Noções de Cálculo Diferencial e Integral para o Ensino
Médio
Noções de Cálculo Diferencial e Integral para o Ensino
Médio
FRANCISCO SARAIVA DIAS
Monogra a apresentada à Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Flu-minense como requisito parcial para apro-vação na disciplina Monogra a (GGT 00013).
Orientador: Ricardo Fuentes Apolaya
Niterói 2013
Noções de Cálculo Diferencial e Integral para o Ensino
Médio
FRANCISCO SARAIVA DIAS
Monogra a apresentada à Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Flu-minense como requisito parcial para apro-vação na disciplina Monogra a (GGT 00013).
Aprovada em: 19/12/2013
Ricardo Fuentes Apolaya - UFF - Orientador
Renata Raposo Del Vecchio- UFF
AGRADECIMENTOS
Quero agradecer a Deus em primeiro lugar, por me proporcionar força e coragem ao longo de minha vida. Em segundo lugar, quero agradecer a minha família, principalmente, aos meus pais, Sr. Marcilio Dias Silva e Sra. Eliana Saraiva Lião Silva, que sempre me apoiaram em todos os momentos de minha vida. Agradeço também ao Professor Ricardo Fuentes Apolaya por ter me dado a honra de ter sido o seu orientando, se mostrando disposto a me ajudar até mesmo nos dias de folga, sempre com sua sabedoria e ajudando a atingir o objetivo do trabalho da maneira mais tranquila possível.
RESUMO
O trabalho propõe inserir noções de Cálculo no Ensino Médio. Devemos incluir noções de limite, derivada e integral no Ensino Médio, como forma de incentivar a expansão dos conhecimentos dos alunos, no que se refere ao comportamento de funções e aos conceitos relacionados com funções.
Espera-se que os alunos que cursarem futuramente as disciplinas de Cálculo do Ensino Superior, tenham mais facilidades de entender os conceitos fundamentais, com isso os altos índices de reprovações e abandonos nestas disciplinas e outras que envolvam ideias parecidas serão reduzidos. O motivo deste alto índice esta ligado a uma má construção do conteúdo necessário para o ingresso no Ensino Superior.
O trabalho tem como objetivo mostrar uma proposta para o ensino de noções de limite, derivada e integral no Ensino Médio. Percebe-se que existe a possibilidade de abrir a mente dos alunos do Ensino Médio, no que se refere à aprendizagem, através de noções intuitivas de Cálculo, utilizando diferentes ferramentas, como investir nos grá cos dos comportamentos das funções e nos raciocínios utilizados em assuntos que envolvem funções.
Sumário
Introdução 1
1 Noções Intuitivas de Limites para o Ensino Médio 5 1.1 Noções intuitivas de limites para o Ensino Médio, trabalhando com função
contínua no ponto em questão . . . 5
1.2 Funções Contínuas . . . 11
1.3 Noções Intuititvas de Limites para o Ensino Médio, trabalhando com fun-ção descontínua no ponto em questão. . . 13
1.4 Noções Intuitivas de Limites In nitos . . . 16
1.5 Noções Intuitivas de Limites no In nito . . . 24
1.6 Propriedades Básicas de Limites . . . 27
1.7 Casos de Indeterminação de Limites . . . 28
2 Noções de Assíntotas 32 2.1 Assíntotas Horizontais . . . 32
2.2 Assíntotas Verticais . . . 35
3 Limites Laterais para estudar o grá co de uma Função 39 4 Aprofundando o Estudo de Funções 43 5 Introduzindo a Noção de Derivada 51 5.1 Velocidade: Uma Interpretação Física para o Conceito de Derivada . . . 54
5.3 Primeiros Métodos para Encontrar as Tangentes . . . 60
5.4 Observando a Derivada como uma Função . . . 61
5.5 Utilizando a Derivada . . . 62 6 Noções de Integral 63 6.1 O problema da Área . . . 63 6.2 O problema do deslocamento . . . 73 6.3 Integral De nida . . . 76 6.4 Propriedades da Integral . . . 77 7 Considerações Finais 78 Bibliogra a 79
Talvez possa descrever melhor a minha ma-neira de fazer matemática comparando-a com a entrada em uma mansão escura. Entra-se na primeira divisão e está escuro, completamente escuro, tropeça-se e bate-se na mobília. Gradu-almente, vai-se aprendendo onde está cada peça da mobília, e passados uns seis meses encontra-se o interruptor, liga-encontra-se a luz, e de repente está tudo iluminado, pode ver-se então exatamente onde se estava.
Andrew Wiles
Introdução
A matemática possibilita ao aluno muito mais do que a resolução de problemas, possibi-litando a evolução do grau de criatividade do aluno.
A matemática tem uma certa relação com diversas áreas do conhecimento, mas apesar de ser esperado que o aluno adquira muita con ança para enfrentar as situações com o estudo da matemática, nota-se que isso não esta acontecendo, principalmente no que se refere ao estudo do Cálculo.
Muitos professores de Calculo I alegam que seus alunos encontram di culdades ao estu-dar esta disciplina. A quantidade de reprovações e desistências dos alunos é um fator muito negativo e tem sido alvo de discussões por certos autores.
A relação professor-aluno em matemática esta sendo foco de várias pesquisas, englobando desde o Ensino Fundamental até o Ensino Superior. Hoje em dia, observa-se que os es-tudantes em geral não conseguem entender com facilidade os conceitos envolvidos na matemática.
Para muitos alunos os conteúdos trabalhados em matemática não fazem o menor sentido, isso sem mencionar as aplicações que são totalmente desconhecidas para eles.
Ao examinar a grade curricular de matemática do Ensino Médio utilizada em escolas e em livros didáticos, percebe-se que o ensino de funções é feito em sua maior parte de uma maneira separada dos demais conteúdos. Isso di culta muito a aprendizagem dos alunos, devido não existir uma correspondência com outros conceitos matemáticos.
Segundo Flavia dos Santos Soares (2008, p. 1): Como proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's), o currículo do Ensino Médio deve ser estruturado de modo a assegurar ao aluno a possibilidade de ampliar e aprofundar os conhecimentos matemáticos adquiridos ....
Esses obstáculos não se encontram somente nos conceitos base, pois a matemática é uma matéria onde os conteúdos funcionam como pré-requisitos para os seguintes. Várias pesquisas alegam que deve ser feita uma alteração na linguagem utilizada na matemática, pois o que motiva os alunos são as ideias. O aluno só irá demonstrar interesse por algo que desperte a sua curiosidade.
É notório a rmar que ocupa-se todo primeiro ano do Ensino Médio com nomenclaturas tais como: a nomeação da imagem, do domínio e do contradomínio de funções.
Do modo análogo, observa-se uma abordagem semelhante no que se refere às de nições de funções injetoras, bijetoras e sobrejetoras.
Muito tempo é desperdiçado utilizando estas de nições. Não estou propondo eliminar estes conceitos, somente defendo valorizar outras propriedades.
Segundo o Professor Geraldo Ávila (1991, p. 6) ... a idéia de que os programas de matemática são extensos e não comportariam a inclusão do Cálculo é um equívoco. Os atuais programas estão, isto sim, mal estruturados.
Entre essas propriedades, estou focando bastante no que se refere às ideias e ao compor-tamento de uma função, que pode ser estudado no seu grá co.
Segundo Flávia dos Santos Soares (2008, p. 1):
Considerando a disciplina de Matemática, resultados de avaliações insti-tucionais como SAEB (Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educa-ção Básica) e o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), promovidos pelo Governo Federal, revelam que muitos alunos terminam o Ensino Mé-dio com di culdades em conceitos e procedimentos fundamentais, tais como operar com números reais, interpretar grá cos e tabelas, dentre outras coisas.
Com isso o aluno poderá notar as relações englobadas no aprendizado e outras áreas matemáticas, e possivelmente na Física. Segundo Flávia dos Santos Soares (2008, p. 2): Introduzir o conceito, por exemplo, de derivada no Ensino Médio não torna o programa relativo a funções mais longo, como pode parecer a princípio. Pelo contrário, a compre-ensão de algumas propriedades se dá de maneira mais natural e contextualizada. Quando não é dada a devida importância para a visualização e a aplicação no ensino de funções, possibilitam-se muitos obstáculos nas disciplinas iniciais de Cálculo em diversos cursos do Ensino Superior, principalmente na área das ciências exatas.
Diversas pesquisas mostram que os altos índices de reprovações e desistências nas pri-meiras disciplinas de Calculo do Ensino Superior Brasileiro englobam conteúdos que envolvem o ensino de funções, tais como: noções de limites, derivadas e integrais.
Segundo Flávia dos Santos Soares (2008, p. 1):
Ao ingressar no Ensino Superior, esses alunos defrontam-se com a disci-plina de Cálculo Diferencial e Integral, discidisci-plina esta que gura como obrigatória em muitos cursos de diversas áreas e tem um alto índice de reprovação, segundo estudos desenvolvidos pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP).
Supõe-se que devemos introduzir noções de Cálculo no Ensino Médio, visando ocorrer a diminuição dos índices de reprovações e abandonos.
integrais de funções de uma variável no Ensino Médio. O raciocínio utilizado no Cálculo é diferente do raciocínio dado aos alunos do Ensino Médio, sendo bastante objetivo o trabalho com funções e possuindo muita importância ao ser usado para ajudar na Física. Isso sem mencionar os vários usos cientí cos na atualidade e no dia-a-dia dos alunos. No que se refere aos assuntos dados em Cálculo I, o estudo de limites, derivada e integral são muito úteis e necessários.
Com relação ao que será mostrado ao longo do trabalho destaca-se a introdução de noções intuitivas de limites, derivada e integral evitando focar nas de nições mais formais. A m de que a inclusão do ensino de Cálculo no Ensino Médio seja concretizada e os alunos alcancem o entendimento dos conceitos, é fundamental que esta inclusão seja feita de modo correto, estimulando o interesse deles.
Capítulo 1
Noções Intuitivas de Limites para o
Ensino Médio
1.1 Noções intuitivas de limites para o Ensino
Mé-dio, trabalhando com função contínua no ponto em
questão
Quando mencionamos o limite de uma função, estamos querendo analisar o comporta-mento da função nas proximidades de um ponto e não exatamente o valor da função naquele ponto.
Então se quisermos analisar o comportamento da função próximo ao ponto x = 2, deve-mos analisar o comportamento da função na vizinhança do ponto x = 2, ou seja, para valores maiores que 2 e menores que 2, não exatamente para x = 2.
A noção inicial de limites é a noção de limites laterais. Para determinarmos o limite de uma função, precisaremos nos atentar ao limite lateral dessa função à esquerda do ponto em questão, no caso estou exempli cando o ponto como sendo x = 2, denotado por lim
x→2− f (x), onde é feita a análise do comportamento da função para valores de x
menores que 2 e su cientemente próximos de 2 e o limite lateral à direita de 2 denotado é por lim
maiores que 2 e su cientemente próximos de 2.
Lembrando que neste caso o valor de x nunca será exatamente 2.
Para que o tal limite exista, será necessário que os limites laterais existam e sejam iguais. Um limite lateral existe quando o seu resultado é dado por um número real, caso um dos limites laterais não exista, o limite não existirá.
Para trabalhar melhor esta ideia, vamos tomar como exemplo a seguinte situação, temos a função f(x) = x + 3 e queremos analisar o comportamento desta função quando x se aproxima do valor 2, sendo denotado por lim
x→2 (x + 3). A partir da noção intuitiva dada
anteriormente, vamos construir uma tabela atribuindo valores para x menores que 2 e próximos de 2 e uma segunda tabela com valores maiores que 2 e próximos de 2.
Analisando inicialmente o limite lateral pela esquerda e tomando inicialmente x = 1 ob-temos f(x) = 4.
x f(x) = x + 3 1 f(1) = 1 + 3 = 4
Note que temos um valor menor que 2, mas ainda assim não é um valor su cientemente próximo de 2 quando x tende para 2 pela esquerda.
Sendo assim vamos aumentar mais um pouco o valor de x, vamos tomar agora x = 1,5, substituindo x = 1,5 na função obtemos o valor f(x) = 4,5.
x f (x) = x + 3
1 4
1, 5 f (1, 5) = 1, 5 + 3 = 4, 5
Repetindo o processo in nitamente para valores menores que 2 e su cientemente próxi-mos de 2 obtepróxi-mos:
Tabela 1: referente aos valores da da função f(x) = x + 3, quando atribuímos valores de x à esquerda de 2. x f (x) = x + 3 1 4 1, 5 4, 5 1, 8 4, 8 1, 5 4, 5 1, 9 4, 9 1, 93 4, 93 1, 99 4, 99 1, 999 4, 999
Ao analisarmos o comportamento da função na medida em que o valor de x se aproxima de 2 por valores menores que ele, percebemos que a função se aproxima do valor 5. Então acabamos de perceber intuitivamente que o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda é 5 e denotamos da seguinte forma lim
x→2− x + 3 = 5.
Agora devemos analisar o comportamento da função, considerando que x se aproxima de 2 sempre por valores maiores que 2, vamos calcular o limite à direita de x = 2 da função f (x) = x + 3.
Devemos escolher valores de x maiores que 2 e diminuirmos os valores de modo a nos aproximarmos de 2 mas nunca poderemos obter x ≤ 2.
Vou iniciar escolhendo x = 3.
x f (x) = x + 3 3 f (3) = 3 + 3 = 6
Para x = 3 obtemos f(x) = 6, mas 3 é um valor muito maior quando comparado aos valores x su cientemente próximos de 2 quando x tende a 2 pela direita, ou seja, por valores maiores que 2.
e substituindo x = 2,5 na função obtemos f(x) = 5,5.
x f (x) = x + 3 3 f (3) = 3 + 3 = 6 2, 5 f (2, 5) = 3 + 2, 5 = 5, 5
Repetindo o processo sucessivamente para valores maiores que 2 e su cientemente pró-ximos de 2 obtemos:
Tabela 2: referente aos valores da função f(x) = x + 3, quando atribuímos valores de x à direita de 2.
x f (x) = x + 3 3 6 2, 5 5, 5 2, 3 5, 3 2, 1 5, 1 2, 05 5, 05 2, 01 5, 01 2, 001 5, 001
Ao analisarmos o comportamento da função, à medida que o valor de x se aproxima de 2 por valores maiores que ele, percebemos que a função se aproxima do valor 5.
Então acabamos de perceber intuitivamente que o limite da função quando x se aproxima de 2 pela direita é 5 e denotamos da seguinte forma lim
x→2+ (x + 3) = 5.
Sabendo o comportamento da função à esquerda e à direita de x = 2 é possível a rmar algo sobre o limite da função na vizinhança de x = 2.
Lembrando que se o valor do limite da função a esquerda de x = 2 for igual ao valor do limite desta mesma função a direita de x = 2, dizemos que existe o limite da função
dada são iguais e o valor de lim
x→2 (x + 3) = 5 é dado pelo resultado dos limites laterais,
que são iguais. Nesse exemplo lim
x→2 (x + 3) = 5, vale a pena notar que se os limites laterais fossem
di-ferentes, isso é possível de acontecer em alguns casos, então diríamos que não existe o limite da função.
Uma outra forma de analisar o comportamento da função é acompanhando o seu grá co. O grá co da função é a reta representada abaixo:
Figura 1: referente ao comportamento da função f(x) = x + 3 nas proximidades de x = 2
Note que a função assume o valor 5 para x = 2, mas isso não signi ca que este será o limite da função, isso só é valido quando trabalhamos com funções contínuas no ponto em questão, isso será detalhado no próximo tópico.
A função pode assumir um determinado valor para x = 2 e o valor do limite desta função quando x tende para 2 possuir outro valor.
Observando no grá co os valores que atribuímos anteriormente a esquerda de x = 2, no-tamos que o valor que a função assume se aproxima do valor 5, da mesma forma nono-tamos que os valores atribuídos a direita de x = 2 fazem a função se aproximar do valor 5. Então pelo grá co também é possível analisar o comportamento da função e decidir se
1.2 Funções Contínuas
Utilizando ideias de grá co, dizemos que uma função contínua é aquela em que o seu grá co pode ser desenhado sem retirarmos a caneta do papel.
Como exemplo, podemos citar o grá co de uma função que relaciona a velocidade de um carro variando com o decorrer do tempo, algo muito usual em Física ( gura 2), e que com certeza os alunos do Ensino Médio já estão familiarizados.
Matematicamente, uma função f é contínua em um número a se lim
x→a f (x) = f (a), note
que a deve encontrar-se no domínio de f e o limite deve existir.
O limite de uma função quando x tende para o valor a pode ser encontrado diversas vezes calculando o valor da função no ponto a. Essas funções são denominadas contínuas no ponto a, se tal função for contínua em todos os seus pontos ela será denominada função contínua. Caso a função não seja contínua, será denominada função descontínua. Podemos mencionar como exemplo de uma função descontínua, uma conta bancária que possuía 20 reais e 40 minutos depois ganhou um depósito de 40 reais, totalizando 60 reais, repare que o valor inicial de 20 reais não aumentou gradualmente para 60 reais, ele deu um "salto"( gura 3).
1.3 Noções Intuititvas de Limites para o Ensino Médio,
trabalhando com função descontínua no ponto em
questão.
Vamos ver um exemplo importante de noções intuitivas de limites, iremos trabalhar com a função
f (x) = x
2− 1
x − 1
Observe que essa função apresenta descontinuidade em x = 1, ou seja, não está de nida para x = 1, pois se o denominador for nulo a função não existirá.
Dizemos que 1 não pertence ao domínio da função e matemáticamente temos que 1 /∈ D(f ).
O fato do número 1 não pertencer ao domínio não signi ca que não podemos estudar o limite dessa função quando x tende para 1. E é justamente para x = 1 que iremos estudar o comportamento da função, ou melhor, quando x tende para 1.
Através das noções intuitivas, iremos nos aproximar de x = 1 pela esquerda e pela direita e vamos concluir se existe ou não o limite da função.
O nosso objetivo agora é analisar se essa função admite o lim
x→1
x2− 1
x − 1
relembrando que para o resultado deste limite não devemos simplesmente obter o valor da função no ponto em questão, não necessariamente isso acontece, apesar de que em algumas funções esse é o recurso utilizado, como é o caso das funções contínuas mencio-nadas anteriormente.
lim
x→1
x2− 1
x − 1
será calculado através das mesmas noções intuitivas de limites. Escolhendo valores de x próximos de 1 e menores que 1 construímos a tabela abaixo:
Tabela 3: Valores da função f(x) = x2− 1
x − 1 ,quando atribuímos valores de x à esquerda de 1.
x f (x) = x 2− 1 x − 1 0 1 0, 3 1, 3 0, 5 1, 5 0, 7 1, 7 0, 9 1, 9 0, 99 1, 99 0, 9999 1, 9999
Escolhendo valores de x próximos de 1 e maiores que 1 construímos a tabela abaixo:
Tabela 4: Valores da função f(x) = x2− 1
x − 1,quando atribuímos valores de x à direita de 1
x f (x) = x 2− 1 x − 1 2 3 1, 5 2, 5 1, 3 2, 3 1, 1 2, 1 1, 01 2, 01 1, 001 2, 001 1, 0001 2, 0001
Pela tabela 4, notamos que o limite da função quando x se aproxima de 1 pela direita é 2 e denotamos na forma lim
x→1+
x2− 1
x − 1 = 2.
Pela tabela 3, notamos que o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda é 2 e denotamos na forma lim
x→1−
x2− 1
Através da igualdade dos limites laterais concluímos que lim
x→1
x2− 1
x − 1 = 2.
Agora vamos analisar o comportamento da função pelo seu grá co. Lembrando que a função não está de nida para x = 1 e observando a função f(x) = x2− 1
x − 1, notamos que f (x) = x
2− 1
x − 1, com x 6= 1 pode ser escrita na forma f (x) = x
2− 1
x − 1 = x + 1
Vamos construir o grá co da função de f(x) = x + 1, com x 6= 1, para analisarmos o comportamento da função acompanhando o seu grá co, o grá co da função f(x) = x + 1 é a reta representada abaixo.
Figura 4: referente ao comportamento da função f(x) = x2− 1
x − 1 nas proximidades de x = 1
Lembrando que o grá co acima é da função f(x) = x2− 1
x − 1, utilizamos f(x) = x + 1, apenas para auxiliar o traçado do grá co da função original que não se encontra de nida em x = 1.
Observando no grá co os valores atribuídos anteriormente a esquerda de 1, notamos que a função se aproxima do valor 2, da mesma forma notamos que os valores atribuídos a direita de 1 fazem a função se aproximar do valor 2.
Pelo grá co analisamos o comportamento da função e percebemos que existe o limite e apresenta valor 2.
1.4 Noções Intuitivas de Limites In nitos
Vamos ver agora a noção intuitiva de limites in nitos tomando como exemplo f (x) = 1
x2
sabemos que esta função não está de nida para x = 0, com isso vamos optar por analisar o comportamento dessa função na vizinhança do zero.
Vamos analisar o comportamento da função quando nos aproximamos de zero tanto pela esquerda quanto pela direita.
Atribuindo valores para x à esquerda de zero construímos a tabela abaixo:
Tabela 5: Valores da função f(x) = 1
x2,quando atribuímos valores de x tendendo a zero pela esquerda.
x f (x) = 1 x2 −1 1 −0, 5 4 −0, 1 100 −0, 01 10.000 −0, 001 100000
Repare que quanto mais aproximarmos o valor de x à esquerda de zero, maior será o valor que a função irá assumir, logo dizemos que o limite lateral da função à esquerda de zero assumirá um valor muito grande", representando matematicamente temos
lim
x→0−
1
x2 = +∞
Tabela 6: Valores da função f(x) = 1
x2, quando atribuímos valores de x tendendo a zero pela direita.
x f (x) = 1 x2 1 1 0, 5 4 0, 1 100 0, 01 10.000 0, 001 1.000.000
Repare que quanto mais eu diminuir o valor de x à direita de zero, maior será o valor que a função irá assumir, logo dizemos que o limite lateral da função à direita de zero assumirá um valor muito grande", representando matemáticamente temos
lim
x→0+
1
x2 = +∞
Com a igualdade de comportamento dos limites laterais, dizemos que lim
x→0
1
x2 = +∞,
mas note que os limites laterais não existem, devido não resultarem em número real, consequentemente não existe
lim
x→0
1
x2 = +∞
Vamos analisar o comportamento da função acompanhando o seu grá co, lembrando que a função não esta de nida para x = 0.
Uma função é considerada par quando para qualquer valor de x ∈ D(f) temos que f (x) = f (−x).
Notamos que a função f(x) = 1
x2 é uma função par, pois substituindo x no valor da
função obtemos f(−x) = 1
Figura 5: referente ao comportamento da função f(x) = 1
x2 nas proximidades de x = 0
Observando no grá co os valores que atribuímos anteriormente para x se aproximando à esquerda de zero, notamos que a função assume cada vez mais um valor muito grande". No caso da atribuição de valores para x tendendo a 0 pela direita, notamos algo análogo, ou seja, a função assume cada vez mais um valor muito grande".
Portanto, como os limites laterais possuem comportamentos iguais temos que lim
x→0
1
x2 = +∞
note que tal limite e seus limites laterais não existem, apesar de seus limites laterais possuírem comportamentos iguais, não possuem como resultado um número real.
Vamos trabalhar com um caso diferente de limites in nitos utilizando a noção intuitiva de limite com a função f(x) = 1
x, observe que essa função não esta de nida em x = 0, dizemos que 0 não pertence ao domínio da função, e matemáticamente temos 0 /∈ D(f), com isso vamos optar por analisar o comportamento dessa função na vizinhança de 0. Vamos analisar o comportamento da função quando nos aproximamos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita. Atribuindo valores de x pela esquerda de zero construímos a tabela abaixo:
Tabela 7: Valores da função f(x) = 1
x,quando atribuímos valores de x tendendo a zero pela esquerda.
x f (x) = 1 x −1 −1 −0, 5 −2 −0, 1 −10 −0, 01 −100 −0, 001 −1.000
Repare que quanto mais aproximarmos o valor de x à esquerda de 0, menor será o valor que a função irá assumir, logo dizemos que o limite lateral da função à esquerda de 0 assumirá um valor muito grande"porém negativo, sendo representado matemáticamente por
lim
x→0−
1
x = −∞
Atribuindo valores de x pela direita de 0, construímos a tabela abaixo:
Tabela 8: Valores da função f(x) = 1
x,quando atribuímos valores de x tendendo a zero pela direita.
x f (x) = 1 x 1 1 0, 5 2 0, 1 10 0, 01 100 0, 001 1.000
Repare que quanto mais diminuirmos o valor de x à direita de 0, maior será o valor que a função irá assumir, logo dizemos que o limite lateral da função a direita de 0 assumirá um valor muito grande", representado matematicamente por
lim
x→0+
1
Como os limites laterais são diferentes e mais ainda, não resultam em um número real, dizemos que não existe o limite dessa função quando x → 0.
Vamos analisar o comportamento da função acompanhando o seu grá co, lembrando que a função não esta de nida em x = 0.
Uma função é considerada ímpar quando para qualquer valor de x ∈ D(f) temos f (−x) = −f (x).
Notamos que a função f(x) = 1
x é uma função impar, pois se substituirmos - x na função obteremos f(−x) = −1
x, ou seja, f(−x) = −f(x).
Figura 6: referente ao comportamento da função f(x) = 1
x,para valores de x próximos de zero.
Observando no grá co os valores que atribuímos anteriormente para a esquerda de zero, notamos que a função assume valores muito grandes", mas negativos.
No caso da atribuição de valores para x à direita de 0, notamos que a função assume valores muito grandes"e positivos.
A noção intuitiva para a resolução de limites in nitos é para um estudo inicial, ela não é nada prática para calcularmos o limite de funções em geral, então será mostrado a seguir
Utilizando exemplos apropriados temos: (i) lim x→2 x + 1 x − 2, (ii) limx→1 x2− 4 (x − 1)2
No caso (i), notamos que se substituirmos valores muito próximos de 2 na função dada caremos aproximadamente com algo do tipo 3
0, onde este 0 no denominador representa valores muito próximos de zero.
Sabemos que o resultado da divisão de valores próximos de 3 por um numero muito pequeno"e próximo de zero é um valor muito elevado", dando ideia de in nito. Mas não sabemos se estamos tratando de −∞ ou +∞ como sendo o resultado dos limites laterais. Vamos descobrir se o resultado dos limites laterais é −∞ ou +∞ utilizando apenas o estudo de sinais, que é algo muito prático.
Figura 7: referente ao grá co da função f(x) = x + 1, facilitando o estudo de sinais.
Figura 8: referente grá co da função f(x) = x − 2, facilitando o estudo de sinais.
x − 2- - - (-1) - - - (2) +++++++++++++++ x + 1
x − 2 +++++++++++(-1)- - - (2) +++++++++++++++ Notamos que quando x → 2− a função apresenta valores negativos, logo o limite lateral
da função dada a esquerda de 2 é −∞.
Notamos que quando x → 2+ a função apresenta valores positivos, logo o limite lateral
da função dada a direita de 2 é +∞.
No caso (ii) notamos que se substituirmos valores muito próximos de 1 na função dada caremos aproximadamente com algo do tipo −3
0 ,onde esse 0 do denominador representa valores muito próximos de zero.
Sabemos que o resultado da divisão de valores próximos de -3 por um número muito pequeno"e próximo de zero é um valor muito elevado", dando ideia de in nito. Mas não sabemos se estamos tratando de +∞ ou −∞ como sendo o resultado dos limites laterais. Com o estudo de sinais temos:
Figura 9: referente ao grá co da função f(x) = x2− 4,facilitando o estudo de sinais.
x2− 4+++++++++++++++(-2) - - - (1) - - - -(2)+++++++++++
Figura 10: referente ao grá co da função f(x) = (x − 1)2,facilitando o estudo de sinais.
(x−1)2++++++++++(-2)++++++++++(1)++++++++++(2)++++++++++
x2−4
(x−1)2++++++++++(-2)- - - (1)- - - - -(2)++++++++++
com-portamento dos limites laterais podemos concluir que lim
x→1
x2− 4
(x − 1)2 = −∞
1.5 Noções Intuitivas de Limites no In nito
Diversi cando um pouco mais o uso do in nito em noções intuitivas de limite, separei alguns casos interessantes que considero relevante mencionar. São os casos:
(i) lim x→+∞ 1 x2 = 0, x→−∞lim 1 x2 = 0. (ii) lim x→+∞ x 3 = +∞, lim x→−∞ x 3 = −∞ (iii) lim x→+∞ x 2 = +∞, lim x→−∞ x 2 = +∞
No caso (i) ao escolhermos valores para x cada vez maiores e positivos notamos que o valor da função se aproxima cada vez mais de 0, com isso percebemos que
lim
x→+∞
1 x2 = 0,
Ao escolher valores negativos cada vez menores notamos que o valor da função se aproxima cada vez mais de 0, com isso percebemos que
lim
x→−∞
1 x2 = 0,
Figura 11: referente ao grá co da função f(x) = 1
x2, para que ocorra a visualização do comportamento da função para valores de x muito distantes"da origem.
A análise geométrica do grá co acima nos traz a ideia de que para valores muito grandes"o valor da função se aproxima de 0, independente destes valores serem positivos ou negativos.
No caso ii) ao escolhermos valores para x cada vez maiores e positivos, notamos que o valor da função se aproxima cada vez mais de valores muito elevados"e positivos, com isso percebemos que
lim
x→+∞ x 3
= +∞,
Ao escolhermos valores negativos cada vez menores, notamos que o valor da função se aproxima cada vez mais de valores muito elevados"e negativos, com isso percebemos que
lim
x→−∞ x 3
= −∞,
Figura 12: referente ao grá co da função f(x) = x3,para que ocorra a visualização do comportamento
da função para valores de x muito distantes"da origem.
A análise geométrica do grá co acima nos traz a ideia de que para valores muito gran-des"e negativos de x , o valor da função se aproxima de valores muito grangran-des"e nega-tivos, com isso percebemos que
lim
x→−∞ x
Para valores muito grandes"e positivos de x, o valor da função se aproxima de valores muito grandes"e positivos, com isso percebemos que
lim
x→+∞ x 3
= +∞,
No caso (iii) ao escolhermos valores para x cada vez maiores e positivos notamos que o valor da função se aproxima cada vez mais de valores muito grandes"e positivos, com isso concluímos que
lim
x→+∞ x 2
= +∞,
Para valores muito grandes"e negativos de x, o valor da função se aproxima de valores muito grandes"e positivos, com isso concluímos que
lim
x→−∞ x
2 = +∞,
Figura 13: referente ao grá co da função f(x) = x2,para que ocorra a visualização do comportamento
da função para valores de x muito distantes"da origem.
A análise geométrica do grá co acima nos traz a ideia de que para valores muito gran-des"e negativos de x, o valor da função se aproxima de valores muito grangran-des"e positivos, com isso concluímos que
Para valores de cada vez maiores e positivos notamos que o valor da função se aproxima cada vez mais de valores muito grandes"e positivos, com isso concluímos que
lim
x→+∞ x
2 = +∞,
1.6 Propriedades Básicas de Limites
Evitando manter o foco do trabalho em propriedades e procurando manter o foco em ideias de limites, será mencionado abaixo as propriedades mais básicas do estudo de limites, que não foram mencionadas ainda.
Dado uma constante d e tomando como verdade a existência dos limites lim
x→a f (x) = M, e limx→a h(x) = N
Então: 1. lim
x→a [f (x) + h(x)] = limx→a f (x) + limx→a h(x) = M + N.
2. lim
x→a [f (x) − h(x)] = limx→a f (x) − limx→a h(x) = M − N.
3. lim
x→a [f (x) · h(x)] = limx→a f (x) · limx→a h(x) = M · N.
4. lim
x→a [d · f (x)] = d · limx→a f (x) = d · M.
5. lim x→a f (x) h(x) = lim x→a f (x) lim x→a h(x) = M N, se limx→a h(x) 6= 0.
Essas cinco propriedades podem ser escritas de modo a facilitar o entendimento dos alunos do Ensino Médio. Tal escrita se encontra abaixo:
1. O limite da soma é a soma dos limites.
2. O limite da diferença é a diferença dos limites. 3. O limite do produto é o produto dos limites.
4. O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função. 5. O limite do quociente é o quociente dos limites, lembrando que o limite do
1.7 Casos de Indeterminação de Limites
Se ao aplicarmos as noções intuitivas de limites formos levados aos símbolos: ∞.0, 0
0, ∞
∞ e ∞ − ∞
independente do sinal do ∞ na divisão e na multiplicação (os demais casos não serão tratados neste trabalho), onde 0 representa valores próximos de zero e +∞ representa valores muito grandes", estaremos diante de casos de indeterminação de limites e de-vemos encontrar um outro modo de descobrir se existe tal limite. Iremos analisar dois casos:
x → ∞(no caso o in nito pode ser positivo ou negativo) e
x → a (onde a é nito).
Exempli cando melhor esta ideia vamos examinar se o limite abaixo existe e qual o seu valor caso exista. Dado
lim
x→1
x3− 3x2+ 4x − 2
x2 − 3x + 2
Ao analisar o limite notamos que substituindo valores próximos de 1 na função caímos no símbolo 0
0, percebe-se que estamos diante de um caso de indeterminação de limites. Vamos trabalhar com uma maneira apropriada de resolução deste limite para o Ensino Médio. Com as informações acima sabemos que 1 é raiz do numerador e do denominador, logo ambos são divisíveis por (x 1), usando esta informação a nosso favor poderemos utilizar o dispositivo prático de Briot Ru ni. Utilizando este dispositivo no numerador temos: Logo concluímos que x3− 3x2+ 4x − 2pode ser reescrito como (x˘1).(x2− 2x + 2).
x3 x2 x x0
1 1 -3 4 - 2 1 - 2 2 0
Tabela 9: referente ao uso do dispositivo prático de Briot Ru ni na divisão do numerador x3−3x2+4x−2
Repare que 1 não é raiz novamente, pois não zera a função x2− 2x + 2.
Repetindo este mesmo procedimento para o denominador temos:
x2 x x0
1 1 -3 2 1 - 2 0
Tabela 10: referente ao uso do dispositivo prático de Briot Ru ni na divisão do numerador x2− 3x + 2
Logo concluímos que x2− 3x + 2 pode ser reescrito como (x˘1) · (x˘2). Repare que 1 não
é raiz novamente, pois não zera a função ( x - 2). Com essas informações podemos reescrever
lim x→1 x3− 3x2+ 4x − 2 x2− 3x + 2 = limx→1 (x − 1) · (x2− 2x + 2) (x − 1) · (x − 2)
e como x − 1 temos x 6= 1 podemos fazer a simpli cação sem encontrar problemas, eliminando o símbolo de indeterminação
lim x→1 x3− 3x2+ 4x − 2 x2− 3x + 2 = limx→1 (x2− 2x + 2) (x − 2) Ao nal notamos que
lim
x→1
x2 − 2x + 2
x − 2
onde a função não se encontra de nida para x = 2, nota-se que a função é contínua no ponto x = 1, logo podemos substituir o valor do ponto na função para encontrarmos o limite em questão. Portanto lim x→1 x2− 2x + 2 x − 2 = 1 − 2 + 2 1 − 2 = −1 mostrando que o limite existe e apresenta valor -1.
Trabalhando esta ideia de indeterminação para um dos casos de limites no in nito, com o exemplo apropriado temos:
lim
x→∞
3x2− x − 2
5x2+ 4x + 1
Ao analisar o limite, notamos que substituindo valores muito grandes"na função caímos no símbolo ∞
∞, logo percebe-se que estamos diante de um caso de indeterminação de limites. Devemos encontrar um outro modo de descobrir se existe tal limite.
Repare que se dividirmos o denominador pelo termo de x de maior grau acabaremos com a ideia de in nito no denominador, mas lembre-se que só poderemos fazer isto se dividirmos o numerador também, e isto é possível pois x > 0.
denomi-nador temos: lim x→∞ 3x2− x − 2 x2 5x2+ 4x + 1 x2 = lim x→∞ 3 − 1 x − 2 x2 5 + 4 x + 1 x2
e utilizando as propriedades 2 e 5 mencionadas anteriormente temos: lim x→∞ 3 − limx→∞ 1 x − limx→∞ 2 x2 lim x→∞ 5 + limx→∞ 4 x + limx→∞ 1 x2 = 3 − 0 − 0 5 + 0 + 0 = 3 5 O limite existe e vale 3/5.
Capítulo 2
Noções de Assíntotas
Dizemos que uma reta é uma assíntota de uma curva quando a curva e a reta assintótica cam cada vez mais próximas à medida que se afastam da origem do sistema de coorde-nadas.
Muitas vezes no esboço de uma curva surgem estas retas que podem dar signi cados muito valiosos na interpretação do grá co.
2.1 Assíntotas Horizontais
A reta y = a é uma assíntota horizontal do grá co da função f(x) se acontecer pelo menos um dos casos abaixo:
• (i) lim
x→+∞ f (x) = a.
• (ii) lim
x→−∞ f (x) = a.
Como exemplo vamos tomar a função lim x→+∞ 1 x2+ 1 Note que lim x→+∞ 1 x2+ 1 = limx→+∞ 1 x2 x2 1
devido x 6= 0, que já foi mencionado anteriormente.
Aplicando as propriedades de limites e sabendo que o número 1 dividido por um número muito grande resulta em um número próximo de zero, conclui-se que o resultado deste limite é 0.
No caso do lim
x→+∞
1
x2+ 1 o raciocínio é análogo e o resultado deste limite é 0. Com estas
informações concluímos que temos uma assíntota horizontal em y = 0.
O grá co da função dada segue abaixo, para que ocorra uma melhor visualização da assíntota horizontal.
Figura 14: referente ao grá co do comportamento da função f(x) = 1
x2+ 1,evidenciando a assíntota
horizontal y = 0 para valores de x distantes"da origem.
Outro exemplo é mostrado com a função f(x) = 2x2
1 + x2. Note que
lim
x→−∞
2x2 1 + x2
Nesse caso percebe-se que y = 2 é a única assíntota horizontal de f(x), temos uma assíntota horizontal quando x → ±∞.
O grá co da função dada segue abaixo, para que ocorra uma melhor visualização da assíntota horizontal.
Figura 15: referente ao grá co do comportamento da função f(x) = 2x2
x2+ 1,evidenciando a assíntota
horizontal y = 2.
Um outro exemplo interessante é mostrado com a função f(x) = 3x2− x − 2
5x2 + 4x + 1. Note que
lim
x→+∞
3x2− x − 2 5x2+ 4x + 1
pode ser escrito como
lim x→+∞ 3x2− x − 2 x2 5x2+ 4x + 1 x2
com x 6= 0, devido à indeterminação, e continuando a resolução com um raciocínio análogo ao que foi apresentado anteriormente neste tipo de indeterminação, encontramos o valor 3/5.
Com estas informações concluímos que temos uma assíntota horizontal em y = 3/5. O grá co da função dada segue adiante, para que ocorra uma melhor visualização da assíntota horizontal.
Figura 16: referente ao grá co do comportamento da função f(x) = 3x2− x − 2
5x2+ 4x + 1,evidenciando a
assíntota horizontal y = 3/5.
2.2 Assíntotas Verticais
A reta x = b é uma assíntota vertical do grá co da função f(x) se acontecer pelo menos um dos casos abaixo:
(i) lim x→b− f (x) = +∞. (ii) lim x→b− f (x) = −∞. (iii) lim x→b+ f (x) = +∞. (iv) lim x→b+ f (x) = −∞.
Como exemplo vamos tomar a função f(x) = 3x
x − 1, com x 6= 1. Nota-se que pelo estudo de sinais temos que
lim x→1+ 3x x − 1 = +∞, x→1lim− 3x x − 1 = −∞,
ou seja, temos uma assíntota vertical a esquerda e a direita de x = 1, logo conclui-se que x = 1 é uma assíntota vertical.
Repare que se observarmos bem esta função, notaremos que ela também possui assíntota horizontal, como lim x→+∞ 3x x − 1 = 3, x→−∞lim 3x x − 1 = 3
concluímos que y = 3 é a única assíntota horizontal da função dada.
O grá co da função dada segue abaixo, para que ocorra uma melhor visualização das assíntotas.
Figura 17: referente ao grá co do comportamento da função f(x) = 3x
x − 1, evidenciando a assíntota horizontal y = 3 e a assíntota vertical x = 1.
Vamos dar um exemplo mais apimentado", dada a função f(x) = −2
x + 3, desejamos en-contrar a assíntota vertical e fazer um esboço do grá co da função.
Repare que neste caso não sabemos para qual valor x deve tender, para iniciarmos de-vemos encontrar o valor de x em que a função não se encontra de nida, lembre-se que a assíntota faz a função tender para um certo valor mas nunca atinge esse valor.
O tal valor que a função se aproxima cada vez mais, é encontrado veri cando o valor que não se encontra no domínio da função. Neste caso, este valor é dado igualando a zero o denominador da função, ou seja, x + 3 = 0. Logo o valor procurado é -3.
Agora devemos realizar o estudo dos limites laterais próximos de -3, ou seja, pela direita e pela esquerda de -3. Resolvendo lim −2 sabemos que se substituirmos valores
próximos de -3 na função dada caremos com algo próximo de −2
0 , onde 0 representa valores próximos de zero, nota-se que com esta divisão estamos trabalhando com a ideia de in nito.
Devemos veri car apenas os sinais destes limites laterais, que transmitem ideia de in -nito. Com o estudo de sinais temos:
Figura 18: referente ao grá co do comportamento da função y = - 2, facilitando o estudo de sinais.
-Figura 19: referente ao grá co do comportamento da função y = x + 3, facilitando o estudo de sinais.
y = x + 3 - - - -(-3) ++++++++++++++++++++++++ −2
x + 3 +++++++++++++++++++(3)
-Notamos que quando x → −3− a função apresenta valores positivos, logo o limite lateral
da função dada a esquerda de -3 é +∞ .
Notamos que quando x → −3+ a função apresenta valores negativos, logo o limite lateral
da função dada pela direita de -3 é −∞ .
O grá co da função dada segue abaixo, para que ocorra uma melhor visualização das assíntotas.
Figura 20: referente ao grá co do comportamento da função f(x) = −2
x + 3, evidenciando a assíntota horizontal y = 0 e a assíntota vertical x = -3.
Capítulo 3
Limites Laterais para estudar o grá co
de uma Função
Os alunos do Ensino Médio conhecem grá cos de retas, parábolas, seno, cosseno, tan-gente, entre outros.
Agora vamos ampliar estas ideias de construção de grá cos que estes alunos possuem, através do uso de noções de limites laterais para esboçar o grá co do comportamento de uma função.
Selecionando um exemplo apropriado temos: f (x) = 1
x − 1, se x < 1, f(x) = x2
1 + x2, se x ≥ 1
Repare que a função esta de nida em pedaços", para x < 1 sabemos que 1 não precisa estar no domínio da função 1
x − 1, e notamos também que limx→1−
1
x − 1 = −∞, pelos mesmos argumentos já citados anteriormente sobre estudos de sinais na resolução deste tipo de limite.
Para f(x) = x2
1 + x2,obtemos valores próximos de 1/2 e neste caso não podemos concluir
que existe assíntota vertical a direita de x = 1.
Com o que foi feito acima, concluímos que temos uma assíntota vertical à esquerda de x = 1.
relação a função dada. Repare que lim
x→+∞
x2
1 + x2 = 1 pelos mesmos argumentos mostrados anteriormente na
resolução de limites no in nito. Note também que lim
x→−∞
1
x − 1 = 0, pelos mesmos argumentos mostrados anteriormente na resolução deste tipo de limite. Então camos com as seguintes informações:
(i) Temos uma assíntota horizontal em y = 1, quando x → +∞. (ii) Temos uma assíntota horizontal em y = 0, quando x → −∞.
(iii) Temos uma assíntota vertical tendendo para menos in nito à esquerda de x = 1. E diante destas informações encontramos facilidades para construir o esboço do grá co do comportamento da função dada. Para um aluno de Ensino Médio, a noção de assín-tota será de extrema importância para aqueles que desejam cursar graduação em áreas que envolvam ciências exatas.
O esboço do grá co com o uso das informações (i), (ii) e (iii) é mostrado a seguir:
Figura 21: referente ao grá co do comportamento da função dada em pedaços", evidenciando as assíntotas horizontais y = 1 e y = 0 e a assíntota vertical x = 1.
Um outro exemplo apropriado para tal esboço do grá co do comportamento de uma função é dado a seguir:
Seja a função f(x) = x + 3
x − 2,vamos obter as informações necessárias para fazer o esboço grá co do comportamento desta função.
Ao veri car se a função dada possui assíntota horizontal, nota-se que lim x→+∞ x + 3 x − 2 = 1, x→−∞lim x + 3 x − 2 = 1,
o que nos faz concluir que a função possui assíntota horizontal em y = 1.
No que se refere à assíntota vertical, sabemos que x = 2 não se encontra no domínio da função, e para a função ter assíntota ela deve tender à reta assintótica, mas nunca tocá-la, com isso descon a-se que x = 2 possa ser uma assíntota vertical, portanto o nosso próximo passo"será veri car se isso realmente acontece.
Note que lim x→2− x + 3 x − 2 = −∞ e limx→2+ x + 3 x − 2 = +∞.
A solução destes limites in nitos foi feita através do estudo de sinais abordado anterior-mente. Com as informações obtidas acima, conclui-se que a função dada possui assíntota vertical em x = 2.
Então camos com as seguintes informações:
(i) Temos uma assíntota horizontal em y = 1, quando x → ±∞.
(ii) Temos uma assíntota vertical tendendo para menos in nito à esquerda de x = 2. (iii) Temos uma assíntota vertical tendendo para mais in nito à direita de x = 2. Diante destas informações encontramos facilidades para construir o esboço do grá co do comportamento da função dada.
Figura 22: referente ao grá co do comportamento da função f(x) =x + 3
x − 2, evidenciando a assíntota horizontal y = 1 e a assíntota vertical x = 2.
Supõe-se necessário trabalhar nas salas de aula do Ensino Médio, tudo o que foi mostrado até agora envolvendo ideias de limites, para que ocorra desde cedo o amadurecimento do raciocínio matemático destes alunos.
Vamos utilizar a interpretação geométrica juntamente com a ideia da proporção ∆ y ∆ x, tendo condições de mencionar a inclinação da reta. As grandezas proporcionais podem ser observadas como variáveis dependentes e independentes que são correspondentes uma com a outra.
Capítulo 4
Aprofundando o Estudo de Funções
Dando seguimento ao estudo de funções, mostraremos o exemplo da parábola y = f(x) = −x2.Vamos encontrar valores de y = f(x) através de valores arbitrários dados para x, tais
como: x = 0, x = ±1/2, x = ±1, x = ±5/3, x = ±2, x = ±5/2, x = ±3. A partir deste instante, é adequado relembrar a ideia de função par, pois a partir da colocação destes pontos no plano cartesiano ca mais fácil notar que f(−x) = f(x). Com isso, podemos esboçar o comportamento do grá co da função f(x) = −x2.
Figura 23: referente ao grá co do comportamento da função dada, construída a partir de pontos escolhidos
Temos a consciência de que devemos perguntar algo aos alunos, no que se refere a como ter a exatidão de que o grá co da função dada possui aspecto de parábola com concavi-dade para baixo, não podemos concluir que o grá co tenha o comportamento da gura 23.
Observe a curva seguinte ( gura 24), formada pelos mesmos pontos escolhidos, note que tal curva é formada por segmentos de retas e formam bicos".
Figura 24: referente ao grá co construído ligando os pontos escolhidos anteriormente.
Acabamos de nos deparar com uma ideia que não foi mencionada, devemos explicar o que é um grá co de parábola com concavidade para baixo, em um intervalo dado. Primeiro será mostrado um modo de determinar a concavidade de uma parábola, base-ado nas ideias de Bortolossi (2009): primeiro tomamos dois pontos diferentes do grá co A = (x1, y1) e B = (x2, y2),consideramos que tal parábola possui concavidade para baixo
no intervalo J = (x1, y1)se a localização do segmento de reta AB tiver totalmente abaixo
Figura 25: mostra o segmento de reta AB, utilizado para estudar a concavidade da parábola.
E a rmamos que a parábola possui concavidade para cima no intervalo J = (x1, y1) se a
localização de tal segmento de reta tiver totalmente acima do grá co em questão.
Figura 26: o segmento de reta AB, utilizado para estudar a concavidade da parábola.
Para sabermos se uma curva tem ou não um aspecto de parábola, vamos inserir a ideia de reta tangente e utilizar a inclinação da reta tangente nos pontos da curva, como ideia para analisar o comportamento da função.
A curva será uma parábola com concavidade para baixo, se a inclinação da reta tangente aos pontos da curva diminuir"conforme os valores de x forem aumentando.
Figura 27: referente ao estudo da parábola.
A curva será uma parábola com concavidade para cima, se a inclinação da reta tan-gente aos pontos da curva aumentar"conforme os valores de x forem aumentando.
Mas como teremos a certeza de que a inclinação da reta tangente ao grá co da função f (x) = −x2 estará sempre diminuindo", no intervalo em questão? Devemos encontrar
essa inclinação. Isto aparenta ser algo complicado, devido não termos ideia do que é reta tangente a uma curva arbitrária.
No Ensino Médio utilizamos o raciocínio de reta tangente a uma circunferência, onde é de nido como a reta que toca a circunferência em um único ponto. Mas observando a gura 29, percebemos que essa ideia não se aplica a uma curva arbitrária.
Figura 29: na gura temos uma reta tangente a um ponto da curva, tocando a curva em no mínimo 2 pontos.
Figura 30: na gura temos uma reta tocando a curva em 1 ponto.
Na gura 30, a reta toca a curva em um único ponto, isso não signi ca dizer que essa reta é tangente à curva em questão. No outro caso, a reta toca no mínimo duas vezes a curva, no caso esta é a reta tangente à curva em questão, como será visto posteriormente no item 5.5.
Agora vamos preparar terreno"para o conceito de reta tangente, introduzindo a ideia de coe ciente angular, que posteriormente será observado como sendo a inclinação de uma reta secante.
Segundo Noé (2009) o número m do coe ciente angular de uma reta é igual a tangente do seu ângulo de inclinação. Com isso temos condições de encontrar uma maneira simples de achar o valor do coe ciente angular de uma reta.
Vale a pena notar que como a tangente de 90 graus não esta de nida, se tivermos uma reta fazendo um ângulo de 90 graus com o eixo das abscissas o valor m do coe ciente angular não irá existir, lembrando que o ângulo cresce no sentido anti-horário.
De acordo com Noé (2009), para construirmos uma reta no plano cartesiano, que não seja vertical, é necessário possuirmos pelo menos dois pontos contidos nessa reta. Com isso, seja s uma reta que passa pelos seguintes pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB) e
Figura 31: referente a 2 pontos da reta s e o ângulo αdeinclinaodaretascomoeixox.
Fonte: Brasil escola
Traçando uma semirreta paralela ao eixo das abscissas e passando pelo ponto A, teremos um triangulo retângulo no ponto C.
Figura 32: mostra que ao traçarmos uma semirreta paralela ao eixo x e passando por A, um dos ângulos do triângulo ABC se torna igual ao ângulo de inclinação da reta s.
O ângulo α do triângulo ABC é igual ao ângulo de inclinação da reta em questão, devido estarmos diante de 2 paralelas cortadas por uma transversal, formando ângulos corres-pondentes e iguais, é o famoso Teorema de Tales, já visto no Ensino Médio.
Trabalhando em cima do triângulo ABC e lembrando que o valor m do coe ciente angular é igual ao valor da tangente do ângulo de inclinação, obtemos:
Figura 33: mostra os valores dos catetos do triângulo ABC, baseado na gura anterior. Fonte: Brasil escola
Onde
T ag α = (catetooposto/catetoadjacente) = yB− yA xB− xA
= m
Notamos que o valor m do coe ciente angular de uma reta, pode ser encontrado através da razão da subtração de 2 pontos contidos nesta reta.
Capítulo 5
Introduzindo a Noção de Derivada
Será mostrado a seguir, a proposta para o ensino de derivadas no Ensino Médio, base-ada nas ideias de Stewart (2011). Segundo Stewart, devemos abordar o conceito de reta tangente a uma curva, que é a base"do estudo de derivada, a partir da noção de reta secante, tal conceito é abordado abaixo.
Dada uma curva C com equação y = f(x), se desejarmos achar a tangente a curva no ponto P = (a, f(a)) tomamos um ponto muito perto"de P que chamamos de Q = (x, f (x)), com x 6= a e encontramos a inclinação da reta secante PQ, através do coe ci-ente angular da reta mP Q que é dado por
4y 4x.
Figura 34: referente a inclinação da reta secante PQ. Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
mP Q=
f (x) − f (a) x − a
Aproximando x do valor a no decorrer da curva, notamos que o ponto Q se encontra cada vez mais perto do ponto P. Se mP Q se aproximar de um número m, então de ne-se
tangente t como sendo a reta que contém o ponto P e possui inclinação m, em outras palavras temos que segundo Stewart (2011, p. 130), a reta tangente é a posição-limite da reta secante PQ quando Q tende a P".
Figura 35: referente ao deslocamento do ponto Q para as proximidades do ponto P. Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
A reta tangente ao ponto P = (a, f(a)) de uma curva é a reta que contém P e possui inclinação
m = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a , note que o limite deve existir.
Suponha que desejemos encontrar a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto
(2,4). Repare que a = 2 e f(x) = x2, portanto a inclinação é:
Utilizando a forma ponto-inclinação da reta utilizada no Ensino Médio, y − 4 x − 2 = 4, achamos que uma equação da reta tangente à parábola em (2,4) é:
y − 4 = 4(x − 2) ou y = 4x − 4
Podemos pensar na inclinação da reta tangente como sendo a inclinação da curva no ponto. Repare que se ampliarmos su cientemente o grá co da curva no ponto em ques-tão, a curva será muito semelhante a uma reta.
As guras abaixo mostram esta ideia para a curva y = x2,note que quanto mais
ampli-armos o zoom no ponto, mais semelhante será a parábola da reta tangente.
Figura 36: referente ao aumento do zoom na parábola, no ponto (1,1). Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
Existe outra maneira de representar a expressão para a inclinação da reta tangente, em alguns casos será a maneira mais fácil de ser utilizada. Tome h = x - a, logo a = x + h e com isto podemos reescrever a expressão da inclinação da reta secante PQ como sendo
mP Q =
f (a + h) − f (a) h
Figura 37: referente à inclinação da reta secante PQ, utilizando os pontos a e a+h com h > 0. Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
Repare com a ajuda da gura que se h > 0 temos Q à direita de P e h < 0 temos Q à esquerda de P. Note também que quando x → a, h → 0, h = x − a, portanto a expressão para a inclinação da reta tangente é dada por
m = lim
h→0
f (a + h) − f (a) h
5.1 Velocidade: Uma Interpretação Física para o
Con-ceito de Derivada
Imagine que uma bola foi abandonada do alto de um edifício e esteja se movendo ao longo de uma linha reta de acordo com a equação S = f(t), onde S é o espaço que a bola percorre desde o instante inicial.
A função f que mostra o deslocamento da bola é denominada de função posição da bola. No instante entre t = a e t = a + h, supondo h > 0, o deslocamento da bola será f (a + h) − f (a), observe a gura 38.
A velocidade média do trajeto é dada pela fórmula vM =
dS
dt,que é uma fórmula bastante usual na introdução de Física para o Ensino Médio.
Figura 38: referente ao deslocamento da bola entre os instantes t = a e t = a + h, com h > 0. Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
Logo obtemos vM = dS dt = f (a + h) − f (a) h
perceba que estamos diante da mesma ideia de inclinação da reta secante PQ, observe a gura 39.
Figura 39: referente a velocidade média da bola entre os instantes t = a e t = a + h, com h > 0. Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
Podemos representar também essa expressão da forma vM = dS dt = f (x) − f (a) x − a
onde h = x - a, com t representando o tempo e f(t) representando o deslocamento. Agora estamos interessados em encontrar a velocidade média em intervalos cada vez menores [a, a + h], ou seja, com h → 0. Voltando ao exemplo anterior, da bola caindo, de nimos velocidade instantânea v(a) em t = a como sendo o limite das velocidades médias:
v(a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a) h
Com isso conclui-se que a velocidade em t = a é equivalente à inclinação da reta tangente em P.
Vamos exempli car esta situação com um exemplo adequado. Foi montada uma tabela com os valores dos deslocamentos (em metros) de um ciclista, com relação ao tempo de observação (em segundos). Tal tabela se encontra abaixo:
Tabela 11: referente ao deslocamento de um ciclista no decorrer do tempo.
t 0 0, 5 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 5 2 2, 5 f (t) 0 1 2 2, 05 2, 12 2, 23 2, 40 3 4, 2
Suponha que desejamos encontrar a velocidade instantânea do ciclista para t = 1. Reproduzindo o raciocínio desenvolvido anteriormente com velocidade média, ou seja, calculando a velocidade média com o tempo tendendo para o instante t = 1, obtemos a velocidade instantânea no ponto em questão. Calculando a velocidade média vM 1 para
ti = 1 e tf = 2 temos: vM 1= Sf − Si tf − ti = 3 − 2 2 − 1 = 1m/s Calculando a velocidade média vM 2 para ti = 1 e tf = 1, 5 temos:
Note que quanto mais nos aproximarmos de t = 1, mais nos aproximaremos da velocidade instantânea no tempo em questão. Baseando-se na tabela acima, o valor de tempo t = 1,1 é ideal para calcularmos tal velocidade média, resultando em um valor muito próximo da velocidade instantânea no tempo em questão.
vM BOA = Sf − Si tf − ti = 2, 05 − 2 1, 1 − 1 = 0, 05 0, 1 = 0, 5m/s
Note que o valor da velocidade média calculada acima esta muito próximo da velocidade instantânea, devido o erro ser muito pequeno.
Este raciocínio é utilizado no trânsito, em lombadas eletrônicas. São colocados senso-res"no asfalto e alguns metros depois são localizados os visores, tais sensores recebem os dados do intervalo de tempo que o veículo leva para atravessá-los. Sabendo que o espaço entre tais sensores não varia, o aparelho encontra a velocidade média e mostra o valor da velocidade no visor.
Sabemos que o tempo que o veículo gasta para atravessar os sensores é muito curto e através do que foi mencionado anteriormente, notamos que a velocidade mostrada no visor é um valor muito próximo da velocidade instantânea do veículo.
5.2 Taxas de Variação
Seja y uma quantidade dependente de outra quantidade x. Então y é considerada uma função de x e denotamos por y = f(x). Fazendo x variar de x1 para x2, a variação de x é
dada por 4x = x2− x1, e a variação de y é dada por 4y = f(x2) − f (x1).
O quociente dessas subtrações é dado por 4y 4x =
f (x2) − f (x1)
x2− x1
que é a taxa de variação média de y com respeito a x no intervalo [x1, x2], podendo ser
Figura 40: referente a analogia entre taxa de variação média de y com respeito a x e inclinação da reta secante PQ, no intervalo dado.
Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
Semelhante ao raciocínio desenvolvido na velocidade, em taxa de variação média traba-lhamos com intervalos que estão sempre sendo reduzidos, com isso fazemos 4x tender para 0.
Calculando o limite das taxas médias de variação, encontramos a taxa instantânea de variação de y com respeito a x em x = x1, que pode ser pensada como inclinação da
tangente à curva no ponto P = (x1, f (x1)).
Portanto, taxa instantânea de variação: lim 4x→0 4y 4x = limx2→x1 f (x2) − f (x1) x2 − x1
Este limite é conhecido como derivada de f no ponto x1, sendo denotado por f0(x1).
Uma das maneiras de interpretar a derivada f0(a) é feita através da inclinação da reta
tangente à curva em x = a.
Neste momento, temos condições mencionar uma segunda maneira de interpretar a deri-vada f0(a), tal interpretação é mostrada a seguir:
= f(x) em relação a x quando x = a".
Vamos solucionar a questão a seguir, proposta por Stewart (2011, p. 135), com a intenção de trabalhar a ideia de taxa de variação. Seja D(t) a dívida pública bruta canadense no instante t. A seguinte tabela dá os valores aproximados dessa função, fornecendo as estimativas da dívida, em meados dos anos, em bilhões de dólares, no período de 1994 a 2002. Interprete e estime os valores".
Tabela 12: referente às estimativas da dívida pública canadense, em bilhões de dólares, em meados dos anos.
t D(t) 1994 414,0 1996 469,5 1998 467,3 2000 456,4 2002 442,3
A derivada D0(1998) mostra a taxa de variação da dívida com respeito ao tempo t no
caso em que t = 1998, ou seja, a taxa de aumento da dívida pública bruta canadense em 1998.
Sabemos que a taxa instantânea de variação é equivalente a lim
x2→x1
f (x2) − f (x1)
x2− x1
que foi mostrado anteriormente, com isso temos: D0(1998) = lim
t→1998
D(t) − D(1998) t − 1998
Deste modo, podemos encontrar os resultados do quociente desta subtração (taxas mé-dias de variação) e montarmos uma tabela com tais resultados, que será mostrada a seguir:
t D(t) − D(1998) t − 1998 1994 13,3 1996 - 1,1 2000 - 5,5 2002 - 6,3
Observando a tabela 13, notamos que D0(1998) encontra-se entre -1,1 e -5,5 bilhões de
dólares ao ano. Esta sendo considerado que o débito não varia muito entre 1998 e 2002, por estimativa a taxa de crescimento da dívida canadense em 1998 foi calculada através da média aritmética destes dois números, portanto temos:
D0(1998) ≈ −3, 3bilhões de dólares ao ano
O fato deste número ser negativo, indica que a dívida se encontra em decrescimento naquele momento.
5.3 Primeiros Métodos para Encontrar as Tangentes
A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que Se vejo mais longe do que outros homens é porque estou sobre os ombros de gigantes". Dois desses gigantes eram Pierre Fermat (1601-1665) e o professor de Newton em Cambridge. Isaac Barrow (1630-1667). Newton estava familiarizado com os mé-todos deles para encontrar as retas tangentes, e esses métodos desempenharam papel importante na formula-ção nal do cálculo de Newton. (STEWART, 2011, p. 139).
5.4 Observando a Derivada como uma Função
Até o momento foi mencionado apenas a derivada de uma função no ponto escolhido. Utilizando a função f(x) = −x2, vamos ampliar esta ideia, encontrando esta
posição-limite utilizando um número genérico x, e iremos de nir a derivada como uma função onde para cada valor do seu domínio encontramos f0(x) = −2x, o método usado para
chegarmos a f0(x) = −2x é dado abaixo:
Figura 41: referente ao procedimento utilizado para encontrar a derivada de uma função em um número genérico x.
Fonte: Cálculo, volume 1, Stewart
f (x + h) = −(x + h)2 = −(x2+ 2xh + h2) Com isso:
4y = f (x + h) − f (x) = −(x2+ 2xh + h2) − (−x2) = −x2− 2xh − h2+ x2 = −h(2x + h)
4x = h A inclinação da reta secante é dada por:
4y 4x =
−h(2x + h)
A inclinação da reta tangente à y = −x2 é dada quando tendemos o h para zero,
re-sultando em - 2x, 4x nunca será nulo, se fosse a razão 4y
4x não faria sentido, pois o denominador não pode ser nulo. Estamos trabalhando com a ideia de h extremamente próximo de zero.
5.5 Utilizando a Derivada
Focando no exemplo f(x) = −x2, mencionado anteriormente, iremos trabalhar com a
ideia de crescimento e decrescimento utilizando um raciocínio tranquilo".
Repare que se ao aumentarmos o valor de x e o valor de f(x) aumentar, estaremos diante de uma função crescente e se aumentarmos o valor de x e o valor de f(x) diminuir, estaremos diante de uma função decrescente.
Tomando posse"das informações acima, percebe-se que a função f(x) = −x2 é crescente
para x < 0 e decrescente para x > 0. Não é difícil perceber que a derivada da função, f0(x) = −2x é decrescente em todo o seu domínio.
Note que f0(x) é nula em x = 0, com isso temos uma reta tangente horizontal em x =
0, ou seja, temos uma curva mais suave", sem fazer bico"em x = 0. Dizemos que uma função não é derivável nos pontos onde ocorrem bicos", pois os limites laterais em tais pontos são diferentes.
Foi solucionada a pergunta do início do assunto, no que se refere ao aspecto de parábola da função f(x) = −x2.
Capítulo 6
Noções de Integral
Será desenvolvido o estudo de noções de integral, baseado nas ideias de Stewart (2011), ao mencionarmos noções de derivada foi utilizada a ideia de reta tangente e velocidade. Iniciaremos com os problemas de área e deslocamento, que serão utilizados no raciocínio de integral de nida, que é o conceito fundamental no cálculo integral. Existe uma ligação entre o cálculo utilizando integrais e o cálculo utilizando derivadas.
6.1 O problema da Área
Vamos iniciar tentando solucionar o problema da área, ou seja, desejamos encontrar a área de uma região S, que se encontra entre a curva f(x) e o eixo das abscissas no intervalo [a, b].
Logo percebe-se que S en1ontra-se limitada pelo grá co da função contínua f ≥ 0, pelas retas verticais que passam pelos pontos do extremo do intervalo e pelo eixo das abscissas.
Figura 42: referente a área sob a curva e eixo x, no intervalo [a,b].
Segundo Stewart (2011), quando tentamos solucionar o problema da área, devemos nos questionar: o que signi ca área?
Nos casos em que temos regiões com lados retos, os alunos do Ensino Médio sabem muito bem o signi cado de área.
No caso de um retângulo a área é dada pelo produto do valor do comprimento com o valor da largura. A área de um triângulo é dada pelo produto do valor da base com o valor da altura dividido por 2. Podemos encontrar a área de um hexágono regular repartindo ele em triângulos ( gura 43) e posteriormente efetuando a soma das áreas dos triângulos.
