multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
mas portanto:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
terça-feira, 21 de julho de 15
multiplicando os dois lados por ↵ ( µ ) ↵ )
S ↵ µ ,ab =
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 13
No gauge do ponto fixo: x µ A µ = 0, as derivadas ordin´ arias dessa equa¸c˜ ao podem ser sub- stitu´ıdas por derivadas covariantes.
x µ ∂ µ −→ x µ D µ
onde D µ = ∂ µ − ig s A µ . Assim, o campo dos quarks torna-se:
q a (x) = q a (0) + x µ D µ q a (x) | x=0 + 1
2 x µ x ν D µ D ν q a (x) | x=0 + · · · Inserindo esta expans˜ ao em (2.23), obtemos:
# 0 | : q a (x) ¯ q b (0) : | 0 $ = S ab + x µ S ab µ + 1
2 x µ x ν S ab µν + · · · (2.24)
onde
S ab = # 0 | : q a (0) ¯ q b (0) : | 0 $ ,
S ab µ = # 0 | : D µ q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $ ,
S ab µν = # 0 | : D µ D ν q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $
Logo, resolvendo cada termo da express˜ ao (2.24) obteremos um tipo de contribui¸c˜ ao n˜ ao-perturbativa.
(a) Condensado de Quarks: analisando o termo dominante da expans˜ ao (2.24), obtemos os condensados de quarks. Sua express˜ ao ´e dada por:
S ab = # 0 | : q a α (0) ¯ q b β (0) : | 0 $ = N δ ab δ αβ (2.25) onde explicitamos os ´ındices spinoriais αβ e N ´e um fator de normaliza¸c˜ ao. Para determi- nar este fator, multiplicamos ambos os lados desta express˜ ao por δ ab δ αβ e reordenando os campos dos quarks obtemos:
N = − 1
12 # 0 | : ¯ q (0)q (0) : | 0 $ ≡ − 1
12 # qq ¯ $ portanto,
S ab = − δ ab
12 # qq ¯ $ (2.26)
onde # qq ¯ $ ´e o condensado de quarks e, usualmente, seu valor num´erico ´e dado por [36]:
# qq ¯ $ = − (0.23 ± 0.03) 3 GeV (2.27) Podemos admitir corre¸c˜ oes na massa dos quarks que pertecem ao condensado. Para isto, basta considerar o segundo termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µ = # 0 | : D µ q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 $ = N δ ab (γ µ ) αβ (2.28)
o segundo termo da série é:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
mas portanto:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17
Obviamente, todas as express˜ oes n˜ ao-fatoriz´ aveis dever˜ ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .
2.2.4 Resumo das Contribui¸ c˜ oes da OPE
Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜ oes pertuba- tivas, n˜ ao-perturbativas e n˜ ao-fatoriz´ aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´ a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:
Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)
S ab q (x) = + + + + + +
+ + +
S ab q (x) = iδ ab
!"
x /
2 π 2 x 4 + im q
4 π 2 x 2
#
+
"
i
12 + m q x / 3 2 4
#
! qq ¯ " +
"
ix 2
3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7
#
! q g ¯ s σ G q "
$
+
− it n ab
! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2
$
% g s 2 G 2 &
+ it n ab
! iσ µν
3 2 6 + m q
3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /
$
! q g ¯ s σ Gq "
(2.43)
Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)
S c (p) = + +
terça-feira, 21 de julho de 15
multiplicando os dois lados por ↵ ( µ ) ↵ )
S ↵ µ ,ab =
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 13
No gauge do ponto fixo: x µ A µ = 0, as derivadas ordin´ arias dessa equa¸c˜ ao podem ser sub- stitu´ıdas por derivadas covariantes.
x µ ∂ µ −→ x µ D µ
onde D µ = ∂ µ − ig s A µ . Assim, o campo dos quarks torna-se:
q a (x) = q a (0) + x µ D µ q a (x) | x=0 + 1
2 x µ x ν D µ D ν q a (x) | x=0 + · · · Inserindo esta expans˜ ao em (2.23), obtemos:
# 0 | : q a (x) ¯ q b (0) : | 0 $ = S ab + x µ S ab µ + 1
2 x µ x ν S ab µν + · · · (2.24)
onde
S ab = # 0 | : q a (0) ¯ q b (0) : | 0 $ ,
S ab µ = # 0 | : D µ q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $ ,
S ab µν = # 0 | : D µ D ν q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $
Logo, resolvendo cada termo da express˜ ao (2.24) obteremos um tipo de contribui¸c˜ ao n˜ ao-perturbativa.
(a) Condensado de Quarks: analisando o termo dominante da expans˜ ao (2.24), obtemos os condensados de quarks. Sua express˜ ao ´e dada por:
S ab = # 0 | : q a α (0) ¯ q b β (0) : | 0 $ = N δ ab δ αβ (2.25) onde explicitamos os ´ındices spinoriais αβ e N ´e um fator de normaliza¸c˜ ao. Para determi- nar este fator, multiplicamos ambos os lados desta express˜ ao por δ ab δ αβ e reordenando os campos dos quarks obtemos:
N = − 1
12 # 0 | : ¯ q (0)q (0) : | 0 $ ≡ − 1
12 # qq ¯ $ portanto,
S ab = − δ ab
12 # qq ¯ $ (2.26)
onde # qq ¯ $ ´e o condensado de quarks e, usualmente, seu valor num´erico ´e dado por [36]:
# qq ¯ $ = − (0.23 ± 0.03) 3 GeV (2.27) Podemos admitir corre¸c˜ oes na massa dos quarks que pertecem ao condensado. Para isto, basta considerar o segundo termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µ = # 0 | : D µ q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 $ = N δ ab (γ µ ) αβ (2.28)
o segundo termo da série é:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
mas portanto:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17
Obviamente, todas as express˜ oes n˜ ao-fatoriz´ aveis dever˜ ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .
2.2.4 Resumo das Contribui¸ c˜ oes da OPE
Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜ oes pertuba- tivas, n˜ ao-perturbativas e n˜ ao-fatoriz´ aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´ a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:
Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)
S ab q (x) = + + + + + +
+ + +
S ab q (x) = iδ ab
!"
x /
2 π 2 x 4 + im q
4 π 2 x 2
#
+
"
i
12 + m q x / 3 2 4
#
! qq ¯ " +
"
ix 2
3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7
#
! q g ¯ s σ G q "
$
+
− it n ab
! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2
$
% g s 2 G 2 &
+ it n ab
! iσ µν
3 2 6 + m q
3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /
$
! q g ¯ s σ Gq "
(2.43)
Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)
S ab c (p) = + +
Condensado misto
S ↵ µ⌫ ,ab =
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da o terceiro termo da série é:
terça-feira, 21 de julho de 15
multiplicando os dois lados por ↵ ( µ ) ↵ )
S ↵ µ ,ab =
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 13
No gauge do ponto fixo: x µ A µ = 0, as derivadas ordin´ arias dessa equa¸c˜ ao podem ser sub- stitu´ıdas por derivadas covariantes.
x µ ∂ µ −→ x µ D µ
onde D µ = ∂ µ − ig s A µ . Assim, o campo dos quarks torna-se:
q a (x) = q a (0) + x µ D µ q a (x) | x=0 + 1
2 x µ x ν D µ D ν q a (x) | x=0 + · · · Inserindo esta expans˜ ao em (2.23), obtemos:
# 0 | : q a (x) ¯ q b (0) : | 0 $ = S ab + x µ S ab µ + 1
2 x µ x ν S ab µν + · · · (2.24)
onde
S ab = # 0 | : q a (0) ¯ q b (0) : | 0 $ ,
S ab µ = # 0 | : D µ q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $ ,
S ab µν = # 0 | : D µ D ν q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $
Logo, resolvendo cada termo da express˜ ao (2.24) obteremos um tipo de contribui¸c˜ ao n˜ ao-perturbativa.
(a) Condensado de Quarks: analisando o termo dominante da expans˜ ao (2.24), obtemos os condensados de quarks. Sua express˜ ao ´e dada por:
S ab = # 0 | : q a α (0) ¯ q b β (0) : | 0 $ = N δ ab δ αβ (2.25) onde explicitamos os ´ındices spinoriais αβ e N ´e um fator de normaliza¸c˜ ao. Para determi- nar este fator, multiplicamos ambos os lados desta express˜ ao por δ ab δ αβ e reordenando os campos dos quarks obtemos:
N = − 1
12 # 0 | : ¯ q (0)q (0) : | 0 $ ≡ − 1
12 # qq ¯ $ portanto,
S ab = − δ ab
12 # qq ¯ $ (2.26)
onde # qq ¯ $ ´e o condensado de quarks e, usualmente, seu valor num´erico ´e dado por [36]:
# qq ¯ $ = − (0.23 ± 0.03) 3 GeV (2.27) Podemos admitir corre¸c˜ oes na massa dos quarks que pertecem ao condensado. Para isto, basta considerar o segundo termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µ = # 0 | : D µ q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 $ = N δ ab (γ µ ) αβ (2.28)
o segundo termo da série é:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
mas portanto:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17
Obviamente, todas as express˜ oes n˜ ao-fatoriz´ aveis dever˜ ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .
2.2.4 Resumo das Contribui¸ c˜ oes da OPE
Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜ oes pertuba- tivas, n˜ ao-perturbativas e n˜ ao-fatoriz´ aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´ a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:
Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)
S ab q (x) = + + + + + +
+ + +
S ab q (x) = iδ ab
!"
x /
2 π 2 x 4 + im q
4 π 2 x 2
#
+
"
i
12 + m q x / 3 2 4
#
! qq ¯ " +
"
ix 2
3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7
#
! q g ¯ s σ G q "
$
+
− it n ab
! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2
$
% g s 2 G 2 &
+ it n ab
! iσ µν
3 2 6 + m q
3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /
$
! q g ¯ s σ Gq "
(2.43)
Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)
S ab c (p) = + +
Condensado misto
S ↵ µ⌫ ,ab =
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da o terceiro termo da série é:
que, analogamente, fornece o condensado misto:
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14
multiplicando ambos os lados por δ ab (γ µ ) βα , obtemos:
N = − 1 48
! q / ¯ Dq "
e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:
N = i m q
48 " qq ¯ # Portanto,
S ab µ = i δ ab m q
48 " qq ¯ # γ µ (2.29)
e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.
(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):
S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:
N = − 1 48
! qD ¯ 2 q "
Para calcular a express˜ ao D 2 q, podemos ver que da defini¸c˜ ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever
[D µ , D ν ] = − ig s G µν
onde G µν = G µν n t n . Ap´ os algumas manipula¸c˜ oes alg´ebricas, ´e f´ acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #
D / / D − D 2 $
q = − ig s σ Gq
mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo
D 2 q = 1
2 (g s σ Gq ) (2.31)
Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)
E, portanto, obtemos:
S ab µν = − δ ab g µν
96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)
Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da
CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17
Obviamente, todas as express˜oes n˜ao-fatoriz´aveis dever˜ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .
2.2.4 Resumo das Contribui¸c˜ oes da OPE
Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜oes pertuba- tivas, n˜ao-perturbativas e n˜ao-fatoriz´aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:
Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)
S ab q (x) = + + + + + +
+ + +
S ab q (x) = iδ ab
!"
x /
2 π 2 x 4 + im q
4 π 2 x 2
#
+
"
i
12 + m q x / 3 2 4
#
! qq ¯ " +
"
ix 2
3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7
#
! q g ¯ s σ G q "
$
+
− it n ab
! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2
$
% g s 2 G 2 &
+ it n ab
! iσ µν
3 2 6 + m q
3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /
$
! q g ¯ s σ Gq "
(2.43)
Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)
S c (p) = + +
terça-feira, 21 de julho de 15
No documento
Marina Nielsen - MESONPI
(páginas 31-35)