Viga Vierendeel simples

Sendo a treliça Vierendeel constituída por malhas fechadas, mesmo que se possam determinar as reacções de apoio utilizando apenas equações de equilíbrio (estrutura exteriormente isostática), não é possível determinar os esforços internos nos elementos da estrutura apenas com base em considerações de equilíbrio (estrutura globalmente estaticamente indeterminada ou hiperestática) (Cismasiu, 2004).

No entanto, para determinadas condições de carregamento, geometria e rigidez da estrutura é possível estabelecer um modelo estaticamente determinado respeitando as leis constitutivas dos materiais, mas sem satisfazer as condições cinemáticas (compatibilidade entre deslocamentos e deformações). Esse método para análise de treliças Vierendeel foi proposto pela pré-norma do EC3 (ENV 1993-1- 1:1992/A2:1998, 1998) e assenta nas seguintes hipóteses (ver Figura 2.12): i) existem ligações rotuladas nos pontos a meia altura e a meio comprimento de cada painel (libertações do momento flector); ii) as ligações entre elementos são rígidas; iii) os elementos são indeformáveis axialmente (desprezam-se os deslocamentos longitudinais da cordas); iv) os sucessivos painéis da treliça têm cordas paralelas de igual rigidez (cordas com igual inércia); v) as cargas verticais são aplicadas nos nós e simétricas em relação ao eixo vertical de simetria da estrutura.

Figura 2.12 – Modelo simplificado para análise de treliça Vierendeel (ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, 1998)

A hipótese de que a estrutura não sofre translações mas apenas rotações é uma aproximação razoável quando as deformações axiais são muito menores que as deformações transversais por flexão (Martha, 2009). Como consequência desta hipótese, ao analisar o comportamento da estrutura pelo método dos deslocamentos (Cismasiu & Cismasiu, 2009), certos modos de deformação independentes anulam-se pelo facto de haver deformações axiais nulas ou desprezáveis; assim, o grau de indeterminação cinemática da estrutura é reduzido. Para compensar estas restrições à deformação da estrutura,

introduzem-se rótulas a meio vão dos elementos. De facto, considerando um elemento de corda bi- encastrado sujeito a um deslocamento vertical na extremidade, a correspondente deformada tem um ponto de inflexão a meio do elemento, o qual corresponde a um ponto de mudança de curvatura e a um ponto de momento flector nulo (Martha, 2009).

Note-se que o sistema concebido por este método simplificado conduz a uma estrutura hipostática internamente, porque o número de libertações introduzidas leva a um excesso de equações de equilíbrio estático. Apesar destas libertações “não criteriosas”, no caso particular de um carregamento apenas com cargas nodais verticais é possível obter o equilíbrio da estrutura.

Nestas condições, a distribuição dos esforços é conforme o indicado na Figura 2.13.

Figura 2.13 – Forças e momentos numa treliça Vierendeel sujeita a cargas nodais (Wardenier, Kurobane, Parcker, Van der Vegte, & Zhao, 2008)

Em virtude da configuração quadrangular da treliça Vierendeel, a única maneira de garantir o equilíbrio global da estrutura em relação aos momentos produzidos pelas reacções de apoio e pelas cargas exteriores aplicadas, é utilizar um sistema de forças instalado nas cordas definindo um binário (para cargas gravíticas, a corda inferior encontra-se à tracção e a corda superior à compressão). Com efeito, uma vez que a treliça está em equilíbrio, num qualquer ponto de um troço definido entre ligações estará também em equilíbrio. Deste modo, os esforços axiais requeridos nas cordas superior e inferior podem ser determinados a partir da aplicação repetitiva do método das secções (a estrutura é subdividida em duas partes por uma linha imaginária) em cada painel da viga Vierendeel.

É fácil concluir que, devido ao eixo de simetria horizontal da viga Vierendeel, existe uma divisão igual do carregamento nodal (simétrico em relação ao eixo de simetria vertical da estrutura) para as cordas superior e inferior, encaminhando os montantes metade do carregamento para a corda inferior.

Figura 2.14 – Representação das cargas actuantes, configuração deformada e diagramas de esforços para uma viga Vierendeel (modelo plano) de 4 painéis com cordas de igual inércia (programa FTOOL)

Saliente-se que, apesar do modelo simplificado de análise (proposto na pré-norma do EC3) não permitir que as cordas possuam inércias diferentes, é possível estender a sua aplicação para cordas de inércias distintas desde que seja conhecida a proporção de esforço absorvido (esforço transverso e momento flector) para cada corda em função do quociente das diferentes inércias, conforme pode ser visto no Gráfico 2.1. Por exemplo, se se admitir que a viga Vierendeel tem uma corda com uma inércia quíntupla da inércia da outra corda, produz-se uma razão de esforços próxima de dois entre ambas as cordas, isto é, a corda com maior inércia absorve cerca de duas vezes mais esforço que a corda de menor inércia. Assim, ao relacionar as curvaturas na vizinhança dos nós do mesmo alinhamento vertical, conclui-se que a corda com maior inércia tem uma curvatura de cerca de 40% da curvatura da corda de menor inércia.

Gráfico 2.1 - Esforço absorvido pelas cordas da viga Vierendeel simples (submetida a cargas nodais) em função da inércia

Em seguida, aborda-se a metodologia sugerida pela Pré-norma do EC3 (ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, 1998) recorrendo à distribuição de esforços de um modelo plano de viga Vierendeel com cordas de igual inércia sob carregamento vertical nodal e simétrico em relação ao eixo vertical de simetria (Farinha, J.S. Brazão, 1978).

Figura 2.15 – Esboço do diagrama de momentos flectores das cordas superior e inferior, numa viga Vierendeel simples com 6 painéis sujeita a cargas gravíticas concentradas (Abecasis & Cima Gomes, 2012)

Dos diagramas de esforços indicados nas Figura 2.14 e 2.15, é possível constatar que o momento na extremidade de qualquer troço de uma corda tem valor semelhante mas sinal contrário ao momento na outra extremidade desse mesmo troço, salvo excepções para os troços imediatamente à esquerda e à direita do eixo de simetria vertical (todos os troços que verificam a primeira disposição têm na vizinhança da metade do troço um ponto onde ocorre mudança de curvatura e momento nulo).

Tendo como base a indicação anterior, é fácil entender a razão do modelo indicado na Pré-norma do EC3 (ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, 1998) não ser válido para qualquer quantidade de painéis. Em causa está a hipótese da existência de rótulas simples a meia altura e a meio comprimento de cada painel, que resulta da predominância da configuração deformada associada a um deslocamento vertical e que na verdade nem sempre acontece, conforme demonstrado nos diagramas de esforços das Figura 2.14 e 2.15.

Com efeito, existem troços em que predomina a configuração deformada associada às rotações e outras em que predomina a deformabilidade vertical, enquanto incógnitas dos nós para discretização da estrutura. Assim, a concretização da hipótese assumida anteriormente não é válida para um número indeterminado de painéis, sendo só válida para um número de painéis entre 4 e 6, porque a sua aplicação fora deste intervalo traduz-se em erros significativos (diferenças na configuração deformada e na localização do ponto de inflexão).

Figura 2.16- Transmissão de esforços numa viga Vierendeel simples com cordas de diferentes inércias (Abecasis & Cima Gomes, 2012)

Para determinar os esforços sem quaisquer simplificações, há que conhecer a matriz de rigidez da viga

Vierendeel, a qual depende das rigidezes dos nós (representadas por ligações elásticas do tipo mola de

translacção e de rotação) e também das características materiais e geométricas dos elementos que compõem a estrutura (Cismasiu & Cismasiu, 2009).

É fácil compreender que, em termos de estabilidade estrutural, os nós são decisivos, porque são locais de concentração do momento flector (secções críticas), e portanto a rigidez e resistência das ligações são muito importantes na eficiência da estrutura. Por essa razão alguns autores (Packer, Wardenier, Zhao, Van der Vegte, & Kurobane, 2009; Wardenier, Kurobane, Parcker, Van der Vegte, & Zhao, 2008) recomendam que a rotura da estrutura, como um todo, provenha a partir da formação de mecanismos envolvendo um pequeno número dos seus elementos “pré-estabelecidos”.

Diversos autores (Davison & Owens, 2003; Vierendeel, 1935; Wardenier, Kurobane, Parcker, Van der Vegte, & Zhao, 2008; Packer, Wardenier, Zhao, Van der Vegte, & Kurobane, 2009) sugerem que as ligações da treliça Vierendeel sejam rígidas. Esses autores indicam também que as ligações deverão ser soldadas (mais eficientes, mas não desejáveis se tiverem de ser realizadas no local) ou aparafusadas com parafusos pré-esforçados (preferencialmente utilizadas em estruturas de grandes vãos), para prevenir rotações ou deslizamentos entre os elementos. Recomendam ainda a presença de

goussets para reforçar a ligação entre montantes e cordas, de modo a melhorar a resistência das peças e

Figura 2.17 – Representação das cargas actuantes, configuração deformada e diagramas de esforços, para uma viga Vierendeel de 4 painéis com cordas de diferentes inércias (gráfica do programa FTOOL)

Para garantir o equilíbrio global da viga Vierendeel, desenvolvem-se esforços axiais nas cordas de modo a provocar um binário, ou seja, uma corda estará solicitada à compressão e a outra à tracção (esforços que desenvolvem sempre independentemente da rigidez das cordas). O momento global que é necessário equilibrar diminui quanto mais próximo se estiver dos apoios, e entre painéis sucessivos surgem esforços de corte nos montantes que estão fora do eixo vertical de simetria, porque, dado não existirem elementos diagonais (ao contrário das treliças convencionais) esta é a única forma de regular o esforço axial das cordas necessário ao equilíbrio global. Com efeito, devido à flexão nas extremidades do montante que surge por equilíbrio, ocorre uma atenuação do momento flector das cordas, já que que os momentos flectores à direita e à esquerda do nó têm sinal contrário (de contrário, existiria transmissão cumulativa de momentos ao longo da corda), ver Figura 2.18.

Figura 2.18 – Equilíbrio de momentos flectores nos nós de uma viga Vierendeel simples (ligações rígidas)

Na situação de cargas pontuais aplicadas nos nós, os montantes da viga Vierendeel absorvem essas cargas sob a forma de esforço axial e distribuem-nas para as cordas superior e inferior sob a forma de esforço transverso, com intensidade dependente da sua rigidez (considerando o mesmo material, uma corda com maior inércia absorve maior esforço). Esta transmissão de esforços é feita gradualmente, resultando num maior esforço de corte nos troços de corda mais próximos dos apoios, ou seja, o esforço transverso das cordas aumenta cumulativamente do eixo vertical de simetria até ao apoio. Caso não existam cargas nos nós extremos, os montantes de extremidade absorvem o esforço transverso das cordas superiores sob a forma de esforço axial e transferem-no para o apoio.

No que refere às deformações verticais na estrutura, pode afirmar-se que o valor relativo da flecha (em nós do mesmo alinhamento vertical) é mais pequeno para nós centrais do que para nós extremos. Este efeito é devido ao momento flector e à deformação por corte, sendo tanto maior quanto mais esforçados estiverem os elementos (maior contribuição para a deformação global) (Farinha, J.S. Brazão, 1978).

Ao contrário da maioria das treliças planas que se equilibram apenas por esforços axiais de tracção ou compressão nos elementos (por exemplo, as treliças trianguladas Warren ou Pratt possuem ligações que no estado limite último se comportam aproximadamente como articuladas), a treliça Vierendeel necessita que os seus elementos estejam sob acção de esforço axial, esforço transverso e momento flector, existindo situações em que a parcela do esforço transverso (distorção) se torna relevante na análise de deslocamentos (Davison & Owens, 2003). A necessidade de considerar na análise estrutural a participação do esforço transverso na matriz de rigidez depende do tipo de acção envolvida: assim, uma carga pontual produz um efeito mais desfavorável do que uma carga distribuída (ao nível de secções e consequentemente ao nível do quadro da Vierendeel). Esta diferença está relacionada, no caso de uma carga pontual, com o facto de o esforço transverso provocar um deslizamento relativo das secções muito superior ao produzido por uma carga distribuída (mesmo para igual esforço), cujo comportamento se pode considerar semelhante a uma rotação de corpo rígido (desprezando a distorção causada pelo esforço transverso) (Silva V. D., 2004; Farinha, J.S. Brazão, 1978).

A construção de uma matriz de rigidez contendo a distorção média (noção adoptada para contornar as dificuldades relacionadas com a consideração da variação do corte ao longo da secção do elemento) pode ser determinada seguindo o exposto em (Mcguire, Gallagher, & Ziemian, 2000) para obtenção dos coeficientes de rigidez de uma barra isolada. Em alternativa, pode-se efectuar a análise estrutural, conforme neste trabalho, recorrendo ao software comercial SAP2000, o qual considera a distorção produzida pelo esforço transverso, como descrito em (CSI, 2009).