Topologiadiferencial2016

Luciana Salgado

Notas de aula de Topologia Diferencial

Luciana Salgado

Notas de aula de Topologia Diferencial

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© 2016 Luciana Salgado.

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) Universidade Federal da Bahia, ba, Brasil

Salgado, Luciana.

Topologia Diferencial. / Luciana Salgado. – Bahia: Universidade Federal da Bahia, 2016.

Bibliografia.

ISBN XXXX-XXXX-XX.

Sumário

1 Conceitos topológicos 3

2 Conceitos algébricos 13

3 Análise em espaços euclideanos 17

4 Variedades Diferenciáveis 29

4.1 Variedades diferenciáveis. . . 30

5 Espaço tangente e derivada 39 6 Partições da unidade 57 7 Transversalidade 69 7.1 Transversalidade . . . 69

7.2 Teorema de Sard . . . 74

7.3 Variedades com bordo . . . 78

7.4 Jatos . . . 86

7.5 Topologia de Whitney C∞ . . . 91

7.6 Transversalidade . . . 106

7.7 Teorema do Mergulho de Whitney . . . 122

8 Homotopia 127 8.1 Teoria do Grau . . . 127

8.2 Recobrimentos e Variedades orientáveis. . . 153

9 Fibrados 163

10 Álgebra Exterior e integração 167

ii SUMÁRIO

Lista de Figuras

5.9 Imersão (não mergulho) . . . 47

5.10 Diagrama 5 . . . 47 5.11 Diagrama 6 . . . 48 5.12 Diagrama 7 . . . 50 5.13 Diagrama 8 . . . 51 7.1 Transversal . . . 71 7.2 Não transversal . . . 71 8.1 Levantamento de g . . . 155 8.2 Levantamento de f . . . 156 9.1 Carta de fibrado . . . 164 9.2 Aplicação de fibras . . . 166 iii

Lista de Tabelas

Introdução

Este texto corresponde às notas de aulas de Topologia Diferencial lecionado no primeiro semestre de 2016 para o curso de Doutorado em Matemática da Univer-sidade Federal da Bahia.

O assunto é muito amplo e requer conhecimentos de diversas áreas da mate-mática, então longe de minhas pretensões querer esgotá-lo em um único semestre letivo. Isto estará em constante construção, independente do tempo.

Começa-se com alguns pré-requesitos de topologia geral, análise e álgebra. Em seguida,

Todas as estruturas aqui estudadas, exceto menção contrária, serão de classe

C∞. Isto vai facilitar nossas contas, evitando sobrecarga nas notações e índices.

Capítulo 1

Conceitos topológicos

Vejamos alguns conceitos e resultados iniciais que dizem respeito aos funda-mentos de topologia e análise necessários para o entendimento do restante do texto. Recomendo os textos (??????).

Espaços topológicos

Apresentam-se agora alguns conceitos úteis na teoria de conjuntos e de espa-ços topológicos.

Relação de equivalência

Uma relação sobre um conjunto A é um subconjunto

Rdo produto cartesiano A× A. Notação: xRy ou (x, y) ∈ R, ou x ∼ y e lê-se ‘‘x relaciona-se com y por R′′. Adotaremos aqui o símbolo∼ para denotar uma relação.

Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação R sobre A que satisfaz às seguintes propriedades:

1. Reflexividade: x∼ x, ∀x ∈ A; 2. Simetria: Se x∼ y, então y ∼ x;

3. Transitividade: Se x∼ y e y ∼ z, então x ∼ z 3

4 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS 1 Exercício. Dê exemplos de relações que não sejam de equivalência. Dê exemplo de uma relação de equivalência.

Dada uma relação de equivalência∼ sobre um conjunto A e x ∈ A, dizemos que o conjunto

E ={y; y ∼ x}

é a classe de equivalência de x. Também dizemos que x é um representante da classe de equivalência E ou que E é determinada por x.

Note que a classe de equivalência é um conjunto não-vazio, pois contém x, uma vez que x∼ x.

Uma propriedade fundamental dessas classes é que x relaciona-se com y se, e somente se, ambos pertencem à mesma classe de equivalência. Ou seja, o con-junto A de todas as classes de equivalência é a união disjunta delas.

A demonstração aqui apresentada segue (??).

1.1 Lema. Duas classes de equivalência E1e E2ou são disjuntas ou são iguais.

Demonstração. Sejam E1 e E2 as classes de equivalência dadas por x1 e x2,

res-pectivamente. Suponha que E1∩ E2 ̸= ∅.

Tome y ∈ E1∩ E2. Então, por definição, temos y ∼ x1 e y∼ x2.

E1 E2

z

x1 y x2

Figura 1.1:

Pela propriedade de transitividade temos x1 ∼ x2, implicando que x1 ∈ E2.

Como x1é um representante de E1, i.e., todo z ∈ E1é tal que z ∼ x, novamente

por transitividade, temos z ∈ E2. Portanto, E1 ⊂ E2.

A condição E2 ⊂ E1é demonstrada de maneira análoga.

Logo, E1 = E2.

Pelo lema acima, obtemos uma decomposição do conjunto A numa união disjunta de elementos do conjunto de classes de equivalência, já que todos os ele-mentos de A pertencem a alguma dessas classes. Isto sugere a seguinte definição.

5

1.2 Definição. Uma partição de um conjunto A é uma coleção disjunta de subcon-juntos não-vazios de A cuja união é todo o A.

No que se refere ao estudo de um conjunto, dizer que temos uma partição de

Aou dizer que temos classes de equivalência em A tem o mesmo sentido.

1.3 Lema. Dada uma partiçãoP de A, existe uma única relação de equivalência sobre A que a determina.

Demonstração. SejaP uma partição de A. Defina seguinte relação ∼: x ∼ y se x, ypertencem ao mesmo elemento deP. Mostremos que ∼ é de equivalência.

Claramente, é uma relação simétrica. Também é óbvio que se x pertence ao mesmo elemento que y, digamos E, então y ∼ x, pois a união dos elementos de

P é todo o A.

A transitividade vem do fato de que os elementos de uma partição são dois a dois disjuntos.

Ainda, por definição, o conjunto das classes de equivalência dadas por∼ é exatamente o conjuntoP.

Vejamos a unicidade.

Suponha que existam duas relações de equivalência∼1,∼2que determinam

P. Dado x ∈ A, mostraremos que y ∼1 x⇔ y ∼2 x, o que implica∼1=∼2.

Seja E1 a classe de equivalência determinada por x pela relação∼1e seja E2

a classe de x pela relação∼2. Então, E1 ∈ P, logo é igual a um único elemento

P ∈ P contendo x. De modo similar, deve-se ter E2 = P. Portanto, {y ∈

A; y∼1 x} = E1 = P = E2 ={y ∈ A; y ∼2 x}. Donde segue o resultado.

Topologia Geral

Um espaço topológico nada mais é do que um conjunto de elementos arbitrá-rios no qual se define uma noção de continuidade. O conceito de continuidade, por sua vez, baseia-se em relações locais ou de vizinhança que são preservadas por uma “aplicação contínua” de um espaço no outro.

Uma topologiaT em um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X fechada para a união e para a interseção finita de elementos e que contém X e o conjunto vazio∅. Os elementos de T são chamados de conjuntos abertos. Dize-mos então que (X,T ) é um espaço topológico. Quando não houver necessidade de explicitar a topologia, denotaremos apenas por X.

6 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS

Dado um espaço topológico X, diremos que F ⊂ X é um conjunto fechado em X se seu complementar X\ F é um conjunto aberto.

Dado um subconjunto qualquer E ⊂ X, chamamos de fecho de E à interse-ção de todos os subconjuntos fechados de X contendo E. Denotamos o fecho de

Epor E.

Um ponto x de um espaço topológico X é dito ponto de acumulação de um conjunto A ⊂ X se toda vizinhança aberta de x contém algum ponto de A dife-rente de x. Denotamos o conjunto dos pontos de acumulação de A por A′.

2 Exercício. Considere um espaço topológico X.

1. Prove que o fecho de um subconjunto E ⊂ X é fechado em X. 2. Mostre que A⊂ X é fechado se, e somente se, A = A.

3. A = A∪ A′.

Seja M um espaço topológico.

1.4 Definição. Um espaço topológico M é dito Hausdorff se satisfaz as seguintes condições:

1. A cada ponto x corresponde ao menos uma vizinhança U (x); cada vizinhança U (x)contém o ponto x.

2. Se U (x) e V (x) são vizinhanças do mesmo ponto x, então existe uma vizi-nhança W (x) que é um subconjunto de ambos.

3. Se o ponto y ∈ U(x), existe uma vizinhança U(y) ⊂ U(x).

4. Para dois pontos distintos x, y existem duas vizinhanças U (x), U (y) disjun-tas.

O conceito de continuidade de uma aplicação pode então ser dado com res-peito à noção de vizinhança.

Uma aplicação f de um espaço topológico X sobre um subconjunto (próprio ou não) de um espaço topológico Y é dita contínua no ponto x se, para toda vizi-nhança U (y) do ponto y = f (x) existe uma vizivizi-nhança U (x) de x tal que todos os pontos de U (x) são levados em pontos de U (y) por f . Em outras palavras, a pré-imagem de qualquer aberto é um subconjunto aberto do domínio de f .

7

1.5 Lema. Se X e Y são espaços de Hausdorff com Y localmente compacto e f : X → Y contínua e própria então f é uma função fechada.

Demonstração. Seja Z um subconjunto fechado de X, e seja y ∈ f(Z), assim yi → y quando i → ∞ para yi ∈ f(Z). Seja V uma vizinhança compacta de

y, s.p.g, podemos supor todos os yi ∈ V . Assim, para todo i em N temos que

yi ∈ f(Z) ∩ V , segue que existem x1, x2, ... ∈ Z ∩ f−1(V )tais que f (xi) = yi.

Da compacidade de f−1(V ), temos que (xn)n possui subsequência

conve-gente em f−1(V ). Digamos que xnj converge para um x em f−1(V ). Como

(xnj)j também está contido em Z fechado, temos que x ∈ Z. Assim, f(xnj) =

ynj converge para f (x). Pela unicidade do limite, pois os espaços são de

Haus-dorff, temos que f (x) = y, donde y∈ Z, e temos o desejado.

Topologia e relação de ordem em um espaço

Se X é um conjunto simplesmente ordenado pela relação <, podemos definir uma topologia baseada na relação de ordem em X, chamada topologia de ordem.

Dados elementos a e b de X tais que a < b, os seguintes subconjuntos de X são chamados de intervalos determinados por a e b:

(a, b) ={x ∈ X; a < x < b} (a, b] ={x ∈ X; a < x ≤ b} [a, b) ={x ∈ X; a ≤ x < b} [a, b] ={x ∈ X; a ≤ x ≤ b}.

O primeiro, é chamado de intervalo aberto, o último de intervalo fechado e os dois do meio de intervalos semi-abertos.

Definimos a topologia de ordem como segue.

1.6 Definição. Seja X um conjunto com uma ordem simples, e suponha que X tem mais de um elemento.

Uma baseB da topologia de ordem é uma coleção de todos os conjuntos do tipo: 1. Todos os intervalos (a, b) em X;

2. Todos os intervalos [a0, b), onde a0é o menor elemento (se houver) de X;

8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS 1.7 Proposição. Sejam X um conjunto e B uma coleção de subconjuntos de X satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) Para cada U1, U2 ∈ B e cada x ∈ U1∩ U2, existe U ∈ B tal que x ∈ U ⊆

U1 ∩ U2.

(ii) Para cada x∈ X, existe U ∈ B tal que x ∈ U.

Então a coleçãoB∗, formada pelas uniões de subcoleções deB, é uma topologia sobre XeB é uma base para o espaço topológico (X, B∗).

Topologia relativa

Considere um espaço topológico (X,T ) e um subconjunto Y ⊂ X. A coleção

TY ={Y ∩ U; U ∈ T }

é uma topologia em Y chamada topologia induzida ou topologia de subespaço. Dizemos que o par (Y,TY)é um subespaço (topológico) de (X,T ). Os

con-juntos abertos são exatamente as interseções dos abertos de X com Y .

1.8 Lema. SeB é uma base para a topologia de X, então BY ={B ∩ Y ; B ∈ B}

é uma base para o subespaço Y .

Ao tratarmos com um espaço topológico X e um subespaço Y ⊂ X precisa-mos ter muito cuidado com o termo “conjunto aberto”. Deveprecisa-mos indicar o que significa um elemento ser da topologia de X ou de Y . Dizemos, então, que U é um conjunto aberto em Y (ou aberto relativo a Y ) se pertence à topologia de Y , em particular U ⊂ Y . Analogamente, dizemos que U é aberto em X se pertence à topologia de X.

Vejamos agora uma situação em que todo aberto em Y é também aberto em

X.

1.9 Lema. Seja Y um subespaço do espaço topológico X. Se Y é aberto em X, então todo aberto U em Y é também aberto em X.

Demonstração. Como U é aberto em Y , pode ser escrito como interseção de um

aberto V em X com Y , i.e., U = Y ∩ V . Já que Y é aberto em X, temos Y ∩ V aberto em X.

9 Um fato interessante é o comportamento da topologia relativa com relação ao produto de espaços topológicos.

1.10 Teorema. Se A é um subespaço de X e B é um subespaço de Y , então a topologia produto sobre A× B é a mesma que A × B herda como subespaço de X× Y .

3 Exercício.

Mostre queTY é uma topologia.

Prove o Lema1.8.

Espaços métricos e topologia induzida pela métrica

Uma métrica é uma função d : M × M → R definida num conjunto M que associa a cada par de pontos (x, y)∈ M × M um número real d(x, y), chamado distância entre x e y, que satisfaz às seguintes propriedades:

1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. d(x, y) = d(y, x); (simetria)

3. d(x, z)≤ d(x, y) + d(y, z). (desigualdade triangular)

1.11 Definição. Um espaço métrico é um par (M, d) formado por um conjunto e uma métrica nele definida.

Note que M é um conjunto arbitrário e a noção de “espaço métrico” depende apenas da possibilidade de definição da função d em M .

1.12 Proposição. Seja (M, τ ) espaço métrico com d : M × M → R+ _métrica

compatível com sua topologia. Então d é contínua. Métrica induzida

Dado um espaço métrico (M, d), qualquer subconjunto X ⊂ M pode ser visto como espaço métrico. Para isto, consideramos a restrição d|X×X, e assim dizemos

que X é um subespaço de M e a métrica em X é a induzida pela de M .

10 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS

1. A retaR munida com a distância d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R é um dos exemplos mais importantes de espaço métrico.

2. Qualquer conjunto M pode ser “metrizado” com a métrica “zero-um” dada por d : M × M → R, d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1, x ̸= y. (exercício: d é uma métrica.)

♢

Completude

Dizemos que uma sequência (xn)em um espaço métrico M é uma sequência de

Cauchy, se dado epsilon > 0, existe n0 ∈ N de modo que, para m, n > n0,

tem-se d(xm, xn) < ϵ.

A propriedade de uma sequência ser de Cauchy depende apenas dos seus termos, o que difere da propriedade de a sequência ser convergente (a qual de-pende de um ponto fixado). Entretanto, é fácil ver que toda sequência conver-gente é de Cauchy. De fato, seus termos, ao se aproximarem de um ponto fixado, aproximam-se uns dos outros também.

1.13 Definição. Dizemos que um espaço métrico M é completo se toda sequência de Cauchy em M converge.

1.14 Teorema. Seja M espaço métrico com uma métrica d completa, com K com-pacto em M e F fechado em M , então existem x0 ∈ K e y0 ∈ F tais que ∀x ∈ K

e∀y ∈ F vale que d(K, F ) = d(x0, y0)≤ d(x, y).

4 Exercício. 1. A reta é um espaço métrico completo. 2. O conjunto dos números racionaisQ não é completo.

3. Um subespaço fechado de um espaço métrico completo é completo. 4. O produto cartesiamo de n espaços métricos completos é completo.

Espaços de Banach e de Hilbert

Relembremos a definição de produto interno e norma.

Dado um espaço vetorial E, definimos um produto interno por uma função

11 1. ⟨x + x′, y⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x′, y⟩,

2. ⟨αx, y⟩ = α⟨x, y⟩ 3. ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩, 4. ⟨x, x⟩ > 0, se x ̸= 0.

Uma norma num espaço vetorial real E é uma função| · | : E → R, x 7→ |x|, tal que valem para x, y∈ E, α ∈ R:

1. x ̸= 0 ⇒ |x|; 2. |α · x| = |α||x|; 3. |x + y| ≤ |x| + |y|.

1.15 Observação. Note que todo produto interno induz uma norma em M , e toda norma induz uma métrica M , mas as implicações contrárias não necessariamente acontecem.

Um espaço vetorial normado completo é chamado de espaço de Banach. Por exemplo,Rn_{é um espaço de Banach.}

Um espaço vetorial com produto interno, completo com respeito à norma induzida, é chamado de espaço de Hilbert.

Por exemplo,Rn_{com o produto interno canônico⟨x, y⟩ =}∑n

Capítulo 2

Conceitos algébricos

Recordemos alguns conceitos algébricos.

Grupos

2.1 Definição. Um grupo é um par (G,·) formado por um conjunto não vazio G e uma função chamada operação de grupo· : G × G → G que satisfaz as seguintes condições:

1. Associatividade: x· (y · z) = (x · y) · z, ∀x, y, z ∈ G;

2. Existe elemento neutro ou identidade e tal que e· x = x · e = x, ∀x ∈ G; 3. Para cada x ∈ G existe um elemento inverso x−1tal que x−1·x = x·x−1 = e; Se a operação de grupo for denotada por + (grupo aditivo), então o elemento inverso será denotado−x.

O grupo é abeliano ou comutativo se e somente se x· y = y · x, ∀x, y ∈ G. Um grupo H é um subgrupo de G se H ⊂ G e a operação de grupo de H é a mesma de G, restrita a H × H. Denotaremos por H < G quando H for um subgrupo de G . Dizemos que um subgrupo H é normal se x· H = H · x para cada x∈ G.

Se H é um subgrupo de G, chamamos de coset à esquerda de H a qualquer subconjunto da forma x· H para algum x ∈ G, e denotamos por G/H à coleção

14 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ALGÉBRICOS

de todos os cosets à esquerda de H. Se H é normal e A e B pertencem a G/H, então A· B ∈ G/H. Além disso, com esta operação, G/H é um grupo chamado de quociente ou grupo fator.

Uma função entre dois grupos f : G→ H é um homomorfismo se f(x · y) =

f (x)· f(y), para quaisquer x, y ∈ G. O núcleo de f, ker(f), é o conjunto

pré-imagem do elemento neutro da operação de grupo f−1(e).

5 Exercício. Mostre que ker(f ) como definido acima é um subgrupo invariante de G.

Dado um subgrupo invariante H de G, definimos a projeção ou aplicação

quo-ciente de G sobre G/H é dada pela função P : x7→ x · H.

Anéis

Um anel (A, +.·) é um grupo abeliano (A, +) munido com uma operação

· : A × A → A que é associativa e distributiva.

Um subanel é um subconjunto que é ainda um anel com as operações restritas. Uma função f : A1 → A2 é um homomorfismo entre os anéis A1, A2 se

f (x + y) = f (x) + f (y)e f (x · y) = f(x) · f(y) para todos os elementos

x, y ∈ A1.

Se X é uma variedade diferenciável, então as funções diferenciáveis de X nos números reais formam um anel C∞(X)

Considere M um espaço topológico de Hausdorff e separável

Módulos

Um módulo é, com algumas diferenças, a versão abstrata de um espaço veto-rial. Em módulos, os coeficientes são tomados em anéis e não em corpos, como no caso de espaços vetoriais. Um módulo com coeficientes em um anel R é dito um R-módulo ou módulo sobre R. São, assim como os espaços vetoriais, grupos abelianos aditivos onde um produto está definido entre elementos do anel e ele-mentos do módulo e a multiplicação é associativa e distributiva (quando usada com a multiplicação no anel).

Um exemplo de módulo é o conjunto dos números inteirosZ. Módulos são objetos algébricos fundamentais para o desenvolvimento da álgebra homológica.

15 A decomposição de um módulo em soma direta de submódulos é denomi-nada módulo graduado. O conjunto de índices é dito conjunto graduante (ou de graduação).

Dada um espaço X, para todo inteiro i, existe um i-ésimo grupo de homolo-gia Hi(X)e o grupo de homologia total do espaço é a soma direta de todos Hi(X).

Assim, o grupo de homologia total de um espaço X é um módulo graduado sobre os inteiros.

2.2 Definição. Um R-módulo à esquerda M é grupo abeliano (M, +) e uma ope-ração· : R × M → M chamada multiplicação escalar, denotada rx com r ∈ R e x∈ M, tal que para quaisquer r, s ∈ R e x, y ∈ M, tem-se:

1. r(x + y) = rx + ry 2. (r + s)x = rx + sx 3. (rs)x = r(sx)

4. 1Rx = x, se R possui identidade multiplicativa 1R.

Álgebra Linear

2.3 Proposição. Valem as seguintes propriedaes:

(i) det ( A B C D ) =det(A). det(D− CA−1B)

(ii) Se T é uma matriz quadrada m× m.

Então T é invertível se, e somente se, Posto T = m.

(iii) Seja S matriz m× n e T matriz s × m com Posto T = m. Então Posto T S = Posto S.

(iv) Sejam A um matriz m× n e B uma matriz n × k de Posto n, então Posto AB =Posto A.

Capítulo 3

Análise em espaços euclideanos

Serão apresentados aqui alguns conceitos e resultados em espaços euclideanos que serão usados ao longo do texto.

Define-se, dentre outras coisas, injetividade e sobrejetividade e apresenta-se a definição analítica de continuidade de uma função de variáveis reais a valores vetoriais.

Seja f : Rn _{→ R}m _{uma função e A⊂ R}n_{um subconjunto qualquer. Diz-se}

que f : A → Rm_{é injetiva se f (x) ̸= f(y) sempre que x ̸= y ∈ A. Define-se,}

então, a inversa f−1 : f (A)→ Rnpela aplicação que a cada y ∈ f(A) associa o valor f−1(y) = xao único ponto x ∈ A tal que f(x) = y. Um aplicação é dita sobrejetiva se cada ponto do seu contra-domínio é imagem de um ponto do seu domínio. E por fim, diz-se que f é bijetiva se é injetiva (1 a 1) e sobrejetiva.

Exemplo: A função identidade emRn_{, Id(x) = x é bijetiva. ♢}

Estruturas diferenciáveis

Dizemos que uma aplicação f :Rn _{→ R}m_{é diferenciável num ponto a∈ R}n

quando existe uma transformação linear T = Df (a) :Rn _{→ R}m _{tal que}

lim

h→0

|f(a + h) − f(a) − T (h)|

|h| = 0.

A aplicação Df (a) é chamada derivada (de Fréchet) ou diferencial de f em

a.

18 CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM ESPAÇOS EUCLIDEANOS

A interpretação da transformação linear T = Df (a) é também muito impor-tante.

Definimos a derivada direcional de f no ponto a ∈ U com respeito a um vetor v ∈ Rn_por ∂f ∂v(a) =limt→0 f (a + tv)− f(a) t ∈ R m_, se existe o limite.

Considere o segmento aberto (a − δv, a + δv), δ > 0, contido em U. O caminho retilínio λ : (−δ, δ) → U, λ(t) = a + tv, é levado em um caminho

f ◦ λ : t 7→ f(a + tv) ∈ Rm_{. A derivada direcional} ∂f

∂v(a)é o vetor velocidade

de f◦ λ, em t = 0.

Se as funções coordenadas de f são f1,· · · , fm, temos∂f_∂v(a) = (∂f_∂v1(a),· · · ,∂fm_∂v (a)).

Suponha que f é diferenciável em a. Para qualquer v ∈ Rm _{e todo t ∈ R}

pequeno o bastante, temos

f (a + tv)− f(a) = T · tv + ρ(tv) · |tv|, com lim

t→0ρ(tv) = 0. Segue que lim t→0 f (a + tv)− f(a) t = T · v. Ou seja, T · v = ∂f_∂v(a).

Como Df (a) : Rn → Rm _{é uma transformação linear faz sentido}

conside-rarmos sua matriz. Chamamos de matriz jacobiana de f no ponto a, à matriz representante de Df (a), com respeito às bases canônicas deRn_eRm_{, à qual}

re-presentaremos por Jf (a) = (_∂xj∂fi)(a)ou [Df (a)], onde f1, . . . , fm : Rn → R

são as funções coordenadas de f .

Nestas notas, chama-se Jacobiano de f ao determinante da matriz jacobiana de f , det Jf .

Exemplo: Considere a função f :R2 → R, f(x, y) = cos(x). Sabemos que

T (x, y) = Df (a, b)(x, y) = (− sin(a)) · x. De fato,

lim (h,k)→(0,0) |f(a + h, b + k) − f(a, b) − T (h, k)| |(h, k)| = lim (h,k)→(0,0)

| cos(a + h) − cos(a) − (− sin(a)) · h|

19 Já que|(h, k)| ≥ |h|, e − sin(a) = cos′(a), obtemos

lim

(h,k)→(0,0)

| cos(a + h) − cos(a) − (− sin(a)) · h|

|(h, k)| ≤

lim

h→0

| cos(a + h) − cos(a) − (− sin(a)) · h|

|h| = 0.

♢

6 Exercício. 1. Mostre que se uma aplicação f : Rn → Rm _{é diferenciável}

num ponto a∈ Rn_{, então é contínua em a.}

2. A inclusão i : Rn → Rm_{, n}≤ m, i(x) = (x, 0) é diferenciável.

3. A restrição de uma aplicação diferenciável também o é.

Vamos enunciar e demonstrar a Regra da Cadeia em espaços euclideanos.

3.1 Teorema. Considere as aplicações f : U ⊂ Rn _{→ V ⊂ R}k_{, g : V → W ⊂}

Rm_{, com f (U ) ⊂ V , tais que f é diferenciável em a ∈ U e g é diferenciável em}

b = f (a). Então, a aplicação composta g◦ f : U → Rm_{é diferenciável em a e}

D(g◦ f)(a) = Dg(b) · Df(a).

O produto indicado acima é a multiplicação de matrizes.

Agora podemos mostrar que se f e g são Cr_{, a aplicação composta g ◦ f}

também é Cr_.

3.2 Corolário. Dadas duas aplicações de classe Cr_{, f : U} ⊂ Rn → V ⊂ Rk_{, g :}

V → W ⊂ Rm, com f (U ) ⊂ V , a aplicação composta de g ◦ f : U → Rm _é

também de classe Cr_.

Classe de diferenciabilidade, difeomorfismos

Denotaremos por Cr_{, r ≥ 0 a classe de diferenciabilidade de uma aplicação}

f : Rn → Rm _{conforme esta seja contínua (C}0_{), uma vez diferenciável com}

derivada contínua (C1_{), ... , infinitamente diferenciável (C}∞_).

20 CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM ESPAÇOS EUCLIDEANOS

Até aqui consideramos o domínio da f igual aoRn_{todo, entretanto é muito}

útil saber que se pode aplicar a mesma definição quando f é definida apenas em um conjunto aberto contendo o ponto a. Diz-se que f :Rn→ Rm_{é diferenciável}

num conjunto A⊂ Rn_{quando o for em cada ponto a∈ A.}

Equivalentemente, uma aplicação f : A → Rm _{num aberto A ⊂ R}n_é

dife-renciável se tem todas as derivadas parciais de todas as ordens contínuas (ver, p. ex., (??)).

Quando considera-se um conjunto qualquer X ∈ Rn _{a aplicação f : X →}

Rm_{é dita diferenciável quando puder ser localmente estendida a uma aplicação}

diferenciável definida num aberto contendo X (para cada x∈ X existe um aberto

U ⊂ Rne uma aplicação diferenciável g : U → Rm_{tal que g|}

U∩X = f).

3.3 Observação. Se f : U → Rm_{, definida no aberto U ⊂ R}n_{, é k-vezes}

diferen-ciável no ponto a, então definimos a derivada de ordem k (k-ésima derivada) de f no ponto a pela aplicação k-linear

f(k)(a) :Rn× · · · × Rn → Rm,

que, avaliada no ponto v = (v1,· · · , vk)∈ Rn× · · · × Rn, resulta no vetor

f(k)(a)v1· · · vk =

∂k_f

∂vk· · · ∂v1

(a)∈ Rm.

3.4 Definição. Sejam X ⊂ Rn_{, Y ⊂ R}m_{. Diz-se que uma aplicação f : X → Y}

é um difeomorfismo se f é um homeomorfismo diferenciável de X sobre Y com inversa f−1diferenciável.

Dizemos que f é um difeomorfismo local se para todo ponto x∈ U existe uma vizinhança aberta de x, Vx⊂ U, tal que a restrição f|Vx é um difeomorfismo sobre

um aberto Wf (x) ⊂ Y . Se, ainda, f é de classe Ckdiz-se que é um difeomorfismo

(local) de classe Ck_.

Considere um difeomorfismo f : U → V em Rn_{. Pela regra da cadeia, temos}

que sua derivada df : Rm _{→ R}m _{é um isomorfismo em cada ponto x ∈ U.}

Isto equivale a dizer que seu determinante jacobiano det Jf (x)̸= 0, ∀x ∈ U. A questão de saber se vale a recíproca da afirmação acima é o conteúdo do Teorema da aplicação inversa3.11abaixo.

3.5 Observação. 1. Pela regra da cadeia, para cada x ∈ U, a aplicação inversa

(f|Vx)−1 : Wf (x) → Vxde um difeomorfismo local Cké também de classe

21

2. Todo difeomorfismo (global) é, claramente, um difeomorfismo local.

3. Todo difeomorfismo local é uma aplicação aberta (leva aberto do domínio em aberto do contradomínio). De fato, se V ⊂ Vx para algum x ∈ U, é

óbvio, pois f aplica Vxhomeomorficamente sobre o aberto Wf (x) ∈ Rm. No

caso geral, V =∪x∈UVx∩ V , donde f(V ) = ∪x∈Uf (Vx∩ V ). Já que cada

Vx∩ V é aberto em Vx, o seu conjunto imagem é aberto. Portanto, f (V ) é a

reunião de conjuntos abertos.

4. Segue, então, que um difeomorfismo local f : U → Rm_{é um difeomorfismo}

(global) sobre sua imagem W = f (U ) se, e somente se, é uma aplicação injetiva.

Exemplo:

1. A aplicação exponencial complexa f (z) = exp(z) é um difeomorfismo lo-cal C∞, emR2 \ {0}. Basta notar que todo ramo do logaritmo log w tal

que log w0 = z0é uma inversa local para f na vizinhança de z0. Este

resul-tado vem naturalmente do teorema da aplicação inversa, o qual veremos a seguir.

2. Toda aplicação linear L : Rm → Rn_{é diferenciável e, em cada ponto x}∈

Rn_{, L}′_{(x) = L. Basta notar que a apllicação derivada L :R}n_{→ L(R}n_;Rm₎

é constante e, portanto, C∞.

3. Toda aplicação k-linear φ : Rn1 × · · · × Rnk → Rm _{é diferenciável. Sua} derivada num ponto a = (a1,· · · , ak) é a transformação linear φ′(a) :

Rn1 × · · · × Rnk → Rmtal que φ′(a)· (v1,· · · , vk) = k ∑ i=1 φ(a1,· · · , ai−1, vi, ai+1,· · · , ak).

4. A função determinante det : Rn2

→ R, det(X) = det(X1,· · · , Xn), onde

X = (X1,· · · , Xn)é uma matriz n× n cujas linhas são X1,· · · , Xn, é

n-linear e portanto diferenciável.

22 CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM ESPAÇOS EUCLIDEANOS

Sabemos que existem aplicações diferenciáveis cujo jacobiano é não nulo e, entretanto, não pode ser um difeomorfismo. Um exemplo muito usado é a ex-ponencial complexa f : C → C, f(z) = exp(z). Escrevendo z = (x, y) ∈ R2_,

temos f (x, y) = exp(x)(cos y, sin y) e sua derivada f′(z) = R2 → R2,é um isomorfismo cuja matriz jacobiana é dada por

J f (x, y) =

[

ex_{cos y −e}x_{sin y}

ex_{sin y e}x_{cos y}

]

,

donde seu jacobiano vale e2x̸= 0, ∀x ∈ R.

O teorema da função, que provaremos a seguir, oferece condições sob as quais uma aplicação diferenciável é um difeomorfismo local de mesma classe de dife-renciabilidade. No caso anterior, como já se sabe, a exponencial complexa é um difeomorfismo local C∞.

Começamos com alguns resultados preliminares.

3.6 Teorema. Se um difeomorfismo f : U → V é Ck_{, k ≥ 1, então seu inverso}

g = f−1 : V → U também é Ck.

Demonstração. A demonstração é feita por indução em k. Veja que para qualquer y = f (x)∈ V , g′(y) = [f′(x)]−1, logo a aplicação g′ : Rm → L(Rm) = Rm2 é dada por

g′ = (Inv)◦ f′ ◦ f−1,

onde Inv leva um operador linear inversível T : Rm → Rm _{no seu inverso}

T−1 : Rm → Rm, f′ : Rm → L(Rm)é o operador derivada e f−1 : V → U é a inversa da aplicação f . Como Inv é C∞,se f é Ck_{, então f}′ _{é de classe C}k−1_.

Assim, g′é a composta de três aplicações Ck−1_{e, portanto, g é C}k_.

3.7 Teorema. Se uma aplicação de classe C1 _{definida num aberto U ⊂ R}m_{, f :}

U → Rn_{, tem derivada Df (a) : R}m _{→ R}n _{injetiva em a ∈ U, então existe}

δ > 0, c > 0tais que B = B(a, δ)⊂ U e, para quaisquer x, y ∈ B vale |f(x) − f (y)| ≥ c|x − y|. Em particular, a restrição f|Bé injetiva.

Demonstração. A função u 7→ |f′(a)· u|, é linear. Como f′(a)é não singular, temos que existe c > 0 tal que, para todo v∈ Rm_,

23 Para x∈ U, seja r(x) = f(x) − f(a) − f′(a)(x− a). Daí, ∀x, y ∈ U, temos

f (x)− f(y) = f′(a)(x− y) + r(x) − r(y). Já que|u + v| > |u| − |v|, vale

|f(x) − f(y)| ≥ |f′_{(a)· (x − y)| − |r(x) − r(y)| (3.1)}

≥ 2c|x − y| − |r(x) − r(y)|. (3.2) Por outro lado, a função r acima é C1 _{e nula em a. Existe δ > 0 tal que}

|x − a| < δ ⇒ x ∈ U e |r′_{(x)| < c.}

Pela desigualdade do valor médio, se x, y ∈ B(a, δ), então |r(x) − r(y)| ≤

c|x − y|.

Logo,

x, y ∈ B(a, δ) ⇒ |f(x) − f(y)| ≥ 2c|x − y| − c|x − y| = c|x − y|. 3.8 Teorema. Seja f : U → V, U, V ⊂ Rm_{abertos, um homeomorfismo}

diferen-ciável. Se, em algum x∈ U, f′(x) : Rm → Rm_{é um isomorfismo, então o}

home-omorfismo inverso g = f−1 : V → U, é diferenciável é f(x) e g′(x) = [f′(x)]−1. Demonstração. Considere para x, x + v ∈ U, f(x) = y e f(x + v) = y + w,

então w = f (x + v)− f(x) = f′(x)· v + r(v), com lim v→0 r(v) |v| = 0e v = g(f (x + v))− g(f(x)) = g(y + w) − g(y).

O candidato a derivada de g no ponto y = f (x) é

g(y + w)− (y) = [f′(x)]−1· w + s(w). (3.3) Mostremos que lim

w→0 s(w) |w| = 0. Substituindo v, w em (3.3), obtemos v = f′(x)−1[f′(x)· v + r(v)] + s(w) ⇔ v = v + f′(x)−1· r(v) + s(w).

24 CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM ESPAÇOS EUCLIDEANOS Daí, s(w) =−f′(x)−1· r(v) ⇒ s(w) |w| =−f′(x)−1· r(v) |v| · |v| |w|, ou seja, s(w) |w| =−f′(x)−1· r(v) |v| · |v| |f(x + v) − f(x)|.

Quando w→ 0, tem-se v → 0, por continuidade de g. Assim,r(v)_|v| → 0.

Pelo Teorema3.7, existem δ, c > 0 para os quais|v| < δ implica |f(x + v) −

f (x)| ≥ c|v|, donde |v| |f(x + v) − f(x)| ≤ 1 c. Logo, lim w→0 s(w) |w| = 0.

3.9 Corolário. Se Seja f : U → V, U, V ⊂ Rm _{abertos, um homeomorfismo}

Ck_{, com f}′_{(x) : R}m _{→ R}m _{um isomorfismo em algum x ∈ U, então o inverso}

g = f−1 : V → U, é Ck_.

Demonstração. A derivada g′ : VL(Rm), é a composta de f′ ∈ Ck−1_{com uma}

aplicação C∞ (operador inversão) e, supondo por indução que g ∈ Ck−1_,

obte-mos o resultado.

3.10 Lema. Sejam U ⊂ Rm _{aberto e g : U → R}n _{diferenciável em a ∈ U,}

com g′(a)sobrejetiva. Se a é um ponto de mínimo local de|g(x)|, x ∈ U, então g(a) = 0.

Demonstração. Sendo a ponto de mínimo local para|g(x)|, também será para φ : U → R, φ(x) = |g(x)|2 ₌ ⟨g(x), g(x)⟩ ⇒ φ′_{(a) = 0. Mas, φ}′_{(a) =}

2⟨g′(a), g(a)⟩, donde g(a) = 0.

3.11 Teorema (da função inversa). Seja f : U → Rm _{uma aplicação C}k_{, k ≥ 1,}

num aberto U ⊂ Rm_{, tal que em a} ∈ U, a derivada Df(a) : Rm → Rm _{é um}

isomorfismo. Então, existe uma bola aberta B = B(a; δ) ⊂ U tal que a restrição f|Bé um difeomorfismo sobre um aberto V contendo f (a).

Demonstração. Pelo Teorema3.7, podemos supor que f é injetiva no compacto

25 Pelo Teorema3.6, precisamos mostrar que V é aberto. Com efeito, tome q =

f (p), p∈ B. Seja ∂B a esfera fronteira de B. Por injetividade, temos q ̸= f(∂B).

então, existe ϵ > 0 tal que|f(x)−q| > 2ϵ, ∀x ∈ ∂B, por compacidade de f(∂B).

1 Afirmação. B(q, ϵ)⊂ f(B).

Se y ∈ B(q, ϵ), então o mínimo de g(x) = |f(x) − y|, x ∈ B, não é atingido em ∂B, já que x ∈ ∂B ⇒ |f(x) − y| ≥ ϵ e, por hipótese, tem-se |f(p) − y| = |q − y| < ϵ, p ∈ B. Logo, o mínimo é atingido em x0 ∈ B. Pelo Lema3.10, esse

mínimo é zero, daí y = f (x0), donde y∈ f(B).

Formas locais da imersão e da submersão

3.12 Definição. Um imersão de um aberto URm_{em R}n_{é uma aplicação}

diferen-ciável f : U → Rn _{cuja derivada, em cada ponto x ∈ U, Df(x) : R}m _{→ R}n_é

injetiva.

Neste caso, deve-se ter m≤ n.

Um exemplo simples de imersão é a inclusão i :Rm _{→ R}m_×Rn_{, i(x) = (x, 0),}

pois, sendo linear, tem-se i(x) = i,∀x ∈ Rm_{. Daí, i é uma imersão C}∞_.

O próximo resultado garante que toda imersão Ck_{, k ≥ 1 é, localmente, uma}

inclusão.

3.13 Teorema. Seja f : U → Rm+n_{uma aplicação C}k_{, k≥ 1, definida no aberto}

U ⊂ Rm. Se em um ponto a ∈ U a derivada Df(a) : Rm _{→ R}m+n _{é injetiva,}

então existe um difeomorfismo Ck_{, h : Z → V × W , de um aberto Z ⊂ R}m+n

contendo f (a) sobre um aberto V × W ⊂ Rm _{× R}n_{, contendo (a, 0), tal que}

hf (x) = (x, 0), para todo x∈ V .

Veremos agora a forma local das submersões.

3.14 Definição. Uma aplicação diferenciável f : U → Rn_{, definida num aberto}

U ⊂ Rm_{, é uma submersão se, para todo x}∈ U, sua derivada Df(x) : Rm → Rn

é sobrejetiva.

Note que deve-se ter m ≥ n.

A forma local das submersões serve como uma mudança de coordenadas numa vizinhança Z de um ponto a ∈ U onde a derivada de f é sobrejetiva, fazendo com que suas novas coordenadas sejam agora as da sua imagem.

Dada uma submersão Ck_{, f : U → R}n_{, no aberto U ⊂ R}m+n_{, considere a}

matriz jacobiana num ponto a ∈ U, Jf(a) de n linhas e m = n colunas. Como a derivada Df (a) : Rm+n _{→ R}n _{é sobrejetiva, podemos escolher uma base na}

26 CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM ESPAÇOS EUCLIDEANOS qual tenhamos uma submatriz n× n inversível, pois n colunas são linearmente independentes.

Isto nos garante uma decomposição em soma direta Rm+n ₌ Rm ⊕ Rn _de

modo que a derivada parcial Df (a)|Rn = ∂₂f (a) : Rn → Rnseja um seja um

isomorfismo.

3.15 Teorema. Seja f : U → Rn_{uma aplicação C}k_{, k} ≥ 1, no aberto U ⊂ Rm+n_.

Se em um ponto a = (a1, a2) ∈ U, Df(a) : Rm+n → Rné sobrejetiva, então

existem abertos Z ∋ a em Rm+n_{, a}

1 ∈ V ⊂ Rm e W ∋ c = f(a) em Rn, e

um difeomorfismo h : V × W → Z, Ck_{, tal que f (h(x, w)) = w, para todo}

(x, w)∈ V × W .

Demonstração. Defina a aplicação Ck_{, φ : U → R}m _{× R}n_{, por vf i(x, y) =}

(x, f (x, y)).

A matriz jacobiana de φ é da forma

J φ =

[

I A

0 B ]

onde I é a matriz identidade m×m e B = B(z) =[_∂yj∂fi(z)]é invertível no ponto

p = (a, b).

Pelo Teorema da aplicação inversa3.11, temos φ um difeomorfismo de um aberto Z contendo p sobre um aberto em Rm _{× R}n_{, que escreveremos como}

V × W , com a ∈ V ⊂ Rm, c = f (a, b)∈ W ⊂ Rn.

O difeomorfismo inverso é da forma h : V×W → Z, h(x, w) = (x, h2(x, w)).

Assim, para qualquer (x, w)inV × W , tem-se

(x, w) = φ(h(x, w)) = φ(x, h2(x, w)) =

= (x, f (x, h2(x, w))) = (x, f (h(x, w)).

Ou seja, f (h(x, w)) = w,∀(x, w) ∈ V × W . Como desejado.

7 Exercício. Toda submersão Ck_{é uma aplicação aberta.}

Outros dois resultados importantes da análise real que serão muito úteis são o teorema da aplicação implícita e teorema do posto.

3.16 Teorema. Suponha f : U → Rn_{de classe C}k_{, k ≥ 1, num aberto U ⊂ R}m_,

tal que em a ∈ U a derivada Df(a) : Rm+n _{→ R}n_{é sobrejetiva, i.e., existe uma}

decomposição Rm+n _{= R}m _{⊕ R}n _{de modo que a derivada parcial Df (a)|}

Rn =

27

Então, fazendo-se a = (a1, a2) ∈ Rm ⊕ Rn, existem abertos Z ∋ a em U,

V ⊂ Rm_{contendo a}

1e uma aplicação ξ : V → Rn, Ck, com ξ(a1) = a2, tal que

[(x, y)∈ Z e f(x, y) = c] ⇔ [x ∈ V e y = ξ(x)].

Ou seja, f−1(c)∩ Z = {(x, ξ(x); x ∈ V } é o gráfico de ξ.

Demonstração. Considere Z, V, W e h como no Teorema3.15. Defina ξ : V → Rn_{, ξ(x) = h} 2(x, c), com h2 : V × W → Rn a segunda coordenada de h, h(x, w) = (x, h2(x, w)). Daí, (x, y)∈ Z ⇒ x ∈ V e (x, y) = h(x, w)para algum w∈ W . Se f (x, y) = c, então c = f (x, y) = f (h(x, w)) ⇒ w = c. Portanto, c = f (x, y) = f (x, h2(x, c)) = f (x, ξ(x)e y = ξ(x). Isto é, (x, y)∈ Z e f(x, y) = c⇒ x ∈ V e y = ξ(x). Reciprocamente, se x ∈ V e y ∈ ξ(x), então y = h2(x, c) e f (x, y) = f (x, h2(x, c)) = f (h(x, c)) = c. ⋄

O posto de uma transformação linear T : Rm _{→ R}m _{é a dimensão da sua}

imagem T·Rm_{, o número máximo de colunas linearmente independentes (LI) da}

matriz de T . Isto equivale ao número máximo de vetores LI dentre T e1,· · · , T em.

3.17 Definição. O posto de p de uma aplicação diferenciável f : U ⊂ Rm _{→ R}n

num ponto x ∈ U é o posto da derivada Df(x) : Rm _{→ R}n_{. Claro que p ≤ m e}

p≤ n.

3.18 Observação. 1. Imersões e submersões são aplicações de posto máximo 2. O posto de uma aplicação diferenciável varia ponto a ponto.Por exemplo, se

Capítulo 4

Variedades Diferenciáveis

Possivelmente, os primeiros exemplos de variedades abstratas, i.e. aquelas que não eram definidas como suconjuntos do espaço euclideano, foram as su-perfícies de Riemann. Estas susu-perfícies tornaram um bom exemplo de como as variedades podem ser usadas para estudar aspectos globais. Em geometria dife-rencial, é comum o interesse mais em aspectos locais tais como a curvatura.

Assim, o maior objetivo da Topologia Diferencial é estudar as propriedades globais de variedades.

Uma definição formal de variedade diferenciável abstrata já havia sido dada por H. Weyl, nos seus estudos da superfície de Riemann, mas o termo cunhou-se mais fortemente como conceito matemático a partir dos trabalhos de Whitney. Um de seus resultados mais importantes é o teorema conhecido como “mergulho de Whitney”. Uma variedade M de dimensão k pode ser vista como um subcon-junto de algum espaço euclideanoRn_{, que pode ter dimensão muito grande com}

respeito à de M . Whitney mostrou, primeiro, que n = 2k + 1 seria o suficiente para queRn_{contenha uma cópia difeomorfa de qualquer variedade de dimensão}

k. Depois, ele mesmo melhorou seu resultado e mostrou que bastava n = 2k, para obtermos um mergulho de Mk_emR2k_{, hoje conhecido como mergulho de}

Whitney forte.

A topologia diferencial tem entre seus principais objetivos estudar as propri-edades de um conjunto X ∈ Rn_{que são invariantes por difeomorfismos.}

30 CAPÍTULO 4. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS

4.1

Variedades diferenciáveis

Em palavras, uma variedade de dimensão m é um espaço métrico M é um conjunto localmente homeomorfo ao espaço euclideanoRm_.

Um dos exemplos mais simples de variedade é o próprio espaço euclideano. Relembramos que uma vizinhança U de um ponto x num espaço topológico

Xé um subconjunto que contém algum aberto V contendo x.

Se x é um ponto de uma variedade M e U é uma vizinhança de x homeomorfa aRn_{por φ : U → R}n_{, então φ(V ) ⊂ R}n _{é um aberto contendo φ(x). Logo,}

existe uma bola aberta W ⊂ φ(V ) contendo φ(x). Uma vez que φ : V → Rn_é

contínua, φ−1(W )é aberto em V , e consequentemente, aberto em M . Portanto,

W é homeomorfo a φ−1(W )e, assim, aRn_.

Isto nos mostra que U pode ser escolhido como um aberto. De fato, U deve ser aberto, como garante o teorema de invariância do domínio de Brouwer.

4.1 Teorema. Se U ⊂ Rn _{é um conjunto aberto e f : U → R}n_{é uma aplicação}

contínua e injetiva, então f (U )⊂ Rn_{é aberto.}

A prova deste resultado é difícil e usa ferramentas de topologia algébrica, fica pra outra oportunidade.

Agora apresentamos algumas definições, ferramentas e exemplos.

Parametrizações ou cartas locais

SejaRk_{, k ≥ 1, o espaço euclideano de dimensão k e denote x ∈ R}k_{, x =}

(x1,· · · , xk)um ponto deste espaço.

Um espaço topológico M é chamado de variedade de dimensão n se é local-mente homeomorfo aRn_{: Existe uma cobertura aberta}U = {U

i}i∈Λ de M tal

que para cada i∈ Λ há uma aplicação

φi : Ui → Rn

que leva Ui homeomorficamente sobre um conjunto aberto de Rn. Dizemos,

neste caso, que o par (φi, Ui)é uma carta (local) ou um sistema de coordenadas.

M é uma variedade de dimensão zero se cada x ∈ M tem uma vizinhança

U ∩ M consistindo apenas de x. Por exemplo, um conjunto de pontos isolados

4.1. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS 31 Observe que uma variedade Mn_{, de dimensão n, está contida em algum R}k_,

então n≤ k.

Uma variedade é dita diferenciável se é localmente difeomorfa a Rn_{, i.e., a}

cartas locais são difeomorfismos.

O conjunto de cartas Φ ={φi, Ui}i∈Λé chamado de atlas.

Duas cartas (φi, Ui), (φj, Uj)são Crcompatíveis se a mudança de

coordena-das φj◦ φ−1i : φi(Ui∩ Uj)→ φj(Ui∩ Uj)é de classe Cr. Note que essa definição

faz sentido já que φi(Ui∩ Uj), φj(Ui∩ Uj)são abertos emRn.

Um atlas é dito Cr_{se todas as mudanças de cartas o são. Neste caso, existe}

um único atlas maximal Cr_{, Ψ, contendo Φ.}

Um atlas Cr_{maximal Φ é chamado de estrutura diferenciável sobre M .}

Estrutura diferenciável induzida

Se M é um espaço topológico, (N, ϕ) é uma variedade e h : M → N é um homeomorfismo de M sobre um subconjunto aberto N , a estrutura diferenciável induzida em M é dada por

h∗Φ = {(φh, h−1(U )); (φ, U )∈ Φe U ⊂ h(M))}.

4.2 Observação. Para verificar que uma aplicação entre duas variedades f : M → Né de classe Cr_{, basta ver que para cada x∈ M existe ao menos um par de cartas}

(φ, U )em M e (ψ, V ) em N , com x∈ U e f(U) ⊂ V , tal que a aplicação

Rm _{⊃ φ(U)} ψf φ−1

z}|{_{−→ ψ(V ) ⊂ R}n

é Cr.

suponha que isto vale e sejam (φ, bb U ), ( bψ, bV )cartas locais para M e N , respec-tivamente. Vamos mostrar que bψfφb−1é Cr_:

Note que bψfφb−1 = ( bψψ−1)(ψf φ−1)(φφb−1).

Um ponto arbitrário do domínio de bψfφb−1é da forma bψfφ(x)b , com x ∈ bU∩ f−1( bV ).

Agora, tome (φ, U ), (ψ, V ) cartas de M e N tais que x ∈ U, f(U) ⊂ V e ψf φ−1é Cr_{. Então, numa vizinhança deφ(x)b , temos}

b

ψfφb−1 = ( bψψ−1)(ψf φ−1)(φφb−1).

32 CAPÍTULO 4. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS

Vamos considerar o termo “variedade” significando “variedade diferenciável”, exceto quando for necessário explicitar a classe de diferenciabilidade da mesma.

4.3 Observação. Veja que a dimensão n pode depender do ponto x. Por exemplo, se M ⊂ R3_{é dada por}

M ={(x, y, z); x = 0, z = 1} ∪ {(x, y, z); z = 0} = M1∪ M2,

então podemos escolher n = 1 em M1e n = 2 em M2.

Em geral, a união disjunta de variedades é uma variedade. Em particular, como um ponto é uma variedade, todo espaço discreto M também, munido com a métrica discreta d(x, y) = { 0, se x = y 1, se x ̸= y.

Exemplos de variedades

1. A faixa de Mobius é uma variedade.(exercício)

2. O círculoS1 _{= {(x, y) ∈ R}2_{, x}2 _{+ y}2 _{= 1} é uma variedade}

unidimensi-onal. Primeiro, suponha que (x, y) pertence ao semicírculo superior{y > 0}. Tome φ1(x) = (x,

√

1− x2_{) que mapeia o intervalo W = (}−1, 1)

bijetivamente sobre o semicírculo superior. Sua inversa (x, y)7→ x é dife-renciável pois estende-se a uma aplicação difedife-renciável deR2_{emR. Assim,}

φ1é uma parametrização.

A parametrização para o semicírculo inferior{y < 0} é dada por φ2(x) =

(x,−√1− x2_).

Para os pontos (1, 0), (−1, 0) usamos φ3(y) = (

√

1− y2_{, y), φ}

4(y) =

(−√1− y2_{, y)levando W nos semicírculos esquerdo e direito.}

Assim, cobrimosS1_{com quatro cartas locais.}

3. As únicas variedades unidimensionais conexas são a reta e o círculo. 4. Em geral, a n-esfera unitária emRn+1_,Sn _{= {x ∈ R}n+1_{;|x| = 1} é uma}

variedade n-dimensional (|x| = (∑n+1_i=1(xi)2)

1

2 norma euclideana). (exer-cício: mostre paraS2₎

4.1. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS 33 Para j = 1,· · · , n + 1 definimos os hemisférios abertos

U2j−1 ={x ∈ Sn; xj > 0}

U2j ={x ∈ Sn; xj < 0}.

Para i = 1,· · · , 2n + 2 definimos as aplicações

φi : Ui → Rn

φ(x) = (x1,· · · , ˆxj,· · · , xn+1),

se i = 2j− 1 ou 2j,

isto é, a n-upla obtida de x retirando-se a j-ésima coordenada.

Note que φ é um homeomorfismo de Ui sobre o n-disco aberto B ={y ∈

Rn_;|y| < 1}.

Cada (φi, Ui)é uma carta paraSne∪i(φi, Ui)é um atlas.

(Verifique que φié analítica.)

Uma outra maneira, muito útil de mostrar queSn_{é uma variedade dá-se}

pela projeção estereográfica.

TomemosSn _{= {x ∈ R}n_{;⟨x, x⟩ = 1}, N = (0, · · · , 0, 1) ∈ S}n _{o polo}

norte.

A projeção estereográfica é um homeomorfismo ξ : Sn_{\ {N} → R}n_que

a cada ponto x do domínio associa o ponto ξ(x) onde a semirreta ⃗Nx =

{N + t(x − N), t > 0} corta o plano xn+1 = 0, o qual identificamos com

Rn_.

Um ponto está na semirreta ⃗Nxestá no hiperplanoRnquando sua última

coordenada 1 + t(xn+1− 1) = 0, i.e., t = _1−xn+11 . Isto implica que ξ(x) =

ex

1−xn+1, comex = (x1,· · · , xn)se x = (x1,· · · , xn+1). Daí, temos que ξ é

uma aplicação contínua.(exercício)

Seja φ : Rn _{→ S}n _{\ {N}, φ(y) = x, e pela notação acima temos ex =}

2y |y|2₊₁ = ( 2y1 |y|2₊₁, 2y2 |y|2₊₁,· · · , 2yn |y|2₊₁)e xn+1= |y| 2₋₁ |y|2₊₁.

34 CAPÍTULO 4. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS Observe que ξ(φ(y)) = ξ(x) = ex 1− xn+1 = y,∀y ∈ Rne φ(ξ(x)) = φ( ex 1− xn+1 ) = φ (_(2y 1,· · · , 2yn)· _|y|21₊₁ 1− |y|_|y|22−1₊₁ ) = φ (_(2y 1,· · · , 2yn)·_|y|21₊₁ 1− |y|2+1_|y|−|y|2₊₁2+1

) = φ ( 2(y1,· · · , yn) 2 ) = φ(y) = x. Logo, φ(ξ(x)) = x,∀x ∈ Sn _{e, assim, φ é contínua e é a inversa de ξ.}

Portanto, ξ é um homeomorfismo. N

x = (x1,· · · , xn+1)

φn(x)

Figura 4.1: Projeção estereográfica

A noção de aplicação C

_{em esferas}

Com respeito ao primeiro atlas apresentado no último item acima, uma aplicação

f : Sn _{→ R}k _{é dita C}r_{-diferenciável se f ◦ φ}−1 _{: B → R}k_{é C}r_{, ou seja, tem}

derivadas parciais contínuas de ordem r.

Neste sentido, se g :Sn _{→ R}n+1_{é C}r_{e g(S}n_{) ⊂ S}m_{, diremos que g : S}n _→

Sm_{é uma aplicação C}r_{. Esta definição equivale tomar-se um atlas{(ψ}

j, Vj), j =

1,· · · , q} de Sm_{e dizer que g :}Sn→ Sm_{é C}r_{desde que o seja cada aplicação}

4.1. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS 35 Note que cada φig−1(Vj)é um aberto emRm.

Isto estende a noção de aplicação Cr_{para as esferas unitáriasS}n_{, n = 1, 2,·.}

Veremos adiante a definição formal de aplicação diferenciável entre varieda-des quaisquer.

A partir daí, podemos obter muitas variedades, como segue. (veja o livro do Hirsch)

Superfícies emRm

Seja f : Rn+k _{→ R}k_{uma aplicação C}r_{, r ≥ 1, e M = f}−1_{(0). Suponha que}

ftem posto k em todo ponto de f−1(0). Dizemos, então, que M é uma superfície

de nível regular. Por exemplo, M =Sm _{⊂ R}m+1_{, f (x) = 1−}∑m+1 i=1 x

2

i.

Podemos introduzir coordenadas locais em M = f−1(0), da seguinte ma-neira.

Fixe p∈ M. Por uma mudança linear de coordenadas, podemos assumir que a matriz k× k [ ∂fi ∂xj ] , 1≤ i, j, ≤ k, tem posto k em p.

Identificamos Rn+k_comRn_{× R}k_{, e escrevemos p = (a, b)∈ R}n_{× R}k_{. Pelo}

teorema da aplicação implícita, existe uma vizinhança U×V de (a, b) em Rn_×Rk_,

e uma aplicação Cr_{g : U → V tal que g(x) = y se, e somente se, f(x, y) = 0.}

Assim, M ∩ (U × V ) = {(x, g(x)); x ∈ U} = graf(g). Defina W := M ∩ (U × V ) φ : W → Rn (x, g(x))7→ x(x ∈ U). Então, (φ, W ) é uma carta local para M .

Em termos destas coordenadas locais podemos estender a noção de aplicação

Cr_{para aplicações entre superfícies de nível.}

A mesma construção é feita se o domínio de f é um aberto deRn+k _{ao invés}

36 CAPÍTULO 4. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS 4.4 Teorema. O produto cartesiano cartesiano (M1× M2, Θ)de duas variedades

(M1, Φ1), (M2Φ2), M1 ⊂ Rm, M2 ⊂ Rné uma variedade de dimensão dim(M1)+

dim(M2), onde Θ é uma estrutura diferenciável da forma (ϕ1×ϕ2, U1×U2); (ϕ1, U1)∈

Φ1e (ϕ2, U2)∈ Φ2.

Demonstração. Se dim(M1) = k e x ∈ M2, podemos obter um aberto V ⊂ Rk

e uma carta local φ : V → M1 em x. Analogamente, se dim M2 = l, y ∈

M2,existe uma aberto W ⊂ Rle uma carta local ψ : W → M2 em y. Temos

que V × W é um aberto em Rk _{× R}l _{= R}k+l_{. Considere a aplicação φ× ψ :}

V × W → M1 × M2, φ× ψ(v, w) = (φ(v), ψ(w)). Fica a encargo do leitor

mostrar que (φ× ψ)−1 é diferenciável em M1 × M2 (exercício). Logo, temos

uma parametrização local em torno de qualquer ponto (x, y)∈ M1× M2.

Exemplo: O n-ToroTn_{dado porS}1_{× · · ·}

|{z}

nvezes

×S1_{é uma variedade de}

dimen-são n. ♢

Mais exemplos de variedades

1. O espaço das matrizes reais de ordem n×n, Mn(R) ≃ Rn

2

é uma variedade

C∞. (exercício)

Um subconjunto aberto muito importante: Gln(R) := {A ∈ Mn(R); det A ̸=

0} é uma variedade de dimensão n2.

Subvariedades

Uma classe interessante de variedades são aqueles subconjuntos M deRn+k

que são localmente superfícies regulares de aplicações Cr_.

Isto é, cada ponto de M tem uma vizinhança W ⊂ Rn+k _{tal que W ∩ M =}

f−1(0), para alguma aplicação Cr_{, f : W → R}k _{de posto k em cada ponto de}

W ∩ M. Podemos definir coordenadas locais como antes.

Em geral, se X e Y são variedades emRn_{e Y ⊂ X, então Y é uma}

subvarie-dade de X.

Dada uma variedade (Mm_{, Φ)de dimensão m, um subconjunto de dimensão}

4.1. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS 37 (φ, U )∈ Φ, p ∈ U tal que

U ∩ N = φ−1(Rn× {0}), 0 ∈ Rm−n.

Assim, N é, de fato, uma variedade de dimensão n. Observe que as últimas m−n coordenadas são nulas. Chamamos de codimensão de N à diferença m− n.

(φ, U )é uma carta de subvariedade de N em M . O atlas é dado por (φ|N∩U, N∩

U ), onde (φ, U ) são cartas locais de subvariedade de N em M .

Exemplo: Seja W ⊂ Rn_{aberto e f : W} → Rn_{uma submersão. Então, para}

todo c∈ f(W ), temos que f−1(c)é uma subvariedade de W . ♢

Aplicações diferenciáveis em variedades

Sejam Mm _{e N}n _{variedades de classe C}r_{. Uma aplicação f : M} → N é de

classe Ck_{, k ≤ r, se para todo p ∈ M existem cartas locais φ : U ⊂ M → eU ⊂}

Rm_{e ψ : V ⊂ N → eV ⊂ R}n_{para as quais valem:}

1. p ∈ U, f(p) ∈ V ; 2. f (U )⊂ V ;

3. ψ◦ f ◦ φ−1 : eU → eV é de classe Ck_.

Ou seja, f é diferenciável em um ponto x se possui uma representação local em

xque é diferenciável.

4.5 Proposição. Se f : M → N e g : N → Q são aplicações de classe Cs_entre

variedades de classe Cr_{, com r≥ s, então g ◦ f é C}s_.

Demonstração. Ora, sejam y = f (x) e z = g(y). Como g ∈ Cs_{, existem cartas}

locais ψ : W ⊂ Q → fW ⊂ Rq_{e φ : V ⊂ N → eV ⊂ R}n_{, com y ∈ V e z ∈ W}

tais que g(V )⊂ W e ψ ◦ gφ−1 : eV → fW é de classe Cs_.

Também, ja que f é Cs_{, existe carta localφ : Ue ⊂ M → eU ⊂ R}m_{com x∈ U}

e f (U )⊂ V de modo que φ ◦ f ◦ eφ−1é de classe Cs_.

Assim, ψ◦ (g ◦ f) ◦ eφ−1 = (ψ◦ g ◦ φ−1)◦ (φ ◦ f ◦ eφ−1)é de classe Cs_.

Uma aplicação f : M → N é difeomorfismo Cr_{se é um homeomorfismo C}r

entre variedades de classe Cr_{cuja inversa f}−1 _{: N → M é também de classe C}r_.

38 CAPÍTULO 4. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS

Esta é a relação de equivalência básica em topologia diferencial. Um ponto fundamental neste ramo da topologia é obter métodos para se verificar quando duas variedades são difeomorfas. Observe que, uma vez que sejam homeomorfas,

Me N têm o mesmo tipo de homotopia. Torna-se uma questão importante a de saber quais propriedades, além de terem o mesmo tipo de homotopia, garantem que duas variedades são difeomorfas.

Um dos invariantes diferenciais mais importantes é o fibrado tangente que será apresentado e estudado como variedade e com outras definições em mais detalhes no próximo capítulo.

8 Exercício. (ver o livro Guillemin-Pollack)

1. A diagonal ∆ ={(x, x) ∈ X × X} é difeomorfa a X, logo é uma variedade se X o é.

2. A projeção P : X × Y → X, (x, y) 7→ x é diferenciável.

3. O gráfico de uma aplicação f : X → Y é dado por graf(f) = {(x, f(x)), x ∈ X}. Defina a aplicação F : X → graf(f), F (x) = (x, f(x)). Mostre que se f é diferenciável, F é um difeomorfismo, e assim graf (f ) é uma variedade se X o é. (∆ = graf (Id))

4. Mostre que não podemos parametrizar a esferaSn_{de dimensão n com uma}