• Existem duas só actividades fictícias, uma corresponde ao início do empreendimento e outra ao fim do empreendimento;
• Do nó que corresponde ao início do empreendimento divergem arcos que convergem nos nós que correspondem às actividades cuja lista de precedentes é vazia;
• Para o nó que corresponde ao fim do empreendimento convergem arcos que divergem dos nós que correspondem às actividades cuja lista de dependentes é vazia;
• Se A é precedente de B então existe um arco de A para B;
Exemplo 1.
Actividade Precedentes Duração
A D, E 7
Definições importantes:
- Tempo mais cedo de Início de uma actividade (TCIi) ´ menor período de tempo que terá obrigatoriamente de decorrer entre o início do empreendimento e o início dessa actividade.
TCIi = Max {TCIj + dj} V j E P(i)
¶
Máximo dos tempos mais cedo da actividade j mais as durações de j qualquer que seja j pertencente às precedentes de i
TCIi - Tempo mais cedo de início de uma actividade i;
TCIj - Tempo mais cedo de início de uma actividade j;
P(i) – precedentes de i;
dj – duração de j.
Em β ´ TCI= duração mínima do empreendimento
- Relação activa = quando determina o TCI
Alfa
- Tempo mais tarde de fim de uma actividade (TTF) ´ maior intervalo de tempo que poderá decorrer entre o início do empreendimento e o fim dessa actividade por forma a não ser ultrapassada a duração mínima.
TTFi = min {TTFj – dj} V j E D (i)
¶
Mínimo dos tempos mais tarde de fim de j menos as durações da actividade j qualquer que seja j pertencente às dependentes de i
TTFi - Tempo mais tarde de fim de uma actividade i;
TTFj - Tempo mais tarde de fim de uma actividade j;
D(i) – dependentes de i;
dj – duração de j.
* Depois de calculados os TCI e TTF temos o intervalo de tempo em que cada actividade tem que ser realizado. O intervalo de tempo de cada actividade é igual nas redes AOA e AON (ex. a actividade G deve ser realizada entre 21 e 39).
- Actividades críticas ´ actividades para as quais qualquer aumento da duração implica o aumento da duração mínima do empreendimento, ou seja, são aquelas em que o seu intervalo de tempo é igual à sua duração, ie,
TTF – TCI = dur ´ TCI + dur = TTF
Aplicação destes conceitos ao exemplo supracitado:
I) Cálculo dos TTI e dos TTF das actividades:
C:
F:
5 0
9: 21-12
9 0
9: 21-12<21-7
E:
- D:
F: 9 (durF) + 0 (TCIF) = 9 (TCID) > 5+0 da C
- B:
D: 12 (durD) + 9 (TCID) = 21 (TCID) > 7 + 9 da E
- A:
D: 12 (durD) + 9 (TCID) = 21 (TCIA) > 7+9 da E
- G:
D: 12 (durD) + 9 (TCID) = 21 (TCIG)
- H:
B: 8 (durB) + 21 (TCIB) = 29 (TCIH) > 7+21 da A
- E:
F: 9 (durF) + 0 (TCIF) = 9 (TCIE)
- I:
H: 10 (durH) + 29 (TCIH) = 39 (TCII) > 21+12 da G
- J:
G: 12 (durG) + 21 (TCIG) = 33 (TCIJ)
- β
I: 7 (durI) + 39 (TCII) = 46 (TCIβ)
ii) Nos TTF:
- F:
Alfa: 9 (TTFF) – 9 (durF) = 0 (TTFalfa)
- D:
C: 21 (TTFD) – 12 (durD) = 9 (TTFC) F: 21 (TTFD) 12 (DurD) = 9
- B:
E: 29 (TTFB) – 8 (durB) = 21
- H:
B: 39 (TTFH) – 10 (durH) = 29 A: 39 (TTFH) – 10 (durH) = 29
- I:
H: 46 (TTFI) – 7 (durI) = 39 (TTFH) G: 46 (TTFI) – 7 (durI) = 39 (TTFG)
- β:
J: 46 (TTFβ) – 0 (durβ) = 46 (TTFJ) I: 46 (TTFβ) – 0 (durβ) = 46 (TTFI)
III) Actividades críticas
i) Actividades críticas do exemplo:
- β: 0+0=0 - B: 8+21=29 - D: 12+9=21 - F: 9+0=9 - H: 10+29=39 - I: 7+39=46 - β: 0+46=46
ii) Actividades não críticas:
- A: 7+21 ≠29 - C: 5+0 ≠ 9 - E: 7+21 ≠ 29 - G: 12+21 ≠ 39 - J: 5+33 ≠ 46
* Neste exemplo o caminho crítico é: alfa ´ F ´ D ´ B ´ H ´ I ´ β (é igual ao caminho crítico encontrado nas redes AOA).
Exemplo 2:
Actividade Relação sequencialidade
Duração
A - 5
B A/FP/2 10
NB: Se nada for dito em contrário as unidades do “lag” são as mesmas da duração)
NB: não se utilizam redes AOA com este tipo de problemas Como tal, iremos conceber uma rede AON:
Para desenhar estas redes com relações do tipo FP e PP tenho que ter nós que representem os fins e os princípios de actividades.
Como este tipo de redes eram usadas para simplificar e com este tipo de relações de sequencialidade se complicam muitíssimo, não vamos utilizar este tipo de redes mas sim redes AON.
Nas redes AON, Os arcos podem ser de 4 tipos diferentes e com “lag”≠0. Para a actividade inicial e final a relação é sempre do tipo FP com “lag”=0.
Alfa
TCIi = Max TCIa + dura TCIb + durB TCIc + durC
- Pode-se escrever de outra forma,
TCI = Max {Zj} V j E P (i)
em que Zj é o tempo mais cedo de início de i se a única precedente de i fosse j. A forma de cálculo de Zj depende do tipo de relação.
• dependente do tipo de relação
• é preciso determinar os Z de j para cada tipo de relação
Relação
sequencialidade Esquema
A B Za Z’b
FP
TCIa + dura + lag
TTFb – durb – lag
PP
TCIa + lag TTFb –
a
lag
b
B
C
X
durb – lag + dura
FF
TCIa + dura
+ lag – durb TTFb - lag
PF
TCIa + lag
+ durb TTFb – lag + dura
TCIb = Max
{Za}
V
a E P (b)[TCI]
TTFA = min {Z’b}
V
b E D(a)a
lag
b
a
b lag
a
b lag
X
A
B
C
TTFx = min TTFa – Dura TTFb – durb TTFc – durc
Cada uma destas parcelas representa o TTFx se a única dependente fosse A
TTFi = min {Z’j}
V
j E D (i)em que Zj é o tempo mais tarde de fim de i se a única dependente de i fosse j.
Exemplo 3:
Actividade RS Duração
A B/FF/1 23 B - 20 C B/FP/1
A/FP/2 15
D A/PP/3
C/FF/2 20
E C/PP/1
D/PF/3 10
F E/FF/2
D/PP/1 15
I) Cálculo de TCI:
A: ZB = 0+20+1-23= -2 ´ como este valor não pode ser negativo (porque iria significar que a actividade começava antes do início do empreendimento) considera-se que TCIA = 0 e cria-se uma nova ligação directamente de alfa do tipo FP com “lag”=0.
ZB [FP] = 0 [TCIA] + 20 [durB] +1 [lag] = 21 25 = máximo dos Z’s
D: ZA [PP]= 0 [TCIA] + 3 [lag]= 3
ZC [FF] = 25 [TCIC] + 15 [durC] + 2 [lag] – 20 [durD]
22 = máximo dos Z’s
E: ZC [PP] = 25 [TCIC] + 1 [lag] = 26
ZD [PF] = 22 TCID] + 3 [lag] – 10 [durE] = 15
26 = máximo dos Z’s
F: ZD [PP] = 22 [TCID] + 1 [lag] = 23
ZE [FF] = 26 [TCIE] + 10 [dure] + 2 [lag] – 15 [durF] = 23 23
β: ZF [FP]= 23 [TCIF] + 15 [durF] + 0 [lag]= 38
- No fim tenho de calcular o máximo de todas as ligações e para isso tenho que somar o TCI à duração para cada actividade:
Alfa = 0+0 A=23+0 B=20+0 C=25+15
D=20+22 ´ máximo (duração mínima do empreendimento) ´ cria-se uma ligação de D a β
E=16+10 F=15+23
II. Cálculo de TTF:
β: 42
E: Z’F [FF] = 42 [TTFF] – 2 [lag] = 40 [TTFE]
D: Z’F [PF] = 42 [TTFF] – 15 [durF] – 1 [lag] + 20 [durD] = 46 ´ não pode ser porque a duração mínima é 42 ´ a ligação βD está activa ´ Z’β=
42-0-0= 42
Z’E [PF] = 40 [TTFE] – 3 [lag] + 20 [durD] = 57
C: Z’D [FF] = 42 [TTFD] – 2 [lag] = 40
Z’E [PP] = 40 [TTFE] – 10 [durE] – 1 [lag] + 15 [durC] = 44
A: Z’C [FP] = 40 [TTFC] – 15 [durC] – 2 [lag] = 23
Z’D [PP] = 42 [TTFD] – 20 [durD] – 3 [lag] + 23 [durA] = 42
B: Z’A [FF] =23 [TTFA] – 1 [lag] = 22
Z’C [FP] = 40 [TTFC] – 15 [durC] – 1 [lag] =24
No final tenho de calcular o mínimo da diferença entre TTF e duração:
β = 42 – 0 = 42 F = 42 – 15 = 27 E = 40 – 10 = 30 D = 42 – 20 = 22 C = 40 – 15 = 25 B = 22 – 20 = 2
A= 23 – 23 = 0 ´ mínimo e relação activa
*********************
Problema: prazo imposto eu tenho um prazo imposto (P), mas percorro o
¶
Podem ocorrer três situações:
- P > D (é raro acontecer)
- P = D (se acontecer, é uma feliz coincidência!) - P < D (é o que mais acontece)
Quando P < D: para obter um resultado inferior, temos que alterar os inputs, por forma a encaixar o modelo no prazo imposto.
Podemos resolver o problema em duas etapas sequenciais:
- Abordagem soft ´ tentar encaixar-me/aproximar-me do prazo imposto sem acréscimos de custos significativos ou com acréscimos de custos negligenciáveis;
- Abordagem hard ´ para me aproximar de P, tenho de assumir o incremento dos custos.
NB: É preciso averiguar os inputs (actividades; relações de sequencialidade;
durações) e apurar em que sentido poderão ser alterados.
Abordagem soft:
A) Actividades:
Em que contexto faz sentido falar na alteração de actividades?
- Alterar o processo tecnológico que se adoptou, experimentando as alternativas no modelo para ver se essas trazem mais eficiência no sentido da aproximação a P (problema: aversão à mudança).
NB: Este tipo de abordagem é um catalisador à mudança e por isso deve-se estudar as alternativas e experimentá-las em modelos, para ver se com esta nova alternativa tecnológica já me encaixo no novo prazo.
B) Relações de sequencialidade:
Só podem ser alteradas se o processo tecnológico for alterado
- Quando as RS decorrem de carência ou de limitação de recursos posso alterar (diminuir restrições) ou diminuir os lags
- É fundamental conhecer o(s) caminho(s) crítico(s), a fim de saber quais as RS que podem ser alteradas – se afrouxar uma relação de sequencialidade crítica posso diminuir a duração mínima do empreendimento, mas isso só acontece se eu mexer em todos os caminhos críticos existentes. Se existir mais do que um
caminho crítico, eu só consigo diminuir efectivamente a duração mínima do empreendimento se diminuir a duração de todos os caminhos críticos existentes (é por isso que a noção de caminho crítico é tão relevante).
NB: o que é fundamental é o caminho crítico, e não o conjunto de actividades que são críticas.
C) Durações:
Aqui é possível mexer sem que isso signifique acréscimo de custos.
Se tudo isto falhar, passamos para a abordagem hard.