2.6. DIMENSIONAMENTO
2.6.1. Westergaard (1926)
Esse é o precursor dos outros métodos de cálculo, sendo uma enorme contribuição para o conhecimento do comportamento e projeto de laje sobre solo em sua época, desenvolvido para pavimentos rígidos assume comportamento elástico da placa apoiadas sobre molas de Winkler (SENÇO, 1997).
Após várias pesquisas constatou-se que seus resultados implicam em um dimensionamento conservador. No entanto, sua apresentação é justificada pela importância no desenvolvimento dos outros métodos atualmente utilizados no dimensionamento de laje sobre solo (NETO, 2013).
Westergaard desenvolveu três equações para as condições de carregamento mais importantes, que são apresentadas a seguir:
Carga de canto:
* ( )
+
Carga no interior da placa:
[ ( ) ] b = a quando a 1,724h
b = √ quando a
Carga de borda (área circular):
* ( ) ( ) +
Sendo σ a tensão atuante, P a carga pontual aplicada em uma área circular de raio a, h e l são respectivamente a espessura e o raio de rigidez da placa de concreto. O coeficiente de Poisson do concreto foi considerado igual a 0,15 e as placas isoladas, isto é, sem o uso de barras de transferência.
Essas expressões vêm sendo continuamente validadas pelos processos de elementos finitos. Além delas, Westergaard desenvolveu expressões para determinar a deformação de placas apoiadas em meio elástico – líquido denso (RODRIGUES et al., 2006):
Carga de canto:
[ (
)] Carga no interior da placa:
Carga na borda (área circular):
* ( )+
Sendo a deformação.
Uma vez conhecido o momento fletor solicitante o dimensionamento da espessura da placa se faz limitando a tensão de tração do concreto da seguinte forma:
F.S. é o fator de segurança que deve ser ≥ 2 para evitar que o efeito de fadiga governe o dimensionamento (SENÇO, 1997; RODRIGUES et al., 2006).
Para dimensionamento σ, calculado pelas expressões de Westergaard, deve ser menor que σadm.
2.6.2. Lösberg (1961)
No início da década de 1960, surgiram dois notáveis trabalhos voltados aos pavimentos armados, desenvolvidos de modo independentes pelos engenheiros suecos Anders Lösberg (1961) e G.G. Meyerhof (1962).
O primeiro desenvolveu seus estudos em pavimentos aeroportuários e tinha formação na área de estruturas, enquanto Meyerhof, com atuação na área de solos, desenvolveu seus estudos experimentais com ensaios em verdadeira grandeza nos Estados Unidos, focando carregamentos pontuais, similares aos dos pavimentos industriais. Os estudos dos dois pesquisadores diferem dos de Westergaard por trabalharem em regimes de ruptura plástica, o que lhes permite uma redistribuição das tensões de tração no concreto quando o limite elástico é alcançado (RODRIGUES et al., 2006).
Teoricamente, somente os materiais com comportamento dúctil são passíveis de serem analisados por esses modelos, como os concretos reforçados com fibras de aço (ACI, 2006) ou os armados, embora mesmo o concreto simples permita determinada redistribuição desses esforços (RODRIGUES et al., 2006).
Pelo método de Anders Lösberg calcula-se o valor do momento de inércia da seção íntegra do pavimento (Ig), bem como o valor do momento de inércia da seção fissurada (Icrítico), faz-se o cálculo de uma carga equivalente dada em função da forma de aplicação da carga. Pode-se calcular o momento fletor atuante na placa em virtude da disposição das rodas, em função de um raio geométrico tomado com base no valor do raio de rigidez (NETO, 2013).
Primeiramente determina-se o momento de inércia da seção íntegra (Ig):
Cálculo dos momentos fletores críticos (NETO, 2013):
⁄
Sendo fck a resistência característica à compressão do concreto aos 28 dias de idade, fct,m a resistência média à tração na flexão do concreto, fctk,sup a resistência característica superior à tração na flexão, yT a distância entre a linha neutra e a fibra mais afastada da placa, tida como metade da altura h da placa.
O momento calculado pela equação anterior é o momento crítico negativo M’NEGATIVO, e o momento positivo é considerado como metade do negativo:
Em seguida calcula-se a armadura necessária As para resistir ao MCRÍTICO, depois calcula-se o momento de inércia da seção fissurada ICRÍTICO:
( )
Onde b é a largura da seção tida como 100cm, x é tido como h/2, n é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, seu valor é aproximadamente 7,5 e d é a altura útil da seção, tida aproximadamente como h-5cm.
Com α recalcula-se o valor do raio de rigidez:
√ ( )
Obtém-se a carga equivalente para levar em conta cargas aplicadas numa distância menor que o raio Rc, é exatamente o mesmo processo explicado na Figura 2.10. A carga equivalente CEQUIVALENTE é a soma dos coeficientes obtidos para cada roda no diagrama triangular multiplicado pela carga por roda.
Com os cálculos já realizados determinam-se os seguintes parâmetros para utilização do ábaco de Lösberg para carga na borda livre:
√ ( )
Onde Pr é a carga atuante em um pneu, isto é, a carga total do eixo dividida pelo número de rodas e q, é a pressão de enchimento (geralmente considerada como 7 kgf/cm²). R é o raio equivalente da região de contato do pneu. PUTL nesse caso é a carga equivalente.
Entrando com o valor de c/l e ( )
obtém-se no ábaco a seguir o valor de m’/P, P é a carga equivalente, assim calculamos m’ que é o momento atuante característico. Com este momento dimensiona-se a armadura final através de processo usual de dimensionamento de concreto armado (NBR 6118).
Figura 2.31 – Ábaco para carga na borda livre (Lösberg, 1961).
Para o caso de cargas no interior obtém-se os momentos atuantes positivo e negativo diretamente do ábaco, já considerando a distância entre rodas de um eixo simples:
Figura 2.32 – Ábaco para carga no interior da placa (Lösberg, 1961).
2.6.3. Meyerhof (1962)
Os modelos desenvolvidos por Lösberg e Meyerhof são bastante similares, e este último ganhou maior projeção em função da simplicidade de suas expressões, que permitem o cálculo dos esforços no interior, na borda e no canto da placa de concreto. Entretanto, o embasamento teórico do comportamento de ruptura dos materiais foi mais bem fundamentado por Lösberg (Lösberg, 1961).
Carga de canto: * ( ⁄ )+ Carga interna: * ( ⁄ )+ Carga de borda: * ( ⁄ )+
Sendo a nomenclatura a mesma já citada anteriormente.
Uma vez conhecido o momento fletor solicitante, o dimensionamento da espessura da placa se faz limitando a tensão de tração do concreto da seguinte forma:
F.S. é o fator de segurança que deve ser ≥ 2 para evitar que o efeito de fadiga governe o dimensionamento. Calcula-se a tensão atuante com a equação abaixo advinda da resistência dos materiais:
Para dimensionamento σ deve ser menor que σadm.
2.6.4. Packard (1996)
O método apresentado por PACKARD (1996) pode ser usado no dimensionamento de pisos industriais de concreto simples ou com armadura sem função estrutural. Os ábacos são limitados, pois não abrangem forças muito elevadas.
Este método é derivado do dimensionamento de rodovias e aeroportos devido às inúmeras pesquisas realizadas nestes tipos de pavimento.
As variáveis são:
Módulo de ruptura do concreto;
Natureza e frequência das ações;
PACKARD (1996) apresenta ábacos para o dimensionamento (anexo A), onde as tensões foram determinadas com auxílio de um software. Foi adotado o módulo de elasticidade do concreto igual a 28.000Mpa e o coeficiente de Poisson igual a 0,15. Segundo PACKARD (1996), a influência do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson nos valores das tensões é muito pequena. Foi adotada a hipótese de carregamento no interior das placas obrigando a existência de um bom dispositivo de transferência de carga. Se houver bordas carregadas, deve-se aumentar a espessura em 20 a 5%. As tensões devidas à retração são desprezadas. De acordo com PACKARD (1996) exceto em pavimentos de concreto continuamente armados, as tensões devidas à retração, que realmente ocorrem nas placas, equivalem a apenas um terço ou metade da tensão calculada.
Ações Móveis:
O método de dimensionamento apresentado por PACKARD (1996) prevê uma redução na resistência do concreto à tração, devido ao efeito da fadiga. A Tabela A.1 (Anexo A) fornece os valores dos coeficientes de segurança em função do número de repetições das solicitações. O critério de Fadiga adotado é o mesmo da PCA/66, sendo o fatos de fadiga o inverso da relação de tensões. Dessa maneira, a tensão de tração admissível do concreto é dada por:
Sendo:
: tensão de tração admissível;
: resistência característica do concreto à tração na flexão, também
conhecido como módulo de ruptura, MR;
: coeficiente de segurança devido à fadiga.
PACKARD (1996) define como tensão de trabalho a relação entre a tensão admissível e a força do eixo mais carregado:
Sendo:
Q: tensão de trabalho em Pa/N;
tensão de tração admissível, em KPa;
P: peso do eixo mais carregado em KN. A área de contato dos pneus é determinada como:
Sendo:
PR: Peso atuante em uma roda:
P: pressão de enchimento dos pneus;
Quando a área A calculada é inferior a 600 cm2, deve-se fazer uma correção, utilizando a figura A.1, obtendo A’. Arbitrando-se uma espessura tentativa a ser verificada posteriormente. Verifica-se que a correção é mais significativa para as maiores espessuras de placas.
Segundo PACKARD (1996) a razão para essa correção é que as tensões em placas para áreas de contato muito pequenas são superestimadas quando determinadas pela teoria convencional. PACKARD (1996) apresenta o ábaco da figura A.2 para dimensionamento de pisos industriais submetidos à ações de empilhadeiras com eixo de rodagem simples. Os parâmetros de entrada são:
Q: tensão e trabalho em Pa/N;
S: espaçamento entre as rodas em cm;
A: área de contato efetiva dos pneus em cm2;
K: coeficiente de recalque da fundação; Do gráfico obtém-se a espessura da placa em cm.
O eixo de rodagem dupla provoca tensões inferiores se comparado com um eixo de rodagem simples com o mesmo peso. PACKARD (1996) propõe uma redução no valor do peso P a ser utilizado para calcular a tensão de trabalho Q dando origem a um peso corrigido:
Sendo:
Pcor: peso do eixo corrigido;
Fred: fator de redução obtido da figura A.3;
O valor da tensão de trabalho passa a ser calculado por:
Sendo:
Qcor: tensão de trabalho calculada a partir do peso corrigido em Pa/N;
σ adm: tensão de tração admissível em KPa;
Para a utilização da figura A.3 a fim de determinar o valor de fred , é necessário arbitrar uma espessura inicial para a placa. A verificação da espessura tentativa é feita com o auxílo do ábaco da figura A.2 com os seguintes parâmetros:
Qcor em Pa/N;
S: espaçamento entre as rodas em cm;
A: área de contato efetiva dos pneus em cm2
K: coeficiente recalque da fundação
Caso a fundação obtida seja diferente da arbitrada, o processo deve ser repetido com uma nova espessura tentativa.
Carregamento de montantes:
No dimensionamento de pisos de concreto solicitados por montantes de prateleiras ou por patolas, deve-se conhecer:
O menor espaçamento entre os montantes x;
O maior espaçamento entre os montantes y;
Área de contato A ou área de contato efetiva A’;
Peso do montante Pmont;
Resistência do concreto à tração na flexão fctm.k;
Coeficiente de recalque da fundação K;
Devido ao desconhecimento da posição das prateleiras e à deformação lenta do concreto, PACKARD (1996) recomenda a adoção de um coeficiente de segurança que varia entre 2 e 5. Os montantes podem ser apoiados próximos às juntas, produzindo esforços até 50% maiores que no interior das placas dependendo do grau de transferência de carga.
Os ábacos das figuras A.4 a A.6 possibilitam a determinação da espessura das placas em função dos valores de x, y, k, A e Q. O valor de Q é calculado pela equação:
Neste caso a tensão admissível é dada por:
Sendo:
σ adm: Tensão de tração admissível;
fctm.k: resistência característica do concreto à tração na flexão;
FS: Fator de segurança entre 2 e 5;
PACKARD (1996) recomenda que a tensão de contato entre a área de apoio e a placa seja inferior a 4,2 vezes o módulo de ruptura do concreto para forças no interior da placa e 2,1 vezes para forças de borda ou de canto. A tensão de cisalhamento devida aos esforços de puncionamento não devem ser superiores a 0,27 vezes o módulo de ruptura do concreto.
Segundo MELGES (1995), “o fenômeno da punção de uma placa é basicamente a sua perfuração devida às altas tensões de cisalhamento provocadas por forças concentradas ou agindo em pequenas áreas”. A ruína por punção é do tipo frágil.
Em pisos de concreto, existem duas maneiras de evitar a ruptura por puncionamento:
Aumentar a área de apoio;
Aumentar a espessura do piso;
Segundo BRAESTRUP & REGAN, citado por MELGES e PINHEIRO (1999), com relação ao formato dos apoios, pode-se observar que para apoios circulares, a resistência é cerca de 15% maior quando comparada à resistência de apoios quadrados com área equivalente. Isto se deve ao fato de que, nos apoios quadrados e nos retangulares existe uma concentração de tensões nos cantos.
Segundo a Revisão da NBR-1 (1999), existem duas superfícies críticas para ruína por punção, indicadas nas figuras abaixo:
Figura 2.33 – Ruína por punção de 2d da área de aplicação da força
Figura 2.34 – Ruína por punção na face da área de aplicação da força.
Para verificação da punção deve ser respeitada a inadequação:
Sendo:
: tensão atuante de cálculo;
: tensão resistente de cálculo;
A tensão atuante de cálculo é dada por (Revisão da NB-1, 1999):
Sendo:
FSd : força atuante de cálculo;
u: perímetro crítico; para área retangular é dado pelas expressões :
( )
d: altura útil;
Para verificação da punção a 2d da face da área de aplicação da força, o perímetro crítico é dado por:
( ) ( ) Sendo:
c1 e c2: lados da área retangular de aplicação da força;
m: média entre os lados da área de aplicação da força;
Para a verificação da punção a 2d da força, a tensão resistente de cálculo é dada por:
( √
) √
Sendo:
: taxa de armadura de flexão, dada pela equação abaixo;
Fck: resistência característica do concreto; √ Sendo:
ρx: taxa de armadura de flexão na direção x;
ρy: taxa de armadura de flexão na direção y;
Esta verificação, proposta pela Revisão da NB-1 (1999), é possível somente quando houver armadura de flexão. No caso de concreto simples, é possível adotar a proposta do ACI 318 (1989), onde a tensão resistente é dada pelo menor dos valores:
( ) √
(
√ Sendo:
: razão entre o lado mais longo e mais curto do pilar;
: perímetro crítico localizado a d/2 do contorno do pilar;
: constante que assume os valores: 40 para forças internas, 30 para forças de borda e 20 para forças de canto;
A seção crítica, segundo proposta da ACI 318 (1989), está a uma distância d/2 da face da área da aplicação da força e tem formato retangular.
Para verificação da punção na face de aplicação da força, o perímetro crítico é dado por (Revisão da NB-1, 1999):
( )
Para verificação da punção na face do pilar, a tensão resistente de cálculo é dada por (Revisão NB-1, 1999):
(
) Carregamento distribuído
Nos corredores de circulação entre áreas de carregamento distribuído, ocorrem momentos negativos (tração nas fibras superiores). Caso o comprimento desses corredores fosse conhecido, seria possível fazer um dimensionamento mais otimizado, mas como é dificil fixar essa dimensão, realizam-se os cálculos adotando a largura que produza o máximo esforço. PACKARD (1996) apresenta a seguinte expressão:
√ Sendo:
: carregamento uniformemente distribuído admissível em kN/m2;
: resistência de cálculo do concreto à tração na flexão, dado pela equação abaixo em Mpa;
h: espessura da placa em cm;
Sendo:
: coeficiente de segurança do concreto;
2.7. PROPAGAÇÃO DE TENSÕES
Ao se aplicar uma carga sobre a superfície de um maciço são geradas tensões no seu interior. Quanto mais próximo da região de aplicação da carga maior será o acréscimo de tensão, tendendo a ser cada vez mais próxima do valor da tensão aplicada.
Uma das formas mais tradicionais de se estimar o acréscimo de tensão no interior de um maciço é considerar que as tensões se espraiam segundo áreas crescentes, mas sempre se mantendo uniformemente distribuídas. Formando um ângulo de espraiamento comumente considerado de 30º, tal como ilustrado na Figura 2.35 para o caso de um carregamento de comprimento infinito e largura de 2L:
Figura 2.35 – Espraiamento das tensões (PINTO, 2000).
Para um ângulo de 30 graus, a uma profundidade z, a área carregada será 2.L+2.z.tg30°.
A tensão uniformemente distribuída atuante nesta área, que corresponde à carga total aplicada, vale:
Onde σ0 é a tensão aplicada.
E se a área carregada for quadrada ou circular, os cálculos serão semelhantes, considerando-se o espraiamento em todas as direções (PINTO, 2000).
Este método, embora útil em certas circunstâncias, e mesmo adotado em alguns códigos de fundações em virtude de sua simplicidade, deve ser entendido como uma estimativa muito grosseira, pois as tensões, a uma certa profundidade, não são uniformemente distribuídas, mas concentram-se na proximidade do eixo de simetria da área carregada, apresentando uma forma de sino, como mostra a Figura 2.36.
Figura 2.36 – Distribuição de tensões com profundidades (PINTO, 200).
Na prática, a forma mais usada de se calcular o acréscimo de tensão em um maciço devido ao carregamento na superfície é fazer uso de métodos baseados na teoria da elasticidade.
Embora o solo não seja um material elástico-linear, esses métodos têm gerado resultados satisfatórios para problemas de engenharia (PINTO, 2000). A seguir são apresentadas algumas soluções clássicas para casos de carregamento usuais.
2.7.1. Solução de Boussinesq
Boussinesq determinou as tensões, as deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície
horizontal, devidos a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço. A equação de Boussinesq para este acréscimo de tensão é:
( )
Sendo z e r definidos como se indica na Figura 2.37.
Figura 2.37– Tensão num ponto no interior da massa (PINTO, 2000).
Esta expressão pode ser escrita da seguinte forma:
( ( ) )
Esta última expressão mostra que, mantida a relação r/z, a tensão é inversamente proporcional ao quadro da profundidade do ponto considerado. Na vertical abaixo do ponto da carga (r = 0), as pressões são:
Como mostra a Figura 2.38,as tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo infinita no ponto de aplicação.
Figura 2.38– Tensões na vertical abaixo do ponto da carga (PINTO, 2000)
2.7.2. Solução de Newmark
Para cálculos das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamentos uniformemente distribuídos numa área retangular, Newmark desenvolveu uma integração da equação de Boussinesq. Determinou as tensões num ponto abaixo da vertical passando pela aresta da área retangular. Verificou que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas. Definiu, então, as seguintes relações entre os parâmetros m e n:
e Como ilustrado na Figura 2.39.
Em função destes parâmetros, a solução de Newmark se expressa pela equação: * ( ) ( ) ( )( ) ( ) + Mas se considerarmos que a tensão num ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, toda a expressão entre chaves pode ser tabelada, de forma que se tem:
Sendo I um coeficiente de influência que depende só de m e n e que se encontra na Tabela 2.5, e também no ábaco da Figura 2.51.
Para o cálculo do acréscimo de tensão em qualquer outro ponto que não abaixo da aresta da área retangular, divide-se a área carregada com retângulos com uma aresta na posição do ponto considerado, e considera-se separadamente o efeito de cada retângulo. No caso de um ponto no interior da área, como o ponto P no caso (a) da Figura 2.40, a ação da área ABCD é a soma das ações de cada uma das áreas AJPM, BKPJ, DLPK e CMPL.
Figura 2.40 – Aplicação da solução de Newmark para qualquer posição
No caso de ponto externo, como o ponto P na situação (b) da Figura 2.40, considera-se a ação da área PKDM, subtraem-se os efeitos dos retângulos PKBL e PJCM e soma-se o efeito do retângulo PJAL, porque esta área foi subtraída duas vezes nos retângulos anteriores.
Figura 2.41 – Tensões verticais induzidas por carga uniformemente distribuída em área retangular (solução de Newmark)
Tabela 2.6 – Valores em I em função de m e n para a equação de Newmark
2.7.3. Solução de Love
A solução de Love é uma integração da equação de Boussinesq para tensões verticais, fornecendo o acréscimo de tensão em pontos ao longo de uma vertical passando pelo centro de uma área circular uniformemente carregada. A expressão obtida por Love é a seguinte: { [ ( ) ] }