uma variedade afim irredut´ıvel, como o anel de coordenadas

K[X] ´e dom´ınio de integridade, podemos construir o corpo de fun¸c˜oes racionais dado por K(x) = {f_g | f, g ∈ K[x] e g 6= 0}.

Defini¸c˜ao 5.7 _{Sejam X ⊂ K}n _{e Y ⊂ K}m variedades afins. Uma aplica¸c˜ao racional

φ : X −→ Y ´e uma m-upla de fun¸c˜oes racionais φ1, · · · , φm ∈ K(X), tal que para todo

A resolu¸cão de singularidades, através de sequências de Blowing-ups, de variedades algébricas definidas, foi demonstrada por Hironaka em 1964.

Teorema 5.8 [5](Teorema de Hironaka) Seja V uma variedade quase-projetiva. Então existem polinômios f1, f2, · · · , fn tal que o gráfico Γφ da aplica¸cão racional

φ : V 99K Pn−1

x 7−→ [f1(x) : f2(x) : · · · : fn(x)]

´e a resolu¸c˜ao de singularidades de V

Bibliografia

[1] BIERSTONE, E., MILMAN, P. D., Resolution of Singularities, Several Complex Variables, Vol. 37, MSRI Publications, 1999.

[2] HARRIS, J., Algebraic Geometry: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 133, Springer-Verlag, New York, 1992.

[3] HAUSER, H., The Hironaka Theorem on Resolution of Singularities, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, Vol. 40, N. 3, 323-403, 2003.

[4] HEFEZ, A., Irredutible Plane Curve Singularities, Lecture Notes Series in Pure and Applied Mathmatics. 232, Decker, New York, 2003.

[5] HIRONAKA, H., Resolution of Singularities of an Algebraic Variety over a Field of Characteristic Zero. I, II. Ann. of Math. 70 1964, 109-203; 79 1964, 205-326.

[6] ROMAN, S., Field Theory, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 158, 2a _Ed.,

Springer-Verlag, New York, 1995.

[7] STEWART, I., Galois Theory, 1a _{Ed. Chapman and Hall, London, 1973.}

[8] VAINSENCHER, I., Introdu¸cão às Curvas Algébricas Planas, Cole¸cão Matemática Universitária, 1a _{Ed., IMPA, Rio de Janeiro, 1996.}

´_Indice

Anel

Coordenado, 49

das Séries de Potências Formais, 4 Noetheriano, 19 Blowing-up, 76, 82 Classe residual, 49 Cone Tangente, 32 Curvas Equivalentes, 31 Transversais, 58 Derivada da Série, 28 Discriminante, 28 Divisor Excepcional, 76 Elemento Invert´ıvel, 5 Irredut´ıvel, 16 Extensão Galoisiana, 34 Fórmula de Noether, 75 Forma Inicial, 6 Gráfico, 82 Grupo de Galois, 34 Indice de Interseçcão, 58 Lema de Hensel, 9 Unitangente, 43 Matriz de Vandermonde, 54 Multiplicidade, 6 Parametriza¸cão de Puiseux, 47 Polinômio Pseudo-polinômio, 16 Reduzido, 28 Weierstrass, 8 Racional Aplica¸cão, 83 Fun¸cão, 83 Regular Curva, 30 Série, 11 Resultante, 21 Retas Tangentes, 32 Série Absolutamente Convergente, 5 Redut´ıvel, 30 Sequência Multiplicidade, 73 Teorema

da Base de Hilbert, 19 da Base de R¨uckert, 20

da Fun¸cão Impl´ıcita de Newton, 43 de Newton-Puiseux, 36 Prepara¸cão de Weierstrass, 13 Transforma¸cão Estrita, 67 Quadrática, 66, 76 Total, 77 Valora¸cão, 57 Variedade Projetiva, 81 Variedade quase-projetiva, 82

No documento Curvas planas: fórmula de Noether e resolução de singularidades. (páginas 84-95)

Cap´ıtulo 5

Resolu¸c˜ao de Singularidades

Bibliografia

´Indice

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