Hs= ζ (1)
M A
†
sσge+ H.c, (4.1.18)
com o operador de campo
A†s= |M + 1i hM | +ζM +1(2) /ζM(1)|M + 2i hM + 1| +ζM +2(3) /ζM(1)|M + 3i hM + 2| . (4.1.19) Para gerar as interaçõesube sliced AJC confinadas nos subespaços de Fock {|0i , |1i , |2i , |3i} e {|M i , |M + 1i , |M + 2i , |M + 3i}, precisamos trocar as transições |gi , |ei ↔ |ii con- duzidas pelos campos quântico e clássico. Finalmente, observamos que pela adição de outro nível auxiliar próximo de |ii, podemos obter interações ub e sliced confinadas nos subespaços que vão desde |0i até |4i e |M i até |M + 4i.
4.2
Validade das interações engenhadas
ub e sliced
A seguir, analisamos a validade dos hamiltonianos engenhados ub e sliced descritos pelas Eqs. (4.1.5), (4.1.9), (4.1.14) e (4.1.18). Para este fim, compara-se numericamente as oscilações sinusoidais de Rabi das populações do modo da cavidade provenientes dessas interações efetivas com os Hamiltonianas completos nas Eqs. (4.1.1) e (4.1.11).
4.2.1
Interações confinadas nos subespaços de Fock 3D
Começamos por analisar a validade da interaçãoub dada pela Eq. (4.1.5), confinada no su- bespaço de Fock {|0i , |1i , |2i}. Consideramos o estado inicial |Ψ(0)i = (1/2) (|0i + |2i) ⊗ (|gi + |ei), na Fig. 4.2.1a, plotamos contra o parâmetro de interação ζ1t, as probabi-
lidades P0, P1 e P2 de medir no modo de cavidade os estados de Fock |0i , |1i e |2i,
respectivamente. Assumimos os acoplamento típicos na CQED, λ1 = λ2 = 5 × 105Hz
((37)), e definindo o conjunto de dessintonias ∆1 = 2∆2 = 10λ1 e θ1 = θ2/2 = λ1/10,
para obter e∆1 = (99/52) e∆2 = 9.9λ1. Finalmente, com Ω1 = 2
√ 2Ω2 = λ1/5 √ 2, obtemos ζ1 = √
2ζ2 = 1.77 × 103Hz, e consequentemente, o operador ub: A †
ub = |1i h0| + |2i h1|.
Estes parâmetros são bastante adequados para a derivação da interação ub, como foi confirmado pelo bom comportamento mostrado na Fig. 4.2.1a entre as curvas cinzas cal- culadas a partir do hamiltoniano (4.1.1) e as escuras calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.5), dadas por P0 = P2 = [1 + cos2ζ1t] /4 e P1 = (1/2) sin2ζ1t.
Enquanto as probabilidades P0 e P1 são expostas em primeiro plano, P2 é mostrada
Capítulo 4. Hamiltonianos e Liouvillianos confinados em subespaços de Fock 63
Figura 4.2.1 – (a) Probabilidades P0a P3de medir o modo da cavidade nos estados de Fock |0i a |3i, calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.5) e o hamiltoni- ano (4.1.1), mostradas por linhas claras e escuras, respectivamente. P0
e P1 são apresentados em primeiro plano, enquanto P2 está represen- tada na inserção. P3, que é nulo para a interação efetiva, oscila perto de
zero para o hamiltoniano (4.1.1), como mostrado pela curva tracejada. (b) Probabilidades P2 a P6 de medir o modo de cavidade nos estados de Fock |3i a |5i, calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.9) e o hamil- toniano (4.1.1), mostrados por linhas claras e escuras, respectivamente. P3 e P4são expostos em primeiro plano, enquanto P5está representada na inserção. P2 e P6, que são nulas para a interação efetiva (4.1.9),
oscila perto de zero para o hamiltoniano (4.1.1), como mostrado pelas curvas tracejadas no primeiro plano e a inserção, respectivamente.
0 π/2 π
ζ
1t
0.00 0.25 0.50 (a) 0 π/2 π 0.00 0.25 0.50 0 π/2 πζ
3(1)t
0.00 0.25 0.50 (b) 0 π/2 π 0.00 0.25 0.5064 4.2. Validade das interações engenhadas ub e sliced da interação ub, e oscila perto de zero para o hamiltoniano (4.1.1), como mostrado pela curva tracejada na Fig. 4.2.1a.
Para analisar a validade da interação sliced na Eq. (4.1.9), assumimos M = 3, portanto o hamiltoniano (4.1.9) é confinado ao subespaço de Fock {|3i , |4i , |5i}. Assumi- mos o estado inicial |Ψ(0)i = (1/2) (|3i + |5i)⊗(|gi + |ei), para calcular as probabilidades P3,P4 e P5, plotadas contra o parâmetro de interação ζ3(1)t (com ζ
(1)
3 = 2ζ1) na Fig. 4.2.1b.
Novamente usamos os acoplamentos λ1 = λ2 = 5 × 105Hz, mas desta vez com as dessin-
tonias ∆1 = 2∆2 = 20λ1 e θ1 = 4θ2/5 = λ1/5, para obter e∆1 = (79.2/41) e∆2 = 19.8λ1.
Além disso, com a escolha Ω1 =
√ 5Ω2 = λ1/5 √ 5, obtemos ζ1 = √ 2ζ2 = 6 × 102Hz, e
consequentemente, o operador sliced: A†s = |4i h3| + |5i h4|. Mais uma vez, observamos a boa concordância entre as curvas cinzas numericamente calculadas a partir do hamil- toniano (4.1.1) e as escuras, analiticamente calculadas a partir da interação sliced, dadas por P3 = P5 =
h
1 + cos2ζ3(1)ti/4 e P4 = (1/2) sin2ζ1t. P3 e P4 são expostas em primeiro
plano e P5 é mostrada na figura insertada da Fig. 4.2.1b. As probabilidades P2 e P6, que
são nulas para o hamiltoniano sliced, oscilam perto de zero calculada pelo hamiltoniano de partida (2.2.23), como mostrado pelas curvas tracejadas no primeiro plano e a insertada na Fig. 4.2.1b, respectivamente.
4.2.2
Interações confinadas nos subespaços de Fock 4D
Seguimos analisando a validade da interação ub dada pela Eq. (4.1.14), confinada no su- bespaço de Fock {|0i , |1i , |2i , |3i} . Assumimos o estado inicial |Ψ(0)i = (1/2) (|1i + |3i)⊗ (|gi + |ei), na Fig. 4.2.2a, plotamos as probabilidades desde P0 até P3 contra o parâmetro
de interação ζ1t. Assumimos os acoplamento típicos na CQED λ1 = λ2 = λ3 = 5 × 105Hz
((37)), e definindo o conjunto de dessintonias ∆1 = ∆2/2 = ∆3 = 10λ1 e θ1 = θ2/2 =
θ3/3 = λ1/20, para obter e∆1 = (199/402) e∆2 = (199/203) e∆3 = 10.15λ1. Finalmente, com
Ω1 = Ω2/ √ 2 = √3Ω2 = λ1/20, obtemos ζ1 = √ 2ζ2 = √ 3ζ3 = 1.77 × 103Hz, e consequen-
temente, o operador ub: A†ub= |1i h0| + |2i h1| + |3i h2|. Assim como nas figuras analisadas anteriormente, há uma boa concordância entre as curvas cinzas, calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.11) e as escuras, calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.14) mostradas na Fig. 4.2.2a, dadas por P0 = P2/2 = (1/4) sin2ζ1t e P1 = 2P3− 1/2 = (1/2) cos2ζ1t/4.
P0 e P1 são apresentadas em primeiro plano e P2 e P3 são mostradas na figura insertada
da Fig. 4.2.2a. A probabilidade P4, o qual é nula quando é calculada a partir do hamilto-
niano (4.1.14), calculada a partir do hamiltoniano (4.1.11) oscila perto de zero mostrada pela curva tracejada na Fig. 4.2.2a.
Considerando a validade da interação sliced na Eq. (4.1.18), assumimos M = 3, portanto o hamiltoniano (4.1.18) é confinado ao subespaço de Fock {|3i , |4i , |5i , |6i} . Assumimos o estado inicial |Ψ(0)i = (1/2) (|3i + |6i) ⊗ (|gi + |ei), para calcular as
Capítulo 4. Hamiltonianos e Liouvillianos confinados em subespaços de Fock 65
Figura 4.2.2 – (a) Probabilidades P0 a P4 de medir o modo da cavidade nos estados Fock |0i a |4i, calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.14) e o hamilto- niano (4.1.11), mostradas por linhas claras e escuras, respectivamente. P0 e P1 são apresentados em primeiro plano, enquanto P2 e P3 estão representadas na inserção. P4, que é nula para a interação efetiva, oscila
perto de zero para o hamiltoniano (4.1.11), como mostrado pela curva a tracejada. (b) Probabilidades P2a P7de medir o modo de cavidade nos estados de Fock |2i a |7i, calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.18) e o hamiltoniano (4.1.11), mostrados por linhas claras e escuras, respec- tivamente. P3 e P4 são expostos em primeiro plano, enquanto P5 e P6 estão representadas na inserção. P2 e P7 , que são nulas para a intera-
ção efetiva (4.1.14), oscila perto de zero para o hamiltoniano (4.1.11), como mostrado pelas curvas tracejadas no primeiro plano e a inserção, respectivamente. 0 π/2 π
ζ
1t
0.00 0.25 0.50 (a) 0 π/2 π 0.00 0.25 0.50 0 π/2 πζ
3(1)t
0.00 0.25 0.50 (b) 0 π/2 π 0.00 0.25 0.50Fonte: Elaborada pelo autor.
probabilidades P3 eté P6, plotadas contra o parâmetro de interação ζ3(1)t (com ζ (1)
3 =
2ζ1) na Fig. 4.2.2b. Novamente usamos os acoplamentos λ1 = λ2 = λ3 = 5 × 105Hz,
com as dessintonias ∆1 = ∆2/2 = ∆3 = 20λ1 e θ1 = 4θ2/5 = 2θ3/3 = λ1/10, para
obter e∆1 = (159.2/321) e∆2 = (199/201.5) e∆3 = 20.15λ1. Além disso, com a escolha
Ω1 = √ 5Ω2/4 = √ 6Ω2/2 = λ1/20 √ 5, obtemos ζ1 = √ 5ζ2/2 = √ 6ζ3/2 = 1.7 × 103Hz,
e consequentemente, o operador ub: A†s = |4i h3| + |5i h4| + |6i h5|. Observamos a boa concordância entre as curvas cinzas numericamente calculadas a partir do hamiltoniano (4.1.11), e as escuras, analiticamente calculadas a partir da interação (4.1.18), dadas por P3 = P6 =
h
1 + cos2ζ3(1)ti/4 e P4 = P5 = (1/4) sin2ζ1t. P3e P4são expostas em primeiro
plano, P5 e P6 são mostradas na figura insertada da Fig. 4.2.2b. As probabilidades P2 e
P7, que são nulas para o hamiltoniano sliced, oscilam perto de zero para o hamiltoniano
de partida (2.2.23), como mostrado pelas curvas tracejadas no primeiro plano e na figura insertada da Fig. 4.2.2b, respectivamente.