Um modelo dos l´ eptons

Nosso ponto de partida para a discuss˜ao sobre os l´eptons ser´a sua lagrangiana de massa:

Ll^massa =−ml¯ll . (3.83)

O termo ¯ll pode ser expandido em termos das componentes de m˜ao esquerda e direita:

¯ll= (¯l_R+ ¯l_L)(l_L+l_R) = ¯l_Rl_L+ ¯l_Rl_R+ ¯l_Ll_L+ ¯l_Ll_R

= ¯l_Rl_L+ ¯lP_LP_Rl+ ¯lP_RP_Ll+ ¯l_Ll_R .

(3.84)

Ent˜ao, usando a rela¸c˜ao P_LP_R=P_RP_L= 0, temos que

¯ll = (¯l_Rl_L+ ¯l_Ll_R). (3.85)

Desse modo, o termo de massa leptˆonico (3.83) pode ser expresso como

−m_l¯ll =−m_l(¯l_Rl_L+ ¯l_Ll_R). (3.86) Isso mostra que esse termo mistura componentes de m˜ao esquerda e direita. Entretanto, como as transforma¸c˜oes de gauge SU(2)_L⊗U(1)_Y s˜ao dadas por

SU(2)_L: L→exp

igθ^a(x)σ_a 2

L , (3.87)

U(1)_Y : L→exp

ig⁰α(x)Y_L 2

L , R →exp

ig⁰α(x)Y_R 2

R , (3.88) vemos que esses dois tipos de componentes se transformam de maneiras distintas, de modo que o termo de massa (3.83) n˜ao ´e invariante sob essas transforma¸c˜oes de calibre.

Podemos tratar esse problema do seguinte modo: note que uma transforma¸c˜ao SU(2)_L infinitesimal do dubleto de Higgs tem a forma

Φ→

1+igθ^a(x)σ_a 2

Φ, (3.89)

e a mesma transforma¸c˜ao de gauge se aplica a um dubleto fermiˆonico de m˜ao esquerda:

Consequentemente, o adjunto ¯L se transforma de maneira inversa ao dubleto de Higgs:

L¯ →L¯

1−igθ^a(x)σ_a 2

. (3.91)

Isso implica que um termo da forma

LΦ¯ (3.92)

´e invariante sob transforma¸c˜oes de gauge SU(2)_L. Se adicionalmente, combinarmos ¯LΦ a um singleto de m˜ao direita, ent˜ao o resultado tamb´em se torna invariante sobU(1)_Y local.

Desse modo, o termo ¯LΦR ´e invariante sob transforma¸c˜oes de calibre SU(2)_L⊗U(1)_Y, assim como seu conjugado hermitiano, ¯RΦ^†L. Resulta, portanto, que a soma

LΦR¯ + ¯RΦ^†L (3.93)

satisfaz a simetria degauge eletrofraca. Assim, adicionamos `a lagrangiana o termo

L_Yukawa^l =−G_l( ¯LΦR+ ¯RΦ^†L), (3.94)

em que a constante G_l ´e chamada de acoplamento de Yukawa para o l´epton l. Com a quebra espontˆanea da simetria eletrofraca, e expressando o dubleto de Higgs no gauge unit´ario (3.55), temos que

LYukawa^l =−G_l(v+H)

Isso permite identificarmos a massa do l´epton l como sendo m_l = G_lv

√2 , (3.96)

o que mostra que as massas do el´etron, m´uon e tau tamb´em provˆem de acoplamentos de seus respectivos campos com o VEV hφ⁰i₀ = ^√v₂. ´E importante notarmos que apesar de esse mecanismo gerar um termo de massa para os l´eptons e, µ e τ, no entanto, n˜ao ocorre o mesmo para os neutrinos, os quais s˜ao deixados sem massa. Isso ocorre porque no gauge unit´ario (3.55), a componente inferior do dubleto de Higgs ´e que possui um v´acuo diferente de zero, logo, resulta que ´e gerada massa somente para o l´epton na componente inferior do dubletoL, ou seja, somente para os l´eptonse,µ,τ, e n˜ao para seus respectivos neutrinos. Assim, a lagrangiana invariante degauge para uma fam´ılia de l´eptons ´e

L_lept^fam´ılia=iLγ¯ ^µD_µL+iRγ¯ ^µD_µR

Al´em disso, podemos explicitar as derivadas covariantes no termoLl,ν^localdo seguinte modo:

Ll,ν^local =iRγ¯ ^µ∂_µR+iLγ¯ ^µ∂_µL+iLγ¯ ^µ

Em particular, ao explicitarmos as matrizes σ₁ e σ₂, vemos que o termo que chamamos deLCC ´e equivalente a

Assim, os termos que acoplam com W⁺ e W⁻ em LCC podem ser reconhecidos como sendo as correntes fracas carregadas (3.6) e (3.7):

LCC =− g 2√

2 h

J₋^µW_µ⁺+J₊^µW_µ⁻i

. (3.102)

Ou seja, LCC pode ser identificada como sendo a lagrangiana da intera¸c˜ao fraca de corrente carregada. Isso mostra que de fato, a teoria de gauge baseada na simetria SU(2)_L⊗U(1)_Y permite reproduzirmos a estruturaV −Adas correntes fracas carregadas, uma vez que as correntesJ_µ^± que acoplam com os b´osons W^∓ s˜ao da forma “vetor - vetor axial”, tal como ´e necess´ario para explicar a viola¸c˜ao de paridade que ´e observada nas intera¸c˜oes fracas mediadas por esses b´osons de gauge carregados.

Partindo para a an´alise dos termos neutros da lagrangiana (3.97), temos que Lneutra =−gLγ¯ ^µσ3

2 LW_µ³− g⁰

2( ¯Lγ^µY L+ ¯Rγ^µY R)B_µ. (3.103) Ent˜ao, recorrendo `as defini¸c˜oes de J_µ³ e J_µ^Y, n´os obtemos

Lneutra =−gJ₃^µW_µ³− g⁰

2J_Y^µBµ. (3.104)

No entanto, lembremos que as correntes J_µ³ e J_µ^Y est˜ao relacionadas a J_µ^em pela equa¸c˜ao (3.35), enquanto que W_µ³ e B_µ est˜ao relacionados a A_µ e Z_µ pela express˜ao inversa a (3.76):

W_µ³ = cosθ_WZ_µ+ sinθ_WA_µ, B_µ=−sinθ_WZ_µ+ cosθ_WA_µ.

(3.105)

Isso permite reescrevermos Lneutra da seguinte maneira:

Lneutra =−gsinθ_WJ_em^µ A_µ− g cosθ_W

h1

2νγ¯ ^µ(g_V^ν −g^ν_Aγ₅)ν+1 2

¯lγ^µ(g_V^l −g^l_Aγ₅)li

Z_µ, (3.106) em que as constantes de acoplamentog_V^ν, g^ν_A,g_V^l eg^l_A s˜ao definidas por

g_V^ν =T₃^ν −2Q_νsin²θ_W , g^ν_A=T₃^ν , (3.107) g^l_V =T₃^l−2Q_lsin²θ_W , g_A^l =T₃^l. (3.108)

A express˜ao (3.106) sugere definirmos o termo entre colchetes como sendo a corrente associada ao b´oson neutro Z:

J_Z^µ ≡ 1

2νγ¯ ^µ(g^ν_V −g_A^νγ₅)ν+1 2

¯lγ^µ(g_V^l −g^l_Aγ₅)l . (3.109)

Vemos tamb´em de (3.106) que o acoplamento com o b´oson Z pode ser definido por g_Z ≡ g

cosθ_W . (3.110)

Dessa forma, o segundo termo em (3.106) ´e equivalente a

−gZJ_Z^µZµ. (3.111)

Isso mostra que a teoria eletrofraca n˜ao somente explica a forma da intera¸c˜ao fraca de corrente carregada, mediada pelos b´osons W^±, como tamb´em prevˆe a existˆencia de intera¸c˜oes fracas de corrente neutra, mediadas pelo b´oson Z.

Adicionalmente, vemos que o primeiro termo em (3.106), que aparece com uma constante de acoplamentogsinθ_W, ´e a lagrangiana de intera¸c˜ao dos l´eptons com o campo eletromagn´etico. Por outro lado, vimos no cap´ıtulo anterior que o acoplamento da ele-trodinˆamica quˆantica ´e a quantidadee, que corresponde `a carga el´etrica do pr´oton, logo, para que possamos reproduzir esse acoplamento, devemos ter a seguinte rela¸c˜ao:

e=gsinθ_W =g⁰cosθ_W . (3.112)

Com isso, a parte neutra da lagrangiana pode ser expressa como

Lneutra =−eJ_em^µ A_µ−g_ZJ_Z^µZ_µ. (3.113)

Essa parte neutra consiste, portanto, na lagrangiana de intera¸c˜ao dos l´eptons com o f´oton e com o b´oson Z. Reunindo os resultados obtidos, a lagrangiana (3.97) que descreve uma

fam´ılia de l´eptons ´e dada por

Llept^fam´ılia=

termos cin´eticos dos l´eptons

z }| { Assim, observe que possu´ıamos no in´ıcio do cap´ıtulo apenas uma teoria livre para os l´eptons, dada pela lagrangiana (3.15), na qual n˜ao havia termos de massa nem de intera¸c˜ao com b´osons de gauge ou de Higgs. Todavia, quando aplicamos o princ´ıpio de gauge, obtivemos as intera¸c˜oes eletromagn´etica e fraca dos l´eptons, e ao adicionarmos o acoplamento de Yukawa, vimos que a quebra espontˆanea da simetria eletrofraca faz com que esse acoplamento gere um termo de massa para os l´eptons carregados, assim como um termo de intera¸c˜ao desses f´ermions com o campo de Higgs.

Agora que temos uma teoria consistente para os l´eptons, veremos que para gerar-mos os tergerar-mos de massa dos quarks, ser´a necess´aria uma generaliza¸c˜ao do acoplamento de Yukawa que introduzimos para os l´eptons, o que ir´a requerer a introdu¸c˜ao de um dubleto de Higgs conjugado.