Validação dos métodos de forma

Para se efetuar a construção dos modelos geométricos utilizaram-se três fotografias de cada cereja em cada grupo ensaiado (Figura 4.5). A cereja foi colocada no suporte alinhando o seu centro com o eixo de rotação do suporte. As fotografias foram tiradas sequencialmente rodando a cereja 60º no sentido direto.

Para a construção dos modelos usou-se um software de desenho em que era feito o contorno para definir a forma, contorno esse que se pode observar na figura 4.5. As restantes fotografias eram introduzidas em outros planos tendo estes uma rotação de 60° entre si. A figura 4.5 dá uma visão mais objetiva da montagem. Finalmente, com os planos e os contornos todos criados gerou-se o sólido.

No decorrer do trabalho de modelação foi possível identificar, algum contorno característico de cada grupo de cerejas. Nas figuras 4.6 e 4.7 pode-se visualizar a variação de forma, consoante o tratamento para a colheita do dia 12/07/2016. Assim, optou-se pela construção dos modelos usando como referência o tipo de contornos e as medições efetuadas a cada cereja.

Capítulo 4 – Simulação numérica

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Figura 4.6 – Comparação de forma das cerejas sweetheart

Figura 4.7 – Comparação de forma das cerejas sk eena 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 h /hm áx w/wmáx SW_GA3_12_07_2016 SW_ABA_21_07_2016 SW ABA 12_07_2016 SW AN1 12_07_2016 SW C1 12_07_2016 SW SA 12_07_2016 SW AN2 12_07_2016 SW AN3 12_07_2016 SW C2 12_07_2016 SW GB 12_07_2016 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 h /hm áx w/wmáx SK ABA 12_07_2016 SK C1 28_06_2016 SK_GB_12_07_2016 SK AN1 12_07_2016 SK AN2 12_07_2016 SK AN3 12_07_2016 SK C1 12_07_2016 SK C2 12_07_2016 SK GA3 12_07_2016 SK SA 12_07_2016

39 Visto que o processo de criar 6 contornos para cada cereja é um processo bastante complexo e que despendia bastante tempo na construção da mesma, pensou-se na criação de um método que fosse mais rápido, e que mantivesse a qualidade.

Para isso criou-se um método de contrução suavizada. Para construir a cereja por este método foi necessário fazer somente um contorno, contorno esse que ia ser responsável para definir a forma da cereja. Na Figura 4.8 pode-se visualizar a delimitação efetuada na cereja.

Criado o contorno da forma foi necessário converter a linha de contorno em 30 pontos distintos e retirar o valor das suas coordenadas como retrata a Figura 4.9.

Capítulo 4 – Simulação numérica

40 De seguida, foi criado um código que tinha como principal referência a equação geométrica de uma elipse e o valor de x e de y para qual o ângulo é de 45°.

𝑥2 𝑎2+ 𝑦2 𝑏2 = 1 𝜋 4 = tan−1 𝑦 𝑥

Juntando estas duas equações em ordem a y obtivemos a seguinte equação.

𝑦 = √ 1 1 𝑎2_{(tan 𝜋} 4) 2 + 1_𝑏2

Onde o valor de a e o valor de b representam os valores de w1 e w2 respetivame nte (conforme secção 3.3). A figura seguinte mostra a elipse e os respetivos valores inseridos no codigo.

41 Com esta equação e com as coordenadas dos pontos foram criadas novas coordenadas para um ângulo de 45° e para um ângulo de 90°. Neste momento o código gerava 3 curvas. Para gerar as restantes eram efetuadas simetrias; a primeira curva (coordenadas exportadas), a simetria ocorria no eixo dos xx. A terceira curva, a que tomava um ângulo de 90° a simetria era efetuada no eixo do yy e por fim a segunda curva para um ângulo de 45°, as simetrias eram efetuadas, primeiramente segundo o eixo dos xx, depois segundo o eixo dos yy. Por fim segundo os dois eixos, ao todo ter-se-ia 8 conjuntos de pontos, ou seja, 8 curvas. Na Figura 4.11 pode-se visualizar as curvas geradas e a respetiva numeração.

Capítulo 4 – Simulação numérica

42 Por fim todas as curvas são importadas e é gerada a cereja. Nas Figuras 4.12 e 4.13 pode-se observar dois modelos geométricos de cerejas criadas por métodos distintos. Na primeira a criada pelo método spline e a segunda, a vista da cereja suavizada obtida pelo método de geração de curvas.

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Figura 4.12 – Modelo de cereja gerada pelo método Spline.

Capítulo 4 – Simulação numérica

44 Recorrendo a um software de elementos finitos foi elaborado um modelo do ensaio de compressão por placas paralelas em cereja. Esse modelo foi aplicado às cerejas da espécie skeena que se encontram na fase ótima de maturação, num total de 9 simulações, um referente a cada tratamento. De referir que foram ensaiadas cerca de 620 amostras, daí que a simulação numérica de todos os grupos seria incomportável. Os resultados numéricos serviram para apresentar e discutir o método.

Foi elaborado um modelo tridimensional do ensaio de compressão, o contacto entre as placas paralelas e a cereja, ou seja, placa fixa/cereja e placa móvel/cereja, foi assumido como rígido e sem atrito. A placa móvel ou atuador e a placa fixa foram modeladas com elementos 2D rígidos. Na cereja foram considerados 3 materiais distintos, o endocarpo (caroço) o mesocarpo (polpa) e o exocarpo (pele) (Figura 4.14) assumindo os três materiais como contínuos, homógenos, isotrópicos e com um comportamento linear-elástico. Para a polpa e o caroço foram considerados elementos tetraédricos 3D compostos por 4 nós, para a pele foram considerados elementos de casca compostos por 3 nós.

Na tabela 4.1 pode-se observar as propriedades elásticas introduzidas no modelo . As propriedades elásticas do exocarpo foram mantidas constantes ao longo do trabalho de simulação, porque a sua influência na resposta elástica é baixa.

Os deslocamentos e as condições de fronteira foram impostos nos seus nós de referência. O nó de referência associado ao apoio foi encastrado, o mesmo aconteceu com a placa móvel, mas com a exceção de que esta permitia deslocamento no eixo vertical δ, para qual se atribuiu um valor de -5 mm. No que se refere à cereja esta tem impedime ntos de deslocamento no primeiro nó de contacto com a placa móvel e no nó de contacto com o apoio, estes impedimentos ocorrem em todas as direções com a exceção do eixo vertical. A Figura 4.15 mostra a simulação do ensaio de compressão na cereja, onde é possível visualizar a malha e as diferentes condições.

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Exocarpo Mesocarpo Endocarpo

Figura 4.14 – Aspecto dos diferentes constituintes da cereja.

Tabela 4.1 – Propriedades elásticas introduzidas no modelo.

Exocarpo Mesocarpo Endocarpo

E (MPa)  E (MPa)  E (MPa) 

50+ _{0,3 0,15* 0,5 190º 0,3}

*Determinado por ajuste numérico experimental. + (Brüggenwirth and Knoche, 2016).

Capítulo 4 – Simulação numérica

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4.3.2 Validação do algoritmo de otimização

O método de inverso implementado, minimiza a diferença entre a rigidez numérica e experimental (Eq.4.1), à custa da alteração do módulo de elasticidade longitudinal.

Este método combina um algoritmo de otimização (Figura 4.16) com um modelo de elementos finitos capaz de reproduzir as condições do ensaio experimental. Em primeiro lugar é estimado um valor para o módulo de elasticidade. Este valor é introduzido na simulação numérica e dá-se início à simulação. Uma vez terminada a simulação, a rigidez numérica é comparada com a rigidez experimental. Caso a rigidez numérica seja inferior à experimental e inferior ao valor definido como tolerância, o comportamento na iteração anterior (𝑖 − 1) é avaliado. Se o resultado anterior tiver sido negativo, então o valor do módulo de elasticidade da próxima iteração terá de ser 5%

Figura 4.15 – Modelação por elementos finitos do ensaio de compressão da cereja.

47 superior ao atual. Caso a iteração anterior apresente um valor de sinal contrário, o próximo valor de módulo corresponderá à média do anterior com o atual, e vice-versa. O trabalho computacional é repetido até que se obtenha uma diferença no intervalo (-tol< dif < tol). Para validar o método foi introduzida uma rigidez obtida por simulação numérica considerando um módulo de elasticidade para o mesocarpo igual a 0,2 MPa. Tendo o algoritmo identificado um módulo igual a 0,197 MPa, resultado esse que é revelador da capacidade do algoritmo desenvolvido.

Figura 4.16 – Organograma do algoritmo desenvolvido. Rigidez experimental

Rexp

Geração aleatória do módulo de elasticidade

E

Simulação numérica

Avaliação da diferença: Rnum-Rexp

Difi< -tol Difi> tol Não Não Sim Dif_i-1< 0 1 1 i ₂ i i E E E_    Sim Não Difi-1> 0 Sim Não Sim Solução ótima 1 1 ₂ i i i E E E_    1 0, 95 i i E_  E 1 1, 05 i i E_  E

Capítulo 4 – Simulação numérica

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4.4 ANÁLISE E DISCUSSÃO DE RESULTADOS

As Figuras 4.17 (a e b) apresentam o campo de deslocamentos verticais e o campo de tensões de Von Mises obtido na simulação numérica da cereja. O campo de deslocamentos observado é típico de uma estrutura composta por mais de um material não se distribuindo uniformemente ao longo da altura. O campo de tensões apresenta o comportamento esperado sendo máximo na região de carregamento.

(a)

(b)

Figura 4.17 – Resultados da simulação numérica (a) campo de deslocamentos verticais (b) campos de tensões de Von Mises .

49 A Tabela 4.2 ilustra o valor do módulo de elasticidade da cereja obtidos através da aplicação do método inverso para os diferentes tratamentos a que as cerejas da cultivar

skeena colhida no estado ótimo de maturação foram sujeitas. A Figura 4.18 mostra a

envolução do módulo de elasticidade do mesocarpo determinado através do método inverso e a rigidez normalizada determinada experimentalmente. É possível concluir que não se encontra qualquer relação entre as duas grandezas. Deve-se referir que durante todo o trabalho numérico as propriedades elásticas do endocarpo e do exocarpo foram mantidas constantes. O comportamento do endocarpo foi avaliado por ensaios de compressão, no entanto não foi possível identificar as propriedades elásticas da camada exterior da cereja. Assim, a compreensão deste resultado exige trabalho de caracterização do comportamento desta camada para avaliar a sua influência na rigidez do fruto. Nomeadamente, combinando ensaios de compressão com técnicas de medição de campo como correlação digital de imagem e outras, bem como ensaios realizados unicame nte nesta camada através de ensaios de tracção uniaxial e ensaios de tracção biaxial.

Tabela 4.2 – Modúlos de elasticidade obtidos para o mesocarpo.

Tratamento Módulo de elasticidade

(MPa) ABA 0,136 AN1 0,170 AN2 0,080 AN3 0,072 C1 0,140 C2 0,157 GA3 0,134 GB 0,003 SA 0,111

Capítulo 4 – Simulação numérica

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Figura 4.18 – Relação entre módulo de elasticidade do mesocarpo determinado pelo método inverso e rigidez normalizada determinada experimentalmente.

E = 0.3177K + 0.0293 R² = 0.0428 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 E (M P a ) K (N/mm2₎

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CAPÍTULO 5

Conclusões