Verifica¸ c˜ ao do Problema de Biotransferˆ encia de Calor

Cap´ıtulo

4.2 Verifica¸ c˜ ao do Problema de Biotransferˆ encia de Calor

O código computacional desenvolvido em MATLAB para resolver o problema térmico foi verificado por meio da solu¸cão anal´ıtica de um problema similar, porém considerando um meio homogêneo onde foram adotadas as propriedades f´ısicas do tecido muscular. Uma vez considerando as mesmas condi¸cões iniciais e de contorno, o problema assume a seguinte formula¸cão matemática:

k α ∂T ∂t = ∇ · (k∇T ) + Q, 0 < x < L, 0 < y < L, t > 0 (4.1) T = f (x), x = 0, 0 < y < L, t > 0 (4.2) T = f (x), x = L, 0 < y < L, t > 0 (4.3) T = f (x), y = 0, 0 < x < L, t > 0 (4.4) T = f (x), y = L, 0 < x < L, t > 0 (4.5) T = f (x), 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L, t = 0 (4.6) Nessa formula¸cão, α e k representam a difusividade térmica e a condutividade térmica, respectivamente, enquanto L representa o lado do dom´ınio numérico igual a 45 mm. Além disso, f (x) indica a distribui¸cão de temperatura ao longo da dire¸cão x, e pode ser representada pela equa¸cão (4.7), onde T1 = 25 °C e T2 = 37 °C. O

termo adicional x1representa a espessura da camada d’´agua, de valor igual a 26 mm. f (x) =      T1, se 0 ≤ x ≤ x1 T2, se x1 < x ≤ L (4.7)

Com a substitui¸cão T = θ + f (x), é poss´ıvel reescrever a formula¸cão matemática de tal forma que as condi¸cões inicial e de contorno sejam nulas. Logo, o problema será matematicamente representado por:

k α ∂θ ∂t = ∇ · (k∇θ) + Q ∗ , 0 < x < L, 0 < y < L, t > 0 (4.8) θ = 0, x = 0, 0 < y < L, t > 0 (4.9) θ = 0, x = L, 0 < y < L, t > 0 (4.10) θ = 0, y = 0, 0 < x < L, t > 0 (4.11) θ = 0, y = L, 0 < x < L, t > 0 (4.12) θ = 0, 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L, t = 0 (4.13)

Na equa¸cão (4.8), Q∗ contém tanto a gera¸cão de energia quanto a segunda deri- vada de f (x), como mostrado pela rela¸cão a seguir:

Q∗ = Q + kd

2_{f (x)}

dx2 (4.14)

Como o problema envolve um dom´ınio bidimensional e apresenta uma gera¸cão de energia dependente tanto do espa¸co quanto do tempo, será feito uso da Técnica de Transformada Integral Clássica (CITT) [41, 42]. De acordo com [41], o problema assume a solu¸cão indicada pela equa¸cão (4.15), onde (4.16) e (4.17) representam termos auxiliares que constituem a solu¸cão anal´ıtica.

θ = 2 L 2 ∞ X m=1 ∞ X n=1 senmπ L x sennπ L y ˜_θ _(4.15) ˜ θ = α exp −α tπ L 2 (m2+ n2) Z t0 0 ˜ Q exp α tπ L 2 (m2+ n2) dt (4.16) ˜ Q = Z L 0 Z L 0 senmπ L x sennπ L y Q∗dxdy (4.17)

Essa solu¸cão envolve séries e integrais que precisam ser resolvidas numericamente. Foi notado que, caso fosse mantida a malha utilizada nos problemas anteriores, os valores obtidos para a solu¸cão anal´ıtica ainda não iriam convergir para a solu¸cão real. Para que fosse então poss´ıvel obter valores devidamente precisos, foi utilizada uma malha inicial de 984 x 984 pontos, gerando uma malha final de 1024 x 1024 pontos com a adi¸cão da PML. Isso resultou em uma resolu¸cão espacial de aproximadamente 0,05 mm e possibilitou que as integrais fossem numericamente resolvidas de maneira adequada. Além disso, para que as séries assumissem um pequeno erro de truncamento ao serem numericamente resolvidas, foi adotado o valor máximo de 1250 para os ´ındices m e n.

A figura 4.1 mostra a compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica. As figuras 4.1c e 4.1f ilustram, respectivamente, as diferen¸cas absolutas entre ambas as solu¸cões considerando os per´ıodos após o aquecimento e após o resfriamento. Foi notada uma boa equivalência entre as solu¸cões, o que permitiu comprovar a eficácia do método de solu¸cão numérica utilizado para resolver o problema de transmissão de calor.

4.3 Resultados

E poss´ıvel perceber pela figura 4.2a que a pressão acústica referente ao terceiro harmônico já é pequena quando comparada à do primeiro, o que mostra que não há necessidade de computar as informa¸cões do quarto harmônico em diante. Conside- rando então as pressões dos três primeiros harmônicos, é poss´ıvel encontrar o campo de pressão no dom´ınio (figura 4.2b), com valor máximo 5,53 MPa. Aplicando os

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 4.1: Compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica. (a) Solu¸cão numérica pós aquecimento. (b) Solu¸cão anal´ıtica pós aquecimento. (c) Compara¸cão entre as solu¸cões pós aquecimento. (d) Solu¸cão numérica pós resfriamento. (e) Solu¸cão anal´ıtica pós resfriamento. (f) Compara¸cão entre as solu¸cões pós resfriamento.

efeitos da atenua¸cão, nota-se uma gera¸cão de energia máxima na região do tumor de 102,7 W/cm³, conforme indicado na figura 4.2c.

A temperatura da região no final do per´ıodo de aquecimento (figura 4.3a) mostra que o tumor foi aquecido até a temperatura de aproximadamente 75 °C e o calor foi difundido pela região ao seu redor, também atingindo elevadas temperaturas. A temperatura decai após a a interrup¸cão do aquecimento, como mostrado pela figura 4.3b, e o tempo de 90 segundos foi suficiente para que a temperatura máxima fosse inferior a 43°C. O dano térmico foi concentrado na região do tumor, como mostrado na figura 4.3c, o que foi consequência do posicionamento adequado do transdutor. A figura 4.3d é uma estimativa da região afetada pela abla¸cão térmica, onde a região na cor verde representa queimaduras de primeiro grau (0.53 ≤ Ω < 1) e a região em vermelho representa queimaduras de segundo grau (Ω ≥ 1).

A figura 4.4 ilustra as cadeias de Markov, obtidas por meio do algoritmo de Metropolis-Hastings, para a potência acústica e para o tempo de aquecimento. Como esperado, essa figura mostra a forte rela¸cão entre as cadeias desses dois parâmetros, o que é evidente pelo fato de que o tempo de aquecimento aumenta à medida em que

(a)

(b) (c)

Figura 4.2: Resultado da simula¸cão acústica. (a) Pressão acústica para cada harmônico no eixo do ultrassom. (b) Distribui¸cão de pressão acústica. (c) Gera¸cão de energia.

a potência acústica decresce. Além disso, há per´ıodos em que as cadeias atingem diferentes distribui¸cões de equil´ıbrio. As médias desses equil´ıbrios estão ilustradas na figura 4.4 por linhas de diferentes cores. As diferentes distribui¸cões de equil´ıbrio correspondem às múltiplas solu¸cões do problema de otimiza¸cão que satisfazem a fun¸cão objetivo. As médias e os desvios padrões das três distribui¸cões de equil´ıbrio observadas na figura 4.4 estão representados na tabela 4.2.

Os danos térmicos resultantes obtidos com as médias apresentadas na tabela 4.2 estão representados nas figuras 4.5a, 4.6a e 4.7a, respectivamente, enquanto a diferen¸ca absoluta entre esses valores está ilustrada na figura 4.8. As regiões correspondentes a Ω ≥ 1 estão representadas nas figuras 4.5b, 4.6b e 4.7b, respectivamente.

(a) (b)

Figura 4.3: (a) Temperatura após o aquecimento. (b) Temperatura após o resfriamento. (c) Dano térmico. (d) Regiões correspondentes a 0.53 ≤ Ω < 1 e Ω ≥ 1 representadas em verde e vermelho, respectivamente.

Essas figuras mostram que o dano térmico otimizado é bem restrito à região do tumor, conforme desejado.

A demanda computacional para o problema de otimiza¸cão com o algoritmo de Metropolis-Hastings foi de aproximadamente 48 horas, para um código em MATLAB executado em um computador com processador Core i7 e 8 GB de memória RAM.

(a)

(b)

Figura 4.4: Resultados da otimiza¸cão. (a) Otimiza¸cão da potência acústica. (b) Oti- miza¸cão do tempo de aquecimento.

Tabela 4.2: Médias e desvios padrões das distribui¸cões de equil´ıbrio

Potência Acústica [W] Tempo de Aquecimento [s] Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão Distribui¸cão de equil´ıbrio 1 0.982 0.0098 0.204 0.0040 Distribui¸cão de equil´ıbrio 2 0.930 0.0094 0.218 0.0041 Distribui¸cão de equil´ıbrio 3 0.884 0.0086 0.232 0.0039

(a) (b)

Figura 4.5: Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 1. (a) Dano térmico. (b) Região correspondente a Ω ≥ 1 em vermelho.

(a) (b)

Figura 4.6: Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 2. (a) Dano térmico. (b) Região correspondente a Ω ≥ 1 em vermelho.

(a) (b)

Figura 4.7: Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 3. (a) Dano térmico. (b) Região correspondente a Ω ≥ 1 em vermelho.

(a) (b)

(c)

Figura 4.8: Diferen¸ca absoluta entre os danos t´ermicos para as distribui¸c˜oes de equil´ıbrio: (a) 1 e 2; (b) 1 e 3; (c) 2 e 3.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜oes

Este estudo apresentou a simula¸cão numérica e a otimiza¸cão sob incertezas de um tratamento por abla¸cão térmica de um tumor, com o aquecimento imposto por um ultrassom focalizado de alta intensidade (HIFU). O problema acústico foi mode- lado com o toolbox k-Wave, onde foram consideradas as rela¸cões de conserva¸cão de massa e de quantidade de movimento linear para um meio heterogêneo com dis- sipa¸cão de energia. A distribui¸cão de pressão foi computada após o sistema atingir o regime permanente, o que possibilitou o cálculo da gera¸cão de energia proveniente do transdutor, a qual assumiu o valor máximo na região focal de 102,7 W/cm3. A equa¸cão de biotransferência de calor foi então resolvida pelo método de diferen¸cas finitas expl´ıcito, onde foi considerado o termo fonte do transdutor obtido anterior- mente. A distribui¸cão de temperatura após o aquecimento de 2 segundos mostrou uma temperatura máxima na região focal de aproximadamente 75 °C, e o tempo de resfriamento de 90 segundos foi suficiente para que a temperatura máxima se reduzisse a menos de 43 °C. O dano térmico resultante mostrou que a região onde o tumor está localizado é atingida pela abla¸cão térmica sem apresentar danos rele- vantes à região adjacente, o que foi consequência da escolha correta dos valores da potência e do tempo de aquecimento, além do adequado posicionamento do transdutor. As simula¸cões foram realizadas em um computador com processador Core i7 2,4 GHz e 8 GM de memória, e os tempos necessários para resolver os problemas de acústica e de biotransferência de calor foram de 37 segundos e 4 segundos, respectivamente. A solu¸cão proporcionada pelo k-Wave foi validada por meio de uma nova simula¸cão considerando os parâmetros presentes em [40], o que comprovou a

precisão do método numérico. A eficácia do método de diferen¸cas finitas utilizado no problema de biotransferência de calor foi comprovada por meio da compara¸cão com a solu¸cão anal´ıtica de um problema similar, considerando um meio homogêneo, a qual mostrou uma boa concordância entre os valores obtidos.

Em rela¸cão à otimiza¸cão sob incertezas, foi utilizado o método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC), implementado por meio do algoritmo de Metropolis- Hastings. Ao todo foram consideradas 300 mil amostras de estado, e a simula¸cão foi finalizada em aproximadamente 48 horas. Apesar de ser evidente que, para aplica¸cões reais, o método MCMC requer uma demanda computacional elevada para os padrões atuais, este trabalho mostrou que é poss´ıvel estimar os parâmetros otimizados para uma região afetada pela abla¸cão térmica previamente estabelecida. Os resultados mostrados acima tiveram como principal objetivo encontrar os valores otimizados da potência acústica do transdutor e do tempo de aquecimento.

A continua¸cão desse trabalho planeja considerar maiores incertezas para outros parâmetros de modelo, além de criar um código espec´ıfico para realizar simula¸cões considerando um dom´ınio tridimensional. As propriedades f´ısicas serão o foco do estudo, uma vez que, além de variar de pessoa para pessoa, podem sofrer altera¸cões mesmo em um único indiv´ıduo caso este esteja sob diferentes condi¸cões fisiológicas.

No documento OTIMIZAÇÃO DO TRATAMENTO POR ABLAÇÃO TÉRMICA DE TECIDOS BIOLÓGICOS COM ULTRASSOM FOCALIZADO DE ALTA INTENSIDADE. Rodrigo Lima de Souza e Silva (páginas 30-41)