independentes
Teorema
de Bayes
Um ou mais eventos pode (m) ser classificado (s) como independente (s) quando a realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de ocorrência do outro, e vice-versa.
Quando dois eventos são independentes, P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B ).
Nota na prova e ter feito a prova de chinelo;
O valor de venda de um produto e a cor do cabelo das funcionárias que o fabricaram.
A probabilidade condicional, ou seja, as chances de um evento A ocorrer, dado que outro evento B ocorreu, é dada por:
P ( A | B ) = P ( A ∩ B )
para P ( B ) > 0.
O teorema de Bayes propõe que, se os eventos E1 , E2, …, En são partições do espaço amostral Ω, então:
P ( Ei| B ) = P ( B | Ei ) . P ( Ei ) P ( B ) P ( B )
Um ou mais
eventos pode (m)
ser classificado (s)
como independente
(s) quando a
realização de um
dos eventos não
afeta a probabilidade
de ocorrência do
outro, e vice-versa.
Recorrendo à lei de probabilidade total, é possível inferir que:
P ( Ei | B ) = P ( B | Ei ) . P ( Ei )
∑ P ( B | Ej ) . P (Ej )
Seja B1, B2, …, Bn um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o espaço amostral Ω. Seja E outro evento no mesmo espaço amostral Ω, tal que P ( E ) > 0, então:
P ( E ) = P ( E ∩ B1 ) + P ( E ∩ B2 ) + P ( E ∩ B3 ) + ... + P ( E ∩ Bn ) P (E) = P (B1) . P (E | B1) + P (B2) P (E | B2) + P (B3 ) P (E | B3) + ... + P(Bn ) P (E | Bn) Portanto,
P ( E ) =
∑
P ( Bi ) . P ( E | Bi )Numa sala de aula, sabe-se que 10% dos homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80 m. A sala tem 70% de mulheres e 30% de homens. Um estudante foi escolhido aleatoriamente, e constatou-se que tem mais de 1,80 m. Qual a probabilidade de que seja homem?
(0,1 x 0,3) = 0,03/0,044 = 0,682 (0,1x0,30 + 0,02x0,7)
A teoria das probabilidades pode auxiliar facilmente a resolver o problema proposto no início dessa unidade. Vejamos:
“Suponha que você é o engenheiro responsável pela qualidade na linha de produção de uma grande marca de bebidas. Está ciente de que não é possível “experimentar” todos os produtos antes de disponibilizá-lo ao mercado, pois ninguém compraria uma bebida já provada, e que o processo de fabricação é composto por etapas, por interferências dos funcionários, por equipamentos (que podem estar ou não muito bem regulados), e por uma série de outros fatores controláveis ou não, como até mesmo uma simples umidade excessiva no ambiente de fabricação devido ao período chuvoso. Você pode suspeitar que um determinado lote, devido à variabilidade inerente ao processo, apresente um percentual de itens não conformes maior que o permitido pelos órgãos fiscalizadores? ” Se a empresa aqui citada produzir dois lotes com duas mil unidades em cada por semana, distribuídas entre 1000 cervejas, 600 refrigerantes e 400 sucos por lote, com aproximadamente 0,2, 0,1 e 0,15 por cento de itens defeituosos, respectivamente, podemos utilizar a teoria das probabilidades para responder questões como:
a. Qual o percentual de refrigerantes distribuídos semanalmente? b. Qual a probabilidade do consumidor adquirir um suco?
c. Dentre as cervejas, qual a probabilidade do consumidor adquirir uma cerveja com defeito?
d. Dentre os sucos, qual a probabilidade do consumidor adquirir um suco sem defeito do primeiro lote?
e. Sabendo que foi adquirido um produto com defeito, qual a probabilidade de ser um suco?
Para responder essas questões, utilizamos a probabilidade clássica para responder o item (a); a união de probabilidades para responder o item (b); a probabilidade condicional para responder o item (c); e o teorema de Bayes
para responder o item (d). Ou seja:
a) P (refrigerante ) = 1200 =0,30 = 30%
b) P (suco) = 400 + 400 = 0,40 = 40%
Observe que, neste caso, tanto faz se o consumidor adquirir um suco do primeiro lote ou do segundo lote, independente da ordem de ocorrência do evento.
c) P ( defeito | cerveja ) = P (cerveja com defeito ) =
0,2 . 1000 + 0,2 . 1000 = 400 = 0,20 d) P ( suco sem defeito do primeiro lote | suco ) =
4000 2000 2000 P ( cerveja ) 1000 + 1000 2000 0,5.0,2.0,85+0,5.0,2.0,85 = 0,5. 0,2 . 0,85 = 0,0850 = 0,5 0,1700
P ( suco com defeito | defeito ) =
= 2. (0,5 . 0,2 . 0,15 ) = 0,0150 = 0,1875 0,0800
2. ( 0,5 . 0,2 . 0,15 + 0,5 .0,3 .0,1 + 0,5 .0,5 .0,2)
Revisão
A teoria das probabilidades é utilizada em todas as áreas do conhecimento. Ela visa auxiliar o profissional no mercado de trabalho a predizer valores futuros, estimando as “chances” de ocorrência de um evento antes que ele ocorra.
Para calcular a probabilidade, basta dividir o que se “quer” pelo que se “tem”, ou seja:
Sendo imprescindível, primeiro, definir o que se “tem” para somente depois retirar do que se “tem” o que se “quer”.
Quando a ocorrência de um evento não afeta a realização ou não de um outro evento, eles são classificados como eventos independentes.
O Teorema de Bayes é aplicado em situações cuja a probabilidade de ocorrência de um evento está vinculada às chances de sucesso de um outro evento.
Filmes
A Probabilidade Estatística do Amor Á Primeira Vista (Adaptado)
Jennifer E. Smith
Com uma certa atmosfera de ‘Um dia’, mas voltado para o público jovem adulto, a probabilidade estatística do amor à primeira vista é uma história romântica, capaz de conquistar fãs de todas as idades. Quem imaginaria que quatro minutos poderiam mudar a vida de alguém? Mas é exatamente o que acontece com Hadley. Presa no aeroporto em Nova York, esperando outro voo depois de perder o seu, ela conhece Oliver. Um britânico fofo, que se senta a seu lado na viagem para Londres. Enquanto conversam sobre tudo, eles provam que o tempo é, sim, muito, muito relativo. Passada em apenas 24 horas, a história de Oliver e Hadley mostra que o amor, diferentemente das bagagens, jamais se extravia.
SMITH, Jennifer E. A Probabilidade Estatística do Amor à Primeira Vista. Rio de Janeiro: Galera Record, 2013
Quebrando a banca (Adaptado).
Ben Campbell (Jim Sturgess) é um brilhante estudante do M.I.T. (Instituto Tecnológico de Massachusetts). O seu único problema é não ter dinheiro para pagar as contas escolares, mas a solução está onde ele menos esperava: nas cartas. Ele é recrutado para integrar o grupo dos mais talentosos estudantes da escola, que todos os fins-de-semana vão a Las Vegas, com falsas identidades e com as suas mentes brilhantes, são capazes de aumentar em grande escala as probabilidades de ganhar no blackjack.
Além disto, ainda contam com o professor de matemática (e gênio da estatística) Micky Rosa (Kevin Spacey) como líder. A contagem das cartas e um, muito bem definido esquemas de sinais, que permitem à equipa vencer nos grandes cassinos. Seduzido pelo dinheiro e pelo estilo de vida de Vegas, e pela sua inteligente e sexy amiga Jill Taylor (Kate Bosworth), Ben começa a ir até ao limite.
Apesar da contagem da carta não ser ilegal, o risco é cada vez mais elevado e o grande desafio prende-se agora com, não só manter a contagem correta, mas também enganar o chefe de segurança dos casinos: Cole Williams (Laurence Fishburne).
Quebrando a Banca. Direção: Robert Luketic. EUA: Sony Pictures, 2008. (123 min), son., color., legendado.