Transladado de Auslander-Reiten - Complexidade de Módulos

Nessa se¸cão, R será sempre uma k-álgebra de dimensão finita.

Consideremos o funtor homR(−, R) : modR → modRop, que denotaremos por (−)t por

uma questão de praticidade. Notemos que se P é um R-módulo projetivo à esquerda, então (P )t _{= hom}

R(P, R) é um R-módulo projetivo à direita. De fato, se P = Re, com e ∈ R

um idempotente primitivo, ent˜ao (P )t _{= hom}

R(Re, R) ≃ eR, e nossa afirma¸c˜ao segue da

aditividade de (−)t_{. Al´em disso, o homomorfismo avalia¸c˜ao ε}

M : M → (M )tt definido por

εM(z)(f ) = f (z), para z ∈ M e f ∈ (M )t, ´e funtorial em M , e ´e um isomorfismo, sempre

que M for projetivo. Assim, o funtor (−)t _{induz uma dualidade, tamb´em denotada por (−)}t_,

entre as categorias P(R), de R-módulos finitamente gerados projetivos à esquerda, e a categoria P(Rop_{) de R-módulos finitamente gerados projetivos à direita. Usaremos essa dualidade para}

definir uma dualidade sobre um certo quociente de modR, e essa ser´a chamada de transposi¸c˜ao. Seja, assim, P1

//_P₀ d0 //_M //_{0 uma apresenta¸c˜ao projetiva minimal de M , isto ´e,}

uma sequˆencia exata tal que d0 : P0 → M e d1 : P1 → N ucd0 s˜ao coberturas projetivas.

Aplicando o funtor contravariante exato `a esquerda (−)t_{, obtemos uma sequˆencia exata de}

R-m´odulos `a direita 0 //_{(M )}t (d0) t //_(P₀₎t (d1) t //_(P₁₎t //_Conuc(d₁₎t //_{0 .}

Denotamos o con´ucleo Conuc(d1)t por T rM , e o chamamos de transposto de M .

Observemos que o R-módulo à direita T rM é unicamente determinado a menos de isomorfismo; isso segue do fato de que as coberturas projetivas (e, logo, as apresenta¸cões projetivas minimais) são unicamente determinadas a menos de isomorfismos.

Resumiremos através da proposi¸cão seguinte as principais propriedades de transposto T r. Proposi¸c˜ao 1.61 Seja M um módulo indecompon´ıvel em modR.

1. O R-módulo à direita T rM não possui somandos projetivos.

2. M é projetivo se, e somente se, T rM = 0. Se M não é projetivo, então T rM é indecom- pon´ıvel e T r(T rM ) ≃ M .

3. Se M e N são R-módulos indecompon´ıveis não-projetivos, então M ≃ N se, e somente se, T rM ≃ T rN .

4. Se M não é projetivo, então a sequência

Pt 0

dt 1

//_P₁t //_{T rM} //₀

induzida da apresenta¸c˜ao minimal projetiva P1 d1

//_P₀ d0 //_M //_{0 de M ´e uma apre-}

senta¸cão projetiva minimal do R-módulo à direita T rM .

Prova: 1. Se T rM tem um somando projetivo n˜ao-nulo, o homomorfismo dt

1 tem um somando

da forma (0 → E), com E projetivo. Mas, isso implicaria que d1 tem um somando direto

(Et_{→ 0), o que contradiz a minimalidade de d} 1.

2. Se M é projetivo, então o termo P1 na apresenta¸cão projetiva minimal de M é zero, e,

assim, T rM = 0. Reciprocamente, se T rM = 0, ent˜ao dt

1 ´e um epimorfismo que cinde, uma

vez que (P1)t é projetivo. Assim, d1 é um monomorfismo que cinde, e M é projetivo.

Para completar a prova de 2 consideremos a apresenta¸c˜ao projetiva minimal de T rM Pt

0 dt

//_P₁t //_{T rM} //₀

e apliquemos nela o funtor (−)t_{. Obtemos, assim, o seguinte diagrama comutativo}

P1 d1 // ε_P1 ≃ P0 d0 // ε_P0 ≃ M //₀ Ptt 1 dtt 1 //_P₀tt d tt 0 //_{T rT rM} //₀

com linhas exatas. Logo, existe um isomorfismo M ≃ T rT rM , fazendo com que o quadrado direito comute.

3. Se M e N são R-módulos não-projetivos, tais que M ≃ N , então temos P′ 1 d′ 1 // ≃ P′ 0 d′ 0 // ≃ N // ≃ 0 P1 d1 //_P₀ d0 //_M //₀

Aplicando (−)t _{nas duas apresenta¸c˜oes projetivas, obtemos}

P′t 1 d′t 1 // ≃ P′t 0 d′t 0 // ≃ T rN // ≃ 0 Pt 1 dt 1 //_P₀t d0 //_{T rM} //₀ , e, portanto, T rM ≃ T rN .

Analogamente, se prova a volta.

4. Suponhamos que M não é projetivo. Então, T rM ̸= 0. A sequência Pt

0 dt

//_P₁t //_{T rM} //₀

é certamente uma apresenta¸cão projetiva do R-módulo à direita T rM . Afirmamos que é minimal. De fato, se não fosse, existiriam as decomposi¸cões não-triviais em somas diretas Pt

0 = E0′ ⊕ E0′′, P1t = E1′ ⊕ E1′′ e um isomorfismo v : E0′′ → E1′′, tais que essa sequˆencia seria

E′ 0⊕ E0′′   u 0 0 v   //_E₁′ _{⊕ E}₁′′ //_{T rM} //_{0 ,} onde u : E′

0 → E1′ é um homomorfismo de R-módulos à direita. Mas, aplicando (−)t, obter´ıamos

uma apresenta¸c˜ao projetiva de M da forma

E′t 1

//_E₀′t //_M //_{0 ,}

o que contradiz a minimalidade da apresenta¸c˜ao projetiva de M .

Mostramos que o transposto T r leva módulos de modR em módulos de modRop_{, mas não}

define uma dualidade modR → modRop_{, uma vez que anula os projetivos. Para que este seja}

uma dualidade, precisamos anular os projetivos de modR e modRop_{. Assim, descreveremos a}

seguinte constru¸c˜ao.

Para dois R-m´odulos M , N , seja P(M, N ) o subm´odulo de homR(M, N ) consistindo de

todos os homomorfismos, que se fatoram através de um R-módulo projetivo. Afirmamos que esse submódulo define um ideal P na categoria modR. Com efeito, para dois módulos M, N , o conjunto P(M, N ) é um subespa¸co do k-espa¸co vetorial homR(M, N ). De fato, se f, f′ ∈

P(M, N ), ent˜ao f e f′ _{podem ser, respectivamente, escritos como f = hg, com g : M → P ,}

h : P → N e P projetivo, e f′ _{= h}′_g′_{, com g}′ _{: M}′ _{→ P}′_{, h}′ _{: P}′ _{→ N}′ _{e P}′ _{projetivo. Logo,}

f + f′ _{= hg + h}′_g′ ₌_{( h h}′ ) (

g g′

)

se fatora atrav´es do projetivo P ⊕ P′_{. Por outro lado, se α ∈ k e f ∈ P(M, N ), ent˜ao}

αf ∈ P(M, N ). Al´em disso, se f ∈ P(L, M ) e g ∈ homR(M, N ), ent˜ao gf ∈ P(L, N ), e,

analogamente, se f ∈ homR(L, M ) e g ∈ P(M, N ), ent˜ao gf ∈ P(L, N ). Portanto, P ´e um

ideal como quer´ıamos demonstrar.

Consideremos, assim, a categoria quociente modR = modR/P chamada de categoria

projetivamente estável. Seus objetos são os mesmos de modR, mas o k-espa¸co vetorial hom_R(M, N ) de morfismos de M em N em modR é definido pelo espa¸co vetorial quociente hom_R(M, N ) = homR(M, N )/P(M, N ) de homR(M, N ), com a composi¸cão de morfismos in-

duzido da composi¸cão de modR. Existe um funtor modR → modR, que é a identidade sobre os objetos e a associa¸cão entre um homomorfismo f : M → N em modR na sua classe residual modulo P(M, N ) em modR.

Dualmente, podemos construir um ideal I em modR, considerando, para cada par (M, N ) de R-m´odulos, o k-subespa¸co vetorial I(M, N ) de homR(M, N ), que consiste de todos os

homomorfismos que se fatoram através de um R-módulo injetivo. A categoria quociente modR = modR/I é chamada de categoria injetivamente estável. Seus objetos são os mesmos de modR, mas o k-espa¸co vetorial homR(M, N ) de morfismos de M em N em modR é dado

pelo espa¸co vetorial homR(M, N ) = homR(M, N )/I(M, N ) de homR(M, N ) com a composi¸c˜ao

Assim, temos o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 1.62 A correspondˆencia M → T rM induz um funtor dualidade T r : modR → modRop_.

Prova: Ver [1], cap´ıtulo IV , proposi¸c˜ao 2.2.

A dualidade definida na proposi¸cão anterior é chamada transposi¸cão. Transforma os R- módulos à esquerda em R-módulos à direita, e vice-versa.

Apesar da transposi¸cão T r ser definida sobre a categoria quociente modR é bastante útil considerar o funtor T r entre os objetos modR e modRop_{, definido anteriormente.}

Considerando, então, D = homk(−, k) a dualidade usual entre R-módulos à esquerda e

R-m´odulos `a direita, podemos definir a dualidade induzida D : modR → modRop_{. E assim,}

temos a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 1.63 Os transladados de Auslander-Reiten s˜ao definidos como as composi¸c˜oes de D com T r, ou seja, τ = DT r e τ−1 _{= T rD.}

Observe que o transladado de Auslander-Reiten τ : modR → modR ´e uma equivalˆencia de categorias com inversa τ−1 _{: modR → modR.}

Nesse trabalho, muitas vezes iremos trabalhar com o transladado de Auslander-Reiten sobre módulos que não pertencem a categoria quociente modR. Assim, definiremos τ : modR → modR como a composi¸cão de T r : modR → modRop, definido anteriormente, e a dualidade usual D : modRop _{→ modR.}

Com base no funtor que acabamos de descrever, podemos definir o seguinte.

Defini¸c˜ao 1.64 Seja R uma álgebra de Artin. Um R-módulo indecompon´ıvel não-projetivo M

´e dito τ -peri´odico, se τn_{M ≃ M , para algum n > 0.}

Seja R uma ´algebra de Artin. Definimos um funtor Ω : modR → modR, chamado de

funtor syzygy, da seguinte forma. Para cada M em modR, escolhemos uma cobertura projetiva

h : P (M ) → M , e definimos Ω(M ) como sendo o N uch. Suponhamos que f : M → N est´a em modR. Ent˜ao, existe um diagrama comutativo exato

0 0 Ω(M ) t // Ω(N ) P (M ) g // h P (N ) h′ M f // N 0 0

Agora, o morfismo t : Ω(M ) → Ω(N ), obtido dessa maneira, depende da escolha de g. Se mudarmos g para um morfismo g′ _{: P (M ) → P (N ), obtemos um novo morfismo}

t′ _{: Ω(M ) → Ω(N ), e t − t}′ _{est´a em P(Ω(M ), Ω(N )). Dessa forma, temos um morfismo}

homR(M, N ) → homR(Ω(M ), Ω(N )). J´a que f ∈ P(M, N ), segue que t ∈ P(Ω(M ), Ω(N )), e

obtemos o morfismo Ω : hom_R(M, N ) → hom_R(Ω(M ), Ω(N )). Assim, temos que a aplica¸cão Ω : modR → modR, que leva cada módulo M em Ω(M ) e cada morfismo f : M → N em Ω(f ) : Ω(M ) → Ω(N ), é um funtor.

No decorrer de todo esse trabalho, estaremos tratando, sobretudo, de ´algebras de Artin autoinjetivas. Para tais ´algebras, algumas coisas funcionam de forma particular.

Proposi¸c˜ao 1.65 Seja R uma álgebra de dimensão finita autoinjetiva. Então os funtores τ , Ω2_{ν e νΩ}2 _{de modR em modR são isomorfos.}

Prova: Seja P1 −→ P0 −→ A −→ 0 uma apresenta¸c˜ao projetiva minimal de A em modR.

Aplicando o funtor homR(−, R), obtemos a sequˆencia exata

0 −→ homR(A, R) −→ homR(P0, R) −→ homR(P1, R) −→ T rA −→ 0,

onde T rA é o conúcleo da aplica¸cão homR(P0, R) → homR(P1, R). Em seguida, aplicamos o

funtor dualidade D, e obtemos a sequˆencia

0 −→ τ A −→ D(homR(P1, R)) −→ D(homR(P0, R)) −→ D(homR(A, R)) −→ 0,

onde τ A = DT rA.

Como R é autoinjetiva, D(homR(Pi, R)) é um R-módulo projetivo, para cada i = 1, 2, e

D(homR(P1, R)) −→ D(homR(P0, R)) −→ D(homR(A, R)) −→ 0 ´e uma apresenta¸c˜ao projetiva

minimal de D(homR(A, R)) = ν(A). Logo, segue que τ ≃ Ω2ν.

Vamos mostrar agora que esse isomorfismo ´e funtorial. Sejam B ∈ modR e f : A → B um morfismo. Consideremos o seguinte diagrama

A f τ A ηA // τ f Ω2_ν(A) Ω2_{ν(f )} B τ B ηB //_Ω2_ν(B)

onde ηA´e o isomorfismo entre τ A e Ω2ν(A), e ηB ´e o isomorfismo entre τ B e Ω2ν(B).

Observe que

ηBτ (f )(τ A) = ηB(τ B) = Ω2ν(B) = Ω2ν(f )(Ω2ν(A)) = Ω2ν(f )(ηA(τ A)).

Logo, o diagrama acima ´e comutativo, e η : A 7→ ηA ´e um isomorfismo natural. O que

implica que τ A ≃ Ω2_{ν(A), como quer´ıamos demonstrar.}

Finalmente, vamos mostrar que Ω2ν ≃ νΩ2. Consideremos, novamente, P1 −→ P0 −→ A −→ 0

uma apresenta¸cão projetiva minimal de A em modR. Dessa apresenta¸cão, obtemos a sequência exata

0 −→ Ω2_{(A) −→ P}

1 −→ P0 −→ A −→ 0.

Aplicando o funtor homR(−, R), e, em seguida, o funtor dualidade D, obtemos a sequˆencia

νΩ2_{(A) −→ νP}

1 −→ νP0 −→ νA −→ 0,

lembrando que ν = D(homR(−, R)).

Como R é autoinjetiva, νPi é projetivo, para cada i = 1, 2, e νP1 −→ νP0 −→ νA −→ 0 é

apresenta¸c˜ao projetiva minimal de νA. Logo, νΩ2_{(A) ≃ Ω}2_ν(A).

Vamos mostrar, para finalizar essa demonstra¸cão, que esse isomorfismo é funtorial. Sejam, então, B ∈ modR e f um morfismo de A em B. Consideremos o seguinte diagrama

A f νΩ2_A µA // νΩ2_f Ω2_ν(A) Ω2_{ν(f )} B νΩ2_(B) µB //_Ω2_ν(B)

onde µA´e o isomorfismo entre νΩ2(A) e Ω2ν(A), e µB ´e o isomorfismo entre νΩ2(B) e Ω2ν(B).

Observe que

µBνΩ2(f )νΩ2(A) = µBνΩ2(B) = Ω2ν(B) = Ω2ν(f )Ω2ν(A) = Ω2ν(f )µAνΩ2(A).

Logo, o diagrama acima ´e comutativo, e µ : A 7→ µA ´e um isomorfismo natural. Portanto,

νΩ2_{(A) ≃ Ω}2_{ν(A) ´e um isomorfismo funtorial.}

Assim, o resultado anterior nos garante que se M é um R-módulo não-projetivo e indecompon´ıvel e R é autoinjetiva, o transladado de Auslander-Reiten τ é dado por τ M = νΩ2_{M .}

Temos tamb´em, nesse caso, que τ e Ω comutam. De fato, seja 0 //_ΩM //_P₀ ϕ //_M //₀

uma sequência exata, onde P0 é projetivo e φ é uma cobertura projetiva de M . Aplicando o

funtor de Nakayama nessa sequˆencia, temos a seguinte sequˆencia exata 0 //_νΩM //_νP₀ ϕ //_νM //_{0 .}

Como ν é uma equivalência, νP0 é projetivo, e νφ é cobertura projetiva de νM . Assim,

νΩM = ΩνM .

No documento Complexidade de Módulos (páginas 38-43)