Uso de interfaces dissipativas para controlar

Parcela dos termos de filtragem temporal das tensões turbulentas:

( )

e

As integrais de contorno podem ser escritas como:

( ) ( )

Aplicando a formulação de elementos finitos de Galerkin na equa-ção de quantidade de movimento 2DH na direequa-ção y, apresentada no item anterior, obtêm-se uma equação semelhante. A equação de quantidade de movimento na direção y em formulação de elementos finitos é omitida por brevidade.

4.2.4. Uso de interfaces dissipativas para controlar oscilações numéricas espúrias

O que se apresenta nesta seção, embora focado no modelo hidrodinâmico FIST3D do SisBAHIA, é aplicável a qualquer modelo, inclusive em dife-renças finitas.

Capítulo 1

Os esquemas numéricos empregados no módulo 2DH do FIST3D são centrados. Esses esquemas possuem a vantagem de não causar amor-tecimento ou erros de fase significativos na função de resposta. Entretan-to, esquemas centrados são favoráveis à formação de oscilações numéri-cas espúrias, com um comprimento de onda de aproximadamente 2∆xk. Muitos modelos usam esquemas numéricos especiais para evitar essas oscilações numéricas, como por exemplo os esquemas Petrov-Galerking e upwind.

Tais esquemas possuem difusão numérica intrínseca, os que ajuda a remover as oscilações espúrias, mas frequentemente causam amorteci-mento excessivo na função de resposta do problema, vide por exemplo Abbot e Basco (1989). Outros usam interfaces dissipativas implícitas pa-ra remover tais oscilações, Stelling (1984), ou simplesmente recomen-dam o uso de valores artificialmente grandes de parâmetros dissipativos, tais como coeficientes de atrito ou rugosidade equivalente de fundo, coe-ficientes de Chézy e viscosidade turbulenta. Entretanto, por vezes, esses esquemas numéricos especiais, usados para dar “robustez” ao modelo numérico, não são completamente documentados ou encontram-se de certa forma escondidos no código do modelo.

No sistema de modelagem FIST3D, o uso de interface dissipativas é totalmente explicito e controlado pelo modelador. Rosman, conforme apresentado por Bueno (1995), desenvolveu a interface dissipativa ado-tada no FIST3D. Essa interface funciona como uma função de filtragem externa que, idealmente, remove oscilações espúrias sem causar amorte-cimento significativo na função de resposta do problema. O esquema a-presentado a seguir ajuda a entender como as interfaces dissipativas funcionam.

A interface dissipativa F1 usual, similar à apresentada por Abbot e Basco (1989) em um contexto de diferenças finitas, aplicada à variável a representada na Figura 7, resulta em:

32 4 34 2

3 3

32 34

0.5 a a

a a ∆ + ∆ 

=  + ∆ + ∆  (91)

Onde ã são valores da variável a com oscilações espúrias e ∆ representa a distância entre dois pontos, como indicado na Figura 7.

-0.20

Figura 7. Esboço de um resultado numérico típico apresentando oscilações numéricas espúrias. A variável com til (ã) é o resultado numérico com oscilações espúrias.

Uma interface anti-dissipativa F2 foi criada para manter a declividade local das variáveis, em um esquema centrado. Quando se aplica esta in-terface F2 à variável a representada na Figura 7, obtêm-se:

32 4 34 2 31 5 35 1 A forma final da interface dissipativa utilizada no FIST3D é uma média de F1 e F2: Aplicando um método padrão de análise de Fourier²⁷ nas três interfaces dissipativas, pode-se obter o gráfico retrato da Amplitude de Resposta para cada interface, conforme apresentado na Figura 8. É evidente que a interface Media_(F1:F2) é bem eficiente para remover oscilações na fai-xa de 2∆x a 4∆x, enquanto não causa quase nenhum efeito amortecedor

27 Para uma explicação detalhada sobre o método e análise de Fourier, o leitor deve se dirigir a Abbot e Basco (1989). Os gráficos das Resposta de Fase das interfaces não são apresentadas porque as interfaces preservam as fases.

ã1

ã 2 ã 3

ã 4

ã 5

∆32 ∆34

Capítulo 1

nos fenômenos de escala superior a 6∆x. A seguinte Tabela lista os resul-tados mostrados na Figura 8.

Tabela 4. Resposta de amplitude das interfaces dissipativas

N∆x F1 F2 Média (F1:F2)

2 0.000 0.000 0.000

3 0.250 0.625 0.438

4 0.500 1.000 0.750

5 0.655 1.107 0.881

6 0.750 1.125 0.938

7 0.812 1.117 0.965

8 0.854 1.104 0.979

9 0.883 1.090 0.986

10 0.905 1.077 0.991

11 0.921 1.067 0.994

12 0.933 1.058 0.996

13 0.943 1.051 0.997

14 0.950 1.045 0.998

15 0.957 1.039 0.998

16 0.962 1.035 0.999

17 0.966 1.031 0.999

18 0.970 1.028 0.999

19 0.973 1.026 0.999

20 0.976 1.023 0.999

21 0.978 1.021 1.000

A partir dos valores acima e do gráfico correspondente, observa-se que F2 é incondicionalmente instável para escalas maiores que 4∆x, uma vez que aumenta a resposta em amplitude, levando a uma explosão nu-mérica. Pode-se dizer que F2 é uma interface amplificadora. Observa-se que F2 e F1 funcionam da mesma maneira para escalas menores que 4∆x, porém tendem a formar imagens espelhadas para escalas maiores; sendo que F1 é ligeiramente mais forte, de forma que a interface resultante que é a Média_(F1:F2) é incondicionalmente estável.

O efeito prático das 3 interfaces pode ser analisado na Figura 9, onde de maneira similar a uma discretização de elementos finitos, são apresentados nós irregularmente espaçados, com a solução exata e uma solução numérica com oscilações espúrias. Observa-se que as três inter-faces produzem resultados aceitáveis se aplicadas apenas uma vez. Con-tudo, se aplicadas mais de uma vez, a verdadeira natureza da interface é

revelada, e percebe-se que a interface F1 causa de fato muito amorteci-mento, e que F2 “explode” pois é intrinsecamente instável.

Resposta de Amplitude das Interfaces Dissipativas

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Escala do fenômeno discretizado em N.∆x

A A_F1

A_F2 A_[F1+F2)/2]

Figura 8. Amplitude de resposta para as interfaces dissipativas apresentadas nas equações (91), (92), e (93). A interface dissipativa usualmente adotada em muitos modelos é a F1. O sistema FIST3D, entretanto, utiliza uma função de filtragem anti-dissipativa F2, que promediada com F1, resulta em uma nova interface dissipativa que é bem próxima de uma função de filtragem ideal para a remoção de oscilações espúrias.

Observa-se também que a interface usada no sistema FIST3D tem um excelente desempenho, já que mesmo depois de 14 aplicações suces-sivas, não se nota quase nenhum amortecimento e o resultado após a primeira aplicação corresponde praticamente à solução exata. É obvio que nenhum modelo irá aplicar uma interface dissipativa por 14 vezes sucessivas, mas o exemplo extremo visa mostrar a eficácia da interface dissipativa do FIST3D na remoção de oscilações de alta freqüência, en-quanto preserva a amplitude do fenômeno de interesse. No programa FIST3D, o modelador possui pleno controle do número de vezes que a interface é aplicada e sobre quais variáveis ela é aplicada.

Capítulo 1

Figura 9. Comparação dos efeitos de diferentes interfaces dissipativas. Todos os gráficos mostram a solução exata, a solução numérica com oscilações espúrias, o efeito da aplicação da interface dissipativa apenas uma vez, e o efeito cumulativo da aplicação da interface 14 vezes.

Interface anti-oscilações do FIST3D Interface dissipativa usual

Interface anti-dissipativa

Na aplicação de interfaces dissipativas, além de especificar o número de vezes que a interface deverá ser aplicada, deve-se permitir ao modelador também poder especificar em que variáveis a interface será aplicada. As opções no FIST3D são as seguintes:

1. Apenas para o campo de elevação: ζ (x,y,t). A aplicação dessa interface tem o efeito global mais fraco no campo de velocidades e é recomendada para todos os casos, geralmente com N = 1.

2. Campo de elevação + campo de velocidade: ζ (x,y,t), U(x,y,t); V(x,y,t). Fornece controle suficiente sobre as oscilações em problemas com geometria irregular.

Na maioria das vezes N=1 para elevação e velocidade.

3. Campo de elevação + campo de fluxo nodal: ζ (x,y,t), UH(x,y,t); VH(x,y,t). E-feito semelhante ao caso anterior, porém mais adequado para campos com di-reção de escoamento bem definida pela batimetria.

4. Apenas para o campo de velocidade: U(x,y,t); V(x,y,t). Essa opção é válida penas para fins de pesquisa. Não é recomendada para uso geral (vide notas a-baixo).

5. Fluxos nodais ao longo de contornos abertos: O FIST3D assume automatica-mente N = 1 nessa interface toda vez que N < 0 nas opções 2 e 3. Se N ≥ 1 nas opções 2 ou 3, essa interface não é utilizada pelo FIST3D.

Ao desenvolver um estudo de modelagem para um determinado corpo d’água, o modelador deve tentar diferentes opções de interfaces.

Recomenda-se manter o uso de interfaces em um nível mínimo necessá-rio para estabilidade e controle de oscilações.