Focando no exemplo f(x) = −x2, mencionado anteriormente, iremos trabalhar com a
ideia de crescimento e decrescimento utilizando um raciocínio tranquilo".
Repare que se ao aumentarmos o valor de x e o valor de f(x) aumentar, estaremos diante de uma função crescente e se aumentarmos o valor de x e o valor de f(x) diminuir, estaremos diante de uma função decrescente.
Tomando posse"das informações acima, percebe-se que a função f(x) = −x2 é crescente
para x < 0 e decrescente para x > 0. Não é difícil perceber que a derivada da função, f0(x) = −2x é decrescente em todo o seu domínio.
Note que f0(x) é nula em x = 0, com isso temos uma reta tangente horizontal em x =
0, ou seja, temos uma curva mais suave", sem fazer bico"em x = 0. Dizemos que uma função não é derivável nos pontos onde ocorrem bicos", pois os limites laterais em tais pontos são diferentes.
Foi solucionada a pergunta do início do assunto, no que se refere ao aspecto de parábola da função f(x) = −x2.
Capítulo 6
Noções de Integral
Será desenvolvido o estudo de noções de integral, baseado nas ideias de Stewart (2011), ao mencionarmos noções de derivada foi utilizada a ideia de reta tangente e velocidade. Iniciaremos com os problemas de área e deslocamento, que serão utilizados no raciocínio de integral de nida, que é o conceito fundamental no cálculo integral. Existe uma ligação entre o cálculo utilizando integrais e o cálculo utilizando derivadas.
6.1 O problema da Área
Vamos iniciar tentando solucionar o problema da área, ou seja, desejamos encontrar a área de uma região S, que se encontra entre a curva f(x) e o eixo das abscissas no intervalo [a, b].
Logo percebe-se que S en1ontra-se limitada pelo grá co da função contínua f ≥ 0, pelas retas verticais que passam pelos pontos do extremo do intervalo e pelo eixo das abscissas.
Figura 42: referente a área sob a curva e eixo x, no intervalo [a,b].
Segundo Stewart (2011), quando tentamos solucionar o problema da área, devemos nos questionar: o que signi ca área?
Nos casos em que temos regiões com lados retos, os alunos do Ensino Médio sabem muito bem o signi cado de área.
No caso de um retângulo a área é dada pelo produto do valor do comprimento com o valor da largura. A área de um triângulo é dada pelo produto do valor da base com o valor da altura dividido por 2. Podemos encontrar a área de um hexágono regular repartindo ele em triângulos ( gura 43) e posteriormente efetuando a soma das áreas dos triângulos.
Figura 43: referente ao cálculo da área de um hexágono regular à partir da soma das áreas dos triângulos.
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6
Quando nos deparamos com uma região que possui lados curvos, ca complicado calcular a área de tal região. Sabemos de noções intuitivas para o cálculo da área de tal região. Mas devemos ter mais precisão nessas noções intuitivas, tornando a de nição de área precisa.
Começaremos aproximando a área da região S utilizando retângulos, logo após tomaremos o limite das áreas dos retângulos conforme a quantidade de retângulos for aumentando. Como exemplo de tal raciocínio, vamos utilizar retângulos para aproximar a área entre a curva y = x2 e o eixo x, no intervalo [0, 1].( ver a gura 44)
Figura 44: referente a área sob a curva e o eixo x no intervalo [0,1].
De acordo com Stewart (2011), vamos supor que S seja separada em quatro faixas S1, S2, S3 e S4, construindo retas verticais x = 1/4, x = 1/2 e x = 3/4, conforme a
Figura 45: referente a área sob a curva e o eixo x, separada em 4 faixas no intervalo [0,1].
Vamos aproximar a área das faixas, uma por uma, por um retângulo de base de mesmo valor da largura da faixa, onde a altura deste retângulo é dada pelos valores de y = x2
nas extremidades direitas dos subintervalos [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] e [3/4, 1].
Figura 46: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos direitos de cada um dos 4 subintervalos.
Denominando R4 como sendo o resultado da soma das áreas destes quatro retângulos
temos:
R4 = (1/4)(1/4)2+ (1/4)(1/2)2+ (1/4)(3/4)2+ (1/4)(1)2 = 15/32 = 0, 46875
Observando a gura 46 percebe-se que a área de S é menor que R4,portanto S < 0, 46875.
Agora repare que podemos utilizar retângulos menores, como na gura 47, onde as altu- ras destes retângulos são dadas pelos valores de y = x2 nas extremidades esquerdas dos
subintervalos [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] e [3/4, 1].
Figura 47: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos esquerdos de cada um dos 4 subintervalos.
Denominando L4 como sendo o resultado da soma das áreas destes quatro retângulos
menores temos:
L4 = (1/4)(0)2+ (1/4)(1/4)2+ (1/4)(1/2)2+ (1/4)(3/4)2 = 7/32 = 0, 21875
Através da interpretação geométrica dos grá cos, ca nítido perceber que: 0, 21875 = L4 < S < R4 = 0, 46875.
Repetindo este processo para uma quantidade maior de faixas, como por exemplo: 8 faixas de mesma largura, construímos as guras 48 e 49.
Figura 48: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos direitos de cada um dos 8 subintervalos.
Figura 49: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos esquerdos de cada um dos 8 subintervalos.
do valor da área S.
No caso temos 0, 2734375 = L8 < S < R8 = 0, 3984375, o que nos faz concluir que o
valor verdadeiro da área de S, encontra-se entre 0,2734375 e 0,3984375.
Com isto, se aumentarmos in nitamente a quantidade de faixas obteremos estimativas mais próximas do valor desejado.
Tabela 14: referente aos valores das estimativas de área da função f(x) = x2 no intervalo [0,1], para
diferentes números de retângulos.
n Ln Rn 10 0,2850000 0,3850000 20 0,3087500 0,3587500 30 0,3168519 0,3501852 50 0,3234000 0,3434000 100 0,3283500 0,3383500 10000 0,3328335 0,3338335
A tabela 14 possui o resultado de contas iguais às anteriores, feitas em um computador, utilizando n retângulos com alturas localizadas nas extremidades esquerdas Ln ou loca-
lizadas nas extremidades direitas Rn.
Note que para n = 50 a área S se encontra entre 0,3234 e 0,3434, se zermos n = 1000 a aproximação ca melhor ainda, entre 0,3328335 e 0,3338335. Repare que se quisermos ter mais precisão no valor da área S, podemos ainda fazer a média aritmética dos últimos dois valores, resultando em S ≈ 0, 3333335.
Será ilustrado a seguir, a aproximação de alguns dos valores da tabela utilizando os re- tângulos maiores
Figura 50: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos direitos de cada um dos 10 subintervalos.
Apresentando R10= 0, 385.
Figura 51: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos direitos de cada um dos 30 subintervalos.
Figura 52: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos direitos de cada um dos 50 subintervalos.
Apresentando R50= 0, 3434.
Será ilustrado a seguir, a aproximação de alguns dos valores da tabela utilizando os re- tângulos menores.
Figura 53: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos esquerdos de cada um dos 10 subintervalos.
Apresentando L10 = 0, 285.
Figura 54: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos esquerdos de cada um dos 30 subintervalos.
Apresentando L30 = 0, 3169.
Figura 55: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x) para valores de x localizados nos extremos esquerdos de cada um dos 50 subintervalos.
Apresentando L50 = 0, 3234.
Com o procedimento anterior, ca nítido perceber que se em vez de utilizarmos as extre- midades esquerdas ou direitas como altura dos triângulos, utilizarmos a altura do i-ésimo retângulo como sendo o resultado de f(ai),com xi−1 < ai < xi em qualquer subintervalo
[xi−1, xi] de [a, b], ∀ i variando de 1 até n, teremos aproximações mais precisas.
Será mostrado tal procedimento na gura 56, onde foi escolhida uma curva arbitrária.
Figura 56: referente a aproximação da área entre a curva e o eixo x, à partir de retângulos com alturas f(x), para valores de x localizados em pontos arbitrários de cada um dos subintervalos.
Muitas vezes utilizamos a notação com somatório para a adição de grande quantidade de termos de um modo mais simples. Tomando o exemplo do caso anterior temos:
n
X
i=1
f (ai)4x = f (a1)4x + f (a2)4x + · · · + f (an)4x
6.2 O problema do deslocamento
Iremos trabalhar agora com o problema do deslocamento: vamos encontrar o desloca- mento de um objeto em um período de tempo, sabendo a velocidade do objeto em qual- quer instante. Se a velocidade não variar, o problema se torna simples, basta aplicarmos
a fórmula: deslocamento = velocidade x tempo.
Note que se a velocidade estiver se modi cando conforme o tempo for passando, encon- traremos di culdades para encontrar o deslocamento do objeto.
Segundo Stewart (2011), vamos trabalhar com a seguinte situação: desejamos estimar o deslocamento de uma moto em um intervalo de tempo de 30 segundos. Na tabela seguinte será mostrado de valor da velocidade da moto em intervalos de 5 segundos.
Tabela 15: a velocidade da moto em km/s, a cada cinco 5 segundos, em um tempo total de 30 segundos.
Tempo (seg.) 0 5 10 15 20 25 30 Velocidade (km/seg.) 27 34 38 46 51 50 45
Nota-se que as unidades em questão são incompatíveis para calcularmos o deslocamento, portanto devemos converter a velocidade para metros por segundo, lembrando que: 1 km/h = (1000/3600) m/seg.
Tabela 16: a velocidade da moto em m/seg, a cada cinco 5 segundos, em um tempo total de 30 segundos.
Tempo (seg.) 0 5 10 15 20 25 30 Velocidade (m/seg.) 7,5 9,4 10,6 12,8 14,2 13,9 12,5
Nos 5 segundos iniciais a velocidade não se altera muito, com isso, existe a possibilidade de estimar o deslocamento da moto nesse intervalo de tempo, considerando a velocidade constante. Supondo que a velocidade no intervalo de tempo em questão seja a velocidade inicial (7,5 m/seg.), então a estimativa parao deslocamento da moto nos 5 segundos iniciais é:
7, 5m/seg. × 5seg. = 37, 5m.
Fazendo o mesmo procedimento para o intervalo de tempo seguinte, ou seja, considerando a velocidade aproximadamente constante e considerando-a em t = 5 . Então a estimativa
para o deslocamento da moto quando o tempo varia de 5 segundos para 10 segundos vale: 9, 4m/seg. × 5seg. = 47m.
Repetindo o raciocínio dos 2 intervalos de tempo anteriores para os demais intervalos, temos uma estimativa para o deslocamento total da moto:
(7, 5 × 5) + (9, 4 × 5) + (10, 6 × 5) + (12, 8 × 5) + (14, 2 × 5) + (13, 9 × 5) = 342m. Podemos repetir a ideia do procedimento anterior, mas trocando a velocidade do início de cada intervalo de tempo para a velocidade do m de cada intervalo. Dessa forma a nossa estimativa para o deslocamento total é:
(9, 4 × 5) + (10, 6 × 5) + (12, 8 × 5) + (14, 2 × 5) + (13, 9 × 5) + (12, 5 × 5) = 367m. Se desejarmos uma estimativa com mais precisão, devemos aplicar o raciocínio anterior para intervalos de 2 segundos ou intervalos de 1 segundo.
Figura 57: referente ao cálculo do deslocamento da moto, à partir das velocidades iniciais de cada intervalo de tempo.
Note que o raciocínio desenvolvido no problema de deslocamento, nos faz lembrar as so- mas utilizadas para estimar áreas. A explicação para esse fato se dá no esboço do grá co
da função velocidade da moto na gura 57 e construindo retângulos, onde suas alturas são as velocidades iniciais de cada intervalo de tempo. A área do retângulo inicial vale 7, 5 × 5 = 37, 5,que é a estimativa para o deslocamento da moto nos 5 segundos iniciais. Note que podemos interpretar a área de cada um dos retângulos como sendo o desloca- mento da moto, onde a altura é a velocidade da moto e a largura é o intervalo de tempo. Somando as áreas dos retângulos na gura 57, obtemos L6 = 342, que é a estimativa
inicial para o deslocamento total da moto. O raciocínio do uso da velocidade no m de cada intervalo de tempo é análogo.
6.3 Integral De nida
Vimos que quando tínhamos uma função contínua de nida para todo x ∈ [a, b], divi- díamos tal intervalo em n subintervalos de tamanhos equivalentes, não necessariamente precisamos ter subintervalos de tamanhos equivalentes, optamos por tamanhos equiva- lentes por questão de facilidade.
Após essa divisão escolhemos pontos ai entre cada um dos subintervalos. Logo a integral
de nida de f no intervalo [a, b] é: Z b a f (x) dx = lim n→∞ n X i=1 f (ai) 4x Onde lim n→∞ n X i=1
f (ai) 4x é denominada soma de Riemann homenageando o matemático
Bernhard Riemann (1826-1866). Note que tal limite precisa existir, caso exista diremos que f é integrável em [a, b].
O símboloZ foi introduzido por Leibniz e é deno- minado sinal de integral. Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um limite de somas. Na notação Z
b a
f (x) dx, f(x) é chamado in- tegrando, a e b são ditos limites de integração, a é o limite inferior, b, o limite superior, e o símbolo dx indica simplesmente que a variável independente é x; Z b
a
f (x) dxé todo um símbolo. O processo de calcu- lar é conhecido como integração. (STEWART, 2011, p. 346).
A integral de nida é valor que é independente de x. No lugar de x poderíamos utilizar outra letra sem alterar resultado da integral:
Z b a f (x) dx = Z b a f (z) dz = Z b a f (t) dt
6.4 Propriedades da Integral
Assim como no caso dos limites vamos mencionar apenas as propriedades mais simples.
1. Z b
a
c · f (x) dx = c · Z b
a
f (x) dx, onde c é uma constante qualquer.
2. Z b a [f (x) + g(x)] dx = Z b a f (x) dx + Z b a g(x) dx 3. Z b a [f (x) − g(x)] dx = Z b a f (x) dx − Z b a g(x) dx
Capítulo 7
Considerações Finais
É fácil perceber os elevados índices de reprovações e desistências nas disciplinas de Cál- culo. Isso se deve principalmente ao fato dos alunos não possuírem o conhecimento necessário, proveniente do Ensino Médio, para a compreensão dos assuntos de Cálculo. O fato de o aluno ter di culdades para aprender algo, acaba gerando um certo desinte- resse pelo assunto, que no caso é o Cálculo. Como forma de tentar mudar essa situação, foi mostrada a proposta de inclusão de noções de Cálculo no Ensino Médio, visando dar uma preparação adequada e a motivação necessária para o aluno entrar"no Ensino Su- perior.
Para que a introdução de noções de Cálculo ocorra com sucesso no Ensino Médio, é necessário abordar os conteúdos de uma forma adequada e com professores preparados para lidar com essa situação.
Referências Bibliográ cas
[1] STEWART, J. Cálculo, vol 1, 6 ed, São Paulo: Cengage Learning, 2011.
[2] NOÉ, A. Coe ciente Angular de uma Reta, disponível em http://www.brasilescola.com/matematica/calculo-coe ciente-angular-uma-
reta.htm, acessado em 6 de outubro de 2013.
[3] ÁVILA, G. O Ensino Médio no Segundo Grau, Revista do Professor de Mate- mática, n.18, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1991. [4] LIMA, E.L. Análise Real, vol 1, Funções de uma variável, Rio de Janeiro: IMPA,
2012.
[5] DUCLOS, R.C. Cálculo no Segundo Grau, Revista do Professor de Matemá- tica, n.20, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1992. [6] RUCKERT, E.V. Cálculo no Ensino Médio, disponível em
http://www.ruckert.pro.br/blog/?p=2644, acessado em 5 de outubro de 2013. [7] SOARES, F.S. O Cálculo Diferencial e In-
tegral e o Ensino Médio, disponível em http://www.google.com.br/Search?q=calculo+ensino+medio+ avia+dos+santos+so =calculo+ensino+medio+ avia..4joj8souceid=210essm=93ie=UTF, acessado em 9 de outubro de 2013.