Valor em Risco e Expected Shortfall pela Metodologia Híbrida – The

Híbrida – The Best of Both Worlds

Da mesma forma como foi feito para o VaR e o ES calculados pela metodologia analítica com uso da volatilidade EWMA e pela metodologia da simulação histórica, o primeiro resultado que se extraiu dos valores de VaR e ES da metodologia híbrida foi o atendimento ou não à propriedade da aditividade. Na Tabela 7 são apresentados os resultados da verificação da sub-aditividade para 12 combinações dos parâmetros nível α e tamanho da janela K para a metodologia híbrida. Nesta tabela são apresentados também os tempos de processamento do programa elaborado no Excel para o cálculo do VaR e do ES pelas três metodologias.

Pela análise da Tabela 7, percebe-se que o VaR calculado pela metodologia híbrida também apresenta falhas na propriedade da sub-aditividade, com persistência até maior do que o VaR histórico, ao se comparar com a Tabela 4. O Expected Shortfall calculado pela metodologia híbrida também passa pelo critério da sub-aditividade.

Tabela 7

Falhas na sub-aditividade das medidas de risco VaR e Expected Shortfall calculadas pela metodologia híbrida para as 10 ações mais líquidas da Bovespa e para a carteira igualmente ponderada, abrangendo o período de 04/jul/1994 a 31/out/2003 e tempo de processamento do programa de cálculo elaborado no Excel das metodologias histórica, analítica com EWMA e híbrida. Os lambdas utilizados na metodologia híbrida variaram a cada 100 dias da amostra, tendo sido obtidos por processo de otimização que encontrava para a carteira o ES mais próximo da perda efetiva quando o VaR falhava, tendo o parâmetro K definido o início da primeira janela de calibragem de 250 dias.

Tempo de proces-samento em horas

α αα

α Janela VaR Híbrido ES Híbrido ^{VaR e ES Histórico,} analítico e Híbrido 50 8 0 2.011 8,76 100 32 0 1.961 50,27 250 130 0 1.811 42,16 50 49 0 2.011 56,57 100 25 0 1.961 50,60 250 34 0 1.811 42,35 50 37 0 2.011 44,75 100 15 0 1.961 6,84 250 7 0 1.811 43,24 50 11 0 2.011 51,08 100 22 0 1.961 44,46 250 16 0 1.811 45,11 Qtde de Observações Qtde de falhas na sub-aditividade 5% 10% Parâmetros 1% 2,5%

A prova de que o ES híbrido é sempre sub-aditivo é a mesma do ES histórico, apresentada em Acerbi e Tasche (2001) e reproduzida a seguir, com a adição de alguns comentários e um exemplo prático ao final.

O Expected Shortfall é o simétrico da média aritmética dos α% piores resultados, ou seja, o simétrico da média dos retornos menores ou iguais ao simétrico do VaR. Considere um grande número de realizações

{ }

Xi _{i_=1,...,n_} de uma variável aleatória X . Ordene a amostra em ordem crescente e faça a média das primeiras α% observações. Para fazer isso, seja definida a estatística de ordem

n n

n X

elementos na amostra por w=

[

nα%

]

=max

{

mm≤nα,m∈N

}

, a parte inteira de

[

nα%

]

. O conjunto dos α piores resultados é então representado pelos w menores %

retornos,

{

X_1:n,Λ ,Xw_:n

}

retirados de

{

X_1:n,Λ ,Xn_:n

}

. O estimador para o Expected

Shortfall para os α % ou w piores retornos de

{ }

Xi _{i_=1,...,n_} é dado simplesmente por: ( )

( )

=−

∑

= = w X X ES w i ⁱⁿ n ¹ :

α -(média dos α % menores retornos X ). i

É fácil verificar que ^{( )}α

n

ES é sub-aditivo para qualquer n. Considere duas variáveis X e Y e um número n de realizações simultâneas

{(

Xi,Yi

)}

_{i_=1,...,n_}. Pode-se provar a sub-aditividade para qualquer n numa rápida análise de:

( )

( ) ^{( )}

ES( )

( )

X ES( )

( )

Y w Y X w Y X Y X ES _{n n} w i ^{in in} n i w i nα + =−

∑

=1 ⁺ : ≤−

∑

=1( ^{: + :} ) = α + α

Ou seja, o ES histórico da carteira será sempre menor ou igual à soma dos ES histórico dos ativos individuais.

Essa prova se origina da seguinte propriedade básica: o mínimo da soma é sempre maior ou igual à soma dos mínimos individuais; a qual multiplicada por –1, resulta em: o simétrico do mínimo da soma é sempre menor ou igual ao simétrico da soma dos mínimos individuais.

Considere estas cinco realizações simultâneas de

{(

X_i,Y_i

)}

_{i=1,...,5_}:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

−6,−15, −2,−13, −4,−11, −5,−18, −7,−10

}

, todas negativas, o que é uma característica típica das realizações presentes na cauda esquerda de uma

distribuição de retornos. A carteira

{(

X_i +Y_i

)}

_{i=1,...,5_} será:

{

−21,−15,−15,−23,−17

}

. É fácil perceber que o simétrico do mínimo da carteira

{(

Xi +Yi

)}

, +23, é menor ou igual ao simétrico da soma dos mínimos individuais de X e de _i Y , +25; ou _i

então, que o simétrico da soma dos dois menores da carteira

{(

Xi +Yi

)}

, +44, é menor ou igual ao simétrico da soma dos dois menores individuais de X e de _i

i

Y , +46, e assim, sucessivamente. Se a propriedade se verifica para a soma,

será verificada também para a média aritmética.

Os pesos atribuídos na metodologia híbrida podem ser vistos como repetições dos retornos a que se referem, como numa tabela de freqüências. Como ao último retorno que entra no cálculo do ES híbrido atribui-se não o seu próprio peso, mas somente o quanto falta para o peso acumulado chegar ao nível alfa, em todos os ativos individuais a posição dos últimos retornos utilizados no cálculo do ES será a mesma. Assim, será perfeitamente aplicável a propriedade dos mínimos.

O tempo de processamento foi apresentado na Tabela 7 com o fim de ilustrar a pesada carga computacional que foi calcular estas medidas de risco, com todo o processo de otimização de lambdas envolvido, para os mais de 2000 dias da amostra, de cada um dos 11 ativos no aplicativo Excel com uso do Visual Basic. Na análise desses números, deve-se considerar que o programa com as diferentes combinações de parâmetros foi rodado simultaneamente em doze microcomputadores do Departamento de Estudos e Pesquisas do Banco Central do Brasil localizado no Rio de Janeiro, havendo,

portanto, diferenças no desempenho relacionadas aos diferentes equipamentos utilizados. Devido ao elevado tempo de processamento observado na Tabela 7, fica como sugestão para trabalhos futuros, a utilização do programa Matlab, que por ter a capacidade de trabalhar matricialmente, pode realizar o cálculo das medidas de risco para vários ativos de uma só vez, enquanto no Excel foi feito um ativo de cada vez, retardando em muito a geração dos resultados quando se fazia uma alteração e se rodava novamente o programa para todos os parâmetros.

Assim como na metodologia analítica com EWMA, o processo de otimização do lambda descrito na seção 3.2.5 objetivou a obtenção dos melhores resultados para o Expected Shortfall híbrido. Isso tornou necessária a análise dos reflexos deste processo no VaR híbrido por intermédio do teste de Kupiec (1995).

A seguir é apresentada a Tabela 8 que mostra para cada combinação de parâmetros, a quantidade de ativos para os quais o VaR híbrido foi rejeitado pelo teste de Kupiec (1995), aplicado com o nível de significância de 5% sobre toda a amostra existente no período de 04/07/1994 a 31/10/2003 e também a rejeição ou não para a carteira.

Tabela 8

Resultado do teste de Kupiec com o nível de significância de 5% aplicado sobre o VaR calculado pela metodologia híbrida para as 10 ações mais líquidas da Bovespa e para a carteira igualmente ponderada, somente posição comprada, abrangendo o período de 04/jul/1994 a 31/out/2003. Os lambdas utilizados na metodologia híbrida variaram a cada 100 dias da amostra, tendo sido obtidos por processo de otimização que encontrava para a carteira o ES mais próximo da perda efetiva quando o VaR falhava, tendo o parâmetro K definido o início da primeira janela de calibragem de 250 dias.

CARTEIRA Nível α α α α K ^{Qtde de ativos em que}

houve rejeição do VaR

Houve rejeição da carteira?

Percentual de falhas

da carteira ^{Inferior Superior}

50 10 sim 3,58% 0,60% 1,46% 100 10 sim 2,24% 0,59% 1,47% 250 10 sim 1,82% 0,58% 1,49% 50 10 sim 4,73% 1,85% 3,21% 100 10 sim 3,57% 1,84% 3,22% 250 7 sim 3,48% 1,82% 3,25% 50 10 sim 7,21% 4,08% 5,98% 100 8 não 5,87% 4,07% 5,99% 250 6 não 5,80% 4,03% 6,03% 50 10 sim 12,34% 8,71% 11,34% 100 3 não 11,17% 8,70% 11,35% 250 1 não 10,66% 8,65% 11,41% LIMITES DE KUPIEC 2,5% 5% 10% PARÂMETROS 1% METODOLOGIA HÍBRIDA

O Quadro 7 apresenta os limites de Kupiec e o percentual de falhas do VaR calculado pela metodologia híbrida para cada um dos ativos.

Constata-se pela Tabela 8 e pelo Quadro 7, que quanto menor o nível de significância α e quanto menor o tamanho da janela K, maior a rejeição do VaR híbrido pelo teste de Kupiec. O VaR híbrido só começa a não ser rejeitado pelo teste a partir da janela de 250 dias para o nível de significância 2,5%, e a partir da janela de 100 dias para os níveis 5% e 10%.

Quadro 7

Limites de Kupiec e proporção de falhas do VaR calculado pela metodologia híbrida para as 10 ações mais líquidas da Bovespa e para a carteira igualmente ponderada, somente posição comprada, abrangendo o período de 04/jul/1994 a 31/out/2003. Os lambdas utilizados na metodologia híbrida variaram a cada 100 dias da amostra, tendo sido obtidos por processo de otimização que encontrava para a carteira o ES mais próximo da perda efetiva quando o VaR falhava, tendo o parâmetro K definido o início da primeira janela de calibragem de 250 dias.

K=50 K=100 K=250 K=50 K=100 K=250 K=50 K=100 K=250 K=50 K=100 K=250 3,63% 2,35% 1,82% 5,12% 3,78% 3,37% 7,36% 5,82% 5,80% 12,04% 11,17% 10,50% 3,53% 1,99% 1,71% 4,83% 3,57% 3,04% 7,41% 6,22% 6,46% 11,99% 10,71% 10,50% 3,58% 2,09% 1,60% 4,88% 3,62% 3,09% 7,41% 6,17% 6,13% 12,99% 11,53% 11,60% 3,68% 2,24% 2,04% 4,83% 3,88% 3,26% 7,06% 5,82% 5,91% 12,44% 10,97% 11,16% 3,88% 2,55% 1,88% 5,02% 4,29% 3,81% 7,41% 6,12% 6,35% 12,34% 11,58% 11,05% 3,63% 2,55% 1,93% 4,98% 3,88% 3,59% 7,36% 6,12% 6,02% 11,99% 10,71% 10,00% 3,43% 2,09% 1,71% 4,88% 3,72% 3,31% 7,96% 6,22% 6,63% 11,99% 10,87% 11,05% 3,58% 2,30% 2,04% 5,17% 3,72% 3,54% 7,41% 6,33% 6,35% 12,39% 11,02% 10,72% 3,03% 2,19% 1,99% 4,73% 3,32% 3,20% 7,51% 6,07% 5,86% 12,34% 11,68% 10,77% 3,83% 2,40% 1,99% 4,83% 3,93% 3,70% 6,82% 6,02% 6,30% 11,64% 10,31% 10,44% 3,58% 2,24% 1,82% 4,73% 3,57% 3,48% 7,21% 5,87% 5,80% 12,34% 11,17% 10,66% Superior 1,46% 1,47% 1,49% 3,21% 3,22% 3,25% 5,98% 5,99% 6,03% 11,34% 11,35% 11,41% Inferior 0,60% 0,59% 0,58% 1,85% 1,84% 1,82% 4,08% 4,07% 4,03% 8,71% 8,70% 8,65% CSNA3 ELET3 Carteira Kupiec ITAU4 VALE5 PETR3 USIM5 PETR4 ELET6 BBDC4 CEMIG4 α αα α = 10% α αα α = 1% αααα = 2,5% αααα = 5% ATIVOS

Na Tabela 8 e no Quadro 7 pôde-se observar a informação dada anteriormente de que os limites de Kupiec variam conforme a quantidade de dias na amostra, o nível de significância α do VaR e o valor crítico dado pelo nível de significância do teste de hipóteses, no caso 5%.

A rejeição do VaR calculado pela metodologia híbrida também não inviabiliza o estudo do Expected Shortfall híbrido, uma vez que se trata de medidas com diferentes propósitos conforme explicitado anteriormente, havendo a necessidade de serem testadas independentemente uma da outra. Também não se pode concluir que nos casos em que houve a rejeição do VaR híbrido pelo teste de Kupiec, a causa tenha sido o processo de otimização por se preocupar exclusivamente com o Expected Shortfall. Para fazer esta

verificação, seria necessário otimizar o lambda objetivando a melhoria do VaR sob algum critério e comparar os resultados. Mas tal averiguação foge do escopo deste trabalho.

Uma questão não resolvida com relação ao Expected Shortfall é o fato de não terem sido identificadas na literatura formas de se fazer o seu

backtesting. Como já foi dito, o teste de Berkowitz só é aplicável em

metodologias que fazem estimativas quanto à distribuição dos retornos, o que não é o caso da metodologia híbrida aqui proposta. Este problema ocorreu com o ES histórico, pois se constatou que ele era sub-aditivo, mas não se aplicou nenhum teste que pudesse atestar o seu bom funcionamento ou não. Fica como outra sugestão para trabalhos futuros, a formulação de um teste estatístico que sirva para testar o Expected Shortfall independentemente da distribuição dos retornos, a exemplo do que faz o teste de Kupiec, o que certamente contribuirá para a adoção desta medida de risco pelo Comitê de Basiléia. Como será visto na seção a seguir, o critério de Pitman só serve para fazer comparação entre medidas.

O Gráfico 3 apresenta o backtesting do VaR e do Expected Shortfall calculados pela metodologia híbrida para a posição comprada na carteira igualmente ponderada nas 10 ações mais líquidas da Bovespa em novembro de 2003, abrangendo o período de 15/07/1996 a 31/10/2003, calculados com os parâmetros α = 5% e K=250. Os lambdas utilizados variaram a cada 100 dias da amostra, tendo sido obtidos por processo de otimização. Foram plotados os valores somente a partir de 15/07/1996 porque só havia valores

para teste a partir desta data. As perdas que aparecem no gráfico são aquelas que superaram o VaR híbrido do dia anterior.

Gráfico 3

Backtesting do VaR e do Expected Shortfall calculados pela metodologia

híbrida para a posição comprada na carteira igualmente ponderada nas 10 ações mais líquidas da Bovespa em novembro de 2003, abrangendo o período de 15/jul/1996 a 31/out/2003, calculados com os parâmetros

α αα

α = 5% e K=250. Os lambdas utilizados variaram a cada 100 dias da

amostra, tendo sido obtidos por processo de otimização que encontrava para a carteira o ES mais próximo da perda efetiva quando o VaR falhava, tendo o parâmetro K definido o início da primeira janela de calibragem de 250 dias. 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 15/07/1996 15/01/1997 15/07/1997 15/01/1998 15/07/1998 15/01/1999 15/07/1999 15/01/2000 15/07/2000 15/01/2001 15/07/2001 15/01/2002 15/07/2002 15/01/2003 15/07/2003 Valores Decimais

Perdas Superiores ao VaR VaR-Híbrido ES-Híbrido

No documento Alan Cosme Rodrigues da Silva (páginas 86-94)