Das várias hipóteses que se poderiam considerar no que diz respeito ao tratamento a dar aos pontos fronteira interiores durante a integração de cada subproblema, seleccionaram- se dois tipos de estratégias:
Subproblemas integrados com condições fronteira de Dirichlet:
As derivadas espaciais nas fronteiras são avaliadas de modo semelhante ao problema geral no que diz respeito à selecção dos pontos que afectam as fórmulas de discretização. Considera-se que cada ponto fronteira situado no interior do domínio global seja afectado por condições fronteira de Dirichlet, ou seja, na integração da grelha de nível n+1, mantêm-se
fixos os valores da solução calculados no tempo final correspondente a esse passo, através da utilização da malha de nível n. Há que ter ainda em conta, que as posições da fronteira coincidem com os primeiros pontos da grelha de nível n-1 que verificam a tolerância pré- definida.
Apesar deste procedimento garantir a inexistência de descontinuidades no perfil de solução final, originados pela junção de secções da solução calculados a partir de malhas de nível diferente, não assegura completamente a continuidade da sua derivada. De facto, é possível gerarem-se gradientes diferentes de cada lado dos pontos de junção entre zonas com níveis de refinamento distintos.
No entanto, este procedimento é aplicado na formulação do método de refinamento, não originando problemas de maior na definição correcta dos perfis da solução, para a maioria dos casos testados.
Condições fronteira móveis – utilizam-se pontos exteriores aos subdomínios para a avaliação das derivadas espaciais:
Quando possível, a estimativa das derivadas espaciais nos pontos fronteira é efectuada com a utilização dos pontos adjacentes e exteriores aos subdomínios. Estes pontos são utilizados no cálculo das derivadas espaciais, mas não estão incluídos na integração. O número de pontos extra utilizados de cada lado do subdomínio depende do tipo de diferenças finitas aplicado ao problema e do posicionamento relativo deste em relação ao domínio global. Como o integrador subdivide o intervalo de tempo inicial em vários passos intermédios, necessita do valor da solução nesses instantes. Assim, nestes pontos, a solução é calculada por interpolação linear entre o valor inicial para a abcissa pretendida em tk, e a
calculada anteriormente para tk+1 ou num número pré-definido de pontos temporais
intermédios, igualmente espaçados. Desta forma, este procedimento implica a introdução de interpolações adicionais e, consequentemente, de mais imprecisões no avanço da integração, o que se constitui como a sua maior desvantagem.
É de referir, igualmente, que as soluções nos pontos fronteira dos subproblemas interiores têm obrigatoriamente de verificar a tolerância pré-estabelecida, em relação às soluções obtidas com a utilização da grelha fixa nesses pontos. Caso tal não aconteça, procede-se ao alargamento do subdomínio de interesse na direcção respectiva, repetindo-se o procedimento até que a tolerância seja verificada em ambas as extremidades. Deste modo, o processo de integração dos subdomínios transforma-se num esquema iterativo, mas
absolutamente indespensável, de forma a se evitar descontinuidades significativas no perfil da solução final. Deste modo, este procedimento assegura uma melhor continuidade da solução entre zonas calculadas de forma diferente.
Esta estratégia é aplicada conjuntamente com o algoritmo de malha móvel adaptativa. De facto, verifica-se que a estratégia provoca problemas de performance do integrador a quando da introdução da malha móvel no modelo original. Este comportamento seria de esperar, dado que este procedimento origina variações muito bruscas nas soluções fronteira que podem acrescentar problemas ao desempenho do integrador. Por outro lado, verifica-se que a aplicação de uma estratégia gradual como a , não provoca dificuldades de maior, obtendo-se resultados satisfatórios. No entanto, estas dificuldades acrescidas deveriam ser sentidas, já que a introdução das equações diferenciais da malha aumenta significativamente a não-linearidade dos modelos.
5. Comparação do Desempenho dos Métodos Numéricos
Neste capítulo apresenta-se a comparação entre o desempenho dos métodos numéricos descritos no capítulo anterior e o Método de Diferenças Finitas fixas, quando aplicados a uma equação não-linear, cuja solução desenvolva choques e/ou frentes abruptas móveis. Deste modo, pretende-se não só comparar a qualidade das soluções obtidas através da aplicação dos métodos referidos a um modelo base, como, igualmente, analisar o esforço computacional exigido por cada algoritmo em relação ao Método de Elementos Finitos Móveis (M.E.F.M.), cujo código foi desenvolvido e aplicado por Duarte[29]. Para exemplo base foi escolhida a equação víscida de Burgers que é enunciada por:Exemplo 1: Equação Víscida de Burgers
2 2 z u De z u u t u δ δ ⋅ + δ δ ⋅ − = δ δ (5.1)
com as condições fronteira: u (0,t) = 0 (5.2)
u (1,t) = 0 (5.3)
e a condição inicial: u
( )
z,0 = 12⋅sin( )
π⋅z +sin(
2⋅π⋅z)
(5.4)Este modelo descreve a difusão de uma substância, num meio isotrópico, sujeita a fenómenos convectivos/difusivos, sendo:
u − concentração da substância difusora; De − coeficiente de difusão.
O cálculo da solução deste modelo é problemático e difícil de obter através da utilização de um método de não-adaptativo, devendo-se tal facto, essencialmente ao tipo de condição inicial considerado.
O comportamento da solução pode ser resumido da seguinte forma: partindo da onda sinusoidal inicial, cada uma das secções desta deslocam-se em sentidos opostos, originando uma frente abrupta em z ≅ 0.6 para t ≅ 0.2, cuja espessura é proporcional ao valor do coeficiente de difusão De; a partir deste instante, a frente desloca-se para a direita (na direcção positiva de z), ao mesmo tempo que a sua amplitude se reduz; por volta de t ≅ 1.4, e já depois da secção negativa da frente ter desaparecido, esta embate na fronteira direita (z=1), mantendo-se nessa posição até desaparecer. Deste modo, a maior dificuldade na integração deste modelo consiste na definição correcta da frente formada pela solução, e do seu movimento. Neste caso, esta terá uma espessura da ordem de De=1×10-3, exigindo desse modo, que o espaçamento entre os nodos nas regiões onde a frente se formará e se deslocará, não seja muito superior a esse valor. Assim, se se pretender integrar este modelo numa malha fixa, esta terá de ser necessariamente bastante fina, provocando um esforço computacional excessivo na integração do modelo.