OTIMIZAÇÃO DO TRATAMENTO POR ABLAÇÃO TÉRMICA DE TECIDOS BIOLÓGICOS COM ULTRASSOM FOCALIZADO DE ALTA INTENSIDADE. Rodrigo Lima de Souza e Silva

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OTIMIZAÇ ÃO DO TRATAMENTO POR ABLAÇ ÃO TÉRMICA DE TECIDOS BIOL ÓGICOS COM ULTRASSOM FOCALIZADO DE ALTA INTENSIDADE

Rodrigo Lima de Souza e Silva

Projeto de Gradua¸cão apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Engenheiro.

Orientadores: Helcio Rangel Barreto Orlande Mohsen Alaeian

Rio de Janeiro Fevereiro de 2020

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecˆanica

DEM/POLI/UFRJ

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MEC ˆANICA DA ESCOLA POLIT´ECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MEC ÂNICO.

Aprovada por:

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, D.Sc.

Mohsen Alaeian, D.Sc.

Prof. Gustavo Rabello dos Anjos, Ph.D.

Prof. Marcelo Jos´e Cola¸co, D.Sc.

Prof. Leonardo Bermeo Var´on, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL FEVEREIRO DE 2020

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Lima de Souza e Silva, Rodrigo

Otimiza¸cão do tratamento por abla¸cão térmica de tecidos biológicos com ultrassom focalizado de alta intensidade/ Rodrigo Lima de Souza e Silva. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2020.

X, 37 p.: il.; 29, 7cm.

Projeto de Gradua¸cão – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Mecânica, 2020.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 31 – 36.

1. Ultrassom focalizado de alta intensidade. 2. Abla¸cão térmica. 3. Otmiza¸cão sob incerteza. 4. Método Monte Carlo via cadeias de Markov. I. Rangel Barreto Orlande, Helcio et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Mecânica. III. Otimiza¸cão do tratamento por abla¸cão térmica de tecidos biológicos com ultrassom focalizado de alta intensidade.

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`

A minha mãe Inês, ao meu pai Francisco e às minhas irmãs Patr´ıcia e Fernanda.

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Resumo do Projeto de Gradua¸cão apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Engenheiro Mecânico

Fevereiro/2020

Programa: Engenharia Mecˆanica

Nas aplica¸cões médicas, a abla¸cão térmica consiste na remo¸cão do tecido por meio do aumento da temperatura. Ultrassom focalizado de alta intensidade (HIFU) é uma técnica de abla¸cão térmica que, além de não invasiva, apresenta poucos efei-tos colaterais. Neste estudo, a simula¸cão numérica do tratamento de um tumor por HIFU foi desenvolvida, com o principal objetivo de prever a região de tecido necrosado. O problema acústico foi simulado por meio da solu¸cão das equa¸cões de conserva¸cão de massa e de quantidade de movimento linear. O campo de tempera-tura foi obtido por meio da solu¸cão da equa¸cão de Pennes pelo método de diferen¸cas finitas, negligenciando os efeitos dinâmicos das bolhas geradas e o efeito de cavita¸cão, seguido do cálculo do dano térmico. Uma vez estabelecidos os valores da potência acústica do transdutor e do tempo de aquecimento, foi poss´ıvel estimar o tamanho, formato e localiza¸cão da região de tecido necrosado. A solu¸cão numérica obtida neste trabalho foi verificada com a solu¸cão anal´ıtica de um problema similar, con-siderando um meio homogêneo. O processo de abla¸cão térmica foi então otimizado sob incertezas por meio do método de Monte Carlo via cadeias de Markov.

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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

OPTIMIZATION OF THERMAL ABLATION OF BIOLOGICAL TISSUES WITH HIGH INTENSITY FOCUSED ULTRASOUND

February/2020

Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande Mohsen Alaeian

Department: Mechanical Engineering

In clinical applications, thermal ablation consists of removal or destruction of a specific tissue by heat. Different heat sources can be used to increase the tempera-ture of biological tissues during thermal ablation. High Intensity Focused Ultrasound (HIFU) is a non-invasive thermal ablation technique that has minimal or no side-effects. In this study, a numerical simulation of the HIFU treatment of a tumor was developed, aiming at predicting the necrotic tissue region. The acoustic problem was simulated with the numerical solution of the mass and momentum conservation equations. The temperature field was obtained by solving Penne’s bioheat equation with the finite difference method, by neglecting bubble dynamics and the cavitation effects, followed by the calculation of the thermal dose. The size, shape and location of the necrotic tissue were predicted, for specific transducer heating rate and heat-ing time, which were required for the thermal ablation of the desired region. The numerical solution obtained in this work was verified with the analytic solution of a similar problem in an homogeneous medium. The thermal ablation process was then optimized under uncertainties in the model parameters by using the Markov chains Monte Carlo method.

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Sum´

ario

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas x

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Problema F´ısico e Formula¸c˜ao Matem´atica 5

2.1 Ac´ustica . . . 5 2.2 Biotransferˆencia de Calor . . . 10

3 Otimiza¸c˜ao 14

4 Resultados e Discuss˜oes 19

4.1 Verifica¸cão do Problema de Acústica . . . 19 4.2 Verifica¸cão do Problema de Biotransferência de Calor . . . 20 4.3 Resultados . . . 22

5 Conclus˜oes 29

Referˆencias Bibliogr´aficas 31

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Lista de Figuras

1.1 Diferen¸ca entre os formatos de um tumor benigno e um tumor ma-ligno. Fonte: [1]. . . 2 1.2 Ilustra¸c˜ao de um transdutor de ultrassom do tipo HIFU em

funcio-namento. Adaptado de [5] . . . 3 2.1 Dom´ınio num´erico. (a) Vista completa. (b) Amplia¸c˜ao da vista ao

redor do tumor. . . 8 4.1 Compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica. (a) Solu¸cão

numérica pós aquecimento. (b) Solu¸cão anal´ıtica pós aquecimento. (c) Compara¸cão entre as solu¸cões pós aquecimento. (d) Solu¸cão numérica pós resfriamento. (e) Solu¸cão anal´ıtica pós resfriamento. (f) Compara¸cão entre as solu¸cões pós resfriamento. . . 23 4.2 Resultado da simula¸cão acústica. (a) Pressão acústica para cada

harmônico no eixo do ultrassom. (b) Distribui¸cão de pressão acústica. (c) Gera¸cão de energia. . . 24 4.3 (a) Temperatura após o aquecimento. (b) Temperatura após o

res-friamento. (c) Dano térmico. (d) Regiões correspondentes a 0.53 ≤ Ω < 1 e Ω ≥ 1 representadas em verde e vermelho, respectivamente. . 25 4.4 Resultados da otimiza¸cão. (a) Otimiza¸cão da potência acústica. (b)

Otimiza¸cão do tempo de aquecimento. . . 26 4.5 Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 1. (a) Dano térmico. (b)

Região correspondente a Ω ≥ 1 em vermelho. . . 27 4.6 Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 2. (a) Dano térmico. (b)

(9)

4.7 Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 3. (a) Dano térmico. (b) Região correspondente a Ω ≥ 1 em vermelho. . . 28 4.8 Diferen¸ca absoluta entre os danos térmicos para as distribui¸cões de

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Lista de Tabelas

2.1 Propriedades do meio para a simula¸cão do problema acústico [28] . . 10 2.2 Propriedades do meio para a simula¸cão do problema de

biotrans-ferência de calor [28] . . . 12 4.1 Verifica¸cão da simula¸cão acústica . . . 19 4.2 Médias e desvios padrões das distribui¸cões de equil´ıbrio . . . 26

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

As células t´ıpicas que formam os tecidos do corpo humano são capazes de se multi-plicar por meio de um processo cont´ınuo e natural. A maioria dessas células cresce e morre de maneira ordenada, porém nem todas realizam essas etapas igualmente. Os neurônios, por exemplo, nunca se dividem, enquanto para as células do tecido epitelial a divisão ocorre de forma rápida e cont´ınua. Dessa forma, nota-se que a prolifera¸cão celular pode simplesmente representar exigências naturais espec´ıficas, não necessariamente indicando alguma anormalidade [1].

Por outro lado, existem casos em que as células apresentam um crescimento não controlado e fogem parcial ou totalmente dos mecanismos de autocontrole do organismo, o que gera uma massa anormal de tecido de desenvolvimento quase autônomo [2]. Essa forma não controlada de crescimento celular corresponde às neoplasias, comumente denominadas de tumores, e podem ser benignas ou malignas. As neoplasias benignas têm o seu crescimento geralmente lento e apresentam uma estrutura bem organizada e delimitada, sem normalmente invadir os tecidos vizinhos mas podendo comprimir os órgãos e as regiões adjacentes. Já as neoplasias malignas manifestam um maior grau de autonomia e são capazes de provocar metástase, ou seja, se dividem de forma rápida, agressiva e incontrolável, espalhando-se para outra regiões do corpo e ocasionando transtornos funcionais. Nota-se então uma verdadeira perda do controle da divisão celular e uma grande capacidade de invadir outras estruturas orgânicas. Essas neoplasias malignas representam o que é conhecido como câncer [1]. A figura 1.1 ilustra a diferen¸ca entre os formatos de ambos os tipos de neoplasias.

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Figura 1.1: Diferen¸ca entre os formatos de um tumor benigno e um tumor maligno. Fonte: [1].

Os principais tipos de tratamento de câncer são a cirurgia oncológica, a quimi-oterapia e a radiquimi-oterapia, sendo essas técnicas muitas vezes utilizadas em conjunto durante o tratamento [1, 2]. O procedimento cirúrgico é um tratamento muitas vezes eficiente para diversos tipos de câncer, porém há o risco do surgimento de hemorragias, infeçcões e rea¸cões à anestesia utilizada [2]. Já o tratamento quimio-terápico faz uso de medicamentos administrados em intervalos regulares que variam de acordo com os esquemas terapêuticos e, apesar de serem eficazes em muitas si-tua¸cões, podem apresentar efeitos colaterais como enjoo, vômito, queda de cabelo e anemia [1]. Finalmente, a radioterapia é um tipo de tratamento que consiste em irradiar a região de interesse até que a doen¸ca seja controlada ou até mesmo curada, porém pode gerar desconfortos que variam de acordo com o local irradiado, como altera¸cões no paladar para a região da cabe¸ca e altera¸cões no ritmo intestinal para a região pélvica [1, 2].

Apesar de ser evidente que o tratamento mais adequado depende de diversos fatores, sendo fundamental o devido acompanhamento médico para estabelecer as diretrizes mais apropriadas, é de interesse obter alternativas de tratamento menos in-vasivas, principalmente quando comparadas às cirurgias oncológicas. O tratamento por Ultrassom Focalizado de Alta Intensidade (HIFU) é uma técnica relativamente recente que consiste no uso de um transdutor de ultrassom de geometria côncava, o que possibilita a concentra¸cão da energia acústica em uma região espec´ıfica. Essa concentra¸cão de energia, por sua vez, ocasiona o aumento de temperatura do tecido, possibilitando que seja realizado um tratamento por abla¸cão térmica minimamente invasivo sem apresentar efeitos colaterais relevantes [3, 4]. A figura 1.2 mostra a ilustra¸cão de um transdutor de ultrassom do tipo HIFU em funcionamento.

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Figura 1.2: Ilustra¸c˜ao de um transdutor de ultrassom do tipo HIFU em funcionamento. Adaptado de [5]

Este trabalho tem como objetivo apresentar o estudo da simula¸cão do trata-mento de um tumor por HIFU, seguido de uma análise de otimiza¸cão sob incertezas. Considera-se aqui uma situa¸cão idealizada de uma região retangular bidimensional, a qual será utilizada como modelo simplificado. Primeiramente será abordado o estudo da acústica do ultrassom realizado com o aux´ılio do toolbox k-Wave, es-crito em MATLAB, com o objetivo de calcular a gera¸cão de energia proveniente do transdutor. Para isso, serão apresentadas as equa¸cões resolvidas pelo programa que governam o problema, assim como a base teórica do método numérico utili-zado para trabalhar com frequências elevadas. Em seguida, será apresentado um estudo de transmissão de calor considerando a gera¸cão de energia já então obtida, com o objetivo de descobrir a distribui¸cão de temperatura após o aquecimento. A equa¸cão de biotransferência de calor foi resolvida pelo método de diferen¸cas finitas, e a solu¸cão numérica obtida foi verificada com a solu¸cão anal´ıtica de um problema similar, porém considerando um meio homogêneo. O modelo de dano térmico de Ar-rhenius [6] foi considerado para que, uma vez tendo estabelecido a potência acústica do transdutor e o tempo de aquecimento, fosse poss´ıvel obter o campo de tempera-tura e criar uma estimativa da região afetada pela abla¸cão térmica. Finalmente, foi realizado um estudo de otimiza¸cão sob incertezas por meio de uma inferência

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Bayesi-ana [7], para que fosse poss´ıvel estabelecer previamente a região afetada de interesse e, com isso, selecionar os valores otimizados da potência acústica e do tempo de aquecimento para o tratamento ideal. O método de Monte Carlo com cadeias de Markov, implementado por meio do algoritmo de Metropolis-Hastings [7, 8, 9], foi utilizado como o procedimento de otimiza¸cão.

(15)

Cap´ıtulo 2

Problema F´ısico e Formula¸

c˜

ao

Matem´

atica

2.1 Ac´

ustica

Na acústica clássica, três hipóteses fundamentais são consideradas para a análise de um problema: pequenas flutua¸cões de campo, ausência de dissipa¸cão de energia e ausência de campos de for¸ca. Portanto, para um problema linearizado com o meio homogêneo e em repouso, é poss´ıvel estabelecer as seguintes rela¸cões [10]:

∂ρ ∂t + ρ0∇ · v = 0 (2.1) ∂v ∂t + 1 ρ0 ∇p = 0 (2.2) p = c2₀ρ (2.3)

Nas equa¸cões acima, ρ é a flutua¸cão de massa espec´ıfica, ρ0 é a massa espec´ıfica

média, v é o vetor de flutua¸cão de velocidade da part´ıcula, p é a flutua¸cão de pressão e c0, a velocidade média de propaga¸cão do som no meio. As rela¸cões de conserva¸cão

de massa e de quantidade de movimento linear são representadas pelas equa¸cões (2.1) e (2.2), respectivamente, enquanto a equa¸cão (2.3) representa a rela¸cão entre as flutua¸cões da pressão acústica e da massa espec´ıfica proveniente da equa¸cão de

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estado. Essas três rela¸cões acopladas resultam na equa¸cão da onda [10].

No caso do tratamento por HIFU, o aumento da temperatura do tecido ocorre devido à absor¸cão de energia, o que indica que será necessário considerar uma ate-nua¸cão, impossibilitando assim a hipótese de não dissipa¸cão de energia. O toolbox k-Wave, utilizado neste trabalho para simular o problema acústico, modela a ate-nua¸cão por meio da lei de potência conforme a equa¸cão (2.4). Nesse modelo, a é a atenua¸cão por unidade de comprimento, a0 é o fator da lei de potência, f0 é

a frequência temporal e z é o expoente da lei de potência [11]. Atenua¸cões que obedecem a essa rela¸cão são observadas em diferentes materiais, incluindo tecidos biológicos [12, 13].

a = a0(2πf0)z (2.4)

Portanto, considerando a dissipa¸cão de energia e a heterogeneidade do meio, é poss´ıvel escrever o novo sistema de equa¸cões para o problema de propaga¸cão das ondas de ultrassom nos tecidos da seguinte forma [14, 15]:

∂ρ ∂t + ρ0∇ · v + v · ∇ρ0 = 0 (2.5) ∂v ∂t + 1 ρ0 ∇p = 0 (2.6) p = c2₀(ρ + d · ∇ρ0− Jρ) (2.7)

Nessa formula¸cão, d representa o vetor de deslocamento da part´ıcula e J , re-presentado pela equa¸cão (2.8), é um operador particular que engloba a atenua¸cão modelada pela lei de potência e os efeitos de dispersão [16, 17]. Essas condi¸cões são satisfeitas considerando os intervalos dos parâmetros da atenua¸cão (a0 e z) que são

observados nos tecidos biol´ogicos [18].

J = −2a0cz−10 ∂ ∂t −∇ 2z₂−1 + 2a0cz0tan πz 2 −∇2z+1₂ −1 (2.8) Além disso, a distribui¸cão de pressão na superf´ıcie de um transdutor de ultrassom do tipo HIFU é consideravelmente alta, o que resulta em magnitudes elevad´ıssimas de

(17)

pressão na região focal e assume a não linearidade do problema [19, 20]. Nesse caso, termos adicionais precisam ser encorporados às equa¸cões governantes [21]. Ape-sar do k-Wave não modelar todos os efeitos de não linearidade que podem ocorrer em um fluido, o programa inclui dois termos que englobam os efeitos acumulativos da não linearidade, resultando em uma precisão boa o suficiente para modelar di-versas aplica¸cões biomédicas com ultrassom [22, 23]. Realizando então as devidas adapta¸cões, o novo sistema de equa¸cões resolvidas pelo k-Wave se torna conforme representado abaixo [24, 17], onde o termo B/A representa o parâmetro de não linearidade. ∂ρ ∂t + (2ρ + ρ0)∇ · v + v · ∇ρ0 = 0 (2.9) ∂v ∂t + 1 ρ0 ∇p = 0 (2.10) p = c2₀ ρ + d · ∇ρ0+ B 2A ρ2 ρ0 − Jρ (2.11) O modelo de onda plana é utilizado para calcular o termo fonte proveniente do transdutor. Para isso, é necessário computar a gera¸cão de energia para diferentes harmônicos, ou seja, considerar atenua¸cões e pressões acústicas para frequências que são múltiplas inteiras da frequência fundamental. Portanto, a gera¸cão de energia do transdutor pode ser calculada pela equa¸cão (2.12), onde N representa o número de harmônicos considerado [23].

Q = N X n=1 a(fn) p2_n ρ0c0 (2.12) Então, o objetivo principal será encontrar, por meio das equa¸cões (2.9), (2.10) e (2.11), o campo de pressão acústica no dom´ınio analisado. Uma vez obtida a distribui¸cão de pressão, será poss´ıvel calcular o termo fonte do ultrassom por meio da equa¸cão (2.12), possibilitando assim a análise do problema de biotransferência de calor.

A simula¸cão realizada considera um dom´ınio 2D de formato retangular com di-mensões 45 mm x 45 mm, conforme ilustrado pela figura 2.1. A região consiste

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em camadas de água (azul claro), pele (epiderme, derme e hipoderme) e músculo, com espessuras de 26 mm, 0,1 mm, 1,5 mm, 4 mm e 13 mm respectivamente. A região amarela de formato retangular representa o tumor a ser tratado pela abla¸cão térmica, o qual possui dimensões 1 mm x 5 mm e está localizado no eixo do ultras-som (y = 0). Foi considerado que o ponto focal do transdutor coincide exatamente com o centro da região retangular que representa o tumor.

(a) (b)

Figura 2.1: Dom´ınio num´erico. (a) Vista completa. (b) Amplia¸c˜ao da vista ao redor do tumor.

Para o caso analisado neste trabalho, foi observado que a magnitude de pressão acústica do quarto harmônico era muito pequena quando comparada às magnitu-des dos três primeiros. Portanto, o somatório representado pela equa¸cão (2.12) foi limitado a N = 3. Após ser feita uma análise de convergência dos valores obtidos na simula¸cão, a região numérica foi discretizada por uma malha de 216 x 216 pon-tos, o que resultou em uma resolu¸cão espacial de aproximadamente 0,21 mm, valor suficiente para suportar a frequência dos três harmônicos considerados.

Um transdutor do modelo SU-142 Sonic Concepts com raio r = 35 mm e diˆametro D = 33 mm operando a uma frequˆencia fundamental f0 = 1, 1 MHz foi considerado

nesta análise. A distribui¸cão de pressão na fonte é uma onda cont´ınua senoidal do tipo pf onte = p0sen(2πf0t), a qual resulta em uma potência acústica P = 15 W.

Considerando o modelo de onda plana, o valor da amplitude da press˜ao na fonte pode ser calculado pela equa¸c˜ao indicada abaixo, onde If onte e S representam,

(19)

res-pectivamente, a intensidade média na fonte e a área da superf´ıcie do transdutor. P = Z If ontedS = p2₀ 2ρ0c0 S ⇒ p0 = r 2P ρ0c0 S ∴ p0 = 222, 5 kPa (2.13) Ao analisar problemas de altas frequências, é observado que as técnicas clássicas de solu¸cão numérica de equa¸cões diferenciais, como o método de diferen¸cas finitas, requerem por volta de 10 pontos por comprimento de onda para obter uma boa precisão, o que resulta em uma demanda computacional elevad´ıssima para compu-tadores convencionais. O toolbox k-Wave resolve numericamente as equa¸cões que governam o problema acústico por meio do método pseudo-espectral k-space, onde as derivadas espaciais são calculadas pelo método de coloca¸cão espectral [25, 24]. Esse método permite que seja poss´ıvel, por meio da Transformada de Fourier, sair do dom´ınio do espa¸co para um dom´ınio análogo à frequência espacial, ou seja, o dom´ınio do número de onda, que pode ser interpretado como a quantidade de ondas completas por unidade de comprimento. A matemática é rigorosamente a mesma da convencionalmente usada para sair do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da frequência. Essa técnica permite que as derivadas sejam aproximadas pela resolu¸cão de inúmeras FFT’s, o que possibilita o uso de aproximadamente 3 pontos por com-primento de onda, assim reduzindo consideravelmente o tempo de processamento.

Uma vez usando o método de coloca¸cão espectral de Fourier para calcular as derivadas espaciais, o método de diferen¸cas finitas expl´ıcito é usado para obter a solu¸cão das derivadas temporais, o que implica em conhecer os valores do passo de tempo que garantam a estabilidade do método. Para isso, o k-Wave utiliza como referência a condi¸cão Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) de acordo com a seguinte rela¸cão:

∆t = CFL∆x cmax

(2.14) Na equa¸c˜ao (2.14), cmax representa o valor m´aximo da velocidade do som no

meio. O k-Wave assume como padrão a rela¸cão CFL = 0, 3 com o argumento de que esse valor normalmente resulta em uma boa rela¸cão entre a precisão da solu¸cão numérica e o tempo de processamento do código [17, 26, 27], sendo então o valor considerado durante a simula¸cão.

(20)

Em rela¸cão às condi¸cões de contorno do problema acústico, foi considerado o uso da Perfectly Matched Layers (PML) englobando o dom´ınio numérico. Esse tipo de condi¸cão de contorno aplica uma fina camada periférica que promove uma absor¸cão das ondas propagantes suficiente para que elas não sejam refletidas para o dom´ınio em análise. Por padrão, o k-Wave adiciona 40 pontos para cada dire¸cão, gerando uma malha final de 256 x 256 pontos. Nota-se que o número de pontos é uma potência de 2, o que é de fato proposital, uma vez que as FFT’s são resolvidas mais rapidamente quando o número de pontos da malha tem menos fatores primos [17]. Para a condi¸cão inicial, foi considerado que a distribui¸cão de pressão no in´ıcio da simula¸cão era nula. As propriedades f´ısicas do meio para a simula¸cão acústica estão indicadas na tabela 2.1 [28].

Tabela 2.1: Propriedades do meio para a simula¸c˜ao do problema ac´ustico [28]

´

Agua Epiderme Derme Hipoderme M´usculo Tumor

c0 (m/s) 1500 1480 1480 1480 1580 1560

ρ0 (kg/m3) 1000 1100 1100 970 1070 1070

a0 (dB/cmMHz1.2) 0,0022 0,6000 0,6000 0,6000 0,6700 0,6700

B/A 5,20 7,87 7,87 10,00 7,43 7,43

O intervalo de tempo definido para a simula¸cão foi de 50 µs, valor suficiente para que fosse atingido o regime permanente. Em seguida, as pressões acústicas referentes a cada harmônico foram armazenadas, possibilitando então o cálculo do termo fonte proveniente do transdutor e a análise do problema de biotransferência de calor. Os resultados da simula¸cão do problema de acústica estão representados na se¸cão 4.3.

2.2 Biotransferˆ

encia de Calor

Os problemas de transmissão de calor em tecidos biológicos são usualmente mode-lados por meio da equa¸cão de Pennes [29]. Essa rela¸cão considera não apenas a troca de calor por condu¸cão entre os tecidos, mas também um termo convectivo referente à perfusão sangu´ınea e uma gera¸cão de energia proveniente das atividades

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metabólicas do organismo. Caso necessário, quaisquer outras fontes de calor podem ser implementadas na equa¸cão. Portanto, a equa¸cão governante do problema de transmissão de calor pode ser representada por [29]:

ρ0c

∂T

∂t = ∇ · (k∇T ) + wbρbcb(Tb− T ) + Q + Qm (2.15) Na equa¸cão (2.15), o ´ındice b representa o sangue, w representa a taxa de perfusão sangu´ınea e os termos Q e Qm, as gera¸cões de energia provenientes do aquecimento

externo e do metabolismo, respectivamente. No tratamento por HIFU, o termo fonte do ultrassom é muito elevado quando comparado à gera¸cão de energia do metabolismo e ao termo referente à perfusão sangu´ınea. Portanto, esses dois últimos termos podem ser negligenciados, e a equa¸cão que governa o problema de transmissão de calor fica representada por:

ρ0c

∂T

∂t = ∇ · (k∇T ) + Q (2.16)

Uma vez obtida a distribui¸cão de temperatura após o tratamento, é poss´ıvel es-tabelecer uma estimativa da região afetada pelo tratamento de abla¸cão térmica. O modelo de dose térmica [30], representado pela equa¸cão (2.17), estabelece a quan-tidade de minutos equivalentes de exposi¸cão a uma temperatura de 43 °C. Apesar da sensibilidade ao calor depender não apenas do indiv´ıduo, mas também do tipo de tecido biológico analisado, é considerado que a partir dessa temperatura a taxa de morte celular aumenta consideravelmente [30]. Esse modelo é muito usado em estudos sobre o tratamento de tumores por hipertermia, principalmente quando o per´ıodo de exposi¸cão é longo [30, 31].

DT = Z t0

0

R43−T (t)dt (2.17) Em contrapartida, o modelo de Arrhenius [6] é adequado para representar os da-nos térmicos irrevers´ıveis em experimentos que envolvem rápidos aquecimentos [32]. Essa rela¸cão é bem aplicada em estudos que envolvem processos de desnatura¸cão de prote´ınas [33], sendo um adequado modelo de dano para o tratamento por abla¸cão com HIFU. Portanto, a rela¸cão de Arrhenius foi considerada para calcular o dano térmico Ω, conforme a equa¸cão (2.18), onde A indica um fator de frequência, Ea

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re-presenta a energia de ativa¸c˜ao e R ´e a constante universal dos gases perfeitos [6, 34]. Ω = Z t0 0 A exp − Ea R T (t) dt (2.18)

Os autores de [6] realizaram estudos sobre queimaduras em pele de porco e assumiram que queimaduras de primeiro grau ocorrem para Ω = 0, 53, enquanto as de segundo grau ocorrem para Ω = 1. Posteriormente, foi estimado que, para Ω = 104, aparecem queimaduras de terceiro grau [35]. Logo, o valor de Ω = 1 ´e um modelo frequentemente utilizado como limiar para contabilizar danos irrevers´ıveis.

As temperaturas iniciais das camadas de água e de tecido biológico foram consi-deradas iguais a 25 °C e 37 °C, respectivamente. Essas temperaturas foram manti-das constantes no per´ımetro do dom´ınio durante toda a simula¸cão, o que definiu as condi¸cões de contorno do tipo Dirichlet. A equa¸cão (2.16) foi então resolvida nume-ricamente pelo método de diferen¸cas finitas expl´ıcito e, assim como na simula¸cão do problema acústico, foi necessário analisar para quais valores de ∆t o método seria estável. Para isso, foi utilizada a rela¸cão indicada abaixo [36], onde αmax indica a

difusividade t´ermica m´axima presente no meio:

∆t ≤ 1 2αmax 1 ∆x2 + 1 ∆y2 (2.19)

Para o c´alculo de Ω, os valores dos parˆametros usados foram A = 1, 82× 1051 s−1, Ea= 3, 27×105 J/mol e R = 8, 31 J/molK [37]. As propriedades f´ısicas do meio

con-sideradas para a simula¸cão do problema térmico estão indicadas na tabela 2.2 [28].

Tabela 2.2: Propriedades do meio para a simula¸c˜ao do problema de biotransferˆencia de calor [28]

´

Agua Epiderme Derme Hipoderme M´usculo Tumor

c (J/kg◦C) 4200 3600 3600 3600 3630 3630

k (W/m◦C) 0,61 0,29 0,29 0,29 0,51 0,51

No tratamento por abla¸cão térmica com HIFU, o tecido é inicialmente aquecido e posteriormente submetido a um per´ıodo de resfriamento. Esse intervalo de tempo é de total relevância, uma vez que após a interrup¸cão do aquecimento externo o

(23)

tecido ainda se encontra a elevadas temperaturas, fazendo com que o dano térmico seja acumulado até que a temperatura máxima da região afetada pela abla¸cão seja reduzida até deixar de ocasionar a destrui¸cão do tecido. Para isso, os tempos de aquecimento e de resfriamento foram considerados iguais a 2 segundos e 90 segundos, respectivamente, e o dano térmico Ω foi calculado por meio da equa¸cão (2.18). O resultado da simula¸cão do problema de biotransferência de calor está ilustrado na se¸cão 4.3.

(24)

Cap´ıtulo 3

Otimiza¸

c˜

ao

Durante as simula¸cões numéricas realizadas neste trabalho, foi notado que a região afetada pelo tratamento depende diretamente da potência acústica do transdutor e do tempo de aquecimento. Para os resultados obtidos, os valores desses dois parâmetros foram mantidos constantes, o que resultou em uma distribui¸cão do dano térmico Ω espec´ıfica. Isso mostra que a simula¸cão para se obter a estimativa da região afetada é até então um processo iterativo, ou seja, são testados diferentes valores tanto para a potência acústica quanto para o tempo de aquecimento, até que seja obtido o dano térmico necessário para proporcionar a abla¸cão térmica da região de interesse sem afetar a região adjacente.

Portanto, é de grande interesse encontrar valores otimizados da potência acústica e do tempo de aquecimento, para que seja poss´ıvel estabelecer previamente a região de interesse a sofrer abla¸cão e garantir a eficácia do tratamento. Para isso, um estudo de otimiza¸cão foi feito por meio de uma inferência Bayesiana, onde foram levadas em considera¸cão informa¸cões a priori dos parâmetros e incertezas toleráveis para a região afetada pela abla¸cão térmica [7].

Considerando as equa¸cões que governam o problema direto, é poss´ıvel estabelecer o vetor P que contém todos os parâmetros da formula¸cão matemática, como, por exemplo, as propriedades do meio e as propriedades do ultrassom. Portanto, o vetor P pode ser representado conforme indicado abaixo, onde i equivale ao número de parâmetros considerados [8].

(25)

De maneira análoga, é poss´ıvel estabelecer o vetor Y que contém as variáveis que são o objetivo do processo de otimiza¸cão, incluindo a então desejada região afetada pela abla¸cão. Portanto, para um total de j variáveis, é poss´ıvel representar o vetor Y como [8]:

Y = [Y1, Y2, ..., Yj] (3.2)

Logo, é poss´ıvel relacionar as variáveis que são o objetivo da otimiza¸cão com a solu¸cão da formula¸cão matemática do problema, conforme representado por (3.3). Nessa equa¸cão, f (P) representa a solu¸cão da formula¸cão matemática e ε indica as toleradas incertezas do modelo exato [8].

Y = f(P) + ε _∴ ε = Y − f(P) (3.3)

Na análise de otimiza¸cão sob incertezas por meio de uma abordagem Bayesiana, o método utilizado para combinar as novas informa¸cões com as medidas adquiridas anteriormente é o teorema de Bayes, representado pela equa¸cão (3.4). Nessa rela¸cão, πposteriori(P) é a densidade de probabilidade a posteriori, π(P) é a densidade a

pri-ori, π(Y|P) é a fun¸cão de verossimilhan¸ca e π(Y) é a densidade de probabilidade marginal das medidas, a qual assume o papel de uma constante de normaliza¸cão [7].

πposteriori(P) = π(P|Y) =

π(P)π(Y|P)

π(Y) (3.4)

Para a solu¸cão do problema de otimiza¸cão, as densidades de probabilidade são assumidas como distribui¸cões normais. Portanto, a distribui¸cão dos erros π(ε) pode ser representada como [7, 8]:

π(ε) = (2π)−1/2|W|−1/2exp −1 2εW −1 εT (3.5) Na equa¸cão acima, foi assumido que a distribui¸cão π(ε) apresenta média nula. Além disso, W é a matriz de variância, sendo representada por:

(26)

Aplicando a rela¸cão representada por (3.3), podemos substituir o valor de ε na rela¸cão indicada acima de modo a obter a fun¸cão de verossimilhan¸ca:

π(Y|P) = π(ε) = (2π)−1/2|W|−1/2exp −1 2[Y − f(P)]W −1 [Y − f(P)]T (3.7) Uma vez tendo formulado a fun¸cão de verossimilhan¸ca, é poss´ıvel, com base no mesmo racioc´ınio, representar a distribui¸cão a priori com um modelo de distri-bui¸cão normal, onde V representa a matriz de variância e µ, o vetor que contém as médias [7, 8]: π(P) = (2π)−1/2|V|−1/2exp −1 2(P − µ)V −1 (P − µ)T (3.8) A solu¸cão anal´ıtica de π(Y) é muitas vezes dif´ıcil, e normalmente não é necessária para fins práticos durante a análise de otimiza¸cão. Portanto, o teorema de Bayes normalmente é escrito da seguinte forma [7]:

πposteriori(P) = π(P|Y) ∝ π(P)π(Y|P) (3.9)

A equa¸cão acima mostra que é de interesse maximizar a fun¸cão de verossimi-lhan¸ca, sendo então necessário minimizar o seu expoente [7, 8]. Aplicando o lo-garitmo natural na equa¸cão (3.9), ficamos com a rela¸cão indicada abaixo, onde C representa o logaritmo natural dos termos das equa¸cões (3.7) e (3.8) que aparecem fora do expoente, o qual não é contabilizado durante a simula¸cão computacional [7].

ln[π(P|Y)] ∝ −1

2(P − µ)V

−1

(P − µ)T + [Y − f(P)]W−1[Y − f(P)]T + C (3.10) Neste trabalho, a distribui¸cão a posteriori é explorada por meio do algoritmo de Metropolis-Hastings utilizado no método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) [7, 8, 9, 38, 39]. Uma vez dado o estado atual P(t) da cadeia de Markov, a implementa¸cão do algoritmo come¸ca com a sele¸cão de uma distribui¸cão q(P∗|P(t)_),

que ´e usada para selecionar um novo candidato P∗. Para evitar eventuais casos onde πposteriori(P(t))q(P∗|P(t)) > πposteriori(P∗)q(P(t)|P∗), ou seja, o processo sai de P(t)

(27)

é introduzida para que a condi¸cão de reversibilidade seja satisfeita. Essa rela¸cão pode ser representada pela equa¸cão (3.11).

πposteriori(P(t))q(P∗|P(t))ψ(P∗|P(t)) = πposteriori(P∗)q(P(t)|P∗) (3.11)

Portanto, ψ(P∗|P(t)) pode ser expressada pela equa¸cão (3.12), também chamada de razão de Metropolis-Hastings, onde ψ(P∗|P(t)₎ ₌ _{1 quando}

1. Assumir t = 1 e come¸car a cadeia de Markov com a condi¸c˜ao inicial P(1). 2. Gerar o candidato P∗ de uma distribui¸c˜ao q(P∗|P(t)_).

3. Calcular a probabilidade ψ(P∗|P(t)_{) por meio da equa¸c˜}_{ao (3.12).}

4. Gerar um valor aleat´orio U (0, 1), o qual ´e uniformemente distribu´ıdo no inter-valo (0, 1).

5. Se U (0, 1) ≤ ψ(P∗|P(t)), estabelecer P(t+1) = P∗. Caso contr´ario, estabelecer P(t+1) = P(t).

6. Assumir t = t+1 e retornar ao item 2 para criar a sequência P(1), P(2), ..., P(n). Dessa forma, a sequência gerada para representar a distribui¸cão a posteriori é obtida por meio da inferência das amostras P(1), P(2), ..., P(n) Foi notado que os va-lores iniciais de P(t) devem ser ignorados, uma vez que a cadeia ainda não convergiu `

a situa¸c˜ao de equil´ıbrio [38, 39].

Como o estudo de otimiza¸cão exige que o problema direto seja resolvido inúmeras vezes, o dom´ınio numérico foi reduzido o suficiente para que a simula¸cão pudesse ser realizada durante um per´ıodo tolerável. Para isso, foi considerada a situa¸cão hipotética onde um transdutor com diâmetro e raio de curvatura iguais a 2 mm ope-rava a uma frequência fundamental de 3 MHz dentro de um dom´ınio quadrangular com lado igual a 3 mm, o qual foi discretizado por uma malha com 64 x 64 pontos,

(28)

já incluindo a PML, proporcionando assim uma resolu¸cão espacial de 0,125 mm. O meio foi assumido como homogêneo, com propriedades iguais às do tecido muscular, e as fun¸cões a priori foram centradas nos valores presentes nas tabelas 2.1 e 2.2, com desvios padrões relativos de 10−4 e 0,05. O maior desvio padrão foi aplicado apenas ao tempo de aquecimento e à potência acústica, os quais foram os parâmetros de maior importância nesse trabalho. A fun¸cão de verossimilhan¸ca foi centrada em valores unitários dentro do tumor, ou seja, admitindo que tal região iria sofrer quei-maduras de segundo grau (Ω ≥ 1) e nulos no restante da região (Ω < 1). A solu¸cão otimizada foi considerada aceitável com desvios padrão de 0,001. Os resultados da análise de otimiza¸cão estão indicados na se¸cão 4.3.

(29)

Cap´ıtulo 4

Resultados e Discuss˜

oes

4.1 Verifica¸

c˜

ao do Problema de Ac´

ustica

Como forma de verificar as respostas encontradas pelo k-Wave, uma nova simula¸cão foi feita considerando as informa¸cões contidas em [40], onde os autores apresentam os valores da pressão máxima na região focal para diferentes potências. Os campos de pressão foram gerados por meio de um ultrassom da mesma fabricante, porém de modelo SU-101. Logo, para o novo problema, foi necessário apenas alterar os parâmetros do transdutor, os quais estão especificados no catálogo do fabricante ilustrado no Apêndice A, além das propriedades f´ısicas do meio.

Tabela 4.1: Verifica¸cão da simula¸cão acústica

Potência acústica (W) Pressão máxima (MPa) Erro relativo (%) Dados de [40] Este estudo Eestudo− Eautor

Eautor 15 6,41 6,30 -1,72 25 8,28 8,71 5,19 35 9,79 10,60 8,27 50 11,71 12,82 9,45

A compara¸cão entre os valores da pressão acústica máxima obtidos na nova simula¸cão e os indicados em [40] está ilustrada na tabela 4.1. Como esperado, os valores gerados pelo k-Wave mostraram uma rela¸cão aceitável com os dados do experimento. E poss´ıvel notar que os valores divergem para potˆ´ encias acústicas

(30)

cada vez maiores, o que ocorre principalmente pois, à medida em que a potência acústica é aumentada, as magnitudes de pressão crescem e amplificam os efeitos de não linearidade do problema, o que resulta em uma menor concordância entre valores obtidos por metodologias diferentes.

4.2 Verifica¸

c˜

ao do Problema de Biotransferˆ

encia

de Calor

O código computacional desenvolvido em MATLAB para resolver o problema térmico foi verificado por meio da solu¸cão anal´ıtica de um problema similar, porém considerando um meio homogêneo onde foram adotadas as propriedades f´ısicas do tecido muscular. Uma vez considerando as mesmas condi¸cões iniciais e de contorno, o problema assume a seguinte formula¸cão matemática:

k α ∂T ∂t = ∇ · (k∇T ) + Q, 0 < x < L, 0 < y < L, t > 0 (4.1) T = f (x), x = 0, 0 < y < L, t > 0 (4.2) T = f (x), x = L, 0 < y < L, t > 0 (4.3) T = f (x), y = 0, 0 < x < L, t > 0 (4.4) T = f (x), y = L, 0 < x < L, t > 0 (4.5) T = f (x), 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L, t = 0 (4.6) Nessa formula¸cão, α e k representam a difusividade térmica e a condutividade térmica, respectivamente, enquanto L representa o lado do dom´ınio numérico igual a 45 mm. Além disso, f (x) indica a distribui¸cão de temperatura ao longo da dire¸cão x, e pode ser representada pela equa¸cão (4.7), onde T1 = 25 °C e T2 = 37 °C. O

(31)

termo adicional x1representa a espessura da camada d’´agua, de valor igual a 26 mm. f (x) =      T1, se 0 ≤ x ≤ x1 T2, se x1 < x ≤ L (4.7)

Com a substitui¸cão T = θ + f (x), é poss´ıvel reescrever a formula¸cão matemática de tal forma que as condi¸cões inicial e de contorno sejam nulas. Logo, o problema será matematicamente representado por:

k α ∂θ ∂t = ∇ · (k∇θ) + Q ∗ , 0 < x < L, 0 < y < L, t > 0 (4.8) θ = 0, x = 0, 0 < y < L, t > 0 (4.9) θ = 0, x = L, 0 < y < L, t > 0 (4.10) θ = 0, y = 0, 0 < x < L, t > 0 (4.11) θ = 0, y = L, 0 < x < L, t > 0 (4.12) θ = 0, 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L, t = 0 (4.13)

Na equa¸cão (4.8), Q∗ contém tanto a gera¸cão de energia quanto a segunda deri-vada de f (x), como mostrado pela rela¸cão a seguir:

Q∗ = Q + kd

2_{f (x)}

dx2 (4.14)

Como o problema envolve um dom´ınio bidimensional e apresenta uma gera¸cão de energia dependente tanto do espa¸co quanto do tempo, será feito uso da Técnica de Transformada Integral Clássica (CITT) [41, 42]. De acordo com [41], o problema assume a solu¸cão indicada pela equa¸cão (4.15), onde (4.16) e (4.17) representam termos auxiliares que constituem a solu¸cão anal´ıtica.

(32)

θ = 2 L 2 ∞ X m=1 ∞ X n=1 senmπ L x sennπ L y ˜_θ _(4.15) ˜ θ = α exp −α tπ L 2 (m2+ n2) Z t0 0 ˜ Q exp α tπ L 2 (m2+ n2) dt (4.16) ˜ Q = Z L 0 Z L 0 senmπ L x sennπ L y Q∗dxdy (4.17)

Essa solu¸cão envolve séries e integrais que precisam ser resolvidas numericamente. Foi notado que, caso fosse mantida a malha utilizada nos problemas anteriores, os valores obtidos para a solu¸cão anal´ıtica ainda não iriam convergir para a solu¸cão real. Para que fosse então poss´ıvel obter valores devidamente precisos, foi utilizada uma malha inicial de 984 x 984 pontos, gerando uma malha final de 1024 x 1024 pontos com a adi¸cão da PML. Isso resultou em uma resolu¸cão espacial de aproxima-damente 0,05 mm e possibilitou que as integrais fossem numericamente resolvidas de maneira adequada. Além disso, para que as séries assumissem um pequeno erro de truncamento ao serem numericamente resolvidas, foi adotado o valor máximo de 1250 para os ´ındices m e n.

A figura 4.1 mostra a compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica. As figuras 4.1c e 4.1f ilustram, respectivamente, as diferen¸cas absolutas entre ambas as solu¸cões considerando os per´ıodos após o aquecimento e após o resfriamento. Foi notada uma boa equivalência entre as solu¸cões, o que permitiu comprovar a eficácia do método de solu¸cão numérica utilizado para resolver o problema de transmissão de calor.

4.3 Resultados

´

E poss´ıvel perceber pela figura 4.2a que a pressão acústica referente ao terceiro harmônico já é pequena quando comparada à do primeiro, o que mostra que não há necessidade de computar as informa¸cões do quarto harmônico em diante. Conside-rando então as pressões dos três primeiros harmônicos, é poss´ıvel encontrar o campo de pressão no dom´ınio (figura 4.2b), com valor máximo 5,53 MPa. Aplicando os

(33)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 4.1: Compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica. (a) Solu¸cão numérica pós aquecimento. (b) Solu¸cão anal´ıtica pós aquecimento. (c) Compara¸cão entre as solu¸cões pós aquecimento. (d) Solu¸cão numérica pós resfriamento. (e) Solu¸cão anal´ıtica pós resfri-amento. (f) Compara¸cão entre as solu¸cões pós resfriamento.

efeitos da atenua¸cão, nota-se uma gera¸cão de energia máxima na região do tumor de 102,7 W/cm³, conforme indicado na figura 4.2c.

A temperatura da região no final do per´ıodo de aquecimento (figura 4.3a) mostra que o tumor foi aquecido até a temperatura de aproximadamente 75 °C e o calor foi difundido pela região ao seu redor, também atingindo elevadas temperaturas. A temperatura decai após a a interrup¸cão do aquecimento, como mostrado pela figura 4.3b, e o tempo de 90 segundos foi suficiente para que a temperatura máxima fosse inferior a 43°C. O dano térmico foi concentrado na região do tumor, como mostrado na figura 4.3c, o que foi consequência do posicionamento adequado do transdutor. A figura 4.3d é uma estimativa da região afetada pela abla¸cão térmica, onde a região na cor verde representa queimaduras de primeiro grau (0.53 ≤ Ω < 1) e a região em vermelho representa queimaduras de segundo grau (Ω ≥ 1).

A figura 4.4 ilustra as cadeias de Markov, obtidas por meio do algoritmo de Metropolis-Hastings, para a potência acústica e para o tempo de aquecimento. Como esperado, essa figura mostra a forte rela¸cão entre as cadeias desses dois parâmetros, o que é evidente pelo fato de que o tempo de aquecimento aumenta à medida em que

(34)

(a)

(b) (c)

Figura 4.2: Resultado da simula¸cão acústica. (a) Pressão acústica para cada harmônico no eixo do ultrassom. (b) Distribui¸cão de pressão acústica. (c) Gera¸cão de energia.

a potência acústica decresce. Além disso, há per´ıodos em que as cadeias atingem diferentes distribui¸cões de equil´ıbrio. As médias desses equil´ıbrios estão ilustradas na figura 4.4 por linhas de diferentes cores. As diferentes distribui¸cões de equil´ıbrio correspondem às múltiplas solu¸cões do problema de otimiza¸cão que satisfazem a fun¸cão objetivo. As médias e os desvios padrões das três distribui¸cões de equil´ıbrio observadas na figura 4.4 estão representados na tabela 4.2.

Os danos térmicos resultantes obtidos com as médias apresentadas na tabela 4.2 estão representados nas figuras 4.5a, 4.6a e 4.7a, respectivamente, enquanto a dife-ren¸ca absoluta entre esses valores está ilustrada na figura 4.8. As regiões correspon-dentes a Ω ≥ 1 estão representadas nas figuras 4.5b, 4.6b e 4.7b, respectivamente.

(35)

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.3: (a) Temperatura após o aquecimento. (b) Temperatura após o resfriamento. (c) Dano térmico. (d) Regiões correspondentes a 0.53 ≤ Ω < 1 e Ω ≥ 1 representadas em verde e vermelho, respectivamente.

Essas figuras mostram que o dano térmico otimizado é bem restrito à região do tumor, conforme desejado.

A demanda computacional para o problema de otimiza¸cão com o algoritmo de Metropolis-Hastings foi de aproximadamente 48 horas, para um código em MATLAB executado em um computador com processador Core i7 e 8 GB de memória RAM.

(36)

(a)

(b)

Figura 4.4: Resultados da otimiza¸cão. (a) Otimiza¸cão da potência acústica. (b) Oti-miza¸cão do tempo de aquecimento.

Tabela 4.2: Médias e desvios padrões das distribui¸cões de equil´ıbrio

Potência Acústica [W] Tempo de Aquecimento [s] Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão Distribui¸cão de equil´ıbrio 1 0.982 0.0098 0.204 0.0040 Distribui¸cão de equil´ıbrio 2 0.930 0.0094 0.218 0.0041 Distribui¸cão de equil´ıbrio 3 0.884 0.0086 0.232 0.0039

(37)

(a) (b)

Figura 4.5: Resultados para a distribui¸cão de equil´ıbrio 1. (a) Dano térmico. (b) Região correspondente a Ω ≥ 1 em vermelho.

(a) (b)

(38)

(a) (b)

(c)

Figura 4.8: Diferen¸ca absoluta entre os danos t´ermicos para as distribui¸c˜oes de equil´ıbrio: (a) 1 e 2; (b) 1 e 3; (c) 2 e 3.

(39)

Cap´ıtulo 5

Conclus˜

oes

Este estudo apresentou a simula¸cão numérica e a otimiza¸cão sob incertezas de um tratamento por abla¸cão térmica de um tumor, com o aquecimento imposto por um ultrassom focalizado de alta intensidade (HIFU). O problema acústico foi mode-lado com o toolbox k-Wave, onde foram consideradas as rela¸cões de conserva¸cão de massa e de quantidade de movimento linear para um meio heterogêneo com dis-sipa¸cão de energia. A distribui¸cão de pressão foi computada após o sistema atingir o regime permanente, o que possibilitou o cálculo da gera¸cão de energia proveniente do transdutor, a qual assumiu o valor máximo na região focal de 102,7 W/cm3. A equa¸cão de biotransferência de calor foi então resolvida pelo método de diferen¸cas finitas expl´ıcito, onde foi considerado o termo fonte do transdutor obtido anterior-mente. A distribui¸cão de temperatura após o aquecimento de 2 segundos mostrou uma temperatura máxima na região focal de aproximadamente 75 °C, e o tempo de resfriamento de 90 segundos foi suficiente para que a temperatura máxima se reduzisse a menos de 43 °C. O dano térmico resultante mostrou que a região onde o tumor está localizado é atingida pela abla¸cão térmica sem apresentar danos rele-vantes à região adjacente, o que foi consequência da escolha correta dos valores da potência e do tempo de aquecimento, além do adequado posicionamento do trans-dutor. As simula¸cões foram realizadas em um computador com processador Core i7 2,4 GHz e 8 GM de memória, e os tempos necessários para resolver os problemas de acústica e de biotransferência de calor foram de 37 segundos e 4 segundos, res-pectivamente. A solu¸cão proporcionada pelo k-Wave foi validada por meio de uma nova simula¸cão considerando os parâmetros presentes em [40], o que comprovou a

(40)

precisão do método numérico. A eficácia do método de diferen¸cas finitas utilizado no problema de biotransferência de calor foi comprovada por meio da compara¸cão com a solu¸cão anal´ıtica de um problema similar, considerando um meio homogêneo, a qual mostrou uma boa concordância entre os valores obtidos.

Em rela¸cão à otimiza¸cão sob incertezas, foi utilizado o método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC), implementado por meio do algoritmo de Metropolis-Hastings. Ao todo foram consideradas 300 mil amostras de estado, e a simula¸cão foi finalizada em aproximadamente 48 horas. Apesar de ser evidente que, para aplica¸cões reais, o método MCMC requer uma demanda computacional elevada para os padrões atuais, este trabalho mostrou que é poss´ıvel estimar os parâmetros otimi-zados para uma região afetada pela abla¸cão térmica previamente estabelecida. Os resultados mostrados acima tiveram como principal objetivo encontrar os valores otimizados da potência acústica do transdutor e do tempo de aquecimento.

A continua¸cão desse trabalho planeja considerar maiores incertezas para outros parâmetros de modelo, além de criar um código espec´ıfico para realizar simula¸cões considerando um dom´ınio tridimensional. As propriedades f´ısicas serão o foco do estudo, uma vez que, além de variar de pessoa para pessoa, podem sofrer altera¸cões mesmo em um único indiv´ıduo caso este esteja sob diferentes condi¸cões fisiológicas.

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