Campos multivalentes e operadores não-locais

Aqui aplicaremos o estudo da multivalência dos campos a operadores não-locais.

Estes operadores são caracterizados por necessitarem de uma região do espaço para serem definidos ao contrário daqueles ditos locais que são avaliados em um ponto específico do

Figura 14 - Possíveis cruzamentos entre a linha que liga

−∞ ao pontox e a superfícieK.

Legenda: Três possíveis casos onde teremos resultados diferentes de acordo com a escolha do caminho.

Olhando da direita para a esquerda temos, o cruzamento em um ponto, três pontos ou nenhum ponto entre a linha que liga o −∞ao ponto xpassando pela superfícieK.

Fonte: O autor, 2018.

espaço. O exemplo mais famoso destes operadores não-locais é o loop de Wilson e sua representação dual oloop de t’Hooft.

Considere então um exemplo onde temos uma teoria de campo escalar em uma variedade Euclidiana e o operador

Wˆ_J =e^{iαRdDxφ(x)J(x)ˆ} . (307)

OndeJ representa uma 0-brana. Note que a brana esta fazendo o papel desta região que define o operador não-local. Introduziremos o operador ˆφ tal que este satisfaça

hφ(x),ˆ Π(y)ˆ ⁱ=iδ^D(x−y). (308)

Uma possível idealização deste operador é o momento canonicamente conjugado onde na representação dos campos seria da forma i_δφ(x)^δ , tal que a atuação do operador ˆφ se dá pela simples multiplicação por φ. A atuação do operador momento canônico pode ser estudada pela regra de comutação deste com uma função do campo φ, ou seja,

hWˆ_J,Πˆⁱ = ^he^{iαRdDxφ(x)J(x)ˆ} ,Πˆⁱ

= i δ

δφ(y)e^{iαRdDxφ(x)J(x)ˆ}

= −αJ(y) ˆW_J. (309)

Levando em conta a unitariedade do operador ˆW podemos concluir que a atuação deste se dá por meio de uma translação em ˆΠ por αJ uma vez que

WˆJΠ(x) ˆˆ W_J⁻¹ = ˆΠ(x)−αJ(x). (310)

Observe que o mesmo procedimento realizado com o operador ˆW e com o momento canô- nico pode ser feito diretamente com o operador ˆφ. Assim, podemos definir um operador Tˆ_Q tal que este irá transladar ˆφpor uma 0-branaQ. Escreveremos a relação de comutação de ˆT_Q com ˆphi como

Tˆ_Qφ(x) ˆˆ T_Q⁻¹ = ˆφ(x)−βQ(x). (311)

Assim podemos concluir que a forma funcional deste operador será Tˆ_Q = e^{iβRdDx Q(x) ˆΠ(x)}

= e^−β

Rd^Dx Q(x)_δφ(x)^δ

. (312)

A relação entre ˆT e ˆW pode ser obtida da seguinte maneira Tˆ_QWˆ_JTˆ_Q⁻¹ = Wˆ_J( ˆφ−βQ)

= e^{iαβRdDx Q(x)J(x)}WˆJ. (313)

Assim a forma explicita da relação de comutação entre estes operadores será

hWˆ_J,Tˆ_Qⁱ=e^{iαβRdDx Q(x)J(x)}. (314)

Note que para facilitar usamos as fontes destes operadores como 0-branas. Porém nada nos impede de generalizar esta construção parap-branas. Podemos tomar como exemplo quando consideramosQcomo uma 1-brana, ou seja uma linha que tem origem no infinito e se estende até um pontoxno espaço e considerarmosJ como uma (D−1)-brana teremos

hWˆ_J,Tˆ_Qⁱ=e^{iαβRdyµK˜µ(y)}. (315)

Que é justamente a parte singular do campo escalar em (303) se identificarmosiαβ = 2π.

Note também que esta álgebra é a mesma dada por (286) se considerarmos o grupo de simetria singular. Aqui reside a primeira realização da ideia abordada em (MARINO;

SCHROER; SWIECA, 1982) para a generalização para sistemas contínuos da álgebra de Kadanoff. A diferença entre as propostas se dá pelo modo com que estas são construí- das. Na seção anterior discutimos que a proposta feita em (MARINO; SWIECA, 1980) que envolve a singularização de uma simetria discreta do grupoZn em uma determinada região do espaço. O que desenvolvemos até agora é uma construção baseada em objetos extensos que são as branas. A atuação do operador ˆT em um funcional do campoφ tem como resultado criar uma parte singular para este campo. Observe que nesta constru- ção ao considerarmos os operadores não-locais nós obtemos naturalmente a álgebra dos operadores de ordem e desordem.

O cálculo da função de correlação destes operadores se dá pela inserção dos mesmos e será definida por

DWˆ_JFˆ(φ)^E = 1 Z

Z

DφW_JF(φ)e^−S

= 1

Z

Z

Dφ F(φ)e^{−S+iαRdDxφ(x)J(x)}

= ^DF( ˆφ)^E

J. (316)

Onde Z =^R Dφ e^−S e F(φ) é um funcional qualquer do campo φ. Logo concluímos que o cálculo da função de correlação é feito calculando a integral de trajetória com a ação modificada peloloop W.ˆ

Agora podemos calcular a função de correlação do operador ˆT tomando inserções deste. Sabendo que a atuação de ˆT em qualquer funcional do campo φ é dado pela

generalização de (311) temos

DTˆ_QFˆ(φ)^E = ^DFˆ( ˆφ−βQ)^E

= 1

Z

Z

Dφ F(φ−βQ)e^−S

= 1

Z

Z

Dφ⁰ F(φ⁰)e^−S(φ

0+βQ)

= ^DF( ˆφ)^E

Q. (317)

Onde φ⁰ =φ−βQ. Note que a medida de integração sofre uma mudança quando reali- zamos a troca de varável φ por φ⁰, o que pode levar a uma não trivialidade pois agora o campo tem uma parte singular. Porém como vimos anteriormente podemos contornar este problema lembrando que a integral funcional deve ser feita na parte regular do campo e a contribuição da parte singular e feita por uma soma sobre todas as possíveis configurações deQ. Esta definição sugere que o valor esperado do operador ˆT será expresso por

DTˆ_Q^E= 1 Z

Z

Dφ⁰ e^−S(φ

0+βQ). (318)

Outra forma de observar a relação entre os operadores ˆW e ˆT é observando a correspondência de dualidade entre eles. Para tal, considere um sistema escalar em duas dimensões, tal que sua integral de trajetória é escrita sob a forma

Z

Dφ e⁻

Rd²x(¹₂^{∂µφ∂µφ−iαφJ}) = ^Z DφDξ e⁻

Rd²x(^{iξµ∂µφ+1}₂^ξ2−iαφJ)

=

Z

Dξ δ(∂_µξ^µ−iαJ)e^−Rd2x12ξ2. (319) Aqui nós simplesmente realizamos um processo de dualidade, onde o campoξ é o campo auxiliar responsável por baixar a ordem de derivadas deφ. A passagem da primeira linha para a segunda envolve uma integração por parte no primeiro termo e a realização da integral sobre o campoφ, nos deixando o vínculo representado pela função delta.

Como visto anteriormente em 1.4 podemos tomar dois pontosx₀ ex⁰₀ como bordas de uma linha e escrever

J(x) =∂_µK^µ. (320)

OndeK representa uma 1-brana dada por K^µ(x) =

Z

Υ^x

0 x00

dσ dy^µ

dσ δ(x−y(σ)). (321)

Tal que Υ a linha que conecta os pontosx₀ ex⁰₀. Assim, podemos resolver o vínculo dado pela função delta introduzindo um campo regularψ tal que

ξ^µ=^µν∂_νψ^reg+αK^µ. (322)

Note que o lado direito desta expressão tem a mesma estrutura de (305). Então podemos escrever ψ como a derivada de uma função multivalente tal que ξ^µ = ^µν∂_νψ, onde este novoψ será escrito como

ψ(x) = ψ^reg(x)−α

Z x

dy^µ_µνK^ν

= ψ^reg(x)−α

Z

d²z L^µ(z;x,−∞)_µνK^ν(z;x₀, x₀). (323) OndeL^µ(z;x,−∞) e o caminho parametrizado pela coordenada z por onde realizaremos a integral desde−∞ até o pontox. Podemos representar L^µ(z;x,−∞) por

L^µ(z;x,−∞) =

Z

Γ^x_−∞

dτ dy^µ

dτ δ²(z−y(τ)). (324)

Assim como discutimos em 4.2.1 observe que a multivalência do campo ψ encontra-se toda codificada na arbitrariedade do caminho Γ que irá definir L^µ(z;x,−∞). A integral em (323) conta o número de vezes que a linha Γ cruza a linha Υ como mostra a figura 15.

Note que existe uma ambiguidade na definição deL^µ(z;x,−∞) pois

∂_ν^(x)L^µ(z;x,−∞) = δ^µ_νδ²(z−x). (325) O que nos permite escrever

L^µ(z;x,−∞)→L^µ(z;x,−∞) +∂_ρ^(z)M^ρµ(z). (326) Como L^µ(z;x,−∞) é uma linha a expressão da borda de M deve ser também uma li- nha, que deverá conectar um ponto em−∞ ao ponto x porém percorrendo um caminho diferente. Isto em duas dimensões espaciais pode ser escrito como

M^ρµ(z) = ^ρµ

Z

Ω

d²y δ²(z−y) = ^ρµΘ(z : Ω). (327)

Tal que Ω é área varrida pela linha Γ como mostra a figura e Θ é uma função do tipo degrau definida por

Θ(x; Ω) =











1 se x∈Ω 0 se x /∈Ω

(328)

O mesmo irá acontecer para K^µ(z;x₀, x⁰₀), uma vez que J é definido por (320), temos a liberdade de mudar K pela divergência de uma função cuja borda será uma outra linha

Figura 15 - Possíveis cruzamentos entre as curvas Γ e Υ.

Legenda: (a) Γ^x_∞ e Υ^x

0

x00 se cruzam em um ponto (b)Γ^x_∞ e Υ^x

0

x00 não se cruzam (c) Γ^x_∞ e Υ^x

0

x00 se cruzam em dois pontos.

Fonte: O autor. 2018.

conectandox₀ e x⁰₀, tal que

K^µ(z;x₀, x⁰₀)→K^µ(z;x₀, x⁰₀) +∂_ρ^(z)N^ρµ(z). (329) Tal que da mesma forma que fizemos paraL^µ(z;x,−∞) teremos

N^ρµ(z) = ^ρµ

Z

Σ

d²y δ²(z−y) = ^ρµΘ(z : Σ). (330)

Onde (328) também irá valer para K^µ(z;x₀, x⁰₀) porém com a região sendo delimitada pela área Σ.

Agora definiremos um número que irá caracterizar a interseção de Γ e Υ como n(Γ^x_−∞,Υ^x

0

x00) =

Z

d²z L^µ(z;x,−∞)_µνK^µ(z;x₀, x⁰₀). (331) Onden ∈Z. Ao realizarmos a transformação (326) teremos

δ_Γn(Γ^x_−∞,Υ^x

0

x00) =

Z

d²z δ_ΓL^µ(z;x,−∞)_µνK^µ(z;x₀, x⁰₀)

=

Z

d²z ∂_ρ^(z)M^ρµ(z)_µνK^µ(z;x₀, x⁰₀)

= −

Z

d²zΘ(z; Ω)∂_ρ^(z)K^ρ(z;x₀, x⁰₀)

= Θ(x⁰₀; Ω)−Θ(x₀; Ω). (332)

Onde na segunda linha usamos a expressão (326), na terceira linha usamos (327) e uma integração por partes. Se fizermos o mesmo procedimento para a transformação (329) teremos

δ_Υn(Γ^x_−∞,Υ^x

0

x00) =

Z

d²z L^µ(z;x,−∞)_µνδ_ΥK^µ(z;x₀, x⁰₀)

=

Z

d²z L^µ(z;x,−∞)_µν∂_ρ^(z)N^ρµ(z)

= −

Z

d²zΘ(z; Σ)∂_ρ^(z)L^ρ(z;x,−∞)

= Θ(x; Σ). (333)

Em termos de n(Γ^x_−∞,Υ^x

0

x00) a expressão para o campo ψ dada por (323) pode ser escrita como

ψ(x) = ψ^reg(x)−αn(Γ^x_−∞,Υ^x

0

x00). (334)

Agora note que sob a transformação (329) teremos

δ_Υψ(x) =δ_Υψ^reg(x)−αΘ(x; Σ). (335)

Para garantir a invariância do campo sob estas transformações, uma vez que objetos físicos

não devem ser capaz de sentirem qualquer mudança na brana, devemos ter

δ_Υψ^reg(x) =αΘ(x; Σ). (336)

Note que mesmo que a parte regular do campo sofra uma transformação devido a uma mudança na parte singular nós teremos∂_[µ∂_ν]θ(x; Σ) = 0. Assim a regularidade é garan- tida.

Portanto a integral de trajetória sobre configurações do campo ξ se traduz numa integral de trajetória sobre configurações da parte regular do campoψ e uma soma sobre os números inteiros classificando a interseção da curva Γ com a curva Υ. Observe que a soma sobre o cruzamento destas duas curvas deve ser entendida como uma soma sobre todos os possíveis caminhos que define Γ uma vez que Υ se mantém fixa ao longo de todo o processo. Logo a função de partição dual será

Z

Dφ e^−Rd2x(¹₂^{∂µφ∂µφ−iαφJ}) = ^X

n

Z

Dψ^reg e^{−Rd2x12(∂µψreg−αµνKν)2}. (337) Podemos concluir que para realizar o cálculo da função de dois pontos no forma- lismo dual precisamos realizar a integração funcional sobre um campo escalar multivalente ψ. A multivalência do campoψ fica explicita na soma sobre o número de vezes que temos o cruzamento das curvas Γ e Υ. Entretanto, observe que neste exemplo não existe a necessidade de que escrevamos tal soma. Note, que a função de partição para o cenário dual já esta completamente escrita em termos dos invariantes de brana, de modo que a simetria de brana da parte singular é completamente cancelada pela simetria da parte regular de ψ, neste caso, e somente para casos assim a soma será uma redundância. A função de partição é construída como uma integral sobre a parte regular do campo e a soma sobre o número de vezes que a curva circula a singularidade na inserção dos pontos x₀ex⁰₀. Note que a carga precisa ser quantizada, logoα = 2πe assim a função de partição não dependerá do caminho que liga os pontos x₀ ex⁰₀.

Note que o lado direito de (337) nos diz que o campo ψ sofreu uma mudança de ψ → ψ^reg −α^Rxdy^µ_µνK^ν(y). Observe que esta mudança pode ser entendida como a atuação do operador ˆT definido pela sua atuação em um funcional do campo escalar como em (313) porém aqui temos Q(x) = α^Rxdy^µ_µνK^ν(y), que é a prescrição usada no começo desta seção para o cálculo do valor esperado de ˆT porém com as variáveis da teoria dual. No entanto, o lado direito é a prescrição do cálculo do valor esperado de ˆW. Assim, podemos concluir que calcular o valor esperado de ˆW na teoria original é o mesmo que calcular o valor esperado de ˆT na teoria dual, onde J = ∂K = −∂∂Q.

Este resultado é conhecido se fizermos a identificação de ˆW com oloop de Wilson e de ˆT com oloop de t’Hooft e assim identificando estes como operadores de ordem e desordem.

Mais ainda, observe aqui a relação entre ordem e desordem, a ordem esta definida na teoria "original"enquanto a desordem na teoria dual, por isso é natural que as variáveis de

ordem dependam de quantidades termodinâmicas da teoria original e que os operadores de desordem sejam definidos tais que desempenham o papel de introduzir defeitos no sistema original.

No documento Campos multivalentes e estados topológicos da matéria (páginas 116-125)