Uma semi-esfera carregada

Uma semi-esfera maciça de raio R encontra-se carregada com um densidade volumétrica de cargas não uniforme dada por

ρ = ρ0 r Rsenθ,

1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 37

ondeθ é o ângulo medido com respeito ao eixo de simetria da semi-esfera. Deter- minar o campo elétrico no seu centro de curvatura.

y z x dv0 r0_{= r}0_ˆr0 dE θ0 Fig. 1.16 Semiesfera

A figura ilustra a disposição dos eixos do sistema de coordenadas. Escolhemos um elemento de carga tal como o ilustrado na figura, para o qual podemos escrever:

r0= r0ˆr0= r0(senθ0cosϕ0x + senθˆ 0senϕ0y + cosθˆ 0z)ˆ

Para um ponto qualquer no eixo de simetria da distribuição, fora dela, teremos

r = z ˆz.

Desse modo

r − r0= z ˆz − r0ˆr0= (z − r0cosθ) ˆz − r0senθ0cosϕ0x − rˆ 0senθ0senϕ0yˆ

=⇒ |r − r0| = (z2+ r02− 2zr0cosθ0)1/2, e a lei de Coulomb fornece

E(r) = 1 4π²0 Z v0 ρ(r0_{)(r − r}0₎ |r − r0_|3 d v 0 = 1 4π²0 Z 2π 0 Z π π/2 Z R 0 ρ0 r0senθ0 R ×

[(z − r0cosθ0) ˆz − r0senθ0cosϕ0x − rˆ 0senθ0senϕ0y]ˆ

(z2_{+ r}02_{− 2zr}0_cosθ0₎3/2 r

02_senθ0_{d r}0_dθ0_dϕ

Os componentes em ˆx e ˆy novamente se anulam devido aos integrais na coor-

denada azimutalϕ (você consegue justificar fisicamente através de argumentos de simetria, o porquê disso?). Na direção de ˆz, o integral emϕ resulta em 2π.

Ficamos então com

E(z) = ˆz ρ0 2²0R Z π π/2 Z R 0 r03(z − r0cosθ0) sen2θ0 (z2+ r02_{− 2zr}0_cosθ0₎3/2d r 0_dθ0_.

O cálculo do integral acima é bem complicado, mas nossa tarefa consiste em determinar o campo elétrico no centro de curvatura da distribuição, que é exata- mente a origem. Para z = 0, a expressão acima fica

E(0) = − ˆz ρ0 2²0R Z π π/2 Z R 0 r04_cosθ0_sen2_θ0 r03 d r 0_dθ0_{= − ˆz} ρ0 2²0 R2 2 · sen3θ 3 ¸π π/2, ou E(0) =ρ0R 2 12²0 ˆ z

38 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

Questões sobre o Capítulo 1: A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

Q1.1 Você dispõe de um bastão de vidro, um lenço de seda e duas esferas de metal (condutoras), inicialmente neutras, montadas em um suporte de plástico (isolante). Descubra um modo de carregar as esferas com cargas iguais e opostas. Não é permitido tocar com o bastão nas esferas. é necessário que as esferas sejam do mesmo tamanho?

Q1.2 Se você friccionar vigorosamente um bastão de ebonite (um plástico isolante) com uma flanela, o bastão ficará eletrizado. Entretanto, se você friccionar uma moeda entre os dedos, ela não irá adquirir carga alguma. Por que?

Q1.3 Depois de caminhar algum tempo sobre um carpete, você freqüen- temente sente um “choque” ao tocar na maçaneta de metal da porta. Qual a causa disso?

Q1.4 a) Defina linhas de força de um campo elétrico. b) Duas linhas de força

nunca se cruzam. Explique por que.

Q1.5 Uma carga pontual q é solta numa região de campo elétrico não uni- forme. A trajetória que ela segue necessariamente coincide com uma das linhas de força?

Q1.6 Duas cargas pontuais de mesmo módulo e sinais opostos encontram- se sobre uma reta separadas por uma distância d . Determine a direção e sentido do campo elétrico: a) sobre a reta e entre as cargas; b) sobre a reta, fora das cargas, próximo à carga positiva; c) idem, próximo à carga negativa; d) fora da reta, no plano mediatriz das cargas (plano perpendicular à reta e que passa pelo ponto médio entre as cargas).

Problemas do Capítulo 1: A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

P1.1 Duas cargas de −10µC e 20µC encontram-se separadas por uma dis- tância de 20 cm. Onde deve ser colocada uma terceira carga de modo que, sob a ação dessas duas, fique em repouso?Resp: Ao longo da reta suporte das duas cargas, a 48,5 cm da carga negativa e 68,5 cm da positiva

P1.2 Dez cargas pontuais de 500µC estão colocadas sobre uma circunferên- cia de raio 2 m, todas igualmente afastadas entre si. Calcule a força exercida por esse conjunto sobre uma carga pontual de −20µC , situ- ada sobre o eixo, dois metros afastada do plano da circunferência.

P1.3 Duas esferas condutoras idênticas possuem cargas de sinais opostos e se atraem mutuamente com uma força de 0,108 N, quando separadas por uma distância de 50 cm. Elas são ligadas por um fio condutor, que é removido logo a seguir, passando então a se repelir com uma força

1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 39

de 0,036 N. Quais eram os valores iniciais das cargas das esferas?Resp: ±3,0 µC e ∓1,0 µC

P1.4 Uma carga Q deve ser dividida em duas: q e Q − q. Qual deve ser o valor de q para que a repulsão coulombiana entre as duas novas cargas seja máxima?Resp: q = Q/2

P1.5 Duas cargas pontuais de valor q e −q são fixadas nos pontos P1(0, a) e P2(0, −a) respectivamente, de um sistema de coordenadas cartesianas,

formando o que se denomina um dipolo elétrico. Uma terceira carga positiva e de mesmo valor, é colocada em algum ponto sobre o eixo dos x.

a) Qual a intensidade e orientação da força exercida sobre a terceira

carga quando esta se encontra na origem?

b) Qual é a força sobre ela quando sua abcissa é x?

c) Esboce o gráfico da força sobre a terceira carga em função de x, para

valores de x entre −4a e 4a.

d)Mostre que quando a abcissa x da terceira carga for grande compa- rada à distância a, a força sobre ela é inversamente proporcional ao cubo da sua distância ao centro do dipolo.

e)Situando agora a terceira carga sobre o eixo dos y, a uma ordenada

y grande comparada com a distância a, mostre que a força sobre ela

também é inversamente proporcional ao cubo de sua distância à ori- gem do dipolo. Resp: a) − ˆy q 2 2π²0a2(= F0 ) b) a 3 (a2+ x2)3/2F0 d) F ' − ˆy q 2_a 2π²0x3 e) F ' ˆy q 2_a π²0y3

P1.6 Três cargas pontuais de mesma massa m = 200g e carga elétrica q são penduradas por fios sem massa e inextensíveis, todos de comprimento

L = 1,0m, a partir de um ponto comum no teto. Na posição de equilí-

brio, a distância entre cada uma delas vem a ser de 20 cm. Determine o valor de cada carga.Resp: 0,765µC

P1.7 A cunha cilíndrica limitada pelas superfícies z = 0, z = 3(m), ϕ = 300,

ϕ = 600_{eρ = 5(m) tem densidade volumétrica de cargas dada por} ρv= ρ sen 2ϕ(nC/m3). Determinar a carga elétrica total encerrada pela

cunha.Resp: 62,5 nC

P1.8 Seja uma distribuição (infinita) de cargas com densidadeρ, dada no sistema de coordenadas esféricas por

ρ = Ke−ar

r2 , K = cte.

a) Considerando uma esfera de raio R centrada na origem do sistema, determine a carga de um hemisfério.

40 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

b) Qual o raio R0da esfera que contem metade da carga total da distri- buição (que é infinita!)?

Resp: a)2kπ(1 − e −aR₎ a b) R 0₌1 al n2

z

λ

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

P

α

2

α

1

Fig. 1.17 Linha finita (P1.9)

P1.9 Mostre que o campo elétrico produzido por uma linha carregada com densidade de cargas uniformeλ e disposta ao longo do eixo zé dado por

E = λ

4π²0ρ

£(cosα1+ cos α2) ˆρ + (senα2− sen α1) ˆz¤ ,

ondeα1eα2são os ângulos mostrados na figura.

P1.10 Considere uma barra muito fina de comprimento L , uniformemente

carregada, com uma densidade linear de cargasλ.

a) Determine o campo eletrostático E produzido pela barra num

ponto situado no seu eixo mediatriz. Calcule E para os seguintes casos: z >> L e z << L (ou L → ∞, fio retilíneo infinito uniforme- mente carregado).

b) Determine o campo num ponto sobre o eixo perpendicular à barra que passa por uma de suas extremidades.

Resp: E = λL 2π²0z p L2_+4z2z. Para z >> L, E =ˆ q 4π²0z2z, e, para z << L, (ou L → ∞), E =ˆ λ 2π²0zzˆ.

P1.11 Uma barra muito fina de comprimento L = 1,0m é carregada com

uma densidade linear de cargasλ que varia linearmente ao longo da barra, desde um valor −λ0numa extremidade, até o valorλ0no outro

extremo, sendoλ0 = 0,50 µC/m. Determine o campo eletrostático

produzido pela barra num ponto situado: a) no seu eixo mediatriz, a p

2 m da barra; b) no prolongamento da reta que contem a barra, a 2 m da extremidade.Resp: a) E = −0,24 ˆx kV/m b) E = 0,10 ˆx kV/m

P1.12 Usando a lei de Coulomb (integração direta), determine o campo pro- duzido por um fio de carga Q e comprimento L, dobrado em forma de um arco de circunferência de 60ˇr, no seu centro de curvatura;Resp: E = q

12²0L2

, ao longo da bissetriz do arco da circunferência.

P1.13 Um fio não condutor muito fino forma uma circunferência de raio

a e está localizado no plano x y, com seu centro na origem. O fio

possui uma densidade linear de cargas dada porλ = λ0senϕ, onde ϕ

é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Determine: a) a carga total do fio; b) E na origem. c) Você acha alguma incoerência entre os resultados de a) e b)?Resp: a) Zero b) E = (− ˆy) λ0

4²0a

P1.14 Considere um disco de raio a, uniformemente carregado, com densi- dade superficial de cargaσ;

a) Determine o campo eletrostático E num ponto qualquer do eixo

1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico 41

de simetria deste disco; b) Uma partícula de carga Q e massa m é solta do eixo z a partir do repouso, de uma distância z0 do disco.

Determine a velocidade que ela possuirá quando atingir uma dis- tância (i ) 4z0, (i i ) ∞ do disco. c) Calcule E para os seguin-

tes casos: z >> a e z << a ( ou a → ∞, isto é, o disco se torna um plano infinito uniformemente carregado). d) Qual o máximo valor de z para que se possa usar a aproximação de plano infinito (isto é, considerar E ≈ σ/(2²0)), cometendo um erro de no máximo 5%? Resp: a) ~E (z) =₂σ_²0[1 −p z z2_+a2] ˆz, para z > 0 , ~E (z) = σa2 4²0z2z =ˆ Q 4π²0z2z (carga puntiforme) eˆ ~E(z) = σ 2²0z, (plano infinito)ˆ .

P1.15 Determine o campo e o potencial eletrostáticos produzidos por um

disco de raio a carregado comσ = σ0sen2ϕ num ponto qualquer de

seu eixo de simetria.

P1.16 Uma carga está distribuída sobre o eixo z com densidade λ0 para

|z| > 4 m e λ = 0 para |z| < 4 m. Determine o campo elétrico no ponto

P (0, 2, 0) m.

P1.17 Um quadrado, que possui lado 2 m , está centrado na origem e situa-se no plano z = 0, encontra-se carregado com uma densidade superficial de cargas

σ = |x|nC/m2_.

Determine: a) a carga total da distribuição; b) o campo E no ponto

P (0, 0, 1) m.Resp: a) Q = 2,0nC b) 8,02 ˆz (V/m)

P1.18 Um quadrado de lado 2 m jaz no plano x y delimitado por 0 ≤ x ≤ 2m e 0 ≤ y ≤ 2m, carregado com carga superficial

σ = 2x(x2

+ y2+ 4)3/2µC/m2.

Determine o campo elétrico no ponto do eixo z situado a 2 m acima do plano.

P1.19 Uma esfera não condutora de raio R está carregada com uma densi-

dade de cargas não uniforme dada porρ = kr senθ, onde r é a distância medida a partir do centro da esfera eθ é o ângulo a partir de um eixo de referência. A esfera é cortada exatamente ao meio, num plano normal ao referido eixo, e uma das partes jogada fora. Determine:

a) A carga total da semiesfera; b) O campo elétrico no centro de curva-

tura da semiesfera em função da carga total desta.Resp: b) E = 2Q 3π2_²0R2zˆ

P1.20 Uma esfera condutora de raio R encontra-se carregada com uma den- sidade superficial de cargas dada porσ = Q cosθ/R2. Determine:

a) Sua carga total;

b) Seu momento de dipolo total, definido como o vetor p =

Z

S0σ(r 0_{) r}0_{d S}0

42 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

c) O campo que ela produz em seu centro (para quem gosta de desafios,

tente calcular o campo num ponto qualquer do eixo z, tanto para z < R quanto para z > R).Resp: a) Q = 0, b) p = ˆz 4πRQ/3, c) E = ˆz Q

3²0R2

Capítulo 2

A Lei de Gauss

2.1 Fluxo de um vetor

A palavra fluxo transmite a idéia de movimento através de uma região, por exem- plo, o fluxo de um rio em seu leito, fluxo de ar (vento!), etc. Matematicamente, o

dS ˆ n A B Fig. 2.1 Fluxo

conceito de fluxo está associado a um campo vetorial que atravessa uma dada superfície. Dado um campo vetorial A numa região do espaço, definimos o fluxo ΦAdo campo através de uma superfície S como o integral

ΦA= Z

SA· ˆndS,

onde d S é um elemento infinitesimal de área e ˆn um vetor unitário normal a d S.

O cálculo do integral é o usual: dividimos a superfície S em um número muito grande de pequenos elementos de superfície, calculamos a contribuição em cada um desses elementos, A· ˆni∆Sie, tomando o limite de N → ∞, somamos tudo:

Z SA· ˆndS = lim N →∞ N X i =1 Ai· ˆni∆Si = lim N →∞ N X i =1 Aicosθi∆Si = Z S A cosθ dS

Observe que a definição é compatível com a idéia do campo atravessando a superfície: na figura, o vetor B é perpendicular ao vetor normal à superfície, ˆn,

jaz rente à superfície e não a atravessa: o produto escalar na expressão garante que isso se traduz num fluxo zero, pois B· ˆn = B cos(π/2) = 0 (naquele elemento de superfície ilustrado).

É claro queΦAé um escalar, podendo ser positivo, negativo ou nulo, depen- dendo do ângulo formado entre o vetor e a normal à superfície em cada ponto. O sentido de ˆn é, em geral, arbitrário, mas para superfícies fechadas ˆn é sempre

orientado para fora da superfície. Nesse caso especial é usual representarmos o 43

44 Capítulo 2 A Lei de Gauss

integral com um circulo, indicando que a superfície S é fechada: ΦA=

I

SA· ˆndS,

No documento Fis403EM1 (páginas 42-50)