7.53 Definição. Sejam X e Y variedades diferenciáveis com S subvariedade de Y , e seja x ∈ X. Uma aplicação f : X → Y diferenciável é transversal a S em x, e escrevemos f −t S em x se vale que ou f(x) /∈ S ou Dfx(TxX)+Tf (x)S = Tf (x)Y.
7.54 Definição. Sejam X e Y variedades diferenciáveis com S subvariedade de Y . Uma aplicação f : X → Y diferenciável é transversal a S e escrevemos f −t S se para todo x∈ X vale que ou f(x) /∈ S ou Dfx(TxX) + Tf (x)S = Tf (x)Y.
7.55 Proposição. Sejam X e Y variedades diferenciáveis, com S ⊆ Y subvari- edade. Suponha que dimS + dimX < dimY (i.e., dimX < codim S) com f : X → Y diferenciável. São equivalentes:
(i) f −t S
7.6. TRANSVERSALIDADE 107
Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponha que vale (i), e suponha, por absurdo, que
não vale (ii), então existe x∈ X tal que f(x) ∈ S. Segue que f −t S em x assim
Tf (x)S + (df )x(TxX) = Tf (x)Y, agora note que
dimY = dim(Tf (x)Y ) = dim(Tf (x)S + (df )x(TxX)) ≤ dim(Tf (x)S) +
dim((df )x(TxX))
dim(Tf (x)S) + dim((df )x(TxX)) ≤ dim(Tf (x)S) + dim(TxX) = dimS +
dimX < dimY, contradição. Vale (ii).
(i) ⇐ (ii) Se para todo x ∈ X temos que f(x) /∈ S, segue da definição que
f −t S. Vale o desejado.
7.56 Proposição. Sejam X e Y variedades diferenciáveis, S ⊆ Y subvariedade, com n = dimX, m = dimY e s = dimS com f : X → Y diferenciável. Seja p ∈ Xe f (p) ∈ S. Suponha que exista V vizinhança de f(p) em Y e Ψ : V → Rm−s
(onde m− s = codimensão de S) tal que S ∩ V = Ψ−1(0).Existe p ∈ U ⊆ X aberto tal que f (U )⊆ V . Então
f −t S em p se, e somente se, Ψ ◦ f é uma submersão em p.
Note que tal V sempre existe, pois basta tomar a carta V de f (p) em Y com ψ : V → Rm e a decomposiçãoRm = Rs × Rm−stal que V ∩ S = {q ∈ V :
ψs+1(q) = ... = ψm(q) = 0}. Segue disso que ψ(V ∩S) = ψ(V )∩Rs×{0}, onde
{0} ⊆ Rm−s. Seja π : Rm =Rs× Rm−s → Rm−s. Note que ψ−1(Rs× {0}) =
V ∩ S = (π ◦ ψ)−1(0) onde {0} ⊆ Rm−s. Definimos Ψ := π ◦ ψ : V →
Rm−s. Observe que Dψ
f (p) : Tf (p)Y → Rm e Dψf (p) : Tf (p)S → Rs × {0}
são isomorfismos. Portanto Ψ é submersão em f (p), pois D(π◦ ψ)f (p)· Tf (p)Y =
Dπψ(f (p))· Dψf (p)· Tf (p)N = π◦ Rm =Rm−s.
Demonstração. Temos que p ∈ U ⊆ X fixo e arbitrário com f(p) ∈ S, assim p ∈ U ∩ f−1(S). Definimos Ψ ◦ f : U → Rm−s, note que U ∩ f−1(S) =
108 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE (Ψ ◦ f)−1(0) = (π ◦ ψ ◦ f)−1(0). Temos que D(Ψ ◦ f)p : TpX → Rm−s não-necessariamente isomorfismo. Note que: f −t S em p ⇐⇒ Dfp(TpX) + Tf (p)S = Tf (p)Y f −t S em p ⇐⇒ Dψf (p)· Dfp· (TpX) + Dψf (p)· Tf (p)S = Dψf (p)(Tf (p)Y ),
pois Dψf (p)é isomorfismo linear
f −t S em p ⇐⇒ D(ψ ◦ f)p· (TpX) +Rs× {0} = Rm
Mas π(E) =Rm−s⇐⇒ E + Rs× {0} = Rmse E é subespaço vetorial.
Assim, f −t S em p ⇐⇒ π(D(ψ ◦ f)p· (TpX)) =Rm−s f −t S em p ⇐⇒ D(π ◦ ψ ◦ f)p · (TpX) =Rm−s, pois π = Dπ(ψ◦f)(p) f −t S em p ⇐⇒ D(π ◦ ψ ◦ f)p · (TpX) =Rm−s f −t S em p ⇐⇒ D(Ψ ◦ f)p · (TpX) =Rm−s f −t S em p ⇐⇒ Ψ ◦ f é uma submersão em p. f −t S em p ⇐⇒ p é um ponto regular de Ψ ◦ f.
7.57 Observação. Como Ψ é submersão em f (p), se f for um difeo local em p, então Ψ◦ f é uma submersão em p, e portanto f −t S em p.
O seguinte corolário é imediato.
7.58 Corolário. Nas condições da proposição anterior, as seguintes condições são equivalentes:
(i) Se para todo p∈ U ∩ f−1(0)temos que f −t S em p.
(ii) Se para todo p ∈ U ∩ f−1(0) = (Ψ◦ f)−1(0)temos que p é um valor regular de Ψ◦ f : U → Rm−s.
7.6. TRANSVERSALIDADE 109
7.59 Teorema. Sejam X e Y variedades diferenciáveis com S subvariedade de Y . Seja f : X → Y diferenciável tal f −t S. Então f−1(S)é uma subvariedade de X onde codim f−1(S) = codim S.
Demonstração. Para cada p ∈ f−1(S), seja q = f (p), e tomemos um sistema de coordenadas ψ : V → Rm em Y com q ∈ V com p ∈ U aberto em X
tal que f (U ) ⊆ V nas condições da proposição anterior com U ∩ f−1(S) = (Ψ◦ f)−1(0) = (π◦ ψ ◦ f)−1(0). Como f −t em p pelo corolário anterior, temos que 0∈ Rm−sé um valor regular de Ψ◦ f : U → Rm−s. Daí, U∩ f−1(S)é uma
subvariedade de U , de dimensão n−(m−s). Assim, todo ponto p ∈ f−1(S)tem uma vizinhança U em X tal que U ∩ f−1(S) é uma subvariedade em U . Logo
f−1(S)é uma subvariedade em X.
7.60 Lema. Sejam X e Y variedades diferenciáveis com S subvariedade diferen- ciável de Y . Se S é fechado em Y então o conjunto
TS = {f ∈ C∞(X, Y ) : f −t S} é aberto na topologia de Whitney C1 ( e
portanto na Whitney C∞).
Demonstração. Defina ˜U = {j1f (x) ∈ J1(X, Y ) : f ∈ C∞(X, Y )| ou (i)
f −t S em x com x ∈ f−1(S)ou (ii) x /∈ f−1(S)}. Assim
M ( ˜U ) ={f ∈ C∞(X, Y )|∀x ∈ X temos que j1f (x) ∈ U} M ( ˜U ) ={f ∈ C∞(X, Y )|f −t S}
Como M ( ˜U ) = TS, basta mostrar que ˜U é aberto em J1(X, Y ), e portanto
TSé um aberto da topologia de Whitney C1. Ou equivalentemente, basta mostrar
que J1(X, Y )\ ˜U = F é fechado. Sejam σ
1, σ2, ... ∈ F tal que σn → σ, com
σ = j1f (x)para algum x∈ X. Devemos mostrar que σ ∈ F .
Temos que cada σi = j1fi(xi) ∈ F com fi ∈ C∞(X, Y ). Seja γ ∈ F
arbitrário, digamos γ = j1g(y). Afirmamos que g(y) ∈ S . Caso contrário,
g(y) /∈ S, teríamos que j1g(y) ∈ U, o que é uma contradição, pois ˜U ∩ F = ∅.
Segue que para todo i, fi(xi)∈ S.
Afirmamos que f (x) ∈ S. Temos que fi(xi) ∈ S com S fechado, suponha
por absurdo que f (x) /∈ S, então existe aberto A tal que f(x) ∈ A com A ∩ F =
110 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE j1fi(xi) ∈ J1(A), assim fi(xi) ∈ A, contradição. Logo f(x) ∈ S. Assim para
que σ = j1f (x)com f (x)∈ S (i.e, x ∈ f−1(S)) esteja em F devemos mostrar a
seguinte a afirmação:
Afirmação: f −t S em x não-ocorre.
Sejam (ϕ, U ) e (ψ, V ) cartas locais de x e f (x) em X e Y respectivamente tal que f (U ) ⊆ V e S ∩ V = ψ−1(Rs × {0}) onde s = dimS com n = dimX e
m = dimY com Ψ = π◦ ψ onde π : Rm → Rm−se ψ : V → Rm.
Usando essas cartas podemos reduzir o problema para o caso em que X =Rn,
Y =Rm, e S =Rs× {0} onde S claramente é fechado, agora ψ = Id, e Ψ = π.
Considere a função contínua η :Rn×S×Hom(Rn,Rm)→ Hom(Rn,Rm−s)
dada por η(x, t, B) = π◦ B = Ψ ◦ B, onde Hom(Rn,Rm−s)é conjunto das
funções lineares deRnparaRm−scom sua topologia usual induzida pela identi-
ficação comRn(m−s).
Defina G = {D ∈ Hom(Rn,Rm−s) : rankD < (m − s)}, note que
Hom(Rn,Rm−s)\ G é aberto (pois o posto é uma aplicação semi-contínua, não diminui), segue que G é fechado em Hom(Rn,Rm−s). Como η é contínua, temos
que η−1(G)é fechado emRn× S × Hom(Rn,Rm).
Temos que f −t S em p ⇐⇒ Ψ ◦ f é uma submersão em p, pelo lema anterior. Note que f −t S em p ⇐⇒ Ψ ◦ f é uma submersão em p f −t S em p ⇐⇒ π ◦ f é uma submersão em p f −t S em p ⇐⇒ D(π ◦ f)p · TpRn= Tπ◦f(p)Rm−s f −t S em p ⇐⇒ π · DfpRn=Rm−s f −t S em p ⇐⇒ π · Dfp ∈ G/
Sub-afirmação: Podemos identificar F como η−1(G)e vice-versa.
(⇒) De fato, seja j1g(y)∈ F , segue que g(y) ∈ S. Assim, devemos ter que g −t S em y não-ocorre. Pelo que acabamos de fazer, isso é quivalente a dizer que π· Dgy ∈ G.
Assim para cada j1g(y)∈ F identificamos com (y, g(y), Dg
7.6. TRANSVERSALIDADE 111 e π· Dgy ∈ G. Segue que (y, g(y), Dgy)∈ η−1(G).
(⇐) Seja (y, t, D) ∈ η−1(G), segue que π◦ D ∈ G. Existe h ∈ C∞(Rn,Rm) tal que h(y) = t e Dhy = D. Devemos mostrar que j1h(y) ∈ F . Como π ◦
Dhy ∈ G , pelo que fizemos acima, segue que h −t S em y não-ocorre. Assim,
j1h(y)∈ F , como desejado. Vale a sub-afirmação.
Como η−1(G)é fechado, segue que σ = j1f (x)com identificação (x, f (x), Df
x)∈
η−1(G), e portanto σ = j1f (x)∈ F e temos o desejado.
7.61 Corolário. Sejam X, Y, e Jr(X, Y )variedades diferenciáveis e S subvarie-
dade de Y tal que Si ⊆ S com Sifechado em Y . Então
Ti = {g ∈ C∞(X, Jr(X, Y )) : ou (i) g −t S em (g)−1(Si)ou (ii) x /∈
(g)−1(Si)} é aberto.
Demonstração. Defina ˜U ={jrf (x) ∈ J1(X, Y )|f ∈ C∞(X, Y )tal que∀x ∈
Xtemos que ou (i) f −t S em f−1(Si)ou (ii) x /∈ f−1(Si)}. Note que M( ˜U ) =
Ti, pois
M ( ˜U ) ={f ∈ C∞(X, Y )| ∀x ∈ X, jrf (x)∈ U}
M ( ˜U ) = {f ∈ C∞(X, Y )| ∀x ∈ X, ou (i)f −t S em f−1(Si)ou (ii)x /∈
f−1(Si)}
M ( ˜U ) = Ti
Se mostrarmos que ˜U é aberto de J1(X, Y ), segue que T
i é aberto. Defina
F = J1(X, Y )\ ˜U, devemos mostrar que F é fechado. Seja Limi→∞j1fi(xi) =
j1f (x)com j1f
i(xi)∈ F .
De maneira análoga, para γ ∈ F arbitrário, digamos γ = j1g(y). Temos que
g(y)∈ Si, e portanto f (x)∈ Si. Assim para que σ = j1f (x)com f (x)∈ Si(i.e,
x∈ f−1(Si)) esteja em F devemos mostrar a seguinte a afirmação:
Afirmação: f −t S em x não-ocorre.
A partir de agora, a demonstração é igual a anterior basta fazer a seguinte alteração na definição de η : Rn × S
i × Hom(Rn,Rm) → Hom(Rn,Rm−s)
112 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE 7.62 Lema. Sejam X, Y, B variedades diferenciáveis com S subvariedade de Y . Seja j : B → C∞(X, Y )função (não-necessariamente contínua) e defina Φ : B× X → Y tal que Φ(b, x) = j(b)(x). Suponha que Φ é diferenciável e Φ −t S. Então o conjunto
{b ∈ B|j(b) −t S} é denso em B.
Demonstração. Pelo teorema7.59, temos que SΦ := Φ−1(S)é uma subvariedade
de B× X. Seja ˜π : B × X → B projeção e ˜π|SΦ = π : B× X → B.
Note que b /∈ Im(π) ⇒ j(b)(X)∩S = ∅. De fato, se j(b)(X)∩S ̸= ∅, existe
x∈ X tal que y = j(b)(x) ∈ S, mas Φ(b, x) = y, assim (b, x) ∈ Φ−1(S) = SΦ,
e portanto π(b, x) = b∈ Im(π) .
Segue que para b /∈ Im(π) ⇒ j(b)(X) ∩ S = ∅, e portanto j(b) −t S. Assim,
B\ Im(π) ⊆ {b ∈ B|j(b) −t S}. (Caso 1) dimSΦ < dimB
Segue que π(SΦ) = Im(π)possui medida nula em B pelo Corolário7.10.
Assim B\ Im(π) é denso em B, e portanto {b ∈ B|j(b) −t S} é denso em B.
(Caso 2) dimSΦ ≥ dimB
Como o conjunto dos valores críticos de π tem medida nula em B pelo Te- orema de Sard, temos que o conjunto dos valores regulares de π é denso em B. Logo basta mostrar que para todo b ∈ Im(π) valor regular temos que j(b) −t S. (Pois daí teremos que{b ∈ B : b valor regular de π } ⊆ {b ∈ B|j(b) −t S}, e portanto{b ∈ B|j(b) −t S} é denso em B e teremos o desejado.)
Seja b∈ B valor regular de π. Fixe (b, x).
(Sub-caso 1)
Se (b, x) /∈ SΦ. Afirmamos que j(b)(x) /∈ S. Suponha que não, assim
j(b)(x) ∈ S, e portanto (b, x) ∈ Φ−1(S) = SΦ, contradição, vale a afirmação.
Como j(b)(x) /∈ S, segue que j(b) −t S em x.
(Sub-caso 2)
7.6. TRANSVERSALIDADE 113 projeção com dimSΦ ≥ dimB. Assim,
T(b,x)B× X = T(b,x)B + T(b,x){b} × X = T(b,x)SΦ+ T(b,x){b} × X
Aplicando (DΦ)(b,x)em ambos os lados,
(DΦ)(b,x)T(b,x)B × X = (DΦ)(b,x)T(b,x)SΦ+ (DΦ)(b,x)T(b,x){b} × X
Agora, note que:
(i) (DΦ)(b,x)T(b,x)SΦ= TΦ(b,x)Φ(SΦ) = Tj(b)(x)Φ(SΦ)⊆ Tj(b)(x)S = TΦ(b,x)S
(ii) (DΦ)(b,x)T(b,x){b} × X = TΦ(b,x)Φ({b} × X) = TΦ(b,x)Φ({b} × X) =
= TΦ(b,x)Φ({b} × X) = TΦ(b,x)j(b)(X) = Tj(b)(x)j(b)(X) = (dj(b))xTxX
Assim, (DΦ)(b,x)T(b,x)B× X = Tj(b)(x)Φ(SΦ) + (dj(b))xTxX
Mas Φ −t S segue que:
Tj(b)(x)Y = TΦ(b,x)Y = TΦ(b,x)S + (DΦ)(b,x)T(b,x)B× X Assim, Tj(b)(x)Y = Tj(b)(x)S + (DΦ)(b,x)T(b,x)B× X = = Tj(b)(x)S + (Tj(b)(x)Φ(SΦ) + (dj(b))xTxX) = (Tj(b)(x)S + Tj(b)(x)Φ(SΦ)) + (dj(b))xTxX = = Tj(b)(x)S + (dj(b))xTxX Logo, Tj(b)(x)Y = Tj(b)(x)S + (dj(b))xTxX, e j(b) −t S em x.
7.63 Corolário. Seja G : B × X → Y uma função diferenciável com G(b, x) = gb(x). Seja Φ : B × X → Jr(X, Y )diferenciável tal que Φ(b, x) = jrgb(x)e
assuma que Φ −t S onde S é uma subvariedade de Jr(X, Y ). Então {b ∈ B :
jrg
b −t S} é denso em B.
Demonstração. Defina j : B → C∞(X, Jr(X, Y )) com j(b) = jrg
b, e segue
114 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE 7.64 Teorema. (Teorema de Transversalidade para Jatos)
Sejam X e Y variedades diferenciável e seja S subvariedade de Jr(X, Y ). Então
TS ={f ∈ C∞(X, Y ) : jrf −t S}
é a intersecção enumerável de abertos densos na topologia de Whitney C∞ (e portanto denso, pois C∞(X, Y )é espaço de Baire nessa topologia).
Demonstração. Vamos mostrar que TSé a intersecção enumerável de abertos den-
sos em (C∞(X, Y ), topologia de Whitney C∞). Para isso iremos construir uma cobertura aberta enumerável de S S1, S2, ...tal que para cada i ∈ N temos que
Si satisfaz as seguintes condições:
(i) Si ⊆ S com Sicompacto.
(ii) Existe Uiuma vizinhança coordenada em X com Uicompacto e Viuma
vizinhança coordenada em Y tal que (α× β)(Si)⊆ Ui× Vionde α× β :
Jr(X, Y )→ X × Y , i.e., α(S
i)⊆ Uie β(Si)⊆ Vi.
De fato, para cada σ ∈ S ⊆ Jr(X, Y )com fonte α(σ) = p ∈ X e alvo
β(σ) = q ∈ Y existem cartas (ϕσ, Uσ)em X para p e (ψσ, Vσ) em Y para q,
s.p.g. podemos supor Uσ compacto. Como Uσ e Vσ são abertos de X e Y res-
pectivamente, temos que Uσ × Vσ é aberto em X × Y , assim como α × β é
contínua, temos que σ ∈ (α × β)−1(Uσ × Vσ)é aberto em Jr(X, Y ). Como S
é locamente compacto, existe Kσ vizinhança compacta de σ tal que σ ∈ Kσ ⊆
(α×β)−1(Uσ×Vσ)∩S, como S é T3, existe Sσaberto tal que σ ∈ Sσ ⊆ Sσ ⊆ Kσ,
assim Sσ é compacto (pois é um fechado em um compacto). Daí temos que
σ∈ Sσ ⊆ Sσ ⊆ (α × β)−1(Uσ× Vσ)∩ S, segue que α(Sσ)⊆ Uσe β(Sσ)⊆ Vσ.
Assim S = ∪σ∈SSσ, como S é segundo enumerável, temos que existe uma
subcobertura enumerável de S, daí S = ∪i∈NSi com Si satisfazendo as condi-
ções acima para cada i∈ N. Vale a construção.
Defina TSi = {f ∈ C∞(X, Y ) : ∀x ∈ X vale que ou (i)jrf −t S em
(jrf )−1(Si)ou (ii)jrf (x) /∈ Si}.
Afirmação 1: TS =
∩
i∈NTSi
(⊆) Seja f ∈ TS, assim para todo x ∈ X temos que jrf −t S em x. Fixe i
árbitrário, com x ∈ X fixo, se jrf (x) /∈ S
7.6. TRANSVERSALIDADE 115 hipótese que jrf −t S em x. Assim, f ∈ T
Sipara todo i, temos que f ∈
∩
i∈NTSi.
(⊇) Seja f ∈∩i∈NTSicom x∈ X fixo e arbitrário. Se jrf (x) /∈ S, temos que
jrf −t S em x. Se jrf (x)∈ S =∪i∈NSi, existe i tal que jrf (x)∈ Si ⊆ Si, mas
f ∈ ∩i∈NTSi, segue que f ∈ TSi, e portanto jrf −t S em x, temos o desejado.
Vale a afirmação.
Devemos mostrar portanto que cada TSi é aberto e denso.
(Cada TSié aberto). Defina Ti ={g ∈ C∞(X, Jr(X, Y )) :∀x ∈ X vale que
ou (i)g −t S em (g)−1(Si)ou (ii)x /∈ (g)−1(Si)}. Note que (jr)−1(Ti) = TSi,
pois:
f ∈ (jr)−1(T
i)⇔ jrf ∈ Ti ⇔
∀x ∈ X vale que ou (i)jrf −t S em (jrf )−1(S
i)ou (ii)x /∈ (jrf )−1(Si)⇔
f ∈ TSi, temos o desejado.
Assim, (jr)−1(T
i) = TSi, como jr : C∞(X, Y ) → C∞(X, Jr(X, Y )) é
contínua, e Tié aberto pelo corolário7.61, obtemos que TSié aberto.
(Cada TSié denso). Seja f ∈ C∞(X, Y ).
Temos que α(Si) ⊆ Ui com Si compacto, segue que ϕi(α(Si)) ⊆ ϕi(Ui),
onde ϕi(α(Si))é compacto e ϕi(Ui)é aberto, assim existe Oiaberto tal que ϕi(α(Si))⊆
Oi ⊆ Oi ⊆ ϕ(Ui). Podemos escolher uma partição da unidade η diferenciável
subordinada a cobertura aberta{ϕi(Ui),Rn \ Oi} com η : Rn → [0, 1] tal que
η = 1em Oi e η = 0 fora de ϕi(Ui).
De modo análogo, como β(Si)⊆ Vi, existe Oi′aberto de Rmtal que ψi(β(Si))⊆
Oi′ ⊆ O′i ⊆ ψ(Ui), e existe uma partição da unidade η′diferenciável subordinada
a cobertura aberta{ψi(Vi),Rm\ O′i} com η : Rm → [0, 1] tal que η′ = 1em Oi′
e η = 0 fora de ψi(Vi).2
Seja B′o espaço das funções deRm → Rm nos quais todas as funções coor-
denadas são polinômios de grau r. Note que a topologia usual de B′ faz de B′
2Note que η e η′são diferenciáveis pois toda cobertura aberta de variedade diferenciável ad-
116 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE
uma varieadade diferenciável. Para cada b∈ B′definimos gb : X → Y como:
gb(x) = f (x)se x /∈ Ui, e
gb(x) = ψi−1(ψi(f (x)) + b(ϕi(x))η(ϕi(x))η′(ψi(x))), se x∈ Ui
Note que para todo b∈ B′temos que gbé uma função diferenciável de X em
Y. Além disso, repare que gb é uma pertubação polinomial de f a qual é igual a
ffora de Ui. Repare que g0 = f.
Defina G : B′ × X → Y como G(b, x) = gb(x), pela expressão de G(b, x)
segue que também G é diferenciável.
Defina Φ : B′ × X → Jr(X, Y ) como Φ(b, x) = jrg
b(x). Como G :
B′ × X → Y com G(b, x) = gb(x)é diferenciável, pelo teorema 7.35, item
(iii), temos que jrG : B′× X → Jr(B× X, Y ) é diferenciável, o que segue que
Φé diferenciável.
Para aplicar o corolário7.63, devemos mostrar que vale a seguinte:
Afirmação 2 : Existe uma vizinhança aberta B de 0 em B′tal que Φ|B×X −t S
em alguma vizinhança aberta de Φ−1(Si).
Seja ϵ = 1
2min{d(supp(η′),R
m\ ψ
i(Vi)), d(ψi(β(Si)),Rm\ Oi′)}, onde d é
a métrica euclideana. Defina B := {b ∈ B′|∀x ∈ supp(η) : |b(ϕi(x))| < ϵ},
note que 0 ∈ B. Seja ∆ = B × X ∩ Φ−1(Si), vamos mostrar que Φ|∆ é um
difeomorfismo local C∞(e isso basta, pela observação7.57).
De fato, tome (b, x)∈ ∆ = B × X ∩ Φ−1(Si), temos que b∈ B e Φ(b, x) =
jrg
b(x) ∈ Si, daí gb(x) ∈ β(Si) ⊆ Vi e x ∈ α(Si) ⊆ Ui segue que ϕi(x) ∈
ϕi(α(Si)⊆ Oi, daí η(ϕi(x)) = 1.
Como x∈ Ui, temos que gb(x) = ψ−1i (ψi(f (x))+b(ϕi(x))η(ϕi(x))η′(ψi(x))) =
ψi−1(ψi(f (x)) + b(ϕi(x))η′(ψi(x))).
Seja z = d(ψi(f (x)), ψi(gb(x))). Segue que ψigb(x) = ψi(f (x))+b(ϕi(x))η′(ψif (x)).
Note que f (x) ∈ Vi, caso tivéssemos f (x) /∈ Vi, teríamos que η′(ψif (x)) =
0, e assim ψigb(x) = ψi(f (x)), logo f (x) = gb(x) ∈ Vi contradição. Assim,
0 < η′(ψif (x))≤ 1. Segue que:
7.6. TRANSVERSALIDADE 117
|b(ϕi(x))| < ϵ, pois 0 < η′(ψif (x))≤ 1. Logo z = d(ψi(f (x)), ψi(gb(x))) < ϵ.
Observamos também que ψi(f (x))∈ O′i. De fato, caso contrário, ψi(f (x)) /∈
Oi′, como gb(x) ∈ β(Si), consideremos z = d(ψi(f (x)), ψi(gb(x))). Mas pelo
que acabamos de fazer z < ϵ e por definição de ϵ, ϵ < z, contradição. Portanto
ψi(f (x))∈ O′i, e daí η′(ψi(f (x))) = 1.
Assim, para (b, x)∈ ∆ temos que x ∈ Ui, daí
gb(x) = ψi−1(ψi(f (x)) + b(ϕi(x))η(ϕi(x))η′(ψi(x))) = ψi−1(ψi(f (x)) +
b(ϕi(x))). Segue que para (b, x)∈ ∆ temos que x ∈ Ui, daí Φ(b, x) = jrgb(x) =
jr(ψ−1
i (ψi(f (.)) + b(ϕi(.))))(x) (*). Por continuidade da Φ, existe uma vizi-
nhança aberta W(b,x)de (b, x) tal que vale (*).
Considere σ = jrg(y) ∈ Φ|
∆(W(b,x)) ⊆ Jr(X, Y ), seja b′ o polinômio
de B tal que σ = jrg(y) = (ψ−1
i (ψi(f (.)) + b′(ϕi(.))))(y). A função Γ :
Φ|∆(W(b,x)) → B × X dada por Γ(σ) = Γ(jrg(y)) = Γ(jr(ψ−1i (ψi(f (.)) +
b′(ϕi(.))))(y)) = (b′, y)é diferenciável e é bijetora.
Vamos mostrar que Γ é bijeção com W(b,x), sejam Γ(σ1) = Γ(σ2)com σ1 =
jrg(y) = (ψi−1(ψi(f (.)) + b′(ϕi(.))))(y) e σ2 = jrh(z) = (ψi−1(ψi(f (.)) +
b′′(ϕi(.))))(z). Portanto Γ(σ1) = (b′, y) = (b′′, z) = Γ(σ2), daí b′ = b′′e y = z
segue daí que σ1 = σ2. Seja (b′′′, x′) ∈ W(b,x), pelo parágrafo anterior, temos
que Φ(b′′′, x′) = jrgb′′′(x′) = jr(ψi−1(ψi(f (.)) + b′′′(ϕi(.))))(x′), basta tomar
σ3 = jrgb′′′(x′)e segue o desejado.
Segue que Φ é um difeo local na vizinhança aberta W(b,x) de (b, x). Vale a
afirmação 2.
Como vale a afirmação 2, pelo corolário 7.63, temos que A = {b ∈ B :
jrg
b −t S em uma vizinhança aberta de Φ−1(Si)} é denso em B. Como 0 ∈ B,
existe bn → 0 com bn ∈ A. Considere gbn : X → Y com bn ∈ A. Segue que
gbn ∈ TSi ={f ∈ C∞(X, Y ) :∀x ∈ X vale que ou (i)jrf −t S em (jrf )−1(Si)
ou (ii)jrf (x) /∈ S i}.
Afirmação 3: gbn → f na topologia de Whitney C∞em C∞(X, Y ).
Pela proposição7.42, basta mostrar que para todo s ∈ N ∪ {0} temos que
gbn → f na topologia de Whitney Csem C∞(X, Y ). Fixado s∈ N, pela propo-
sição7.44, temos que mostrar que: Existe um compacto Ks ⊆ X tal que:
118 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE
(a) jsgbn converge uniformemente para jsfem Ks
(b) existe n0 tal que para n ≥ n0temos que ds(jsgbn(x), jsf (x)) = 0para
todo x /∈ Ks.
Considere Ks = Ui compacto. Vejamos:
(b) Qualquer que seja bn onde bn → 0 quando nto∞. Temos que se x /∈
Ks = Ui, segue que x /∈ Ui, então segue da definição que gbn(x) = f (x), assim
jsgbn(x) = jsf (x), e portanto ds(jsgbn(x), jsf (x)) = 0para todo x /∈ Ui, temos
o desejado.
(a)Vamos mostrar que jsg
bnconverge uniformemente para jsfem Ui. Para
cada n∈ N, defina λn : X → R tal que λn(x) = ds(jsf (x), jsgbn(x)), como Uié
compacto, existe xn∈ Uital que ds(jsf (x), jsgbn(x)) ≤ ds(jsf (xn), jsgbn(xn))
para todo x∈ Ui, defina max(n) := ds(jsf (xn), jsgbn(xn)).
Como G : B′×X → Y com G(b, x) = gb(x)é diferenciável, pelo teorema de
jatos, item (d), temos que jsG : B′× X → Js(B× X, Y ) é diferenciável. Agora,
também jsf : X → Js(X, Y )é contínua, pois f : X → Y é contínua. Repare
que como Ui é compacto, f (Ui)é compacto. Note que para todo n, xn ∈ Ui
compacto e f (xn)∈ f(Ui)compacto também.
Sub-afirmação: limn→∞max(n) = 0
Suponha que não, então existe δ > 0 tal que para infintos n′s, digamos n′ks,
temos que max(nk)≥ δ > 0. Assim, ds(jsf (xnk), jsgbnk(xnk))≥ δ > 0.
Como para todo n,xn ∈ Ui compacto e f (xn) ∈ f(Ui)compacto também.
Por compacidade, podemos supor s.p.g. que limxnk = x0 ∈ Uiquando k tende
para o infinito. Segue que limk→∞jsf (xnk) = jsf (x0)e limk→∞jsG(gbnk, xnk) =
jsG(lim k→∞(gbnk, xnk)) = jsG(g0, x0) = jsg0(x0) = jsf (x0). Agora, ds(jsf (x nk), jsgbnk(xnk))≥ δ > 0 ds(jsf (xnk), jsG(bnk, xnk))≥ δ > 0 limk→∞ds(jsf (xnk), jsG(bnk, xnk))≥ δ > 0 ds(limk→∞jsf (xnk), limk→∞j sG(b nk, xnk))≥ δ > 0 0 = ds(jsf (x
7.6. TRANSVERSALIDADE 119 afirmação.
Agora, dado ϵ > 0 arbitrário como limn→∞max(n) = 0, existe n0 tal que
para n ≥ n0 temos que max(n) < ϵ segue que ds(jsf (x), jsgbn(x)) < ϵpara
todo x∈ Ui, e vale (a).
Como vale a afirmação 3, temos qualquer que seja a vizinhança V de f , te- mos que V ∩ TSi ̸= ∅, donde se concluir que TSi é denso, pois f foi tomada
arbitrariamente em C∞(X, Y ). O que prova o teorema.
7.65 Corolário. Sejam X e Y variedades diferenciáveis com S subvariedade de Jr(X, Y )tal que α(S) ⊆ U onde U é um subconjunto aberto de X. Seja f ∈
C∞(X, Y )e Vf uma vizinhança aberta de f em C∞(X, Y ). Então existe uma
função diferenciável g : X → Y em Vf tal que g = f fora de U e jrg −t S.
Demonstração. Fixado uma f ∈ C∞(X, Y )Definiríamos TS′ como{g ∈ C∞(X, Y ) :
jrg −t S e g = f fora de U}. Como estamos supondo α(S) contido em algum
aberto U de X, na construção anterior devemos escolher os Ui′sabertos tais que
Ui ⊆ U. De modo análogo, definimos TSi′ = {g ∈ C∞(X, Y ) :temos que
g = f fora de Ui e para todo x ∈ X vale que ou (i) jrg −t S em jrg−1(Si)
ou (ii)x /∈ jrg−1(S
i)}. Assim para x /∈ U, temos que x /∈ Ui, e portanto as
pertubações gb são iguais a f fora de U . Seguindo a demonstração do teorema,
concluímos que TS′ é denso, e segue que existe g ∈ Vf tal que jrg −t S e g = f
fora de U .
7.66 Teorema. (Teorema de Transversalidade de Thom)
Sejam X e Y variedades diferenciáveis com S subvariedade de Y . Então
(i) o conjunto{f ∈ C∞(X, Y )|f −t S} é denso, e se S é fechado então esse
conjunto é também aberto.
(ii) Sejam U1e U2subconjuntos abertos de X com U1 ⊆ U2. Seja f ∈ C∞(X, Y )
e Vf uma vizinhança aberta de f em C∞(X, Y ). Então existe uma função
diferenciável g : X → Y em Vf tal que g = f em U1e g −t S fora de U2.
Demonstração. (i) Lembre que J0(X, Y ) = X × Y e j0f (x) = (x, f (x)). A
120 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE
submersão, então β−1(S)é uma subvariedade de J0(X, Y ) = X× Y . Note que
j0f : X → X × Y = J0(X, Y ).
Afirmação: Se j0f −t β−1(S)em x então f −t S em x
Seja x ∈ X fixo e arbitrário. Se f(x) /∈ S, então f −t S em x e temos o desejado. Se f (x) ∈ S, logo (x, f(x)) ∈ β−1(S). Segue da hipótese que j0f −t
β−1(S)em x, daí
T(x,f (x))X×Y = T(x,f (x))β−1(S)+(dj0f )x(TxX), aplicando agora (dβ)(x,f (x))
em ambos os lados, obtemos
(dβ)(x,f (x))T(x,f (x))X×Y = (dβ)(x,f (x))T(x,f (x))β−1(S)+(dβ)(x,f (x))(dj0f )x(TxX)
mas
a) (dβ)(x,f (x))T(x,f (x))X × Y = Tβ(x,f (x))β(X × Y ) = Tf (x)β(X × Y ) =
Tf (x)Y
b) (dβ)(x,f (x))T(x,f (x))β−1(S) = Tf (x)β(β−1(S))⊆ Tf (x)S
c)Note que f = β ◦ j0f. Daí
(dβ)(x,f (x))(dj0f )x(TxX) = d(β◦ j0f )x(TxX) = (df )x(TxX)
Obtemos que:
Tf (x)Y = Tf (x)β(β−1(S)) + (df )x(TxX), no que segue que:
Tf (x)Y = Tf (x)S + (df )x(TxX), e portanto f −t S em x. Vale a afirmação.
Acabamos de mostrar que {f ∈ C∞(X, Y ) : j0f −t β−1(S)} ⊆ {f ∈
C∞(X, Y ) : f −t S}. Agora, pelo teorema anterior, {f ∈ C∞(X, Y ) : j0f −t
β−1(S)} é denso, logo {f ∈ C∞(X, Y ) : f −t S} é denso também. Por fim, se
Sé fechado basta aplicar diretamente o lema7.60, e portanto{f ∈ C∞(X, Y ) :
j0f −t β−1(S)} é aberto, vale (i).
(ii)Note que S′ = β−1(S)∩ (X × Y \ α−1(U2))é uma subvariedade de
X× Y pois X × Y \ α−1(U2)é um aberto de X× Y . Note que α(S′)⊆ X \ U1,
pois S′ ⊆ X × Y \ α−1(U2), onde U := X \ U1 é aberto, logo pelo corolário 7.65temos que existe uma g : X → Y em Vf tal que j0g −t S′e g = f fora de U .
7.6. TRANSVERSALIDADE 121 portanto g = f em U1. Note que j0g −t S′ se, e somente se, j0g −t β−1(S′)fora
de U2, decorre diretamente da definição de S′. Logo j0g −t β−1(S′)fora de U2, e
portanto g −t S′ fora de U2 como em (i). Vale (ii), e temos o desejado.
Existe uma generalização do teorema de transversalidade o qual é muito útil para o estudo da injetividade de funções diferenciáveis. Precisamos de algumas definições. Sejam X e Y variedades diferenciáveis. Lembre que Xs = X× X ×
...× X produto cartesiano (s-vezes), seja ∆Xsa ‘‘diagonal” de Xs, assim ∆Xs =
{(x1, ..., xs) ∈ Xs : x1 = x2 = ... = xs}. Defina X(s) := Xs \ ∆Xs. Seja
α : Js(X, Y )→ X a função fonte, e β : Js(X, Y )→ Y a função alvo. Definimos
o s-fold fonte e alvo funções como:
αs : (Jr(X, Y ))s → Xsdada por (jrf 1(p1), ..., jrfs(ps)) 7→ (p1, ..., ps) ∈ Xsonde f1, ..., fs ∈ C∞(X, Y ). βs : (Jr(X, Y ))s → Ysdada por (jrf 1(p1), ..., jrfs(ps))7→ (f1(p1), ..., fs(ps))∈ Ysonde f 1, ..., fs ∈ C∞(X, Y ). Definimos Jr
s(X, Y ) := (αs)−1(X(s))chamado de s-fold r-jato fibrado. Note
que X(s)e Jr
s(X, Y )são abertos de Xse (Jr(X, Y ))srespectivamente, e portanto
são variedades diferenciáveis. Agora considere f : X → Y função diferenciável, podemos definir s-fold r-prologação como sendo a seguinte função:
jr
s : X(s) → Jsr(X, Y )dada por (p1, ..., ps)7→ (jrf (p1), ..., jrf (ps)).
Apresentamos agora a generalização do teorema de transversalidade para jatos da qual a prova será omitida (veja (??) p. 57-59), isso por que a idéia principal da demonstração desse teorema é a mesma do teorema de transversalidade para jatos.
7.67 Teorema. (Teorema de transversalidade para Multijatos) Sejam X e Y vari- edades diferenciáveis com Z subvariedade de Jr
s(X, Y ). Seja
TZ ={f ∈ C∞(X, Y )|jsr−t Z}
Então TZé um subconjunto residual de C∞(X, Y ). Mais ainda se Z é compacto
então TZé aberto.
7.68 Observação. Dizer que tranversalidade é uma propriedade genérica significa, do ponto de vista físico, que apenas aplicações transversais são observáveis. Neste sentido, quase todas as aplicações são transversais.
122 CAPÍTULO 7. TRANSVERSALIDADE