coordenação
A DMFA torna-se exata no limite em que cada sítio da rede possui infinitos primeiros vizinhos, ou equivalentemente, no limite em que a rede possui infinitas dimensões. Nesse limite a autoenergia irredutível do modelo de Hubbard torna-se independente dos sítios e o problema de rede descrito pelo hamiltoniano de Hubbard é reduzido a um problema de um sítio simples. Fisicamente isso pode ser visualizado da seguinte forma: a configuração das partículas (elétrons ou buracos) na vizinhança de um sítio afeta o movimento da partícula que originalmente está nesse sítio, logo, num dado tempo as configurações das partículas nas vizinhanças de diferentes sítios podem ser diferentes, mas, quando cada sítio da rede possui infinitos vizinhos essas diferentes configurações tornam-se efetivamente a mesma. Por exemplo, vamos supor que um elétron em um determinado sítio “enxerga” uma determinada configuração eletrônica nos sítios primeiros vizinhos localizados à sua direita, mas, como existem infinitos primeiros vizinhos, um elétron em outro sítio deve “enxergar” essa mesma configuração em alguma região de sua vizinhança (é um fato probabilístico), e pelo mesmo raciocínio, a configuração eletrônica nos sítios primeiros vizinhos da direita desse segundo sítio será “enxergada” pelo elétron do primeiro sítio em alguma região de sua vizinhança. Desse modo, aplicando esse raciocínio em toda a vizinha desses dois sítios conclui-se que os elétrons nesses sítios “enxergarão” efetivamente a mesma configuração de elétrons nos seus sítios primeiros vizinhos. Contudo, em dimensões finitas as diferentes configurações dos elétrons nas vizinhanças dos sítios não são equivalentes, mas, a DMFA despreza essas flutuações espaciais.
Sendo a DMFA exata no limite de dimensões infinitas é esperado que essa técnica não seja adequada para estudar o modelo de Hubbard em redes com baixa dimensionalidade. Entretanto, como para modelos magnéticos frustrados uma lei de Curie-Weiss é válida para temperaturas muito menores do que para modelos não frustrados, o que indica a presença de momentos magnéticos locais bem formados (Merino et al., 2006), e como a DMFA descreve a dinâmica local completamente, essa aproximação deve ser boa para estudar o modelo de Hubbard em, por exemplo, uma rede triangular. Recentemente Merino, Powell e McKenzie
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apresentaram uma análise com a DMFA das propriedades eletrônicas e magnéticas do modelo de Hubbard bidimensional em uma rede triangular isotrópica dopada com elétrons fora do meio cheio, e foi encontrado que a dependência com a temperatura de muitas propriedades de transporte e magnéticas do NaxCoO2 estão consistente com a descrição da DMFA de um metal próximo à transição de Mott para altas temperaturas (Merino et al., 2006).
Para a rede quadrada a situação é diferente, pois, além de não ser frustrada magneticamente, dentre as redes de Bravais não lineares ela é a que possui o menor número de coordenação (cada sítio possui apenas 4 primeiros vizinhos). No caso meio-cheio (n = 1), resultados numéricos mostram que a rede quadrada exibe uma fase antiferromagnética isolante em T = 0. Em temperaturas finitas o teorema de Ghosh (Ghosh, 1971) assegura a destruição dessa fase magnética, mas, correlações antiferromagnéticas com comprimento de alguns parâmetros de rede existem em baixas temperaturas (em T = 0.25 t/kB e U = 4t estas
correlações se estendem por no mínimo um cluster de 8×8 sítios) (Hirsch, 1985; White et al., 1989). Quando a temperatura aumenta essas correlações são destruídas. Assim, existe uma temperatura característica T* (kBT* é da ordem da energia de exchange J que gera a fase
antiferromagnética em T = 0 e J ∝ t2/U) em que o sistema deixa de possuir correlações magnéticas importantes, consequentemente, a energia média desse sistema muda seu comportamento em relação à temperatura e o calor específico deve apresentar um pico (em baixas temperaturas).
Nós calculamos o calor específico do modelo de Hubbard em uma rede quadrada na fase paramagnética com 200×200 sítios sujeitos a condição de contorno cíclica. O calor específico C(T) poderia ser calculado pela fórmula C(T) = [E(T+ΔT) – E(T)]/(NsΔT), com a
energia média obtida por meio da equação (III.3.44) e ΔT = 0.02 t/kB, mas essa derivada
numérica não produz uma curva suave para alguns conjuntos de parâmetros. Então, neste trabalho, nós calculamos o calor específico pelo método de Duffy e Moreo, isto é, os pontos calculados de E(T) são fitados por um polinômio de ordem 6 em baixas temperaturas e por um de ordem 4 em altas temperaturas, e o calor específico é obtido realizando a derivada desses polinômios (Duffy and Moreo, 1997).
A dependência do calor específico com a temperatura para U/t = 4, 8 e 12 no meio- cheio é mostrada na figura IV.1 juntamente com as respectivas curvas obtidas por Monte Carlo quântico (QMC). A concordância entre os resultados calculados por DMFA e QMC só ocorre em altas temperaturas. Como a DMFA despreza as correlações espaciais de curto alcance ela é incapaz de reproduzir os picos de baixa temperatura, referentes à quebra das correlações antiferromagnéticas de curto alcance, encontrados por QMC.
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Figura IV.1: Calor específico C versus temperatura T para n = 1 com (a) U/t = 4, (b) U/t = 8 e (c) U/t = 12. As linhas cheias são resultados obtidos por QMC retirados do trabalho de Duffy and Moreo, 1997, e as linhas tracejadas são nossos resultados calculados com a DMFA.
Com n = 1 e em temperaturas suficientemente baixas a probabilidade de se encontrar um sítio duplamente ocupado é pequena, pois a energia térmica kBT adquira pelo elétron é
menor que a energia de repulsão entre os elétrons que ocupam o mesmo sítio U, assim, o sistema fica a maior parte do tempo com um elétron por sítio. Quando kBT > U a
probabilidade de se encontrar um sítio duplamente ocupado, com um elétron com spin up ou
down, ou vazio, é praticamente a mesma (0,25), logo, em kBT ~ U o calor específico apresenta
um pico indicando essa mudança de comportamento. Como essas flutuações de carga ocorrem no sítio elas são completamente descritas pela DMFA. De fato os picos do calor específico
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associados a essas flutuações (em kBT ≅U/4) obtidos por DMFA e QMC para a rede quadrada coincidem (figura IV.1).
O comportamento do calor específico obtido pela DMFA para uma rede quadrada no meio-cheio é análogo ao obtido para uma rede hipercúbica no limite de dimensões infinitas pela DMFT (Georges and Krauth, 1993). Em U/W = 0.5 (em que W = 8t é a largura da banda de energia da rede quadrada) o calor específico começa linear com T em baixas temperaturas indicando que o sistema comporta-se como um metal fracamente correlacionado semelhante ao descrito pela teoria do líquido de Fermi de Landau. Em U/W = 1 o metal torna-se fortemente correlacionado e o calor específico apresenta um pico em baixas temperaturas que é associado à flutuações de spin no sítio (local), e não à quebra de correlações magnéticas. Em
U/W = 1.5 as correlações eletrônicas são muito fortes e a rede quadrada comporta-se como um sistema de elétrons localizados em baixas temperaturas, e como a DMFA não considera correlações espaciais o calor específico apresenta apenas o pico em altas temperaturas associado a flutuações de carga (figura IV.1).
Figura IV.2: Densidade de estados N no nível de Fermi (ω = 0) versus energia de interação elétron-elétron intra- sítio U, para n = 1 e kBT/t = 0,02. Os triângulos para cima e para baixo foram obtidos aumentando e diminuindo
o valor de U/t, respectivamente. Para U/t > Uc1/t = 9,4 é encontrado uma solução isolante para as equações de
campo médio dinâmico, enquanto para U/t < Uc2/t = 10,3 é encontrado uma solução metálica; como Uc2/t > Uc1/t
uma curva tipo histerese surge.
A transição entre a fase metálica e isolante pode ser descrita através da figura IV.2, que mostra a dependência da densidade de estados no nível de Fermi N(ω = 0) com relação à interação U (N = N↑+N↓, e Nσ foi calculado usando a equação (III.3.47)). Aumentando o valor
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de U a partir de 8t encontramos que a rede quadrada comporta-se como um metal, isto é,
N(ω = 0) é finita, até Uc2 = 10,3t, enquanto que diminuindo U a partir de 12t encontramos que a rede quadrada apresenta comportamento isolante, isto é, N(ω = 0) é nula, para valores de U maiores que Uc1 = 9,4t. Na região Uc1 < U < Uc2 (região de coexistência) as duas soluções foram encontradas e, consequentemente, o gráfico N(ω = 0)×U apresenta uma curva tipo histerese. Para encontrar o valor crítico exato da transição metal-isolante é necessário calcular qual das duas soluções da região de coexistência é mais estável. Cálculos com DMFT em que as equações foram resolvidas usando a teoria de perturbação iterada mostraram que a solução isolante tem uma energia livre menor (Georges and Krauth, 1993; Georges et al., 1996). A existência de uma transição metal-isolante não está de acordo com resultados obtidos na literatura, que prevê um estado isolante para a rede quadrada no meio-cheio em T = 0 e U > 0 (Hirsch, 1985; Moukouri and Jarrell, 2001).
Apesar da DMFA aplicada no estudo de uma rede quadrada com n = 1 indicar incorretamente uma transição metal-isolante e fornecer curvas do calor específico válidas apenas em altas temperaturas, a situação é diferente em n = 0,75 e 0,5. As figuras IV.3 e IV.4 mostram as curvas do calor específico calculadas usando DMFA e QMC e revelam uma boa concordância entre esses dois métodos para n = 0,75 e uma concordância excelente para
n = 0,5.
Quando n é reduzido a partir do meio-cheio o comprimento das correlações antiferromagnéticas em baixas temperaturas também é reduzido (Hirsch, 1985; White et al., 1989; Moreo et al., 1990). Duffy e Moreo analisaram o calor específico obtido por QMC e concluíram que em U/t = 8 importantes correlações antiferromagnéticas são ausentes para
n ≤ 0,75 (Duffy and Moreo, 1997). Portanto, como a DMFA despreza correlações espaciais ela não é capaz de descrever corretamente as propriedades do modelo de Hubbard em uma rede quadrada quando n é próximo de 1 e a temperatura é baixa, isto é, numa região de parâmetros em que importantes correlações antiferromagnéticas ocorrem no sistema. Mas, para n ≤ 0,75 nossos resultados mostram a validade da DMFA para estudar o modelo de Hubbard em uma rede quadrada, mesmo em U/t > 8 (figuras IV.3 e IV.4). Pruschke et al. já haviam obtido um resultado similar comparando a função espectral obtida por DMFA e QMC (Pruschke et al., 1996).
A figura IV.4 mostra que em n = 0,5 as curvas do calor específico possuem apenas um pico. Nessa densidade as curvas obtidas com as técnicas DMFA e QMC apresentam apenas uma pequena diferença na altura desse pico. Entretanto, White et al. mostraram por meio da
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Figura IV.3: Calor específico C versus temperatura T para n = 0,75 com (a) U/t = 4, (b) U/t = 8 e (c) U/t = 12. As linhas cheias são resultados obtidos por QMC retirados do trabalho de Duffy and Moreo, 1997, e as linhas tracejadas são nossos resultados calculados com a DMFA.
função de correlação spin-spin calculada usando QMC, que em n = 0,5 com U/t = 4 e
kBT/t = 0,1 correlações antiferromagnéticas são praticamente ausentes (White et al., 1989).
Desde que nessa temperatura o calor específico obtido com a DMFA concorda com o obtido por QMC e o pico do calor específico ocorre em uma temperatura maior que 0,1 t/kB (figura
IV.4a), e como o efeito da temperatura é desfavorável à correlações magnéticas, nós concluímos que a formação desse pico não é devido à correlações antiferromagnéticas, logo, esse pico deve estar associado à flutuações quânticas locais. Mas, como a DMFA considera totalmente essas flutuações, nós acreditamos que a diferença entre o calor específico calculado por DMFA e QMC em n = 0,5 é principalmente devido à diferença no tamanho das redes usadas nesses cálculos. Os cálculos com QMC foram realizados para uma rede com 6×6
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sítios (Duffy and Moreo, 1997), enquanto os cálculos com a DMFA foram realizados para uma rede com 200×200 sítios.
Figura IV.4: Calor específico C versus temperatura T para n = 0,5 com (a) U/t = 4, (b) U/t = 8 e (c) U/t = 12. As linhas cheias são resultados obtidos por QMC retirados do trabalho de Duffy and Moreo, 1997, e as linhas tracejadas são nossos resultados calculados com a DMFA.
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