Todo supercondutor é topologicamente ordenado

OndeM₁ eM₂ são parâmetros com dimensão de massa. Nós podemos resolver a integral para o campo η usando suas equações de movimento, assim tome a ação (199) e sua variação co respeito aη e obteremos

−iq

A_µ+ 1

e∂_µθ+2π e K_µ

+ 1

M₁²η_µ+ 1

M₂⁴∂²η^µ= 0. (201)

Porém como queremos o comportamento em baixas energia podemos dispensar o último termo e escrever

η_µ =−iqM₁² A_µ+1

q∂_µθ+ 2π q K_µ

!

. (202)

Levando esta solução de volta para a função de partição (199) temos

Z[j] =^X

K

Z

DA Dθ e⁻

Rd⁴x

1

4FµνF^µν+^q2M₂ ²(^Aµ+¹_q∂µθ+^2π_q Kµ)²

e^{−ieRd4x Aµjµ}. (203) Esta ação representa a resposta eletromagnética de um sistema supercondutor cujo com- primento de penetração é 1/M.

A_µ → A_µ+∂_µχ

θ → θ+eχ. (205)

Aqui será conveniente escrever a ação (204) em termos das variáveis invariantes de ca- libre ˜A_µ = A_µ − ¹_e∂_µθ e ψ = ρ e^iθ. Note que aqui estamos considerando θ como um campo regular. De fato θ aparece como a transformação de calibre do campo A_µ nestas novas variáveis e até este momento do texto não tratamos de transformações de calibre multivalentes. Este caso será tratado na seção 4.3. Logo a ação de Ginzburg-landau se torna

S=

Z

d⁴x

−1

4(∂_µA˜_ν−∂_νA˜_µ)²+1

2(∂_µρ)²+ 1

2e²ρ²( ˜A_µ)²− 1

2(ρ²−v²)²

. (206)

Note que o mínimo da energia se dá quando temosρ=v. Note também que ao escrevermos a ação nestas variáveis temos o surgimento de um termo massivo. Este termo massivo é costumeiramente tratado na literatura como um termo que quebra espontaneamente a simetria de calibre. Note que este é um erro grave uma vez que não existe quebra da simetria de calibre para qualquer sistema físico, em particular na ação (206) a simetria de calibre encontra-se escondida nas novas variáveis, assim a geração do termo massivo claramente não quebra a simetria de calibre (CHERNODUB; FADDEEV; NIEMI, 2008).

Tomar este termo como quebra espontânea da simetria de calibre seria considerar uma redundância matemática como algo observável fisicamente.

O campoψtambém é responsável por representar um aspecto importante na descri- ção dos supercondutores. Este representa o parâmetro de ordem da fase supercondutora, mais precisamente seu valor esperado ψ(r) = hΨ↑(r)|Ψ↓(r)i será diferente de zero para a fase ordenada de um supercondutor. Como apontado em (HANSSON; OGANESYAN;

SONDHI, 2004) existem problemas em definir o valor esperado do par de Cooper como um parâmetro de ordem, o principal deles é a não localidade de ψ(r). Podemos notar também que o problema aparece quando tentamos definir ψ(r) como tendo um valor es- perado não nulo, porém isto falha ao observarmos queψ por sí só não é invariante sob as transformações de calibre (205). Note que somente a combinação que usamos para escre- ver a ação (206) o será. O ponto fundamental para este argumento reside no teorema de Elitzur (ELITZUR, 1975) que assegura que estas quantidades vão a zero mesmo na fase onde temos a simetria de calibre "quebrada". Uma tentativa de resolver este problema é toma uma forma não local para o campo que representa o par de Cooper introduzida por

Dirac (DIRAC, 1955) que pode ser escrito sob a forma de operador ψ_D^†(~r) =e^{Rd3r ~Ecl(~r−~r}

0)A(r)~ ψ^†(~r) (207)

Onde E~_cl representa o campo elétrico clássico enquanto ψ e A são operadores. Note que nesta forma temos a invariância sob (205) e o operadorψ_D tem a interpretação de operador de criação. Porém ainda existem problemas com essa descrição, por mais que tenhamos no operador (207) invariância de calibre e localidade como mostrado em (KENNEDY; KING, 1985) este acessaria estados onde podemos ter a presença de bósons de Goldstone que não são permitidos em um supercondutor. Uma alternativa seria descrever o parâmetro de ordem usando operadores do tipo Loop de Wilson o que nos levaria ao problema da não localidade.

Em (HANSSON; OGANESYAN; SONDHI, 2004) também é apontado que os graus de liberdade na descrição de baixas energias de um supercondutor têm sua dinâmica dada por uma ação topológica. Esta característica que pretendemos dar atenção a partir de agora uma vez que iremos mostrara na seção 3.5.4 que acontece o mesmo para um supercondutor topológico.

Existem três tipos de graus de liberdade que podemos ver em (203). Temos par- tículas de carga e originada pelo acoplamento com a corrente externa j, vórtices K in- troduzidos pela identidade de Poisson e fótons massivos uma vez que o campo de calibre adquiriu massa. Por mais que tenhamos a intenção de representar estas partículas com uma cargae, estas devem ser classicamente neutras uma vez que sua fonte esta acoplada com um campo de calibre massivo que tem o fluxo zero quando tomamos distâncias maio- res que o comprimento de penetração 1/M do material. Porém estas partículas carregam cargas topológicas devido a uma interação do tipo Aharonov-Bohn com os vórtices. A densidade de energia permanece finita quando assintoticamente os camposFµν e o termo de massa vão a zero. Assim considerando grandes distâncias temos

I

c

dx^µA_µ = 2π q

I

c

dx^µK_µ= 2πn

q . (208)

Onde usamos o fato de que a integral da 1-corrente K sobre a curva c será um número inteiro n representando o linking number entre a curva c e o vórtice definido por K.

Portanto o vórtice carrega um fluxo dado porφ =φ₀n, tal que definiremos φ₀ = ^2π_q como o fluxo fundamental de uma configuração de vórtice. Note que ao olharmos para o último termo em (203) veremos que este representa uma quasi-partícula de cargae. Se tomarmos esta por interagir com um vórtice teremos

θ_AB =e

I

c

dx^µA_µ=eφ₀ = 2πe

q . (209)

Porém a cargaqem um supercondutor representa a carga de um par de Cooper, assimq= 2e, logo neste caso temos uma fase não trivial θ_AB =π e esta será uma das características fundamentais para que um supercondutor seja considerado um estado topológico. A ação efetiva que descreverá o supercondutor no regime de baixas energias é uma ação topológica responsável por descrever as interações entre vórtices e a linha de mundo destas quasi-partículas. Em particular este sistema é descrito pela teoria BF dada pela ação (SCHWARZ, 1979; BLAU; THOMPSON, 1991)

S=

Z

d⁴x

1

π^µνρσb_µν∂_ρa_σ −a_µj^µ−b_µνJ_v^µν

. (210)

Onde J_v^µν = ^µνρσ∂_ρa_σ é a corrente de vórtice e j^µ = ^µνρσ∂_νb_ρσ é a corrente das quasi- partículas. Teorias de campo topológicas representam um papel fundamental na descrição de materiais topológicos e há uma vasta bibliografia sobre este tópico (QI; HUGHES;

ZHANG, 2008; WANG; QI; ZHANG, 2011; HANSSON; KARLHEDE; SATO, 2012).

Nosso objetivo aqui será obter a teoria topológica BF para o supercondutor usual sob a luz do que fizemos na seção anterior, usando mecanismos de condensação. Para tal acoplaremos o campo de calibre com uma corrente externa cuja carga será igual a carga de um par de Cooperq= 2e. Assim, a ação da função de partição (199) poderá ser escrita como

S=

Z

d⁴x

1

4F_µνF^µν−2ieA_µη^µ−iθ∂_µη^µ−2πiK_µη^µ+ieA_µj^µ

+S_η. (211)

Note que os vórtices desta teoria são identificados através da corrente de vórtice J_v^µν = ^µνρσ∂_ρK_σ. Esta informação pode ser implementada com o uso da identidade

X

K

f(K) =^X

Jv

Z

Da_GFδ(J_v^µν−^µνρσ∂_ρa_σ)f(a). (212)

Ondef(k) é uma função arbitrária. Uma prova desta identidade é fornecida no apêndice C. O campo de calibrea tem o seu calibre fixado por∂_µa^µ= 0. Esta expressão substitui o vórtice k pelo campo de calibre a em todo lugar na ação, o que nos permite escrever

S =

Z

d⁴x

1

4F_µνF^µν−2ieη^µ

A_µ+ 1

2e∂_µθ+π ea_µ

+ieA_µj^µ

+ ib_µν(J_v^µν−^µνρσ∂_ρa_σ)) +S_η. (213)

Ondeb é um multiplicador de Lagrange implementado pela condição (212).

Agora temos o supercondutor parametrizado pela corrente de vórtice J_v, de tal forma que se tomarmos J_v = 0 o multiplicador de Lagrange b força ∂a = 0. Portanto a= 0, porém lembre-se que fixamos o calibre como∂a= 0, assim uma vez que integramos η obteremos um estado supercondutor sem a presença de vórtices. Entretanto se J_v condensa a soma nas configurações da corrente de vórtice na função de partição irá se tornar uma integração sobre o novo campo Jv, tornando-se assim um multiplicador de Lagrange forçando b = 0 e assim retornaremos a teoria de Maxwell acoplado com uma correntej^µ destruindo o estado supercondutor.

Retornando ao caso intermediário onde ainda existem vórtices no sistema porém estes ainda não estão condensados, podemos realizar a integral sobre η. Para tal basta que resolvamos a equação de movimento

δS

δη_µ = 2ie

A_µ+ 1

2e∂_µθ+ π ea_µ

+δS_η

δη_µ = 0. (214)

Onde iremos considerar

S_η =

Z

d⁴x 1

2M²η_µη^µ. (215)

Assim obtemos paraη

η_µ = 2iM²e

A_µ+ 1

2e∂_µθ+ π ea_µ

. (216)

Levando esta solução de volta na ação (213) obtemos

S =

Z

d⁴x 1

4F_µν(B)F^µν(B) + π²

4e²F_µν(a)F^µν(a)−2π

e B_ν∂_µF^µν(a) + 2eM²B²

+ ieB_µj^µ+ib_µν(J_v^µν−^µνρσ∂_ρa_σ)). (217) Onde definimosB_µ=A_µ+_2e¹∂_µθ+^π_ea_µ eF_µν(B) = F_µν(A) + ^π_eF_µν(a). Integrando sobre B nós obteremos somente ordens mais altas de derivadas em ∂F(a) para a ação efetiva.

Portanto, no regime de baixas energias podemos escrever

S_ef =

Z

d⁴x(−i^µνρσb_µν∂_ρa_σ−iπa_µj^µ+ib_µνJ_v^µν). (218) Podemos redefinira→ _π¹a eb → −b e obtemos

S_ef =i

Z

d⁴x

1

π^µνρσb_µν∂_ρa_σ −a_µj^µ−b_µνJ_v^µν

. (219)

A qual reconhecemos como sendo a teoriaBF definida por (210). Note então que podemos descrever um supercondutor no regime de baixas energias por uma teoria topológica que representa a interação entre quasi-partículas e vórtices. Juntando esta informação com a que fornecemos no início desta seção, onde foi discutido que o parâmetro de ordem de um supercondutor não é bem definindo, podemos concluir que um estado supercondutor é um estado topologicamente ordenado. Nas próximas seções mostraremos como tomar um supercondutor com mais de uma superfície de Fermi nos leva naturalmente a ação efetiva para um supercondutor topológico. Porém antes revisaremos alguns aspectos da ação obtida por Qi, Zhang e Witten em (QI; WITTEN; ZHANG, 2013).

No documento Campos multivalentes e estados topológicos da matéria (páginas 84-89)