Introdução à teoria eletrofraca

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CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE F´ISICA

BACHARELADO EM F´ISICA

Vin´ıcius Fernandes Alves

Introdu¸ c˜ ao ` a teoria eletrofraca

Natal - RN

22 de abril de 2021

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Introdu¸ c˜ ao ` a teoria eletrofraca

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Departamento de F´ısica Teórica e Expe- rimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸cão do grau de bacharel em F´ısica.

Orientador:

Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN IIP/DF

Natal - RN 22 de abril de 2021

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Vin´ıcius Fernandes Alves e aceita pelo Departamento de F´ısica do Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz - Orientador UFRN

IIP/DF

Prof. Dra. Elisama Eraldene Marques Lima IFBA

Prof. Dra. Raissa Maria Pimentel Neves IF Sert˜ao - PE

Natal - RN 22 de abril de 2021

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Agradecimentos

Meus sinceros agradecimentos...

Ao meu orientador Farinaldo Queiroz, por sua enorme contribui¸c˜ao para que eu pudesse aprender sobre uma das mais fascinantes teorias f´ısicas j´a desenvolvidas.

Aos meus pais Daniel e D´ebora, pela educa¸c˜ao que me deram e por apoiarem que eu estudasse aquilo que acho belo e que desperta minha curiosidade.

A minha irm˜` a Lu´ısa, por tornar os dias mais engra¸cados e divertidos.

Ao meu cachorro Pipo, por toda a alegria e carinho que compartilhamos diaria- mente.

Ao professor Anderson Luiz Pinheiro de Oliveira, meu primeiro professor de f´ısica, por desde cedo ter me motivado a estudar f´ısica.

Ao professor Carlos Andr´e Cavalcante, por suas surpreendentes e inspiradoras aulas de f´ısica para o ENEM, que despertaram em mim uma curiosidade e desejo insaci´aveis por aprender cada vez mais f´ısica.

Ao professor Claudio Possani, por me fazer enxergar a sutil e delicada beleza do c´alculo diferencial e integral.

Aos meus amigos da f´ısica pelos momentos, discussões, risos e reflexões que compartilhamos dentro e fora da universidade, enquanto isso foi viável.

A todos os professores da f´ısica que foram essenciais na minha gradua¸cão e que conseguiram transmitir inspira¸cão ao fazerem transparecer a beleza da ciência. Agrade¸co especialmente aos professores Rodrigo Pereira, Juliana Hidalgo, Leandro Ibiapina, Léo Gouvea, Felipe Bohn, Gandhi Mohan e Hector Salazar.

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Resumo

A teoria eletrofraca é parte essencial do Modelo Padrão da f´ısica de part´ıculas, permitindo obtermos tanto um entendimento unificado das intera¸cões eletromagnética e nuclear fraca, como também uma descri¸cão do mecanismo pelo qual os bósons fracos e os férmions carregados adquirem massa. Com isso, o objetivo deste trabalho é apresentar, em n´ıvel introdutório, os principais aspectos dessa teoria. Para isso, primeiro forneceremos uma base teórica a respeito da teoria de gauge, da quebra espontânea de simetria e do mecanismo de Higgs. Em seguida, introduziremos a simetria eletrofraca, que rege as intera¸cões entre as part´ıculas elementares. Por fim, aplicaremos o mecanismo de Higgs que via um processo de quebra espontânea de simetria gerará massa para as part´ıculas elementares, deixando porém o fóton e os neutrinos sem massa.

Palavras-chave: Teoria eletrofraca; Modelo Padr˜ao; Teoria degauge; Quebra espontˆanea de simetria; Mecanismo de Higgs.

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Abstract

The electroweak theory is an essential part of the Standard Model of particle phy- sics, allowing us to obtain both a unified understanding of the electromagnetic and weak nuclear interactions, and a description of the mechanism by which the weak bosons and the charged fermions acquire mass. Thereby, the objective of this work is to present, in an introductory level, the main aspects of this theory. For this, we will first provide a theo- retical basis on gauge theory, spontaneous symmetry breaking, and the Higgs mechanism.

Later, we will introduce the electroweak symmetry that governs the interactions among the elementary particles, and apply the Higgs mechanism that via a process of spotane- ous symmetry breaking generates mass to the elementary particles, but the photon and neutrinos.

Keywords: Electroweak theory; Gauge theory; Spontaneous symmetry breaking; Higgs mechanism.

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Lista de Figuras

2.1 V(φ) para diferentes valores do parˆametro µ², fixando-se um valor de λ >0. 11 2.2 V(φ₁, φ₂) para µ² >0. . . 13 2.3 V(φ₁, φ₂) para µ² <0. . . 14 3.1 Diagrama de Feynman de dois v´ertices para o espalhamento e⁻τ⁻→e⁻τ⁻. 19

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Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Fundamentos te´oricos 4

2.1 Princ´ıpio de gauge . . . 4

2.2 Quebra espontˆanea de simetria . . . 8

2.2.1 QES discreta . . . 9

2.2.2 QES cont´ınua global e b´osons de Goldstone . . . 12

2.3 Mecanismo de Higgs . . . 15

3 Teoria eletrofraca 18 3.1 Escolhendo o grupo de gauge eletrofraco . . . 18

3.2 Os b´osons de gauge eletrofracos . . . 27

3.3 F´ermions na teoria eletrofraca . . . 34

3.3.1 Um modelo dos l´eptons . . . 35

3.3.2 Gerando massa para os quarks . . . 40

3.4 Os parˆametros da teoria eletrofraca . . . 42

3.4.1 Determina¸c˜ao de v pelo limite de baixas energias . . . 42

3.4.2 Prevendo as massas dos b´osons fracos . . . 44

3.4.3 A massa do Higgs e os parˆametrosλ e µ² . . . 45

3.4.4 Acoplamentos de Yukawa e as massas dos f´ermions . . . 46

4 Considera¸c˜oes finais 47

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Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao

Um dos conceitos mais importantes para a f´ısica de part´ıculas é o de simetria. A razão central para isso é porque o Modelo Padrão de part´ıculas é uma teoria de gauge, e nesse tipo de teoria, ao promovermos as simetrias cont´ınuas globais da lagrangiana a simetrias locais, obtemos intera¸cões mediadas por bósons de spin 1, chamados de bósons degauge, tal como o fóton, da intera¸cão eletromagnética, e os glúons, da intera¸cão nuclear forte.

Desse modo, se conhecermos as simetrias globais da lagrangiana livre que deve descrever os campos de matéria, então somos capazes, a princ´ıpio, de determinar a forma das intera¸cões entre as part´ıculas que correspondem às excita¸cões desses campos, bem como as propriedades dos bósons de gauge mediadores dessas intera¸cões. Com isso, o entendimento de que existe essa rela¸cão fundamental entre simetria local e intera¸cão tem conduzido os f´ısicos em uma busca por desvendar as simetrias da natureza, para que se possa então ter uma compreensão completa das intera¸cões que existem no universo.

Um problema sutil, entretanto, é que existem simetrias das leis f´ısicas que não se manifestam nas escalas de energia e temperatura às quais temos acesso cotidianamente.

Isso ocorre porque existe uma distin¸cão entre as simetrias possu´ıdas pelo estado fundamental de uma teoria e as simetrias subjacentes possu´ıdas pelas equa¸cões de movimento (ou equivalentemente, pela lagrangiana). Desse modo, é poss´ıvel, por exemplo, que as leis f´ısicas que determinam o comportamento de um sistema possuam uma dada simetria, mas que caso ele seja resfriado abaixo de uma certa temperatura cr´ıtica, o estado de menor energia passe a possuir uma simetria menor do que a das equa¸cões de movimento: dizemos então que ocorre uma quebra espontânea de simetria.

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Com efeito, veremos que é isso que ocorre com uma das simetrias fundamentais da f´ısica de part´ıculas, chamada de simetria eletrofracaSU(2)L⊗U(1)Y, pois apesar de ela ser essencial para a formula¸cão da teoria eletrofraca, que fornece uma descri¸cão unificada das intera¸cões eletromagnética e nuclear fraca, o estado de menor energia dessa teoria

é invariante apenas sob o grupo U(1)_EM, associado à intera¸cão eletromagnética. Desse modo, comoU(1)EM é uma simetria menor queSU(2)L⊗U(1)Y, isso nos leva a inferir que de alguma forma, ao longo da expansão e resfriamento do universo, a simetria eletrofraca deve ter sido quebrada espontaneamente, deixando como res´ıduo somente a invariância U(1)_EM.

No entanto, se essa simetria foi de fato quebrada durante algum estágio da evolu¸cão do universo, é natural questionarmos qual processo f´ısico esteve associado a essa quebra.

De acordo com a cosmologia moderna, isso se deve a uma transi¸cão de fase que ocorreu em uma temperatura por volta de k_BT ∼ 300 GeV, o que corresponde a um tempo da ordem de 10⁻¹¹ s após o Big Bang [9]. Como consequência, veremos que um dos campos fundamentais que permeiam o universo, chamado de campo de Higgs, passou a gerar massa para os bósons da intera¸cão nuclear fraca e para todos os férmions eletricamente carregados por meio de um valor esperado do vácuo (VEV) de 246 GeV.

Dessa forma, espera-se que tenha sido nesse estágio bastante inicial da evolu¸cão do universo em que essas part´ıculas se tornaram massivas. Isso significa, essencialmente, que a própria massa não é uma propriedade inerente às part´ıculas elementares, mas adquirida somente devido ao universo se encontrar em um estado de simetria quebrada. De fato, esse é o motivo pelo qual a existência do campo de Higgs é considerada tão relevante pela comunidade de f´ısica de part´ıculas: ele é a maneira mais consistente que temos de explicar por que as part´ıculas fundamentais não estão simplesmente se propagando na velocidade da luz, o que tornaria o universo radicalmente diferente de como ele é.

Com isso, o objetivo deste trabalho é que possamos compreender em n´ıvel intro- dutório a teoria eletrofraca, desde o que é a simetria eletrofraca até a maneira como sua quebra espontânea resulta na gera¸cão de massa para os bósons fracos e para a maioria dos férmions, com excessão dos neutrinos, cuja massa não é explicada pela teoria. Para isso, iniciaremos o trabalho falando sobre três ferramentas que constituirão uma base teórica da qual necessitaremos para que possamos compreender a teoria eletrofraca: o princ´ıpio degauge, a quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs. Em seguida, motiva-

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remos a escolha do grupo de simetria localSU(2)_L⊗U(1)_Y para descrever as intera¸cões eletrofracas, e então finalizaremos com a discussão de como a quebra espontânea dessa simetria degauge resulta em possibilitar a existência de part´ıculas elementares massivas, e qual o papel do campo de Higgs em todo esse processo.

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Cap´ıtulo 2

Fundamentos te´ oricos

Este cap´ıtulo tem como objetivo introduzir os conceitos essenciais dos quais necessitaremos para que possamos compreender a teoria eletrofraca. Come¸caremos com uma breve discussão a respeito das ideias de simetria global, local e princ´ıpio de gauge, e veremos como tal princ´ıpio pode ser aplicado no contexto mais familiar da eletrodinâmica para explicar a maneira por meio da qual a matéria eletricamente carregada interage com o campo eletromagnético. Em seguida, partiremos para o estudo da quebra espontânea de simetria, em que vamos introduzir o conceito de bóson de Goldstone. Por fim, uniremos o princ´ıpio de gauge à quebra espontânea de simetria para chegarmos a um mecanismo de quebra espontânea de simetrias de gauge, chamado de mecanismo de Higgs, o qual permite a formula¸cão de uma descri¸cão consistente de intera¸cões mediadas por bósons vetoriais massivos, tal como ocorre na teoria eletrofraca.

2.1 Princ´ıpio de gauge

O princ´ıpio degaugeé uma maneira de gerarmos intera¸cões entre a matéria e bósons vetoriais por meio da imposi¸cão de que as simetrias cont´ınuas da lagrangiana sejam locais.

Para que possamos compreender melhor o que isso significa e como esse princ´ıpio funciona na prática, ilustraremos sua aplica¸cão na eletrodinâmica quântica (EDQ). Considere então um férmion de massa m descrito pelo espinor de Dirac ψ, cuja lagrangiana livre é dada por¹

L_ψ^livre=iψγ¯ ^µ∂_µψ−mψψ .¯ (2.1)

1Formalmente, essa ´e a densidade lagrangiana, mas abreviaremos a nomenclatura chamando-a de lagrangiana, como ocorre de maneira frequente na literatura de teoria de campos.

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Nessa lagrangiana, γ^µ s˜ao as matrizes de Dirac, definidas por

γ⁰ ≡



 1 0 0 −1



 , γ^k ≡





0 σ_k

−σ_k 0



 , (2.2)

em que σ_k s˜ao as matrizes de Pauli:

σ1 =



 0 1 1 0



 , σ2 =



 0 −i i 0



 , σ3 =





1 0

0 −1



 . (2.3)

Além disso, o campo ¯ψ, chamado de espinor adjunto, é definido por ¯ψ =ψ^†γ⁰. Verifica-se então que a lagrangiana (2.1) é invariante sob as transforma¸cões de fase

ψ →eîqαψ , ψ¯→e^−iqαψ ,¯ (2.4) em que q é uma constante que receberá uma interpreta¸cão mais adiante, e α é a fase que parametriza as transforma¸cões. Devido a essa fase ser, por hipótese, independente da posi¸cão x^µ, essas transforma¸cões de fase são ditas globais, e dizemos então que elas compõem o grupo U(1) global². Portanto, a invariância dessa lagrangiana sob (2.4) significa que ela possui simetria de fase global. Por outro lado, se permitirmos que α seja uma fun¸cão de x^µ, então as transforma¸cões

ψ →eîqα(x)ψ , ψ¯→e^−iqα(x)ψ ,¯ (2.5) são chamadas de transforma¸cões de fase locais³, e nesse caso, a lagrangiana (2.1) não é mais invariante:

Lψ^livre →Lψ^livre−qψγ¯ ^µψ∂µα6=Lψ^livre . (2.6) Para obtermos uma lagrangianaLlocal dotada da propriedade de invariância local de fase, é necessário introduzirmos um campo vetorial A_µ, chamado de campo de gauge, ou campo de calibre. A introdu¸cão desse campo na lagrangiana se dá por meio de um acoplamento m´ınimo, que consiste na substitui¸cão da derivada parcial∂_µpor uma derivada

2U(1) refere-se ao grupo das matrizes 1×1 unitárias, que correspondem a números complexos de módulo 1 (fases).

3“Transforma¸cão local”também é referido na literatura como transforma¸cão de gauge, ou transforma¸cão de calibre.

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covarianteD_µ, definida por

Dµψ =∂µψ+iqAµψ . (2.7)

Assim, o acoplamento m´ınimo resulta na seguinte modifica¸c˜ao da lagrangiana:

L_ψ^livre→Llocal =L_ψ^livre−qψγ¯ ^µψA_µ . (2.8)

Com isso, vemos que o termo adicional que é acrescentado à lagrangiana representa uma intera¸cão entre ψ, ¯ψ e A_µ:

Lint=−qψγ¯ ^µψA_µ. (2.9)

Portanto, a constante de acoplamentoq determina o quão forte é a intera¸cão com o campo de gauge A_µ. Desse modo, se exigirmos que o campo de calibre se transforme da seguinte maneira:

A_µ →A⁰_µ=A_µ−∂_µα , (2.10)

então, resulta que a soma Lψ^livre+Lint é invariante sob transforma¸cões de fase locais.

Isso nos leva à seguinte conclusão: a imposi¸cão de que a lagrangiana possua simetriaU(1) local não somente gera intera¸cões da matéria com um bóson de gauge, como também determina de maneira única a forma dessas intera¸cões, por meio do acoplamento m´ınimo

∂_µ→D_µ.

Para permitirmos que o pr´oprio campo de calibre se propague, devemos adicionar

`

a lagrangiana do sistema um termo cinético para este, que seja invariante tanto sob transforma¸cões de Lorentz como de gauge. Como trata-se de um campo vetorial, esse termo é dado por

LA^livre=−1

4F_µνF^µν , (2.11)

em queF_µν, chamado de tensor intensidade de campo, ´e um invariante de gauge definido a partir do comutador de derivadas covariantes:

F_µν ≡ 1

iq[D_µ, D_ν] =∂_µA_ν−∂_νA_µ. (2.12)

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E relevante notarmos tamb´´ em que um termo de massa para o b´oson degauge, LA^massa = 1

2m²_AA_µA^µ, (2.13)

não é invariante sob transforma¸cões de calibre, o que decorre diretamente da lei de transforma¸cão (2.10). Isso implica que para que a invariância local seja preservada, A_µ não pode ter massa: m_A= 0 . Dessa forma, a lagrangiana total invariante por transforma¸cões degauge é dada por

Ltotal=Lψ^livre+LA^livre+Lint . (2.14) Em particular, se identificarmos a constante q como sendo a carga el´etrica do f´ermion descrito pelo espinor ψ,

q=Q_ψe , (2.15)

onde Q_ψ = −1 para elétrons e +1 para pósitrons, e e é a carga elétrica do próton (e = 1.60217662 × 10⁻¹⁹C), então, as equa¸cões de Euler-Lagrange para o campo de gauge A_µ extra´ıdas da lagrangiana (2.14) são idênticas às equa¸cões de Maxwell em forma manifestamente covariante de Lorentz [10] para o campo eletromagnético interagindo com o férmion em questão:

∂µF^µν =eJ^ν , (2.16)

em que a corrente eletromagnética J^µ do férmion carregado é dada por

J^µ =Q_ψψγ¯ ^µψ . (2.17)

Consequentemente, ao identificarmos q como sendo a carga elétrica, o campo de gauge A_µ deve também ser identificado como sendo o potencial eletromagnético,

A_µ = (V,−A)~ . (2.18)

Isso permite, portanto, darmos uma descri¸cão desse potencial como sendo um campo de calibre associado à simetria U(1) eletromagnética, que daqui em diante chamaremos de U(1)_EM. Além disso, o bóson de gauge correspondente é identificado como sendo o fóton, e a carga elétrica passa a ser interpretada como sendo uma medida do quão forte é a intera¸cão entre o campo fermiônico ψ e o campo do fóton A_µ. Dessa forma, a

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lagrangiana (2.14) passa a descrever a eletrodinˆamica quˆantica:

Ltotal =iψγ¯ ^µ∂_µψ−mψψ¯ − 1

4F_µνF^µν −eJ^µA_µ≡LEDQ . (2.19) Com isso, acabamos de ilustrar que o princ´ıpio de gauge aplicado ao grupo U(1) permite descrevermos as intera¸cões eletromagnéticas. No entanto, o escopo de aplicabi- lidade desse princ´ıpio vai além do eletromagnetismo, uma vez que ele pode também ser estendido para grupos de simetria não-abelianos⁴ [1,17,20], sendo um pilar fundamental para a formula¸cão não somente da EDQ, como também de todo o Modelo Padrão.

Por outro lado, vimos também que sozinho, esse princ´ıpio de simetria local é in- capaz de explicar a existência de bósons vetoriais massivos, e essa incapacidade de in- corporá-los entra em conflito com a observa¸cão de que os mediadores W⁺, W⁻ e Z da intera¸cão fraca possuem massa [12]. Necessitamos, então, de um mecanismo para gerar massa para bósons de calibre sem que a simetria de gauge da lagrangiana seja violada.

Isso nos conduz ao nosso próximo tópico: a quebra espontânea de simetria.

2.2 Quebra espontˆ anea de simetria

Nesta se¸c˜ao, introduziremos o conceito de quebra espontˆanea de simetria (QES).

Tal conceito, assim como o de simetria degauge, também é essencial para o Modelo Padrão da f´ısica de part´ıculas, o qual faz uso de um mecanismo de QES, chamado de mecanismo de Higgs, para gerar massa para os bósons de gauge W⁺, W⁻ e Z.

A QES é uma situa¸cão na qual as equa¸cões de movimento (ou a lagrangiana) de um sistema f´ısico são invariantes sob uma dada transforma¸cão, mas o estado de menor energia do sistema não é. Uma situa¸cão t´ıpica na qual isso ocorre é em ferromagnetos:

a lagrangiana (ou, equivalentemente, a hamiltoniana) do sistema de spins depende do módulo ao quadrado da magnetiza¸cão M~, de modo que ela é invariante sob o grupo SO(3), o qual representa as rota¸cões no espa¸co tridimensional [11, 16]. Acima de uma temperatura cr´ıticaTc, chamada de temperatura de Curie, o sistema encontra-se em sua fase paramagnética, em que os spins estão completamente desordenados, de modo que a magnetiza¸cão total é aleatória, e o estado de menor energia resulta também ser invariante sob rota¸cões tridimensionais [2].

4Grupos não-abelianos são grupos cujos elementos não comutam [21].

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Entretanto, se resfriarmos o ferromagneto abaixo da temperatura de Curie, o sistema sofre uma transi¸cão para a fase ferromagnética, em que as intera¸cões entre os spins geram uma magnetiza¸cão espontânea, a qual alinha-os em uma dire¸cão espec´ıfica. Nessa situa¸cão, apesar de a lagrangiana possuir simetriaSO(3), o estado de menor energia não mais compartilha desta, tendo sua simetria quebrada aSO(2), isto é, somente às rota¸cões do sistema no plano perpendicular à dire¸cão de alinhamento dos spins.

Buscamos então, de modo similar, fazer uso da ideia de quebra espontânea de simetria para construirmos uma visão de como ela se aplica no contexto da f´ısica de part´ıculas, e em particular, à teoria eletrofraca. No entanto, do ponto de vista didático, seria inadequado aplicarmos a QES diretamente a um caso tão complexo como o da simetria eletrofraca, já que, como veremos no próximo cap´ıtulo, ela é uma simetria cont´ınua, local, e ainda não-abeliana.

Desse modo, vamos come¸car compreendendo casos mais simples de QES, para que possamos aumentar gradualmente o n´ıvel de generalidade: primeiro estudaremos a quebra espontˆanea de uma simetria discreta, e em seguida, a de uma simetria cont´ınua global.

Isso constituirá uma prepara¸cão para que, na próxima se¸cão, abordemos finalmente o mecanismo de Higgs, que mistura a ideia de QES à de simetria de calibre local, permitindo entendermos como podemos ter uma teoria de gauge consistente com a existência de bósons vetoriais massivos.

2.2.1 QES discreta

Como um primeiro exemplo de quebra espontˆanea de simetria, consideramos um campo escalar real descrito pela seguinte lagrangiana:

L = 1

2∂µφ∂^µφ− 1

2µ²φ² −1

4λφ⁴ , (2.20)

em que por hip´otese, devemos ter λ >0. Exigimos que o parˆametro λ seja positivo para que o potencial

V(φ) = 1

2µ²φ²+1

4λφ⁴ (2.21)

seja limitado inferiormente, e consequentemente, para que a energia do sistema também possua limite inferior. Note então que a lagrangiana (2.20) é invariante pela transforma¸cão

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discreta

φ → −φ . (2.22)

Dada essa simetria da lagrangiana em questão, desejamos descobrir se o vácuo⁵ desta teoria também é invariante por tal transforma¸cão. Para isso, precisamos primeiramente encontrar os m´ınimos de energia, os quais coincidem com os m´ınimos do potencial V(φ). Desse modo, temos que os pontos estacionários do potencial são dados por

0 = dV dφ

φ0

=φ0(µ²+λφ²₀) =⇒ φ0(µ² +λφ²₀) = 0, (2.23)

cujas solu¸c˜oes s˜ao φ₀ = 0 e φ₀ = ± q

−^µ_λ². A an´alise pode ent˜ao ser dividida em dois casos:

Caso 1: µ² >0 .

Nesse caso, as solu¸c˜oes φ₀ = ± q

−^µ_λ² não são válidas, já que implicariam em pontos estacionários imaginários. Assim, V(φ) possui um único m´ınimo, que ocorre na configura¸cãoφ₀ = 0. Esse m´ınimo é invariante sob a transforma¸cão (2.22):

φ₀ = 0→ −φ₀ = 0 =φ₀ . (2.24)

Desse modo, (2.22) é uma simetria não somente da lagrangiana, como também do estado de vácuo. Além disso, a positividade de µ² implica que o termo −¹₂µ²φ² na lagrangiana pode ser interpretado como um termo de massa para φ.

Caso 2: µ² <0 .

Nessa situa¸cão, temos que há três configura¸cões estacionárias, dadas porφ⁽¹⁾₀ = 0, a qual representa um máximo local de V(φ), e φ⁽²⁾₀ = +

q

−^µ_λ² , φ⁽³⁾₀ =− q

−^µ_λ², que são as configura¸cões do campo com menor energia, logo, o vácuo é duplamente degenerado.

Todavia, para analisarmos as pequenas excita¸cões do campo em torno de uma configura¸cão de equil´ıbrio estável, precisamos primeiramente escolher um m´ınimo do potencial para expandirmos em torno deste, de modo que somos for¸cados a escolher em torno de qual dos vácuos iremos realizar a expansão. Como a lagrangiana é invariante sob a transforma¸cão (2.22), a escolha entreφ⁽²⁾₀ e φ⁽³⁾₀ é irrelevante, já que a dinâmica do campo não será afetada por isso. No entanto, uma vez realizada, tal escolha conduz a

5O termo “vácuo”, ou “estado de vácuo”, é utilizado para descrever o estado de menor energia de uma teoria de campos.

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Figura 2.1: V(φ) para diferentes valores do parˆametroµ², fixando-se um valor deλ >0.

uma quebra espontânea de simetria, já que embora a lagrangiana seja invariante, porém o estado de menor energia da teoria não é. Por exemplo, se escolhermos o vácuo como sendo

v =φ⁽²⁾₀ = + r

−µ²

λ , (2.25)

então, uma configura¸cão de m´ınima energia é levada na outra:

v =φ⁽²⁾₀ = + r

−µ²

λ →φ⁽³⁾₀ =− r

−µ²

λ 6=φ⁽²⁾₀ , (2.26) deixando expl´ıcito que, uma vez escolhido um vácuo, ele não será invariante sob a transforma¸cão em questão, embora a lagrangiana seja. Adicionalmente, notamos que como estamos supondo µ² <0, o termo −¹₂µ²φ² não pode ser interpretado como um termo de massa, já que isso implicaria em uma massa µimaginária.

Com essa análise dos dois casos poss´ıveis, veja que à medida que o parâmetro µ² passa de valores positivos para negativos, o vácuo do sistema sofre uma transi¸cão para um estado de simetria quebrada, como está ilustrado na figura (2.1). As excita¸cões do campo em torno do vácuo φ⁽²⁾₀ = v podem então ser obtidas se considerarmos pequenas perturba¸cões de φem torno dele. A perturba¸cão pode ser expressa comoη(x) = φ(x)−v,

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de modo que

V(φ) = V(v) + dV dφ

v

η+1 2

d²V dφ² v

η²+ 1 6

d³V dφ³ v

η³+ 1 24

d⁴V dφ⁴ v

η⁴ .

(2.27)

Utilizando a express˜ao (2.21) para o potencial, podemos calcular as derivadas ^d_dφⁿ^Vn|_v que aparecem em (2.27), de modo que obtemos

V = 1 2(p

−2µ²)²η²+λvη³ +1

4λη⁴− 1

4λv⁴ . (2.28)

Com isso, a lagrangiana (2.20) ´e equivalente a L = 1

2∂_µη∂^µη− 1 2(p

−2µ²)²η²−λvη³− 1

4λη⁴+1

4λv⁴ . (2.29) Note ent˜ao a presen¸ca do termo −¹₂(p

−2µ²)²η² contido emL, que corresponde a um termo de massa para a perturba¸cão: isso mostra que essa quebra espontânea de simetria discreta resulta na gera¸cão de um escalar massivo η, cuja massa é dada por p

−2µ². Como veremos mais à frente, algo similar a isso também ocorre na QES eletrofraca, resultando em um escalar massivo que recebe o nome de bóson de Higgs.

2.2.2 QES cont´ınua global e b´ osons de Goldstone

Veremos agora que a quebra espontânea de uma simetria cont´ınua global introduz um novo aspecto em rela¸cão ao caso de simetrias discretas: ela resulta também na gera¸cão de part´ıculas escalares sem massa. Para compreendermos como isso ocorre por meio de um exemplo, consideramos um escalar complexoφ = ^√¹

2(φ₁ +iφ₂) descrito pela seguinte lagrangiana:

L = (∂_µφ)^∗(∂^µφ)−µ²|φ|²−λ|φ|⁴ . (2.30) Novamente, supomos λ > 0 para que haja um vácuo bem definido na teoria. Esta lagrangiana é invariante sob as transforma¸cões U(1) globais

φ→e^iθφ , φ^∗ →e^−iθφ^∗ . (2.31)

(21)

Figura 2.2: V(φ₁, φ₂) paraµ²>0.

Tais transforma¸cões constituem, portanto, uma simetria cont´ınua da lagrangiana, já que o parâmetro constante θ pode assumir um conjunto cont´ınuo de valores. Desse modo, em analogia com o que fizemos na se¸cão anterior, desejamos agora saber se o estado de vácuo também usufrui da simetria U(1) possu´ıda pela lagrangiana. Assim, buscamos pelos m´ınimos do potencial

V(|φ|) =µ²|φ|²+λ|φ|⁴ = 1

2µ²(φ²₁ +φ²₂) + 1

4λ(φ²₁+φ²₂)² =V(φ₁, φ₂), (2.32) cujos pontos estacion´arios s˜ao dados por

0 = dV d|φ|

_|φ|

0

=|φ|0(2µ²+ 4λ|φ|²₀). (2.33)

As solu¸cões dessa equa¸cão são |φ|₀ = 0 e |φ|₀ = q−µ²

2λ , e novamente a an´alise destas se divide em dois casos:

Caso 1: µ² >0.

Nesse caso, a solu¸c˜ao|φ|₀ = q−µ²

2λ não se aplica, já que resultaria em|φ|₀ ter um módulo imaginário. Desse modo, há um único vácuo, dado por|φ|₀ = 0, como ilustramos por meio da figura (2.2).

Caso 2: µ² <0.

Nessa situa¸cão, que está representada na figura (2.3), a solu¸cão |φ|₀ = 0 corresponde a um máximo local do potencial, enquanto que |φ|₀ =

q−µ²

2λ descreve as configura¸cões que minimizam a energia. Veja que qualquer configura¸cão do campo cujo módulo seja

q−µ²

2λ minimiza este potencial, logo, temos um conjunto cont´ınuo de vácuos distintos. Como a lagrangiana é invariante sob transforma¸cõesU(1) globais, a escolha de um vácuo em particular é arbitrária, porém para qualquer escolha que fa¸camos, a simetria

(22)

ser´a espontaneamente quebrada. Por exemplo, se escolhermos a configura¸c˜ao

Figura 2.3: V(φ1, φ2) paraµ²<0.

hφi₀ = v

√2 = r

−µ²

2λ , (2.34)

ent˜ao, ao realizarmos uma transforma¸c˜ao de fase,

hφi₀ →e^iθhφi₀ , (2.35)

o vácuo escolhido é levado em outra das configura¸cões que minimizam a energia, e não em si próprio, logo, não é invariante. Para descrevermos as excita¸cões do campo em torno deste vácuo, nós definimos as perturba¸cões

η=φ₁−v , ξ =φ₂ .

(2.36)

Em seguida, após expandimos o potencial (2.32) em torno de (2.34), a lagrangiana (2.30), expressa em termos das perturba¸cões, é dada por

L = 1

2∂_µη∂^µη−1 2(p

−2µ²)²η²+ 1

2∂_µξ∂^µξ+ termos de intera¸c˜ao. (2.37) Identificamos imediatamente queL descreve agora um campo escalar real massivo η, cuja massa ´em_η =p

−2µ², e também um escalarξsem massa. Esse exemplo ilustrativo em que a quebra espontânea da simetria U(1) global resulta na gera¸cão de um escalar sem massa é um caso particular de um teorema mais geral, devido a Goldstone [8], o qual afirma que quando uma simetria cont´ınua global é espontaneamente quebrada, então a cada gerador quebrado, corresponde uma part´ıcula escalar sem massa, chamada de

(23)

um b´oson de Goldstone. Uma demonstra¸c˜ao formal do teorema de Goldstone pode ser encontrada em [7,11].

Temos então um problema, uma vez que esse teorema parece indicar a existência de part´ıculas escalares sem massa na natureza, porém uma vez que não há evidência experimental da existência desse tipo de part´ıcula, é necessário encontrarmos uma maneira alternativa de quebrar simetrias sem gerar como resultado bósons de Goldstone. Isso nos conduz ao mecanismo de Higgs, que como veremos na próxima se¸cão, consegue não somente contornar o problema dos escalares sem massa, como ainda é capaz de gerar massa para bósons de gauge.

2.3 Mecanismo de Higgs

Ao estudarmos o princ´ıpio degaugena se¸cão 2.1, vimos que ele requer que a massa dos bósons de gauge seja zero, pois um termo de massa para essas part´ıculas violaria a simetria local de calibre. Todavia, observa-se na natureza a existência de bósons de spin 1 massivos atuando como mediadores da intera¸cão nuclear fraca, de modo que urge, portanto, a formula¸cão de um mecanismo que permita explicarmos como é poss´ıvel essas part´ıculas adquirirem massa sem que a simetria degauge subjacente seja violada.

Isso pode ser feito por meio de um mecanismo de quebra espontânea de simetria local que recebe o nome de mecanismo de Higgs [6], porém antes de entendermos como ele pode ser aplicado para explicarmos a massa dos bósons fracos, ilustraremos seu funciona- mento fazendo uso de um exemplo mais simples: vamos gerar massa para um bóson de gauge associado à simetria abeliana U(1). Para isso, consideremos a lagrangiana de um campo escalar complexoφ submetido ao potencial (2.32), e interagindo com um bóson de calibreA_µ por meio do acoplamento m´ınimo∂_µ →D_µ:

L = (D_µφ)^∗(D^µφ)− 1

4F_µνF^µν −µ²|φ|²−λ|φ|⁴ . (2.38) Da discussão feita na se¸cão 2.1, sabemos que as intera¸cões com o campo degauge fornecem a essa lagrangiana simetriaU(1) local. Entretanto, sabemos também que quando o parâmetro µ² é negativo, essa simetria é quebrada espontaneamente. As perturba¸cões

(24)

do campoφem torno do v´acuo (2.34) podem ent˜ao ser parametrizadas da seguinte forma:

φ= exp iξ

v

(v+η)

√2 ≈ 1

√2(v+η+iξ). (2.39)

Assim, se substituirmos (2.39) em (2.38), n´os obtemos

L =

escalar massivo

z }| {

1

2∂µη∂^µη− 1 2(p

−2µ²)²η²+

Goldstone

z }| { 1

2∂µξ∂^µξ+intera¸c˜oes+

− 1

4F_µνF^µν+ q²v² 2 A_µA^µ

| {z }

b´oson degaugemassivo

+qvA_µ∂^µξ .

(2.40)

Desse modo, o bóson de gauge A_µ adquire uma massa, dada por m_A = qv. Por outro lado, há ainda um grande inconveniente a ser tratado: apesar de termos gerado massa para A_µ, ainda temos na lagrangiana o escalar sem massa ξ. Nesse ponto, é que a simetria U(1) local da lagrangiana exerce um papel fundamental: já que temos essa liberdade de calibre local, realizaremos uma transforma¸cão de gauge escolhendo o parâmetroα(x) da seguinte maneira,

α(x) =− 1

qvξ(x), (2.41)

isto ´e,

φ →φ⁰ = exph iq

− 1

qvξ(x)i

φ . (2.42)

Mas como parametrizamosφ de acordo com (2.39), resulta que φ⁰ = exph

iq

− 1

qvξ(x)i exp

iξ(x) v

(v +η)

√2 = 1

√2(v+η). (2.43)

Portanto, com esta escolha de gauge, chamada de gauge unit´ario, o campo escalar complexo φ ´e transformado em um campo φ⁰ inteiramente real:

φ→φ⁰ = 1

√2(v+η). (2.44)

Al´em disso, o campo A_µ se transforma em

Aµ →A⁰_µ=Aµ+ 1

qv∂µξ . (2.45)

(25)

Desse modo, a lagrangiana (2.40) se torna

L =

escalar massivo

z }| {

1

2∂_µη∂^µη−1 2(p

−2µ²)²η²

b´oson degaugemassivo

z }| {

−1

4F_µνF^µν +q²v²

2 A⁰_µA⁰^µ+ +1

2q²(η+ 2v)ηA⁰_µA^0µ− λ

4η³(η+ 4v)

| {z }

intera¸c˜oes

.

(2.46)

Assim, a escolha (2.41) para o parâmetro de gauge elimina o bóson de Goldstone ξ da lagrangiana, como podemos ver de (2.46). Na verdade, o que ocorre é que o grau de liberdade possu´ıdo inicialmente por esse escalar sem massa é incorporado a A⁰_µ, que além das duas polariza¸cões transversais originalmente possu´ıdas, adquire também uma polariza¸cão longitudinal, de modo que o número total de graus de liberdade é conservado:

inicialmente, temos um para φ₁, outro para φ₂ e mais dois para A_µ, e após a quebra espontânea de simetria, temos η com um grau de liberdade eA⁰_µ com três. É importante compreendermos também que as predi¸cões f´ısicas da teoria não dependem da escolha de calibre, mas que nogauge unitário, os campos que aparecem na lagrangiana correspondem

`

as part´ıculas f´ısicas.

Outro ponto importante de ser ressaltado é a diferen¸ca que existe entre a situa¸cão de adicionarmos manualmente um termo de massa para os bósons degauge, e a de gerarmos massa para essas part´ıculas utilizando o mecanismo de Higgs. A primeira situa¸cão resultaria em uma quebra expl´ıcita de simetria, já que nesse caso, a lagrangiana não seria invariante sob transforma¸cões de calibre. Já o mecanismo de Higgs faz uso de uma quebra espontânea de simetria, na qual embora o estado de vácuo perca sua simetria original, a lagrangiana em si mantém preservada sua invariância de gauge.

Agora que consolidamos uma base teórica apropriada, veremos no próximo cap´ıtulo como as ideias de simetria degauge, quebra espontânea de simetria e mecanismo de Higgs, que acabamos de introduzir, podem ser aplicadas para compreendermos o setor eletrofraco do Modelo Padrão.

(26)

Cap´ıtulo 3

Teoria eletrofraca

No cap´ıtulo anterior, ilustramos por meio de um exemplo utilizando a simetria abeliana U(1) que ao unirmos o princ´ıpio de gauge à quebra espontânea de simetria, é poss´ıvel obtermos uma teoria com bósons de calibre massivos sem violarmos a invariância local da lagrangiana. Tal exemplo serve como um protótipo para o modelo que vamos estudar ao longo deste cap´ıtulo: agora, nosso objetivo é o de aplicarmos as ferramentas introduzidas anteriormente para compreendermos como é constru´ıda a teoria que fornece uma descri¸cão unificada das intera¸cões eletromagnética e fraca, resultando no que é chamado de teoria de Weinberg-Salam das intera¸cões eletrofracas [14, 18].

3.1 Escolhendo o grupo de gauge eletrofraco

A teoria eletrofraca, assim como a eletrodinâmica quântica, também é uma teoria de gauge. Portanto, o primeiro passo que devemos dar para que possamos compreendê- la é argumentarmos qual grupo de simetria é adequado para dar origem às intera¸cões eletrofracas. Com esse objetivo, come¸caremos fazendo uma distin¸cão importante entre a forma das intera¸cões eletromagnética e nuclear fraca.

No caso da EDQ, a quadri-corrente eletromagnética J_µêm gerada por um lépton eletricamente carregadol (l=e, µ, τ)¹ é dada por:

J_µ^em =Q_l¯lγ_µl , (3.1)

1e, µ, τ representam os campos do elétron, múon e tau, respectivamente, que são os léptons carregados do Modelo Padrão.

(27)

Figura 3.1: Diagrama de Feynman de dois v´ertices para o espalhamentoe⁻τ⁻→e⁻τ⁻.

com Q_l = −1. Esse tipo de corrente se transforma como um quadri-vetor [16], dando origem a uma importante propriedade das intera¸cões eletromagnéticas: elas respeitam a simetria de paridade. Por exemplo, se considerarmos um processo de espalhamento entre um elétron e um tau e utilizarmos as regras de Feynman², então a amplitude de espalhamento para o diagrama de dois vértices mostrado na figura (3.1) resulta ser da forma

M=−e²

q²J_e·J_τ , (3.2)

com J_e·J_τ = η_µνJ_e^µJ_τ^µ. Mas como essas correntes são quadri-vetores, o efeito de uma transforma¸cão de paridade sobre elas é o seguinte:

J⁰ −→^P J⁰ , J^{i P}−→ −Jⁱ, (3.3) de modo que o produto escalar se torna

J_e·J_τ =J_e⁰J_τ⁰−J_eⁱJ_τⁱ −→^P J_e⁰J_τ⁰−(−J_eⁱ)(−J_τⁱ) =J_e⁰J_τ⁰−J_eⁱJ_τⁱ =J_e·J_τ . (3.4) Isso implica que a amplitude de espalhamento do processo é invariante sob paridade. Esse exemplo ilustra, portanto, que de fato as intera¸cões eletromagnéticas respeitam a simetria de paridade.

Por outro lado, o mesmo não é verdade no caso das intera¸cões fracas: é conhe- cido empiricamente que elas violam a simetria em questão. Um experimento pioneiro para revelar essa propriedade fundamental foi o experimento de Wu [19], conduzido em 1956 pela f´ısica Chien-Shiung Wu em colabora¸cão com o Grupo de Baixas Temperatu-

2Para uma introdu¸c˜ao `as regras de Feynman, pode-se consultar [16].

(28)

ras do National Bureau of Standards. Nele, foi estudado o decaimento β do Cobalto-60 polarizado,

60Co (polarizado)→⁶⁰ Ni +e⁻+ ¯ν_e . (3.5) Os núcleos do ⁶⁰Co tiveram seus momentos magnéticos alinhados a um campo magnético externo B, e com a ocorrˆ~ encia do decaimento β, elétrons foram emitidos em diferentes dire¸cões com rela¸cão à do campoB. Foi observado ent˜~ ao que mais elétrons foram emitidos no hemisfério oposto ao sentido de aplica¸cão desse campo externo, constituindo portanto uma evidência para a viola¸cão de paridade nas intera¸cões nucleares fracas.

Essa viola¸cão requer que a estrutura de correntes da intera¸cão nuclear fraca seja diferente da que existe na EDQ, pois caso as correntes fracas fossem quadri-vetores, tal como a da eletrodinâmica, então a paridade seria conservada. Torna-se necessário, portanto, propor um modelo teórico para a forma das correntes fracas que seja compat´ıvel com a viola¸cão de paridade que pode ser experimentalmente observada.

De fato, como observado por Feynman e Gell-Mann [5], o tipo de corrente que explica a viola¸cão de paridade que é observada na intera¸cão fraca de corrente carregada consiste em uma combina¸cão linear de um vetor com um vetor axial:

J_µ⁻ = ¯νγµl

|{z}vetor

− νγ¯ µγ5l

| {z }

vetor axial

= ¯νγµ(1−γ5)l , (3.6)

J_µ⁺ = ¯lγ_µν

|{z}vetor

− ¯lγ_µγ₅ν

| {z }

vetor axial

= ¯lγ_µ(1−γ₅)ν , (3.7) em que ν é o neutrino do lépton l, e γ₅ é uma matriz 4×4 definida por

γ₅ ≡iγ⁰γ¹γ²γ³ =



 0 1 1 0



 . (3.8)

Devido à forma “vetor - vetor axial”que podemos observar em (3.6) e (3.7), essa estrutura de correntes recebe o nome de estrutura V −A. Utilizando então os projetores de mão esquerda e mão direita, definidos por

PL ≡ 1

2(1−γ5), PR ≡ 1

2(1+γ5), (3.9)

(29)

temos que

2¯l_Lγ_µν_L= 2¯lP_Rγ_µP_Lν = 2¯lγ_µP_L²ν = 2¯lγ_µP_Lν = ¯l(1−γ₅)ν =J_µ⁺. (3.10) Ou seja,

J_µ⁺= 2¯l_Lγ_µν_L, (3.11)

e de maneira an´aloga,

J_µ⁻= 2¯ν_Lγ_µl_L. (3.12)

Isso revela que apenas léptons de mão esquerda contribuem para J_µ^±, implicando que léptons de mão direita não são capazes de sentir as intera¸cões fracas de corrente carregada.

Outra propriedade conhecida é que os números leptônicos associados aos diferentes sabores (tipo-elétron, tipo-múon e tipo-tau) são conservados separadamente [11], indicando portanto que eles devem formar representa¸cões distintas do grupo de gauge.

Isso sugere a introdu¸cão, para cada gera¸cão de léptons, de um dubleto de mão esquerda, chamado de dubleto de isospin fraco:

L≡



 ν

l





L

=



 νL

l_L



=



 PLν

P_Ll



 . (3.13)

Por outro lado, como a intera¸cão fraca se acopla somente a part´ıculas de mão esquerda, nós organizamos os léptons de mão direita em singletos de isospin fraco,

R≡P_Rl =l_R . (3.14)

Com isso, a lagrangiana cin´etica para os l´eptons l e ν, dada por,

Ll,ν =i¯lγ^µ∂_µl+i¯νγ^µ∂_µν , (3.15)

pode ser expressa em termos deL e R do seguinte modo:

Ll,ν =i¯lγ^µ∂_µl+i¯νγ^µ∂_µν = ¯l_Riγ^µ∂_µl_R+ ¯l_Liγ^µ∂_µl_Li¯ν_Lγ^µ∂_µν_L=iRγ¯ ^µ∂_µR+iLγ¯ ^µ∂_µL , (3.16)

(30)

ou seja,

Ll,ν =iRγ¯ ^µ∂µR+iLγ¯ ^µ∂µL . (3.17) De modo análogo ao que fizemos no cap´ıtulo anterior para obtermos a intera¸cão eletromagnética dos férmions, desejamos identificar as simetrias globais da lagrangiana cinética leptônica (3.17), para então torná-las locais por meio da introdu¸cão de intera¸cões com bósons de gauge.

Assim, notamos primeiramente queLl,ν ´e invariante sob as transforma¸c˜oesSU(2) globais

L→exp

igTaθ^a

L , R →R , (3.18)

que por atuarem somente no dubleto de mão esquerda L, recebem o nome de grupo SU(2)_L. Na equa¸cão (3.18), θâ são três ângulos que parametrizam as transforma¸cões, g é uma constante de acoplamento análoga ao acoplamento e que introduzimos no caso eletromagnético, e T_a = ^σ₂â são os geradores de SU(2)_L, conjuntamente chamados de isospin fraco. Esses geradores satisfazem a álgebra

[T_a, T_b] =i_abcT_c , (3.19)

em que abc é o s´ımbolo de Levi-Civita, definido por 123 = 1 e pela propriedade de ser antissimétrico por permuta¸cões de quaisquer dois de seus três ´ındices.

Al´em disso, a partir dos geradoresT1 eT2, pode-se construir operadores de levan- tamento e abaixamento da componenteT₃ do isospin fraco, dados por

T_± =T₁±iT₂ . (3.20)

Como a componente superior do dubleto de mão esquerda (que é o neutrino de mão esquerda) tem T₃ = +1/2, e a componente inferior (que é o lépton carregado de mão esquerda) tem T₃ = −1/2, esses operadores permitem convertermos neutrinos de mão esquerda em léptons carregados de mão esquerda, e vice-versa. Mas essa é justamente uma propriedade da intera¸cão fraca de corrente carregada: ela promove uma mudan¸ca de sabor. Isso é um primeiro indicativo de que a simetriaSU(2)_Lestá relacionada à intera¸cão nuclear fraca.

Outro indicativo disso é que como os léptons de mão direita estão organizados em

(31)

singletos, eles são invariantes sob as transforma¸cões SU(2)_L, e consequentemente, não sofrem mudan¸ca de sabor. Isso está de acordo com nossa observa¸cão de que somente léptons de mão esquerda interagem por meio da corrente fraca carregada.

Por outro lado, a lagrangiana (3.15) também é invariante sob as transforma¸cões U(1)_EM globais

l→e^ieQ^l^ϕl , ¯l →e^−ieQ^l^ϕ¯l , ν →ν . (3.21) Em termos deL e R, essas transforma¸c˜oes podem ser expressas como

L→eîeQϕL , L¯ →Le¯ ^−ieQϕ , R→eîeQ^l^ϕR , R¯ →e^−ieQ^l^ϕR ,¯ (3.22) em que definimos Q como sendo a matriz que representa a carga elétrica do dubleto SU(2)_L:

Q≡



 Q_ν 0

0 Q_l



=





0 0

0 −1



 . (3.23)

Dessa forma, acabamos de constatar que a lagrangiana cinética leptônica (3.15) possui separadamente as simetrias globaisSU(2)_LeU(1)_EM, cujos geradores são o isospin fraco e a carga elétrica, respectivamente. No entanto, ao realizarmos a composi¸cão de uma transforma¸cãoSU(2)_L com U(1)_EM, obtemos o seguinte:

Ll,ν →iL¯

e^−ieQϕe^−igT^a^θ^ae^+ieQϕe^+igT^b^θ^b

γ^µ∂_µL+iRγ¯ ^µ∂_µR . (3.24) Assim, vemos que o termo iLγ¯ ^µ∂_µL será invariante somente caso a carga elétrica Q comute com as três componentes T_a do isospin fraco. No entanto, pode-se verificar a partir da forma matricial desses geradores que T₁ e T₂ não comutam com Q:

[T₁, Q]6= 0 , [T₂, Q]6= 0. (3.25) Entretanto, se definirmos a quantidade

Y ≡2(Q−T₃), (3.26)

chamada de hipercarga fraca, ent˜ao nesse caso, temos que a hipercarga fraca do dubleto

(32)

leptônico de mão esquerda é dada por

Y =





−1 0 0 −1



 . (3.27)

Consequentemente, verifica-se queY comuta com os trˆes geradores de SU(2)_L:

[T_a, Y] = 0 . (3.28)

Além disso, assim como a carga elétrica, a hipercarga fraca também gera transforma¸cões de fase, que chamaremos de U(1)_Y, para distinguirmos das transforma¸cões U(1)EM geradas por Q. As transforma¸cões geradas porY são dadas por

L→exp ig⁰Y_L

2 α

L , R→exp ig⁰Y_R

2 α

R , (3.29)

em queY_L eY_Rs˜ao as hipercargas fracas de LeR, e definimos g⁰ como sendo a constante de acoplamento deU(1)_Y.

Desse modo, emboraY eQguardem certa semelhan¸ca por serem ambos geradores de transforma¸cões de fase, a diferen¸ca essencial que existe entre as transforma¸cões de fase (3.29) geradas pela hipercarga fraca e aquelas geradas pela carga elétrica é que, devido a Y comutar com T₁, T₂ e T₃, a lagrangiana (3.15) será invariante não somente sob as transforma¸cões SU(2)_L e U(1)_Y separadamente, mas também sob a composi¸cão delas, o que constitui uma simetria ainda maior. De fato, isso fica expresso matematicamente pela constata¸cão de que as rela¸cões de comuta¸cão (3.19) e (3.28) caracterizam a álgebra do grupo SU(2)_L⊗U(1)_Y, que corresponde ao maior grupo de simetria da lagrangiana em questão [11, 18].

ComoSU(2)_L⊗U(1)_Y é um grupo com quatro geradores (T₁, T₂, T₃ eY), então, a invariância global sob essas transforma¸cões implica, por meio do teorema de Noether [10], que para cada gerador dessa simetria, teremos uma corrente conservada. Essas correntes são dadas por

J_µ^a = ¯Lγ_µσ^a

2 L , (3.30)

J_µ^Y = ¯Lγ_µY_LL+ ¯Rγ_µY_RR . (3.31) Al´em disso, pode-se verificar, por meio da defini¸c˜ao (3.26) da hipercarga fraca, que

(33)

Y_L=−1 e Y_R =−2, logo, podemos reescrever J_µ^Y do seguinte modo:

J_µ^Y =−Lγ¯ _µL−2 ¯Rγ_µR . (3.32) As correntesJ_µâ são então chamadas de correntes de isospin fraco, eJ_µ^Y recebe o nome de corrente de hipercarga fraca. De forma expl´ıcita, temos que:

J_µ¹ = 1 2

¯ ν_L ¯l_L

γ_µ



 0 1 1 0







 ν_L

l_L



= 1

2(¯l_Lγ_µν_L+ ¯ν_Lγ_µl_L), J_µ² = 1

2

¯ ν_L ¯l_L

γ_µ



 0 −i

i 0







 ν_L

l_L



= i

2(¯l_Lγ_µν_L−ν¯_Lγ_µl_L), J_µ³ = 1

2

¯ ν_L ¯l_L

γ_µ





1 0

0 −1







 ν_L

l_L



= 1

2(¯ν_Lγ_µν_L−¯l_Lγ_µl_L).

(3.33)

Isso permite expressarmos as correntes fracas carregadas (3.6) e (3.7) em termos de J_µ¹ e J_µ²:

J_µ^±= 2(J_µ¹∓iJ_µ²). (3.34) Adicionalmente, a corrente eletromagn´etica (3.1) pode ser expressa em termos de J_µ³ e J_µ^Y:

J_µ^em =J_µ³+ 1

2J_µ^Y . (3.35)

Com isso, a introdu¸cão da quantidade que chamamos de hipercarga fraca permitiu identificarmos que a maior simetria cont´ınua global da lagrangiana cinética leptônica é sob o grupoSU(2)_L⊗U(1)_Y, e que tanto a corrente fraca carregada como a eletromagnética podem ser expressas como combina¸cões das correntes conservadas associadas à invariância em questão, dando um indicativo de que tanto a EDQ como a intera¸cão fraca poderão ser obtidas quando procedermos para tornar essa simetria local.

Assim, nosso próximo passo é aplicarmos o princ´ıpio de gauge, ou seja, vamos construir para os léptons uma lagrangiana dotada de simetria SU(2)_L ⊗ U(1)_Y local.

Para isso, devemos ter um campo de calibre para cada um dos quatro geradores do grupo em quest˜ao:

T_a =⇒ W_µ^a , Y =⇒ B_µ . (3.36)

(34)

Esses campos devem se transformar da seguinte maneira [1]:

T_aW_µâ →eîgT^j^θ^jT_aW_µâe^−igT^k^θ^k − i

ge^igT^j^θ^j∂_µe^−igT^k^θ^k , (3.37)

B_µ→B_µ−∂_µα . (3.38)

A partir desses campos de calibre, constru´ımos a derivada covariante D_µL=∂_µL+igσ_a

2 W_µ^aL+ig⁰Y

2B_µL , (3.39)

D_µR =∂_µR+ig⁰Y

2B_µR , (3.40)

sendo g e g⁰ os acoplamentos de gauge para SU(2)_L e U(1)_Y, respectivamente. Lembre ent˜ao que no caso abeliano estudado no cap´ıtulo anterior, n´os utilizamos o comutador de derivadas covariantes para definir o tensor intensidade de campo (2.12). Procedendo de maneira semelhante, temos o seguinte:

[D_µ, D_ν]L= igσ_a

2W_µν^a +ig⁰Y 2B_µν

L , (3.41)

em que definimos os tensores intensidade de campo associados a W_µâ e B_µ como sendo W_µνâ ≡∂_µW_ν−∂_νW_µ+gâbcW_µ^bW_ν^c, (3.42) e

B_µν ≡∂_µB_ν −∂_νB_µ . (3.43)

Note que como os campos degauge W_µâ estão associados aos geradores deSU(2)_L, que é um grupo não-abeliano, tem-se como consequência o termo adicional gâbcW_µ^bW_ν^c no tensor intensidade de campo W_µνâ , o qual representa auto-intera¸cões entre os campos W_µ¹, W_µ² e W_µ³. A partir dos tensores intensidade de campo, podemos definir, de modo análogo a (2.11), um termo cinético para os campos de gauge como sendo

Lgauge =−1

4W_µν^a W_a^µν− 1

4BµνB^µν . (3.44)