Complexidade de Módulos

(1)

Silvana Kameyama

DISSERTAC

¸ ˜

AO APRESENTADA

AO

INSTITUTO DE MATEM ´

ATICA E ESTAST´ICA

DA

UNIVERSIDADE DE S ˜

AO PAULO

PARA

OBTENC

¸ ˜

AO DO T´ITULO

DE

MESTRE EM CIˆ

ENCIAS

Programa: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos

(2)

Essa é a versão final da disserta¸cão da aluna Silvana Kameyama.

Comiss˜ao Julgadora:

• Eduardo do Nascimento Marcos - IME-USP

(3)

Gostaria de agradecer, antes de tudo, a Deus por estar sempre presente na minha vida, me dando for¸ca e equil´ıbrio para sobrepor todos os obst´aculos.

Gostaria de agradecer também a minha fam´ılia por preencherem os meus dias com amor, alegrias e algumas brigas (para sair um pouco da rotina). Em especial, queria agradecer a minha mãe por ajudar a fazer de mim a pessoa que sou hoje, pelo companheirismo e pela paciência. Sei que dei muito trabalho. E a minha irmã, que aguentou minhas liga¸cões de desespero, quando parecia que as coisas não andavam, e proporcionou momentos de sonoras risadas, que me fizeram relaxar.

Agrade¸co também ao meu orientador, Eduardo, pela paciência durante esses anos. Sei que não é fácil ter uma aluna, que trabalha, estuda e tem milhões de problemas pessoais, mas você sempre me cobrou, quando era necessário, e sempre me compreendeu e incentivou, quando as coisas estavam dif´ıceis.

Quero agradecer, ainda, a minha professora/”mãe”Sônia. Sem você não teria chegado até aqui. Obrigada por acreditar em mim.

E, finalmente, gostaria de agradecer a todos os meus amigos. Especialmente, a Paula, que direta ou indiretamente, me incentivou, e me fez ver que eu não era um caso perdido. Ao pessoal da salinha de mestrado, André, Bruno, Big, Cleber, Diego, Dylene, Maur´ıcio, Gustavo, e tantos outros, por me ajudarem, de alguma forma, a passar por todos os desafios do mestrado. E a minha amiga, Flavia, que com seu esp´ırito alegre, me deu for¸cas para dar os últimos passos.

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A complexidade de um módulo M, sobre uma álgebra de dimensão finita R, é a medida do crescimento da dimensão de suas sizigias. No nosso trabalho, estudamos esse conceito, nos concentrando muito mais no caso das álgebras autoinjetiva. Relacionamos esse crescimento com o comportamento da componente do carcás de Auslander-Reiten, a qual o módulo M pertence. Em particular, estudamos, com bastante cuidado, o caso em que a complexidade é 1, o que significa que a dimensão das sizigias são eventualmente constante. Surpreendentemente, o comportamento de todos os módulos numa mesma componente é muito parecido.

Palavras-chave: álgebras de Artin, álgebras autoinjetivas, complexidade, números Betti, resolu¸cões projetivas, carcás de Auslander-Reiten, sequências de Auslander-Reiten.

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(7)

The complexity of a module M under a finite dimensional algebra R is the measure of the growth of its syzygies’ dimension. In our work, we study this concept concentrating on the case of the selfinjective algebras. We relate this growth with the behavior of the Auslander-Reiten component containing this module. In particular, we study, carefully, the case in which the complexity is 1. Surprisingly, the behavior of every module in the same component as M is very similar.

Keywords: Artin algebras, selfinjective algebras, complexity, Betti numbers, projectives resolutions, Auslander-Reiten quiver, Auslander-Reiten sequences.

(8)

(9)

Sum´

ario

Agradecimentos iii

Resumo v

Abstract vii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Algebras e M´odulos . . . .´ 5

1.2 Categorias e Funtores . . . 8

1.3 Alguns pr´e-requisitos necess´arios . . . 13

1.4 Transladado de Auslander-Reiten . . . 28

1.5 Carcases e ´Algebras de Caminho . . . 33

2 Carc´as de Auslander-Reiten 39 2.1 Uma caracteriza¸c˜ao dos diagramas de Dynkin e de Euclides . . . 42

2.2 Carcás de Riedtmann ou Carcás de Transla¸cão . . . 52

2.3 Tubos . . . 57

3 Complexidade de m´odulos finitamente gerados 59

4 M´odulos com N´umeros Betti limitados 73

5 M´odulos com N´umeros Betti eventualmente constantes 81

Referˆencias Bibliogr´aficas 89

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(11)

Introdu¸c˜

ao

Come¸caremos este trabalho com alguns resultados preliminares, que serão importantes para o bom entendimento dos resultados referentes a complexidades de módulos finitamente gera-dos. Assim, no cap´ıtulo 1, daremos algumas defini¸cões elementares sobre álgebras e módulos, trabalharemos alguns resultados da Teoria de Categorias e da Teoria de Representa¸cões.

No cap´ıtulo 2, estudaremos os carcases de Auslander-Reiten. Estaremos interessados em caracterizar as componentes em que aparecem módulos τ-periódicos. Para isso, caracteriza-remos, primeiramente, os diagramas de Dynkin (finitos e infinitos) e de Euclides, usando as no¸cões de fun¸cão subaditiva, fun¸cão aditiva e matriz de Cartan. Essa caracteriza¸cão será feita no teorema:

Seja C uma matriz de Cartan conexa e d uma fun¸c˜ao subaditiva para C.

1. Ent˜ao, C ´e um diagrama de Dynkin, um diagrama Euclidiano ou um dos

A∞

∞, A∞, B∞, C∞, D∞.

2. Se d não é aditiva, então C é um diagrama de Dynkin ou A∞.

3. Se d é ilimitado, então C é A∞.

As defini¸cões de matriz de Cartan, fun¸cão subaditiva, fun¸cão aditiva, diagramas de Dynkin e Euclidiano, A∞

∞, A∞, B∞, C∞ e D∞, no¸c˜oes presentes no teorema acima, encontram-se no

cap´ıtulo 2.

A seguir, estudaremos os carcases de Riedtmann. Definiremos para esse tipo de carcás as classes de Cartan, e sobre estas, as fun¸cões subaditivas e aditivas. E através do teorema abaixo caracterizaremos os carcases de Riedtmann, que possu´ırem um vértice periódico.

A classe de Cartan de uma componente do carcás de Auslander-Reiten de uma álgebra de Artin contendo módulos periódicos é ou um diagrama de Dynkin ou A∞.

Estaremos, particularmente, interessados naqueles carcases de Riedtmann da forma ZA∞,

pois estes nos possibilitarão definir os tubos estáveis, componentes do carcás de Auslander-Reiten, que possuem módulos τ-periódicos.

No cap´ıtulo 3, iniciaremos nosso estudo de complexidade de módulos (finitamente gera-dos). Primeiramente, estudaremos algumas propriedades, principalmente daqueles módulos que a complexidade são somas diretas de outros módulos, e a rela¸cão entre as complexidades dos módulos que estão em uma mesma sequência exata curta. Mostraremos que, sobre uma álgebra autoinjetiva, os módulos presentes em um carcás de Auslander-Reiten têm a mesma

(12)

complexidade. Seguiremos, então, estudando o comportamento das sequências de Auslander-Reiten, quando aplicamos nela a sizigia (proposi¸cão 3.9). Para isso, apresentaremos as defini¸cões de morfismos e módulos Ω-perfeitos. Em seguida, provaremos que os carcases de Auslander-Reiten de muitas álgebras autoinjetivas têm módulos não-projetivos eventualmente Ω-perfeitos (proposi¸cão 3.13). Além disso, provaremos na proposi¸cão 3.16 que se um móduloC sobre uma álgebra de Artin autoinjetiva tem complexidade igual a 1, τn_C_{é Ω-perfeito, para algum} _n_≥_0.

Na proposi¸c˜ao 3.14, estabeleceremos as condi¸c˜oes para termos βn(B) =βn(A) +βn(C), para todo n ≥0,

quandoA, B, C forem tais que 0 //_A //_B //_C //_{0 ´e uma sequˆencia exata. E, por}

fim, na proposi¸cão 3.19, estabeleceremos o número deR-módulos indecompon´ıveis do termo do meio de uma sequência de Auslander-Reiten

0 //_{τ C} (f1,f2,...,ft)

T

/

/_E₁_⊕_E₂_⊕_..._⊕_E_t (g1,g2,...,gt) //_C //_{0 ,}

quando R for uma ´algebra de Artin autoinjetiva, e βn(C) = 1, para n suficientemente grande.

No cap´ıtulo 4, nos concentraremos nos módulos que possuem números Betti limitados. Ou seja, estudaremos os módulos que possuem complexidade igual a 1. Um invariante muito importante para esse estudo é β(C), com C um módulo de complexidade igual a 1, definido como o máximo entre os βk(C), para todo k ≥ 0. Observe que podemos falar do máximo

dos números Betti, por estes serem limitados. Veremos o comportamente das sequências de Auslander-Reiten que possuem esses módulos de complexidade 1, o que acontece com seus morfismos (proposi¸cão 4.9) e o número de módulos indecompon´ıveis em seu termo do meio (proposi¸cão 4.2 e teorema 4.10). Nosso principal resultado é o teorema 4.11 enunciado abaixo.

Seja R uma álgebra de Artin autoinjetiva e C uma componente regular do carcás de Auslander-Reiten, que contém um módulo de complexidade 1. Então, C é um tubo estável ou uma componente do tipo ZA∞.

No último cap´ıtulo, estudaremos as sequências de Auslander-Reiten e as componentes do carcás de Auslander-Reiten, que contém módulos com números Betti eventualmente constantes ou eventualmente periódicos. No teorema 5.7, considerando R uma álgebra de Artin autoin-jetiva e C uma componente regular do carcás de Auslander-Reiten da álgebra R, que contém módulos com números Betti eventualmente constantes, mostramos que existe uma fam´ılia in-finita {Mn}∞n=1 de módulos em C, que possuem números Betti constantes {bn}∞n=1, tal que a

sequência {bn} é estritamente crescente, e os R-módulos Mn estão sobre τ-órbitas diferentes.

Observa¸c˜ao:

A no¸cão de unicidade é muito importante na Matemática. Contudo, muitas vezes, essa unicidade não implica que um único objeto exista satisfazendo certa condi¸cão. Através do isomorfismo, dois ou mais objetos podem satisfazer tal condi¸cão, e ainda sim, temos a garantia de uma unicidade, uma vez que o isomorfismo preserva as propriedades de um objeto. Assim, observe a seguinte defini¸cão.

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(14)

(15)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nesse cap´ıtulo, trataremos daqueles resultados mais elementares, cujas aplica¸cões serão importantes na demonstra¸cão de resultados futuros. Usaremos alguns conceitos básicos (como por exemplo, espa¸cos vetorias, anéis, ideais, corpos etc.), que não serão definidos neste trabalho, porém podem ser facilmente encontrados em [11], [10] e [5].

1.1 Algebras e M´

´

odulos

Nessa se¸cão, enunciaremos as defini¸cões relativas a estruturas álgebricas e aplica¸cões, que serão de extrema importância nesse trabalho. Vamos come¸car com a defini¸cão de álgebra.

Defini¸cão 1.1 Seja k um corpo. Uma k-álgebra R é um anel com um elemento identidade, denotado por 1, tal que

λ(ab) = (λa)b=a(λb),

para todo λ ∈ k e para todo a, b∈ R. Note que a k-´algebra R tem uma estrutura de k-espa¸co vetorial.

Umak-álgebra Ré dita de dimensão finita, se a dimensão dimkR do k-espa¸co vetorial R é

finita.

Sobre umak-álgebra R podemos definir uma estrutura algébrica denominadamódulo.

Defini¸cão 1.2 Seja R uma k-álgebra. Um R-módulo à esquerda é um par (M,·), onde M é umk-espa¸co vetorial e a aplica¸cão ·:R×M →M, definida por (α, m)7→αm, é uma opera¸cão binária que satisfaz as seguintes condi¸cões:

1. α(m1+m2) =αm1+αm2;

2. (α+β)m=αm+βm; 3. (αβ)m=α(βm); 4. 1m=m;

(16)

5. α(λm) = (λα)m =λ(αm)

para todo m1, m2 ∈M, α, β ∈R e λ∈k.

Analogamente, podemos definir um R-m´odulo `a direita.

Um k-subespa¸co vetorial N de um R-módulo à esquerda M é um R-submódulo de M se αn ∈ N, para todo n ∈ N, e para todo α ∈ R. Um súbmódulo próprio N de M é maximal, se não existe um submódulo L de M, tal que N * L * M. Dizemos que um R-módulo M é

finitamente gerado, se existem elementos m1, m2, . . . , ms, tais que qualquer elemento m de M

pode ser escrito da forma m=α1m1+α2m2+. . .+αsms, para αi ∈R,i= 1,2, . . . , s.

Definiremos a seguir uma aplica¸c˜ao entre R-m´odulos.

Defini¸cão 1.3 Sejam M e N R-módulos à esquerda. Um morfismo entre R-módulos (ou homomorfismo entre R-módulos ou R-homomorfismo) é uma aplica¸cão f : M → N tal que

f(αm1+βm2) = αf(m1) +βf(m2), para todo m1, m2 ∈M e para todo α, β ∈R.

Um R-homomorfismo é dito um monomorfismo, se é injetivo. Um R-homomorfismo é dito um epimorfismo, se é sobrejetivo. E um R-homomorfismo é um isomorfismo, se for um monomorfismo e um epimorfismo simultaneamente. Dizemos que M e N são isomorfos, e escrevemos M ≃ N, quando existe um isomorfismo f : M → N. Um R-homomorfismo f :M →M é chamado de endomorfismo.

O conjunto homR(M, N) de todos os R-homomorfismos deM emN ´e umk-espa¸co vetorial,

devido `a multiplica¸c˜ao por escalar (λ, f) 7→ λf, dado por (λf)(m) = f(λm), para todo f ∈ homR(M, N), λ ∈ k e m ∈ M. O k-espa¸co vetorial EndM = homR(M, M) de todos os

R-endomorfismos de qualquerR-módulo à esquerda M é umak-álgebra associativa, se definirmos sua multiplica¸cão como a composi¸cão das aplica¸cões de M em M. Nesse caso, a aplica¸cão identidade 1M é o elemento identidade de EndM.

Considerando um R-homomorfismo f : M → N, podemos definir subm´odulos de M e N. Vejamos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.4 Seja f :M →N um morfismo de R-m´odulos.

1. O módulo N ucf ={m∈M|f(m) = 0} é chamado de núcleo de f. 2. O módulo Imf ={f(m)∈N|m∈M} é chamado imagem de f. 3. O módulo Conucf =N/Imf é chamada de conúcleo de f.

A seguir, definiremos algumas classes de m´odulos, que desempenham um papel importante na Teoria de Representa¸c˜oes.

Defini¸cão 1.5 Um R-módulo M é chamado indecompon´ıvel, se é não-nulo e M não possui nenhuma decomposi¸cão em soma direta M ≃N ⊕L, onde L e N são submódulos próprios de

M.

(17)

Defini¸cão 1.6 Sejam k um corpo algebricamente fechado e R um a k-álgebra de dimensão finita.

1. Um R-módulo à esquerda P é projetivo, se, para qualquer epimorfismo h : M → N, a aplica¸cão induzida homR(P, h) : homR(P, M) → homR(P, N) é sobrejetora, isto é, para

qualquer epimorfismo h : M → N e qualquer f ∈ homR(P, N), existe um morfismo

f′ _∈_hom

R(P, M), tal que o seguinte diagrama ´e comutativo

P

f′

~

⑤⑤⑤⑤ ⑤⑤⑤⑤ f

M h //_N //₀

2. Um R-módulo à esquerda I é injetivo, se, para qualquer monomorfismo u : L → M, a aplica¸cão induzida homR(u, I) : homR(M, I) → homR(L, I) é sobrejetora, isto é, para

qualquer monomorfismo u: L→M e qualquer g ∈homR(L, I), existe g′ ∈homR(M, I),

tal que o seguinte diagrama ´e comutativo

0 //_L u //

g

M

g′

~

⑥⑥⑥⑥ ⑥⑥⑥⑥

I

3. UmR-módulo à esquerda é simples, se S é não-nulo, e os únicos submódulos de S são o submódulo zero e o próprio S. Um módulo M é semisimples, se M é uma soma direta de módulos simples.

Enunciaremos a seguir as defini¸c˜oes deradical e de socle de um m´odulo M.

Defini¸cão 1.7 Sejamk um corpo algebricamente fechado eR umak-ágebra de dimensão finita. Seja também M um R-módulo à esquerda. O radical de Jacobson JM deM é a interse¸cão de todos os submódulos maximais de M.

Defini¸cão 1.8 Sejamk um corpo algebricamente fechado eR umak-ágebra de dimensão finita. Seja também M um R-módulo à esquerda. O socle de M é o submódulo deM gerado por todos os submódulos simples de M. Este é um módulo semisimples, e será denotado por socM

Suponhamos que R é uma k-álgebra de dimensão finita. Se M é umR-módulo à esquerda finitamente gerado, então existe uma cadeia {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn = M de

submódulos deM, tal que o móduloMj+1/Mj é simples, para todoj = 0,1, ..., n−1. Qualquer

cadeia com essa propriedade é chamada de série de composi¸cão de M.

Teorema 1.9 (Jordan-Ho¨lder) Se R é uma k-álgebra de dimensão finita e

{0}=M0 ⊂M1 ⊂M2 ⊂. . .⊂Mn =M,

{0}=N0 ⊂N1 ⊂N2 ⊂. . .⊂Nm =M

(18)

Prova: Ver [6].

Dada uma série de composi¸cão, os fatores M1/M0, . . . , Mn/Mn−1 são chamados fatores de

composi¸cão, en, o comprimento do módulo M. Este último será denotado por c(M). Definiremos, a seguir, as álgebras de Artin.

Defini¸cão 1.10 Seja R uma k-álgebra, onde k é um anel comutativo artiniano. Dizemos que

R é uma álgebra de Artin, se R é finitamente gerada como R-módulo.

Nesse trabalho, consideraremos as álgebras de dimensão finita sobre um corpo, que são um exemplo de álgebras de Artin.

1.2 Categorias e Funtores

A Teoria de Categorias e Funtores desempenha um papel importante na Teoria de Re-presenta¸cões de Álgebras. Frequentemente, vê-se ferramentas dessa primeira auxiliando o de-senvolvimento e as demonstra¸cões dos resultados da segunda. Por esse motivo, estudaremos nessa se¸cão um pouco dessa teoria, que será muito importante no decorrer desse trabalho. Come¸caremos pela defini¸cão de categorias.

Defini¸c˜ao 1.11 Uma categoria C _{consiste de}

1. Uma classe obC _{de objetos, usualmente denotados por} _A_, _B_, _C_{, etc.}

2. Para cada par ordenado de objetos (A, B), um conjunto homC(A, B) (ou, simplesmente

hom(A, B), se C ´e claro), cujos elementos s˜ao chamados morfismos com dom´ınio A e codom´ınio B.

3. Para cada tripla ordenada de objetos (A, B, C), uma aplica¸c˜ao (f, g) 7→ gf de

hom(A, B)×hom(B, C) em hom(A, C).

Os objetos e os morfismos satisfazem as seguintes condi¸c˜oes:

C1 Se (A, B)̸= (C, D), ent˜ao hom(A, B) e hom(C, D) s˜ao disjuntos.

C2 (Associatividade) Se f ∈ hom(A, B), g ∈ hom(B, C) e h ∈ hom(C, D), ent˜ao

(hg)f =h(gf).

C3 (Unidade) Para cada objeto A, temos um elemento 1A∈hom(A, A), tal quef1A=f, para

todo f ∈hom(A, B), e 1Ag =g, para todo g ∈hom(B, A).

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Temos ainda as no¸c˜oes de subcategoria e subcategoria plena, que ser˜ao definidas a seguir.

Defini¸cão 1.12 Uma categoria D_{é dita uma} _subcategoria _de C_{, se} _obD _{é uma subclasse de}

obC_{, e para qualquer} _{A, B} _∈ _obD_, _hom_D_{(A, B)} _⊂ _hom_C_{(A, B)}_{. ´}_{E necess´ario tamb´em que} ₁_A_,

para A∈obD_{, e o produto de morfismos para}D _{sejam os mesmos que para} C_.

Defini¸c˜ao 1.13 Seja D _{uma subcategoria da categoria} C_{. Dizemos que essa subcategoria}D_´e

plena, se homD(A, B) = homC(A, B), para todo A, B ∈D.

Descreveremos agora alguns exemplos importantes.

Exemplos 1.14 modR é a categoria dos módulos à esquerda finitamente gerados sobre uma álgebra artiniana R. Esta é uma subcategoria plena da categoria M odR dos R-módulos à esquerda. Seus objetos são os R-módulos finitamente gerados, e seus morfismos são os R -homomorfismos entre eles.

Exemplos 1.15 P(R)é a categoria plena dos R-módulos finitamente gerados projetivos. Seus objetos consistem dos R-módulos finitamente gerados projetivos, e como no exemplo anterior, seus morfismos são os R-homomorfismos entre eles.

Exemplos 1.16 Seja R uma álgebra de Artin. Denotamos por indR uma subcategoria plena de modR, cujos objetos são representantes escolhidos das classes de isomorfismos dos módulos indecompon´ıveis em modR.

Na matemática, a no¸cão de dualidade é bastante explorada. Na Teoria de Categorias, não poderia ser diferente. Em muitas das discussões que faremos, essa será uma ferramenta muito importante. Portanto, daremos, a seguir, a defini¸cão de categoria dual (ou categoria oposta).

Defini¸c˜ao 1.17 Seja C _{uma categoria. Definimos a} _categoria _Cop _dual _de C _{da seguinte}

maneira

1. obCop₌_obC_;

2. para A, B ∈obCop_, _homCop(A, B) = hom_C(B, A);

3. se f ∈homCop(A, B) e g ∈homCop(B, C), ent˜ao gf (em Cop) =f g (em C); 4. 1A ´e como em C.

Pictoricamente, temos o seguinte: se A f //_B _em _C_{, ent˜ao} _Aoo f _B _em _Cop_{, e se}

A f //

h

❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄

❄ B

g

(20)

´e comutativo em C, ent˜ao A B f o o C h _ _ ❄❄ ❄❄ ❄❄ ❄❄ ❄❄ ❄❄ ❄❄ ❄❄ g O O

´e comutativo em Cop.

Daremos agora a defini¸c˜ao de funtor covariante.

Defini¸c˜ao 1.18 Se C _e D_{s˜ao categorias, um} _{funtor covariante} _F _de C _em D _{consiste de}

1. Uma associa¸c˜ao A7→F A de obC _em _obD_.

2. Para todo par de objetos (A, B) de C_{, uma aplica¸c˜ao} _f _7→ _F_(f) _de _hom_C_{(A, B)} _em

homD(F A, F B).

Além disso, é preciso que as seguintes condi¸cões sejam satisfeitas:

F1 Se gf ´e definida em C_{, ent˜ao} _F_(gf_{) =}_F_(g)F_(f₎_.

F2 F(1A) = 1F A.

A condi¸c˜ao F1 afirma que qualquer diagrama comutativo B g A f 5 5 ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ h ) ) ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ C em C´e levado no diagrama comutativo em D

F B

F(g)

F A

F(f)_❥_❥❥❥❥❥❥❥55 ❥ ❥ ❥ ❥ ❥ ❥ ❥ ❥ ❥ ❥

F(h)

) ) ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ F C

Tamb´em temos a defini¸c˜ao de funtor contravariante.

Defini¸c˜ao 1.19 Se C_e D_{s˜ao categorias, um} _{funtor contravariante} _F _de C _em D_{consiste de}

(21)

2. Para todo par de objetos (A, B) de C_{, uma aplica¸c˜ao} _f _7→ _F_(f) _de _hom_C_{(A, B)} _em

homD(F B, F A).

Além disso, é preciso que as seguintes condi¸cões sejam satisfeitas:

F’1 Se gf ´e definida em C_{, ent˜ao} _F_(gf_{) =}_F_(f)F_(g)_.

F’2 F(1A) = 1F A.

Dualmente, a condi¸c˜ao F′_{1 afirma que qualquer diagrama}

B g A f 5 5 ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ ❦ h ) ) ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ C ´e levado no diagrama comutativo em D

F B

F(f)

u u ❥❥❥❥❥❥ ❥❥❥❥❥❥ ❥❥❥❥❥❥ F A F C

F(h)

i

❚❚❚❚❚_{❚❚❚❚❚}

❚❚❚❚❚_❚❚❚

F(g)

O

Observemos que podemos definir, tamb´em, um funtor contravariante entre as categoriasC

e D como um funtor covariante F que vai de Cop em D.

A defini¸cão seguinte traz a constru¸cão do produto de duas categorias. Considerando essa constru¸cão, podemos definir um funtor chamado de bifuntor.

Defini¸c˜ao 1.20 Sejam C _e D _{categorias. O} _produto C_×D _{dessas categorias ´e a categoria,}

cujos objetos s˜ao os pares (A, B) com A ∈ ObC _e _B _∈ _ObD_{, e os morfismos} _h _{: (A, B)} _→

(A′_{, B}′₎ _{s˜ao os pares} _h _{= (h}

1, h2), onde h1 ∈homC(A, A′) e h2 ∈ homD(B, B′). A composi¸c˜ao em C_×D _{´e definida por} _(g₁_{, g}₂_)(h₁_{, h}₂_{) = (g}₁_h₁_{, g}₂_h₂₎_{, para todo} _h₁ _∈ _hom_C_{(A, A}′₎_, _g₁ _∈

homC(A′, A′′), h₂ ∈ homD(B, B′) e g₂ ∈ homD(B′, B′′). Qualquer funtor F : C×D → C′ ´e chamado um bifuntor.

Introduziremos a seguir a defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao natural.

Defini¸c˜ao 1.21 SejamF eGfuntores deC_emD_{. Definimos uma} _{transforma¸c˜ao natural}_η_de

F emGcomo a aplica¸c˜ao, que atribui a todo objetoAemC_{um morfismo}_η_A_∈_hom_D_{(F A, GA)}_,

tal que, para quaisquer objetos A, B de C _{e qualquer} _f _∈_homC(A, B), o retˆangulo

A

f

F A ηA

/

F(f)

GA

G(f)

B F B ηB

/

(22)

é comutativo. Além disso, se todo ηA é um isomorfismo, para todo A, então η é chamado um

isomorfismo natural.

Dizemos que as categorias CeD s˜ao isomorfas, se existem funtores F :C→D e G:D →

C, tais queGF = 1C e F G= 1D.

Um exemplo de categorias isomorfas são as categorias dos A-módulos finitamente gerados à esquerda (modA) e dos Aop_{-módulos finitamente gerados à direita, com} _A _{um anel. Se} _M

é um A-módulo à esquerda, M se torna um Aop_{-módulo à direita, definindo-se} _xa ₌_{ax, para}

x ∈ M e a ∈ Aop ₌ _A _{(como conjuntos). Analogamente, qualquer} _Aop_{-m´odulo `a direita se}

torna um A-módulo à esquerda pelo processo reverso. É claro também que um homomorfismo de M em N, M e N como A-módulos à esquerda, é um homomorfismo de M em N, M e N como Aop_{-módulos à direita.}

O conceito de isomorfismo de categorias é um tanto restrito. Assim, daremos a no¸cão de equivalência de categorias.

Defini¸c˜ao 1.22 Sejam C_e D_{categorias. Dizemos que} C _e D _s˜ao _{categorias equivalentes}_{, se}

existem funtores F : C _→D _e _G_: D _→ C_{, tais que} _GF _≃₁_C _e _{F G} _≃ ₁_{D, onde} _≃ _{denota o}

isomorfismo natural de funtores.

Notemos que isomorfismo de categorias implica em equivalˆencia de categorias.

A seguir, temos as defini¸cões de funtores fiel, pleno e denso, através das quais, teremos um importante resultado sobre equivalência de categorias.

Defini¸c˜ao 1.23 Um funtor covariante F : C _→ D _{´e dito} _fiel _{se, para todo par de objetos}

(A, B) em C _{a aplica¸c˜ao} _f _7→_F_(f₎ _de _hom_C_{(A, B)} _em _hom_D_{(F A, F B)} _{´e injetiva.}

Defini¸c˜ao 1.24 Um funtor covariante F : C _→ D _{´e dito} _pleno _{se, para todo par de objetos}

(A, B) em C _{a aplica¸c˜ao} _f _7→_F_(f₎ _de _hom_C_{(A, B)} _em _hom_D_{(F A, F B)} _{´e sobrejetiva.}

Defini¸c˜ao 1.25 Um funtor F : C _→ D _{´e chamado} _denso _{se, para qualquer objeto} _Y _de D_,

existem um objeto X em C _{e um isomorfismo} _F_(X)_≃_Y_.

A proposi¸cão seguinte é de extrema importância na teoria de categoria e funtores, e sua demonstra¸cão pode ser encontrada em [11](proposi¸cão 1.3).

Proposi¸cão 1.26 SejaF um funtor deC_emD_{. Então}_F _{é uma equivalência se, e somente se,}

F ´e fiel, pleno e denso.

Nosso objetivo, agora, será definir categorias quocientes, que será de grande importância para a defini¸cão do Transladado de Auslander-Reiten. Para tal, precisaremos das seguintes defini¸cões. A primeira pode ser encontrada em [2], e a seguinte, em [1].

Defini¸cão 1.27 Uma categoria C _é _{pré aditiva}_{, se, para cada par} _{(A, B}₎ _em C_{, o conjunto}

de morfismos homC(A, B) ´e um grupo abeliano, e a composi¸c˜ao de morfismos homC(A, B)×

homC(B, C)→homC(A, C)´e bilinear. Se, al´em disso, para qualquer conjunto finito de objetos

(23)

Defini¸c˜ao 1.28 Seja k um corpo. Uma categoria C _{´e uma} _k-categoria _{se, para cada par}

A, B ∈ ObC_{, o conjunto} _hom_C_{(A, B}₎ _{´e dotado de uma estrutura de} _k_{-espa¸co vetorial, tal que}

a composi¸cão de morfismos é uma aplica¸cão k-bilinear.

Defini¸c˜ao 1.29 SejaC_uma_k_{-categoria. Uma classe}_I _{de morfismos de}C_{´e um} _{ideal bilateral}

em C_{, se} _I _{tem as seguintes propriedades:}

1. para cada A∈ObC_{, o morfismo nulo} ₀_A _∈_hom_C_{(A, A)} _{pertence a} _I_;

2. se f, g:A→B s˜ao morfismos em I e α, β ∈k, ent˜ao f α+gβ ∈ I;

3. se f ∈ I e g é um morfismo em C_{, tal que a composi¸cão} _gf _{é definida, então} _gf _{∈ I}_{; e}

4. se f ∈ I e h é um morfismo em C_{, tal que a composi¸cão} _{f h} _{é definida, então} _{f h}_{∈ I}_.

Equivalentemente, um ideal bilateral I de Cpode ser visto como um subfuntor I(−,−)⊆homC(−,−) :Cop×C→M odk

do bifuntor homC(−,−), que leva cada par (A, B) de objetos A, B de Cem um k-subm´odulo

I(A, B) de homC(A, B) tal que:

1. se f ∈ I(A, B) e g ∈homC(B, C), ent˜ao gf ∈ I(A, C); e

2. se f ∈ I(A, B) e h∈homC(X, A), ent˜ao f h∈ I(X, B).

Segue a defini¸c˜ao de categorias quocientes.

Defini¸c˜ao 1.30 Dado um ideal bilateral I em uma k-categoria aditiva C_{, definimos a}

ca-tegoria quociente C_/I _{como a categoria cujos objetos s˜ao os mesmos de} C_{, e o espa¸co de}

morfismos entre A eB em C_/I _{´e o espa¸co quociente} _hom_C_/_I_{(A, B) = hom}_C_{(A, B}_{)/I(A, B}₎_de

homC(A, B) sobre o subespa¸co I(A, B).

1.3 Alguns pr´

e-requisitos necess´

arios

A partir de agora, assumiremos k como um corpo algebricamente fechado. Come¸caremos com algumas defini¸c˜oes.

Defini¸cão 1.31 Seja R uma k-álgebra de dimensão finita. Sejam A, B, C R-módulos à es-querda, e sejam f, g homomorfismos de A em B e de B em C, respectivamente. Então, o diagrama

A f //_B g //_C

´e exato, se Im(f) = N uc(g). Se n≥2, o diagrama

(1) A0

f0

/

(24)

de R-m´odulos e homomorfismos ´e dito ser exato em Ai, i= 1,2, ..., n−1, se o diagrama

(2) Ai−1

fi−1

/

/Ai fi

/

/Ai+1

é exato para cada i. O diagrama (1) é uma sequência exata, se é exato em cada módulo Ai,

i= 1,2, ..., n−1. Do mesmo modo, um diagrama infinito

A0

f0

/

/_A₁ f1 //_A₂ f2 //_{. . .} fn−2//_A_n₋₁fn−1 //_A_n fn //_{. . .}

de R-módulos à esquerda e homomorfismos é dito ser exato em Ai, i≥1, se o diagrama (2) é

exato; e é uma sequência exata, se é exato em todos os módulos Ai, i≥ 1. De modo análogo,

definimos para

. . .f−(n−1)//_A₋_n f−n //_{. . .} f−3 //_A₋₂ f−2 //_A₋₁ f−1 //_A₀

e

. . .f−(n−1)//_A₋_n f−n //_{. . .} f−3 //_A₋₂ f−2 //_A₋₁ f−1 //_A₀ f0 //_A₁ f1 //_A₂ f2 //_{. . .} fn−1//_A_n fn //_{. . .}_.

Um diagrama da forma

0 //_A f //_B g //_C //₀

que é exato em A, B e C é chamado uma sequência exata curta.

SejaRuma álgebra de dimensão finita. Sejamf :A→B umR-monomorfismo eg :B →C umR-epimorfismo. Dizemos quef é ummonomorfismo que cinde, se existe f′ _:_B _→_A_{tal que}

f′_f _{= 1}

A. E dizemos queg ´e um epimorfismo que cinde, se existe g′ :C →B tal que gg′ = 1C.

Uma sequˆencia exata curta

0 //_A f //_B g //_C //₀

é chamada uma sequência exata que cinde se o submódulo Imf =f(A) é um somando direto deB. A proposi¸cão seguinte estabelece critérios para que uma sequência cinda.

Proposi¸cão 1.32 As seguintes condi¸cões são equivalentes para sequência exata curta

0 //_A f //_B g //_C //₀_:

1. a sequˆencia cinde;

2. f ´e um monomorfismo que cinde; 3. g ´e um epimorfismo que cinde.

Prova: Primeiramente, vamos provar que1implica em2. Suponhamos, assim, que a sequˆencia 0 //_A f //_B g //_C //₀

cinde. Isso quer dizer que Imf é somando direto de B, ou seja, B = Imf ⊕N, com N ⊂ B. Então, b ∈B pode ser escrito, de forma única, como a somab =y+n, comy∈Imf e n∈N. Como y∈Imf ef é um monomorfismo, existe um único x∈A tal que f(x) = y.

Definamos f′ _: _B _→ _A _como _f′_{(b) =} _{x. Afirmamos que} _f′ _{est´a bem definido. De fato,}

suponhamos que existam x, x′ _∈ _{A, tais que} _f′_{(b) =} _x _e _f′_{(b) =} _x′_{. Pela constru¸c˜ao acima,}

segue que b = f(x) +n e b = f(x′_{) +}_{n, e, da´ı,} _{f(x) =} _f_(x′_{). Como} _f _{´e um monomorfismo,}

(25)

Vamos mostrar agora quef′ _{´e um}_{R-homomorfismo. Sejam}_b

1, b2 ∈B, onde bi =f(xi) +ni,

com xi ∈A e ni ∈N, para i= 1,2. Aplicando f′ em b1 +b2, temos que

f′_(b

1+b2) =f′(f(x1) +n1+f(x2) +n2) = f′((f(x1) +f(x2)) + (n1+n2)) =

f′_(f_(x

1+x2) + (n1+n2)) = x1+x2 =f′(b1) +f′(b2).

Agora, sejam b =f(x) +n ∈B, com x∈ A e n∈ N, e α ∈R. Aplicando f′ _em _{αb, temos}

que

f′_{(αb) =}_f′_{(α(f(x) +}_{n)) =}_f′_(αf_{(x) +}_{αn) =}_f′_{(f(αx) +}_{αn) =}_αx₌_αf′_(b).

Portanto, f′ _´e_{R-homomorfismo.}

Afirmamos ainda que N =N ucf′_{. De fato, seja}_n _∈_N_{, tal que} _n ₌_b₋_f_{(x), com} _b _∈_B _e

x∈A. Aplicando f′ _em _{n, obtemos}

f′_{(n) =}_f′_(b₋_f_{(x)) =}_f′_(b)₋_f′_(f_{(x)) =}_x₋_x_{= 0.}

Logo, n∈N ucf′_{, e} _N _⊆_{N ucf}′_.

Al´em disso, se x ∈ Imf ∩N ucf′_{, temos que existe} _a _∈ _{A, tal que} _f_{(a) =} _x _e _f′_{(x) = 0.}

Assim, 0 = f′_{(x) =} _f′_(f_{(a)) =}_{a, o que implica que} _x₌_f_{(a) =}_f_{(0) = 0. Logo,}_Imf_∩_{N uc}′ ₌

{0}, e como B =Imf ⊕N, N =N uc′_.

Por fim, vamos mostrar que f′_f _{= 1}

A. Apliquemos, ent˜ao, f′f em x ∈ A. Assim, como

b =f(x) +n, segue que

f′_f_{(x) =}_f′_(b₋_{n) =}_f′_(b)₋_f′_{(n) =}_x₋_{0 =} _x,

o que encerra a demonstra¸c˜ao de 2.

Agora, vamos mostrar que 2 implica em 3. Seja c ∈ C. Como g ´e um epimorfismo, existe b ∈ B, tal que g(b) = c. Afirmamos que o elemento b−f(f′_{(b)) depende unicamente}

do elemento c e n˜ao da escolha de b. De fato, seja b1 outro elemento de B, tal que g(b1) = c.

Ent˜ao, b−b1 ∈N ucg =Imf. Digamos queb−b1 =f(a), coma ∈A. Segue quef(f′(b−b1)) =

f(f′_(f_{(a))) =}_{f(a) =} _b₋_b

1, o que implica que b−f(f′(b)) =b1−f(f′(b1)).

Fa¸camos g′_{(c) =} _b ₋_f_(f′_{(b)), que est´a bem definido, por causa das observa¸c˜oes acima, e}

mostremos que g′ _{´e um monomorfismo, tal que} _gg′ _{= 1}

C.

Primeiramente, vamos mostrar que g′ _{´e um} _{R-homomorfismo. Sejam} _c

1, c2 ∈ C, tais que

g′(ci) =bi+f(f′(bi)), para i= 1,2, e seja tamb´em λ∈R. Observemos que, como g(b1) = c1 e

g(b2) =c2, pela defini¸c˜ao de g′, temos que

g(b1+λb2) =g(b1) +g(λb2) =g(b1) +λg(b2) =c1+λc2.

Segue, ent˜ao, que

g′_(c

1+λc2) =

b1+λb2+f(f′(b1+λb2)) =

b1+λb2+f(f′(b1)) +f(f′(λb2)) =

b1+λb2+f(f′(b1)) +λf(f′(b2)) =

b1+f(f′(b1)) +λb2+λf(f′(b2)) =

b1+f(f′(b1)) +λ[b2+f(f′(b2))] =

g′_(c

(26)

Portanto, g′ _{´e um} _{R-homomorfismo, como quer´ıamos demonstrar.}

A seguir, vamos mostrar que g′ _{´e um monomorfismo. Assim, suponhamos que} _c _{´e um}

elemento de C, tal que g′_{(c) = 0. Logo, pela defini¸c˜ao de} _g′_, _b₋_f_(f′_{(b)) = 0, para algum}

b ∈B. Ou seja, f(f′_{(b)) =} _{b, para algum} _b _∈_{B. Como} _{g(b) =} _{c, pela constru¸c˜ao de} _g′_{, segue}

que

c=g(b) = g(f(f′_{(b))) = 0(f}′_{(b)) = 0,}

o que prova que g′ _{´e um monomorfismo.}

Vamos provar, enfim, que gg′ _{= 1}

C. Apliquemos, ent˜ao, gg′ em c∈C. Da´ı,

g(g′_{(c)) =}_g(b₋_f_(f′_{(b))) =}_g(b)₋_g(f_(f′_{(b))) =} _g(b)₋_0(f′_{(b)) =} _g(b)₋_{0 =}_{g(b) =} _c.

Portanto, g ´e um epimorfismo que cinde, como quer´ıamos demonstrar.

Finalmente, vamos mostrar que 3 implica em 1. Suponhamos que g ´e um epimorfismo que cinde. Ent˜ao, existe g′ _:_C _→_{B R-homomorfismo, tal que} _gg′ _{= 1}

C. Queremos mostrar que a

sequˆencia

0 //_A f //_B g //_C //₀

cinde. Para isso, vamos mostrar que Imf =N ucg ´e um somando direto deB.

Seja X = g′(C). Fa¸camos B = X⊕B/X. Observemos que g(g′(C)) = C, o que implica que g(X) = C. Logo, X * N ucg. Al´em disso, X ∩N ucg = {0}. De fato, suponhamos que x ∈ X ∩N ucg. Ent˜ao, existe c ∈ C, tal que g′_{(c) =} _x _e _{g(x) = 0, o que implica que}

gg′(c) =g(x) = 0. Logo, c= 0, e, portanto, x=g′(c) = g′(0) = 0. Vamos mostrar, ent˜ao, que B/X =N ucg.

Assim, seja b =g′_{(c) +}_{y, com}_y _∈_{B/X. Logo, temos que}

g(b) =gg′_{(c) +}_g(y)_⇒

c=c+g(y)⇒ g(y) =c−c⇒

g(y) = 0

Da´ı, y∈N ucg, eB/X ⊆N ucg. ComoX∩N ucg={0}, segue que B/X =N ucg.

Como consequência da proposi¸cão anterior, temos que, quando f é um monomorfismo que cinde, B = Imf ⊕N ucf′ _≃ _A_⊕_{N ucf}′_{. Além disso, quando} _g _{é um epimorfismo que cinde}

B =Img′ _⊕_{N ucg} _≃_C_⊕_{N ucg.}

Temos, ainda, que quando a seguinte sequˆencia

0 //_A f //_B //_Conucf //_0,

´e exata, com f que cinde, B ≃A⊕Conucf. E quando temos a sequˆencia exata 0 //_{N ucg} //_B g //_C //_0,

com g que cinde,B ≃N ucg⊕C.

(27)

Defini¸cão 1.33 Seja R uma álgebra de dimensão finita. 1. Um elemento e∈R é chamado idempotente, se e2 ₌_e_.

2. Os idempotentes e1, e2 ∈R s˜ao chamados de ortogonais, se e1e2 =e2e1 = 0.

3. O idempotente não-nulo e é dito primitivo, se e não pode ser escrito como uma soma

e=e1+e2, onde e1 e e2 s˜ao idempotentes ortogonais n˜ao-nulos de R.

Toda álgebraRtem dois idempotentes triviais 0 e 1. Se o idempotente edeRé não-trivial, então 1 −e é também um idempotente não-trivial. Além disso, os idempotentes e e 1 −e são ortogonais. Além disso, existe uma decomposi¸cão não-trivial de R-módulos à esquerda

RR =Re⊕R(1−e). Reciprocamente, se RR = M1⊕M2 é uma decomposi¸cão não-trivial de

R-m´odulos e 1 = e1+e2, ei ∈Mi, ent˜ao e1, e2 formam um par de idempotentes ortogonais de

R, eMi =Rei ´e indecompon´ıvel se, e somente se, ei ´e primitivo.

Como a álgebra R é de dimensão finita, o módulo RR admite uma decomposi¸cão em soma

direta RR = P1 ⊕...⊕Pt, onde P1, ..., Pt s˜ao ideais indecompon´ıveis `a esquerda de R. Segue

da discuss˜ao anterior que P1 = Re1,..., Pt = Ret, onde e1, ..., et s˜ao idempotentes ortogonais

(dois a dois) primitivos de R, tais que 1 = e1 +...+et. Reciprocamente, todo conjunto de

idempotentes com as propriedades anteriores induz uma decomposi¸c˜aoRR=P1⊕...⊕Pt, com

ideais indecompon´ıveis `a esquerda P1 =Re1, ..., Pt=Ret.

Observemos que osR-m´odulos simples s˜ao da forma Pi/JPi, para todo i= 1, ..., t.

Defini¸cão 1.34 Seja R uma álgebra de dimensão finita, e seja M um R-módulo à esquerda. Definimos uma resolu¸cão projetiva como sendo uma sequência exata

P• : . . . //Pn hn

/

/_P_n₋₁ //_{. . .} //_P₁ h1 //_P₀ h0 //_M //₀_,

onde Pj é um R-módulo projetivo à esquerda, para todo j ≥0.

Agora, seM admite a seguinte resolu¸c˜ao projetiva de comprimento finitom 0 //_P_m //_P_m₋₁ //_{. . .} //_P₂ //_P₁ //_P₀ //_M //_{0 ,}

dizemos que adimensão projetiva deM é igual ou menor quem. Se, além disso,M não admite uma resolu¸cão projetiva de comprimento menor que m, então dizemos que M tem dimensão projetiva igual a m, e escrevemos pdM = m. No entanto, se M não admite uma resolu¸cão projetiva de comprimento finito, como a descrita acima, dizemos que a dimensão projetiva de M é infinita, e escrevemos pdM =∞.

Defini¸cão 1.35 Seja R uma álgebra arbitrária. Para um R-módulo fixo C, considere a cate-goria M odR/C, cujos objetos são R-morfismosf :B →C, e onde um morfismo g :f →f′ _de

f :B →C em f′ _:_B′ _→_C _{´e um} _R_-morfismo _g _:_B _→_B′ _{tal que}

B f //

g

C

B′

f′

>

(28)

comuta. Quando os morfismos descritos acima est˜ao sobre R-m´odulos finitamente gerados, temos a subcategoria modR/C.

Dizemos que f : B →C é minimal à direita, se todo morfismo g : f → f é um automor-fismo.

Analogamente, temos a defini¸c˜ao de um morfismo minimal `a esquerda.

Defini¸cão 1.36 Para um R-módulo A fixo, considere a categoria M odR\A, cujos objetos são

R-morfismos f :A →B, e onde um morfismo g :f →f′ _de _f _:_A_→_B _em _f′ _:_A_→ _B′ _{´e um}

R-morfismo g :B →B′_{, tal que}

A f //

f′

B

g

☞☞☞☞ ☞☞☞☞

☞☞☞☞ ☞

B′

comuta. Quando os morfismos descritos acima estão sobre R-módulos finitamente gerados, temos a subcategoriamodR\A. Dizemos que um morfismof :A→B deR-módulos é minimal à esquerda, se para todo g :B →B, com gf =f, g for um automorfismo.

Segue o seguinte teorema sobre epimorfismos minimais (Ver [2]).

Teorema 1.37 Sejam B e C m´odulos sobre R, com R uma ´algebra de Artin. Consideremos

f :B →C um epimorfismo. Ent˜ao, existe um ´unico epimorfismo minimal f′ _:_B _→_C _{tal que}

hom(f, f′₎ _{é diferente de zero. Este epimorfismo minimal} _f′ _{é chamado de versão minimal de}

f.

A pr´oxima defini¸c˜ao trata de um epimorfismo minimal bastante importante.

Defini¸cão 1.38 SejamR uma álgebra de dimensão finita eM umR-módulo à esquerda. Seja também f : P → M um epimorfismo com P projetivo. Dizemos que f é uma cobertura projetiva, se f é minimal à direita.

Os seguintes teoremas tratam de propriedades de uma cobertura projetiva de um m´odulo M finitamente gerado.

Teorema 1.39 Seja R uma álgebra de dimensão finita. Sejam também P e M R-módulos finitamente gerados, com P projetivo. Então, um epimorfismo f : P → M é uma cobertura projetiva de M se, e somente se, N ucf ⊂JP.

Teorema 1.40 Seja R uma álgebra de Artin, e seja M um módulo em modR. Então, temos o seguinte:

1. Existe uma cobertura projetiva f :P →M.

2. Quaisquer duas coberturas projetivas f1 : P1 → M e f2 : P2 → M s˜ao isomorfos em

(29)

Prova: Ver [2].

Usando esse conceito de cobertura projetiva, podemos definir o seguinte.

Defini¸cão 1.41 Seja R uma álgebra de dimensão finita. Considere M um R-módulo finita-mente gerado.

1. Uma sequˆencia exata

P1

p1

/

/_P₀ p0 //_M //₀

em modR ´e chamada de apresenta¸c˜ao projetiva minimal de M, se os R-homomorfismos

p0 :P0 →M e p1 :P1 →N ucp0 s˜ao coberturas projetivas.

2. Uma sequˆencia exata

P• : . . . //Pn hn

/

/_P_n₋₁ //_{. . .} //_P₁ h1 //_P₀ h0 //_M //₀

em modR é chamada uma resolu¸cão projetiva minimal de M, se hj :Pj →Imhj é uma

cobertura projetiva, para todo j ≥ 0, assim como h0 :P0 →M. Por 1.40, P• ´e ´unica, a

menos de isomorfismo.

Para o lema 1.43, lembremos do seguinte fato, cuja demonstra¸c˜ao ´e simples e deixada ao leitor.

Proposi¸cão 1.42 Sejam R uma álgebra de Artin e M um R-módulo. Então, JM =∩

N ucf, onde f percorre todos os morfismos com dom´ınio em M e contradom´ınio em um S simples.

Lema 1.43 Sejam R uma ´algebra de Artin e M um R-m´odulo finitamente gerado. Considere

N um R-m´odulo tal que N ⊂M. Ent˜ao, N ⊂JA se, e somente se, para todof :M →S com

S simples, temos que f|N = 0, ou seja, N ⊂N ucf.

Prova: Suponhamos que N ⊂ JM. Consideremos o homomorfismo f : M → S, com S um m´odulo simples. Por defini¸c˜ao, JM = ∩n

i=1

Mi, onde Mi ´e maximal em M. Assim, como S ´e

simples, N ucf ´e maximal em M. Da´ı, JM ⊂N ucf. Mas, N ⊂JM. Portanto, N ⊂N ucf. Reciprocamente, suponhamos que, para todo f :M →S, com S simples, f|N = 0, ou seja,

N ⊂N ucf. Já que S é simples, temos que N ucf é um submódulo maximal de M, para todo morfismo f. Logo, JM =∩

N ucf. Como, pela hip´otese, N ⊂N ucf, para todo f, segue que N ⊂∩

N ucf, e da´ı, N ⊂JM.

Para o pr´oximo resultado, precisaremos da seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.44 Seja R uma k-´algebra com {e1, e2, . . . , en} um conjunto completo de

idempo-tentes ortogonais e primitivos. A álgebra R é chamada de básica, se Rei ≇ Rej, para todo

(30)

Lema 1.45 Seja R uma k-álgebra de dimensão finita básica, onde k é um corpo algebrica-mente fechado, e seja{e1, ..., et} um sistema completo de idempotentes ortogonais e primitivos.

Considere P = ⊕t

i=1

Pi, onde Pi =Rei, para todo i = 1, ..., t e S = t

⊕

j=1

Sj, onde {Sj;j = 1, ..., t}

é um conjunto completo de representantes das classes de isomorfismos dos R-módulos simples. Então, dimkhom(P, S) =t.

Prova: Se P ´e indecompon´ıvel, ent˜ao dimhom(P, S) = 1. Agora, se P =

t

⊕

i=1

Pi, ent˜ao

hom(P, S)≃

t

∑

i=1

dim hom(Pi, S) = t.

Proposi¸cão 1.46 Seja R uma álgebra arbitrária. Se A é um R-módulo simples e f : A→ B

´e um monomorfismo, ent˜ao A*JB se, e somente se, f cinde.

Prova: Suponhamos, primeiro, que A * JB. Então, existem S um R-módulo simples e h:B →S, tal queA*N uch. Além disso,hé um epimorfismo, poisSé simples. Consideremos a composi¸cão

A f //_B h //_S_.

Como A * N uch, hf ̸= 0. Mas, A e S são simples. Então, hf é um isomorfismo, ou seja, A≃S. Assim, hf = 1A e, portanto, f cinde.

Finalmente, suponhamos que f : A → B cinde. Então, B ≃ A⊕Conucf. Como A é simples, Conucf é maximal em B, o que implica que JB ⊆Conucf. Logo, A∩JB ={0}, e, portanto, A*JB.

Em uma resolu¸cão projetiva minimal de um R-módulo finitamente gerado M, é poss´ıvel contar a quantidade de somandos indecompon´ıveis dos módulos projetivos que aparecem na resolu¸cão. Quem cumpre essa fun¸cão são osNúmeros Betti definidos a seguir.

Defini¸cão 1.47 Sejam R uma álgebra de dimensão finita e M um R-módulo finitamente ge-rado. Seja

. . . //_P₂ d2 //_P₁ d1 //_P₀ d0 //_M //₀

uma resolu¸cão projetiva minimal de M. Então, o i-ésimo número Betti de M, βi(M), é igual

ao n´umero de somandos indecompon´ıveis de Pi, para todo i≥0.

Temos, assim, o seguinte lema.

Lema 1.48 Sejam k um corpo algebricamente fechado, R uma ´algebra b´asica sobre k, A um

R-m´odulo e S =⊕

i∈I

Si R-m´odulo, tal que{Si}i∈I ´e um conjunto completo de representantes das

classes de isomorfismos dos R-m´odulos simples. Ent˜ao, dimExti_{(A, S) =}_β

i(A), para todo i .

Prova: Consideremos uma resolu¸c˜ao projetiva minimal do R-m´odulo A . . . //_P₃ d3 //_P₂ d2 _P// ₁ d1 //_P₀ d0 //_A //_0.

(31)

0 // _hom(P₀_{, S)} d

∗

1

/

/ _hom(P₁_{, S)} d

∗

2

/

/ . . . d

∗

i−1

/

/ _hom(P_i₋₁_{, S)}

d∗

i

/

/ _hom(P_i_{, S)} d

∗

i+1

/

/ _hom(P_i₊₁_{, S)} // . . .

onde d∗i = hom(di, S), para todo i.

Segue, do lema 1.43, que JPi ⊂N uc(hom(Pi, S)), para todo i, pois a resolu¸c˜ao projetiva ´e

minimal, d∗

i+1 ´e o morfismo nulo, para todo i. Assim, para i≥1, temos que

Exti_(P i, S) =

N ucd∗

i+1

Imd∗

i

=N ucd∗

i+1 = hom(Pi, S).

Considerando Pi =P0i⊕P1i⊕...Pti a decomposi¸c˜ao do R-m´odulo projetivoPi em somandos

indecompon´ıveis, temos que hom(Pi_{, S)}_≃ ⊕t

j=0

hom(Pi j, S).

Assim, dim hom(Pi, S) = t+ 1. E, portanto, dimExti(Pi, S) = t+ 1 =βi(A), para todo i.

O lema e a proposi¸c˜ao a seguir tratam de determinadas cadeias de composi¸c˜oes de homo-morfismos arbitrariamente longas.

Lema 1.49 Seja Ruma ´algebra de Artin. Seja n∈N, e para cada i∈Z, sejaAi umR-m´odulo

indecompon´ıvel com c(Ai) ≤ n. Seja tamb´em fi : Ai → Ai+1 um n˜ao-isomorfismo, para todo

i∈Z. Ent˜ao, c(Im(fi+2m₋₂...f_i))≤max{n−m,0}, para cada m∈N.

Prova: A prova desse lema ser´a feita por indu¸c˜ao sobre m.

Suponhamos m = 1, e consideremos fi : Ai → Ai+1, para todo i ∈ Z. Como fi n˜ao

é um isomorfismo, segue que fi não é um monomorfismo, ou fi não é um epimorfismo. No

primeiro caso, c(Imfi) ≤ c(Ai)−1, e, no segundo caso, c(Imfi) ≤ c(Ai+1)−1. Logo, temos

c(Imfi)≤n−1≤max{n−1,0}.

Suponhamos, agora, que o lema est´a provado para um natural m, e consideremos fi+2m+1₋₂...f_i₊₂mf_i₊₂m₋₁f_i₊₂m₋₂...f_i :A_i →A_i₊₂m+1₋₁.

Escrevendo f = fi+2m₋₁, g = f_i₊₂m₋₂...f_i e h = f₍_i₊₂m₎₊₂m₋₂...f_i₊₂m, temos a seguinte

sequˆencia de morfismos Ai

g

/

/ _A_i₊₂m₋₁

f

/

/ _A_i₊₂_m h // Ai+2m+1₋₁.

Suponha quec(Im(hf g))max{n−m−1,0}, isto é,c(Im(hf g))≥n−m >0. Provaremos que isso implica que f =fi+2m₋₁ é um isomorfismo, o que nos leva a uma contradi¸cão.

Pela hipótese de indu¸cão, temos quec(Img)≤max{n−m,0}e c(Imh)≤max{n−m,0}. Além disso, temos que

c(Im(hf g))≤min{c(Img), c(Im(f g)), c(Im(hf)), c(Imh)} ≤max{n−m,0}. Logo, temos que

(32)

Agora, h|Im(f g) : Im(f g) → Imh ´e um isomorfismo, uma vez que Im(hf g) ⊂ Imh, e os

m´odulos tˆem o mesmo comprimento. Assim, segue que Ai+2m ≃ Im(f g)⊕N uch. Como, pela

hip´otese, Ai+2m ´e indecompon´ıvel, e l(Im(f g)) = n−m > 0, N uch = {0}. Isso implica que

Im(f g) =Ai+2m, e da´ı, f ´e um epimorfismo.

Por fim, consideremos hf|Img : Img → Im(hf). Novamente, como Im(hf g) ⊂ Im(hf),

e os módulos têm o mesmo comprimento, temos que hf|Img é um isomorfismo. Assim, segue

que Ai+2m₋₁ = Img⊕N uc(hf). Como c(Img) = n −m > 0, e A_i₊₂m₋₁ ´e indecompon´ıvel,

N uc(hf) ={0}, o que implica quef ´e um monomorfismo. Logo,f =fi+2m₋₁´e um isomorfismo,

contradizendo a hip´otese.

Podemos concluir, pois, que c(Im(hf g))≤ max{n−(m+ 1),0}, o que completa a prova.

Agora, temos condi¸c˜oes de provar o seguinte resultado, que ´e conhecido como lema de Harada-Sai.

Proposi¸cão 1.50 (Harada-Sai) Seja R uma álgebra de Artin. Se fi : Ai → Ai+1 são

n˜ao-isomorfismos entre R-m´odulos indecompon´ıveis Ai, para i= 1,2, ...,2n−1, e c(Ai) ≤ n, para

todo i, ent˜ao f2n₋₁. . . f₁ = 0.

Prova: Considere a composi¸c˜ao de morfismosf2n₋₁. . . f_i. Vamos mostrar que a imagem dessa

composi¸c˜ao ´e nula. Pelo lema acima, temos que

c(Im(f2n₋₁. . . f_i))≤max{n−n,0}= 0.

Logo, Im(f2n₋₁. . . f_i) ={0}, como quer´ıamos demonstrar.

Observa a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 1.51 Seja R uma álgebra arbitrária. Sejam B e C dois R-módulos. Dizemos que

g :B →C é um morfismo que quase cinde à direita se 1. não é um epimorfismo que cinde e

2. qualquer morfismo v :V → C que não é um epimorfismo que cinde se fatora através de

g, isto é, para todo morfismo de R-módulos v : V → C que não é um epimorfismo que cinde, existe v′ _:_V _→_B_{, tal que} _gv′ ₌_v_{. Ou seja, o diagrama}

V

v

v′

⑦⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦⑦

B g //_C

(33)

A seguinte defini¸c˜ao ´e dual.

Defini¸cão 1.52 Seja R uma álgebra arbitrária. Sejam A e B dois R-módulos. Dizemos que

f :A→B é um morfismo que quase cinde à esquerda se 1. não é um monomorfismo que cinde e

2. qualquer morfismo u : A → U que não é um monomorfismo que cinde se fatora através de f, isto é, para todo morfismo de R-módulos u: A→U que não é um monomorfismo que cinde, existe u′ :B →U, tal que u′f =u. Ou seja, o diagrama

A f //

u

B

u′

⑦⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦⑦

U

´e comutativo.

Uma aplica¸cão g é dita ser um morfismo po¸co, se ela é um morfismo que quase cinde à direita e é minimal à direita. Dualmente, uma aplica¸cão f é dita ser um morfismo fonte, se é um morfismo que quase cinde à esquerda e é minimal à esquerda.

Podemos definir agora as sequˆencias de Auslander-Reiten. Muitos autores as chamam de

sequˆencias que quase cindem.

Defini¸cão 1.53 Dada uma álgebra R, consideremos a seguinte sequência exata de R-módulos finitamente gerados

0 //_L f //_M g //_N //₀_.

Dizemos que essa é uma sequência de Auslander-Reiten se: 1. f é um morfismo fonte e

2. g ´e um morfismo po¸co.

Enunciaremos, a seguir, a defini¸c˜ao de um morfismo irredut´ıvel.

Defini¸cão 1.54 Seja R uma álgebra arbitrária. SejamB e C dois R-módulos. Um morfismo

g :B →C ´e chamado de irredut´ıvel, se

1. g n˜ao ´e nem um monomorfismo que cinde, nem um epimorfismo que cinde e

(34)

O lema seguinte ser´a uma ferramenta muito importante em resultados futuros.

Lema 1.55 Seja

0 //_L f //_M g //_N //₀

uma sequˆencia exata curta que n˜ao cinde em modR.

1. O homomorfismo f : L → M ´e irredut´ıvel se, e somente se, para todo homomorfismo

v :V →N, existev1 :V →M tal quev =gv1, ou seja, o seguinte diagrama ´e comutativo

V

v1

~

⑤⑤ ⑤⑤ _v

0 //_L f //_M g //_N //₀

,

ou existe v2 :M →V tal que g =vv2, ou seja, o seguinte diagrama ´e comutativo

V

v

0 //_L f //_M g //

v2

>

⑤ ⑤ ⑤ ⑤

N //₀

.

2. O homomorfismo g : M → N ´e irredut´ıvel se, e somente se, para todo homomorfismo

u:L→U, existe u1 :M →U tal queu=u1f, ou seja, o seguinte diagrama ´e comutativo

0 //_L

u

f

/

/_M g //

u1

~

⑥⑥ ⑥⑥

N //₀

U

,

ou existe u2 :U →M tal que f =u2u, ou seja, o seguinte diagrama ´e comutativo

0 //L

u

f

/

/M g //N //0 U

u2

>

⑥ ⑥ ⑥ ⑥

.

Prova: Ver [1], cap´ıtulo IV, lema 1.7.

A proposi¸cão 1.56 será necessária na demonstra¸cão da proposi¸cão 1.57, que caracteriza as sequências de Auslander-Reiten que possuem um somando projetivo-injetivo no termo do meio.

Proposi¸cão 1.56 SejaR uma álgebra de Artin e sejaC um R-módulo indecompon´ıvel. Então, um morfismo g :B → C é irredut´ıvel se, e somente se, existe algum morfismo g′ _:_B′ _→_C _tal

(35)

Prova: Suponhamos, primeiramente, que g :B →C é irredut´ıvel. Como C é indecompon´ıvel, existe um único, a menos de isomorfismo em modR/C, morfismo po¸co. Seja h : E → C tal morfismo. Já que g não é um epimorfismo que cinde, pela defini¸cão de morfismo que quase cinde à direita, g se fatora através de h, isto é, g =hf para algum f :B → E. Como h não é um epimorfismo que cinde, pela irredutibilidade deg, f é um monomorfismo que cinde. Assim, temos que a seguinte sequência exata curta

0 //_B f //_E //Conucf //₀

cinde, e da´ı, E ≃B⊕B′_{, onde} _B′ ₌_Conucf_.

Considerando esse isomorfismo como uma identifica¸c˜ao, temos que h′ _: _B′ _→ _{C, onde}

h′ ₌_h|

B′, é tal que (g, h′) : B⊕B′ →C é um morfismo po¸co, uma vez que hé um morfismo po¸co.

Reciprocamente, suponhamos que h : E → C ´e um morfismo po¸co. Sejam E = B ⊕B′

e g : B → C, com g = h|B. Suponhamos que g = st, para algum t : B → X e para algum

s : X → C, que não é um epimorfismo que cinde. Então, já que h é um morfismo que quase cinde à direita, existe

(

u v

)

, ondes=(

g g′ ) (

u v

)

eg′ ₌_h|

B′. Assim, obtemos o seguinte diagrama comutativo

B⊕B′

(g,g′₎

$ $ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍

❍ X⊕B

′





t 0 0 1B′

  o o   u 0 v 1B′





/

(s,g′₎

B ⊕B′

(g,g′₎

z z ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ C Comoh= (g, g′_{) ´e minimal `a direita,}

(

ut 0 vt 1B′

)

=

(

u 0 v 1B′

) (

t 0 0 1B′

)

é um isomor-fismo. Logo, ut : B → B é um isomorfismo, mostrando que t é um monomorfismo que cinde. E, portanto, g é irredut´ıvel.

Proposi¸c˜ao 1.57 Seja

δ : 0−→A−→B −→C →0

uma sequência de Auslander-Reiten de módulos sobre uma álgebra de dimensão finita. SeB tem um somando indecompon´ıvel projetivo-injetivo P, então c(P)≥2 e δ é isomorfa a sequência

ε: 0 // _JP (−i,p)

T

/

/ _P _⊕_JP/socP (q,j) // P

socP // 0,

onde i: JP →P e j : JP/socP → P/socP s˜ao as inclus˜oes naturais e p :JP →JP/socP e