Um pouco sobre Thomas Bayes

Filho mais velho do Reverendo Joshua Bayes e Ann Bayes, Thomas Bayes foi um Ministro Presbiteriano e matemático que viveu na Inglaterra no início do século XVIII (nasceu em 1702 e faleceu em 1761). Estudou teologia na Universidade de Edimburgo (Escócia) até 1722; em 1731 assumiu a paróquia de Tunbridge Wells no condado de

Kent, a 58 km de Londres (PENA, 2006). Em vida, publicou dois tratados em metafísica (em 17317 e em 17368) e provavelmente devido a eles foi eleito membro da Sociedade Real em 1742. Sua única contribuição matemática foi a publicação póstuma de dois artigos em 1764, pelo seu amigo e interessado em suas pesquisas Richard Price (nasceu em 1723 e faleceu em 1791). O primeiro artigo praticamente não teve repercussão, foi escrito em poucas palavras e em forma de carta e sem data. Já o segundo artigo publicado, submetido ao Philosophical Transactions of the Royal Society, tratava-se do famoso manuscrito em probabilidade inversa para distribuição binomial, cujo título original é: An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances – Um Ensaio Buscando Resolver um Problema na Doutrina das Possibilidades. Na época, Bayes restringe seu teorema apenas ao caso da distribuição binomial. O problema postulado no seu ensaio foi: “Dado o número de vezes nas quais um evento

desconhecido aconteceu e falhou: requisitada a possibilidade de que probabilidade de seu acontecimento numa única tentativa permaneça em algum lugar entre dois graus de probabilidade possa ser especificada”. Seu ensaio é fundamentado em 10 suposições definidas em termos de eventos independentes mutuamente exclusivos, ditos determinados quando acontecem ou falham, de forma que sua probabilidade seja dada pela razão entre o valor que uma expectativa dependente do acontecimento do evento seja computada e o valor da possibilidade esperada sobre seu acontecimento. Neste ponto Bayes esclarece: “por possibilidade quero dizer o mesmo que probabilidade.” E finaliza a definição esclarecendo que um evento é independente quando seu

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Artigo publicado sob o título: Divine Benevolence, or an attempt to prove that the Principal End of the Divine Providence and Government is the happiness of His Creatures.

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Obra publicada sob o título: An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defense of the Mathematicians against the objections of the Author of the Analyst.

27 acontecimento não aumenta ou reduz a probabilidade de outros eventos. Para ter acesso ao ensaio (BAYES, 1764) na íntegra, pode-se consultar o Apêndice 4 do livro de Press (1989) ou em vários locais na Internet (por exemplo, no sítio do departamento de estatística da University of California - UCLA).

A controvérsia em torno do trabalho de Thomas Bayes se deve principalmente por opiniões confrontantes de adeptos e não adeptos do trabalho ter sido atribuído a ele. Têm sido levantadas questões acerca de quem na verdade escreveu o artigo atribuído a ele (PRESS, 1989), já que seu amigo Richard Price escreveu o prefácio, as notas de rodapé e o apêndice da obra. Há dúvidas sobre do que realmente trata seu teorema, uma vez que a teoria de probabilidade que precede a Suposição 9 no ensaio é

“excessivamente obscura”, nas palavras de Press (1989). Outro fato instigante em torno do trabalho questiona o porque de não ter sido publicado em vida (LEE, 1997). Em contrapartida, há os autores (PRESS, 1989) que elegem o ensaio de Bayes como uma obra prima de elegância matemática, alguns consideram o trabalho como sendo da maior qualidade. Press (1989) menciona que as contribuições matemáticas de Bayes o colocam no primeiro time de pensadores independentes.

Segundo Press (1989), foi provavelmente Pierre Simon Laplace, em 1774, quem especificou a forma geral do teorema da probabilidade inversa independente, sem sequer ter visto o ensaio de Bayes. Laplace conduziu seu trabalho na França enquanto Bayes na Inglaterra, onde seu trabalho foi praticamente esquecido por quase 20 anos. Bayes (baseado na Suposição 1) e Laplace chegaram a uma opinião comum sobre as probabilidades a priori. No ensaio postulado de Bayes: “...todos os valores de

probabilidade desconhecida são igualmente apropriados antes de serem feitas observações.” Segundo Press (1989), no seu primeiro artigo, publicado em 1774, Laplace (sem mencionar Bayes) introduziu o princípio que se a probabilidade de um evento observável é resultante de uma causa, então a causa operou para produzir o evento, e isto implica que a probabilidade inicial das causas deve ser a mesma. Dessa idéia surgiu o Principio da Razão Insuficiente de Bayes-Laplace (PAULINO et al., 2003; PRESS, 1989), atestando que na ausência de qualquer razão em contrário, todos os valores do parâmetro desconhecido devem ser iguais. Conforme Press (1989), em 1814, anos depois de sua primeira publicação, Laplace publicou outro artigo dizendo que as causas não são igualmente prováveis. Além disso, James Bernoulli9 pode ter

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Thomas Bayes foi educado em casa, tendo aulas particulares. Especula-se que por volta dos 12 anos pudesse ter tido aulas de matemática com Bernoulli (um dos fundadores da teoria da probabilidade – definindo-a como grau de confiança numa dada proposição que não se sabe se é verdadeira ou falsa), que

28 provavelmente concebido antes, em 1713, no seu tratado em probabilidade chamado Ars

Conjectandi (publicado postumamente), as idéias atribuídas a Thomas Bayes (PAULINO et al., 2003). Neste trabalho, apesar de não ter dado uma estruturação matemática apropriada, o autor desenvolveu o teorema binomial, deixou as regras para permutações e combinações e postulou o problema da probabilidade inversa (PRESS, 1989).

Controvérsias a parte, o fato é que o trabalho ficou mesmo conhecido como Teorema de Bayes, ou seja, foi a ele atribuído e, deixando de lado essa questão polêmica, o que realmente importa é a idéia central apresentada pelo teorema e este é o lugar onde devem ser concentrados esforços na exploração de novas técnicas e outras possíveis aplicações. Aos interessados na polêmica, muito ainda pode ser especulado sobre a questão da paternidade do Teorema de Bayes ou mesmo sobre a figura do próprio Thomas Bayes, de modo que a questão se encontra ainda longe de um argumento conclusivo contundente.