Hef f = χga†a + κg σgg+ χe a†a + 1 σee + ξa†3σge+ ξ∗a3σeg , (2.2.27) com χg = |λ| 2 /∆1, κg = |Ω| 2 /δL, χe= |λ| 2 /∆2, e ξ = λ |λ| 2 / (∆1∆2). Seguindo o proto-
colo para a construção de hamiltonianos seletivos, realizamos a transformação unitária U = exp−i χga†a + κg σgg+ χe a†a + 1 σee t (2.2.28)
para obter a forma simplificada: Hef f =
X
n
ξn |n + 3i hn| σgeeiφnt+ H.c . (2.2.29)
Se para um determinado número de fótons n = m, ambas as seguintes condições forem satisfeitas:
ϕm = (m + 3) χg− (m + 1) χe− κg = 0 (2.2.30)
e
ξm±` ` |χg− χe| , (2.2.31)
onde ξm =p(m + 1) (m + 2) (m + 3)ξ, derivamos o hamiltoniano seletivo para transições
de três fótons dado por
Hm = ξm|m + 3i hm| σge+ H.c.. (2.2.32)
Da condição (2.2.31), obtemos p(m + 1 ± `) (m + 2 ± `) (m + 3 ± `) `δ/λ, restrin- gindo o intervalo permitido de subespaços {m, m + 3} para grandes números de Fock à condição m `∆/δ. Neste sentido, nota-se que o campo clássico é essencial para a engenharia de interações seletivas de subespaços com grandes números de Fock. Para su- bespaços de estados de Fock com número pequeno, o campo clássico pode ser desprezado.
2.3
Validade da engenharia das interações seletivas
Para analisar a validade do nosso método, podemos comparar numericamente as evolu- ções das populações do subespaço selecionado {m, m + k}, derivada dos hamiltonianos de partida, com as oscilações de Rabi senoidais dos hamiltonianos seletivos para cada uma das transições de um, dois e três fótons, respectivamente. Além disso, demonstramos que
Capítulo 2. Engenharia de interações SJC e NSJC 37
Figura 2.3.1 – Populações dos estados |e, m = 4i e |g, m = 5i, contra τ , calculadas a partir dos hamiltonianos de partida e seletivo de um fóton, descritas pelos pares de curvas contínuas e tracejadas, respectivamente.
Fonte: Elaborada pelo autor.
os hamiltonianos seletivos agem apenas nos estados selecionados e, dificilmente preenchem os estados fora do subespaço selecionado.
Começamos com a interação seletiva de um fóton no estado inicial |e, m = 4i. Na Fig. 2.3.1, estão os gráficos das populações dos estados selecionados |e, m = 4i e |g, m = 5i contra uma escala de tempo adimensional τ = λt. Os pares de curvas sólidas e traceja- das na figura mostram as evoluções das populações dos estados |e, m = 4i e |g, m = 5i, calculadas a partir dos hamiltonianos (2.2.1) e (2.2.11), respectivamente. Através da análise das aproximações necessárias para obter o hamiltoniano (2.2.11), supusemos os parâmetros ∆ = ∆2 = 8 √ m + 1λ, Ω1 = √ m + 1λ e Ω2 = λ/(8 √
m + 2λ), que por meio da equação (2.2.9), conduzem à relação de dessintonias ∆1 = {1 − Ω22/ [(m + 1) λ2]}
−1
∆, enquanto que as oscilações de Rabi, derivadas do hamiltoniano seletivo (2.2.11), ocorrem entre zero e a unidade. Aquelas derivadas do hamiltoniano (2.2.1) ocorrem aproximada- mente em torno de 0, 02 e 0, 98. Isso indica que, para o conjunto requerido de parâmetros, a dinâmica regida pela engenharia de interação se encaixa muito bem com o hamiltoniano (2.2.1).
Já que a dinâmica ditada pelo hamiltoniano seletivo (2.2.11) é igual ao do mo- delo Jaynes-Cummings usual, para o caso particular dos estados selecionados |e, m = 4i e |g, m = 5i, na Fig. 2.3.1, também apresentamos a evolução das populações dos esta- dos iniciais adjacentes |e, m = 3i e |e, m = 5i, sob o hamiltoniano (2.2.1) e os mesmos parâmetros previamente considerados. Como podemos ver a partir das curvas mais leves,
38 2.3. Validade da engenharia das interações seletivas
Figura 2.3.2 – Populações dos estados |e, m = 4i e |g, m = 6i, contra τ , calculadas a partir dos hamiltonianos de partida e seletivo de dois fótons, descritas pelos pares de curvas contínuas e tracejadas, respectivamente.
Fonte: Elaborada pelo autor.
que oscilam próximo da unidade, aquela com a menor (maior) amplitude associada ao es- tado |e, m = 3i (|e, m = 5i), a dinâmica governada pelo hamiltoniano (2.2.1) dificilmente vai popular os estados fora do subespaço selecionado, confirmando assim, a validade da interação seletiva de um fóton.
No caso das transições de dois fótons, na Fig. 2.3.2, começamos novamente com o es- tado |e, m = 4i para ilustrar a evolução das populações dos estados |e, m = 4i e |g, m = 6i, contra τ , regida pelos hamiltonianos nas equações (2.2.13) e (2.2.22), a partir do qual se derivam os pares de curvas sólidas e tracejadas, respectivamente. Temos imposto os parâ- metros δ = 8√m + 1λ, ∆ = 8 (m + 2) δ e Ω =√mλ, que conduzem, através da equação (2.2.20), a δL = {1 − δ/ (m∆)}
−1
δ. As quatro curvas sólidas novamente atestam a va- lidade das aproximações que levam à interação seletiva. Apesar da pequena amplitude das oscilações rápidas da curva que mostra a evolução da população do estado |e, m = 4i, as linhas contínuas se encaixam bem com as oscilações de Rabi sinusoidais mostradas pelas linhas tracejadas. A discrepância entre as curvas provenientes dos hamiltonianos seletivo e de partida está próxima daquela para o processo de um fóton. A principal diferença entre as curvas derivadas das transições de um, dois e três fótons (a ser discu- tida abaixo) é a amplitude das oscilações rápidas exibidas pela curva para a população do estado |e, m = 4i; no caso da transição de dois fótons, a amplitude das oscilações é significativamente maior do que aqueles para as transições de um e três fótons.
Capítulo 2. Engenharia de interações SJC e NSJC 39 toniano seletivo (2.2.22) é igual ao do modelo não linear de Jaynes-Cummings de dois fótons para o caso particular dos estados de Fock |e, m = 4i e |g, m = 6i. Com o objetivo de comprovar a seletividade do processo de dois fótons, na Fig. 2.3.2, apresentamos a evolução das populações dos estados iniciais adjacentes |e, m = 3i e |e, m = 5i, mostrada pelas curvas mais leves que oscilam em torno da unidade com amplitude menor e maior, respectivamente, sob o hamiltoniano (2.2.13) e os mesmos parâmetros considerados acima. Mais uma vez, estas curvas mostram que os estados adjacentes são muito mal populados, como todos os outros estados, com exceção de |e, m = 4i e |g, m = 6i.
Em relação à validade das transições de três fótons na Fig. 2.3.3, começamos com o estado |e, m = 4i para mostrar a evolução das populações desses estados |e, m = 4i e |g, m = 7i contra τ , calculada a partir dos hamiltonianos das equações (2.2.23) e (2.2.32), derivando as curvas sólidas e tracejadas, respectivamente. Da análise das aproximações para obter o hamiltoniano (2.2.32) definimos os parâmetros ∆1 = 8
√
m + 1λ, ∆2 =
8∆1 e Ω =
√
m + 1λ, que, por meio da equação (2.2.30), conduzem à relação δL =
(m + 1) ∆1∆2/ [(m + 3) ∆2− (m + 1) ∆1] . A validade da interação seletiva é confirmada
com um erro associado à inversão de população de aproximadamente 4%, uma vez que estas curvas evoluem entre as probabilidades de aproximadamente 0, 04 e 0, 94. As curvas mais leves exibem as evoluções das populações dos estados iniciais adjacentes |e, m = 3i e |e, m = 5i, que oscilam em torno da unidade com amplitude menor e maior, respectiva- mente, sob o hamiltoniano (2.2.23) e com os mesmos parâmetros considerados acima. Mais uma vez, verifica-se que todos os outros estados, com exceção de |e, m = 4i e |g, m = 7i, são mal populados, corroborando as aproximações realizadas para a dedução do hamilto- niano seletivo de três fótons.
Observa-se nas Figuras 2.3.1 a 2.3.3 que os três conjuntos de parâmetros escolhidos para analisar a eficacia dos hamiltonianos seletivos (2.2.11) , (2.2.22) e (2.2.32) levam aproximadamente o mesmo tempo de inflexão de população, ao redor de 102/λ. Esse fato notável mostra que projetamos todas as três interações seletivas de um, dois e três fó- tons com aproximadamente a mesma constante de acoplamento átomo-campo, ξ ∼ 10−2λ. Evidentemente, a constante de acoplamento das interações seletivas depende crucialmente do procedimento adotado para atingir as interações seletivas desejadas, como também da configuração de níveis atômicos e transições escolhidas. Este fato nos estimula a buscar novos procedimentos e configurações de estados atômicos para a engenharia das interações seletivas de transições de um e dois fótons que resultam em constantes de acoplamentos átomo-campo mais fortes. Apesar de ter obtido a mesma ordem de grandeza para os três acoplamentos átomo-campo que temos realizado, naturalmente esperamos obter constan- tes de acoplamento menos intensas em ordens superiores do hamiltoniano efetivo. Vale ressaltar, no entanto, que, apesar de as interações de ordem superior produzirem cada vez menores acoplamentos efetivos átomo-campo dentro da cavidade QED, avanços re-
40 2.4. Aplicações
Figura 2.3.3 – Populações dos estados |e, m = 4i e |g, m = 7i, contra τ , calculadas a partir dos hamiltonianos de partida e seletivo de três fótons, descritas pelos pares de curvas contínuas e tracejadas, respectivamente.
Fonte: Elaborada pelo autor.
centes em CirQED tendem à realização de regimes de acoplamento ultra fortes, com a relação de acoplamento normalizado λ/ω até 12%. (82) Ao confiar em CirQED podemos, portanto, esperar interações seletivas de ordem superior que poderiam ser úteis para o processamento de informação quântica. (83) Evidentemente, outro ponto sensível para ser resolvido, na engenharia de interações de ordem superior, é como ajustar os parâmetros do modelo para eliminar todas as transições de fótons indesejáveis a ordens inferiores.