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CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

No documento Marina Nielsen - MESONPI (páginas 31-35)

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

mas portanto:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

terça-feira, 21 de julho de 15

multiplicando os dois lados por ( µ ) )

S µ ,ab =

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 13

No gauge do ponto fixo: x µ A µ = 0, as derivadas ordin´ arias dessa equa¸c˜ ao podem ser sub- stitu´ıdas por derivadas covariantes.

x µµ −→ x µ D µ

onde D µ = ∂ µ − ig s A µ . Assim, o campo dos quarks torna-se:

q a (x) = q a (0) + x µ D µ q a (x) | x=0 + 1

2 x µ x ν D µ D ν q a (x) | x=0 + · · · Inserindo esta expans˜ ao em (2.23), obtemos:

# 0 | : q a (x) ¯ q b (0) : | 0 $ = S ab + x µ S ab µ + 1

2 x µ x ν S ab µν + · · · (2.24)

onde

S ab = # 0 | : q a (0) ¯ q b (0) : | 0 $ ,

S ab µ = # 0 | : D µ q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $ ,

S ab µν = # 0 | : D µ D ν q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $

Logo, resolvendo cada termo da express˜ ao (2.24) obteremos um tipo de contribui¸c˜ ao n˜ ao-perturbativa.

(a) Condensado de Quarks: analisando o termo dominante da expans˜ ao (2.24), obtemos os condensados de quarks. Sua express˜ ao ´e dada por:

S ab = # 0 | : q a α (0) ¯ q b β (0) : | 0 $ = N δ ab δ αβ (2.25) onde explicitamos os ´ındices spinoriais αβ e N ´e um fator de normaliza¸c˜ ao. Para determi- nar este fator, multiplicamos ambos os lados desta express˜ ao por δ ab δ αβ e reordenando os campos dos quarks obtemos:

N = − 1

12 # 0 | : ¯ q (0)q (0) : | 0 $ ≡ − 1

12 # qq ¯ $ portanto,

S ab = − δ ab

12 # qq ¯ $ (2.26)

onde # qq ¯ $ ´e o condensado de quarks e, usualmente, seu valor num´erico ´e dado por [36]:

# qq ¯ $ = − (0.23 ± 0.03) 3 GeV (2.27) Podemos admitir corre¸c˜ oes na massa dos quarks que pertecem ao condensado. Para isto, basta considerar o segundo termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µ = # 0 | : D µ q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 $ = N δ abµ ) αβ (2.28)

o segundo termo da série é:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

mas portanto:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17

Obviamente, todas as express˜ oes n˜ ao-fatoriz´ aveis dever˜ ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .

2.2.4 Resumo das Contribui¸ c˜ oes da OPE

Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜ oes pertuba- tivas, n˜ ao-perturbativas e n˜ ao-fatoriz´ aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´ a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:

Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)

S ab q (x) = + + + + + +

+ + +

S ab q (x) = iδ ab

!"

x /

2 π 2 x 4 + im q

4 π 2 x 2

#

+

"

i

12 + m q x / 3 2 4

#

! qq ¯ " +

"

ix 2

3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7

#

! q g ¯ s σ G q "

$

+

− it n ab

! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2

$

% g s 2 G 2 &

+ it n ab

! iσ µν

3 2 6 + m q

3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /

$

! q g ¯ s σ Gq "

(2.43)

Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)

S c (p) = + +

terça-feira, 21 de julho de 15

multiplicando os dois lados por ( µ ) )

S µ ,ab =

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 13

No gauge do ponto fixo: x µ A µ = 0, as derivadas ordin´ arias dessa equa¸c˜ ao podem ser sub- stitu´ıdas por derivadas covariantes.

x µµ −→ x µ D µ

onde D µ = ∂ µ − ig s A µ . Assim, o campo dos quarks torna-se:

q a (x) = q a (0) + x µ D µ q a (x) | x=0 + 1

2 x µ x ν D µ D ν q a (x) | x=0 + · · · Inserindo esta expans˜ ao em (2.23), obtemos:

# 0 | : q a (x) ¯ q b (0) : | 0 $ = S ab + x µ S ab µ + 1

2 x µ x ν S ab µν + · · · (2.24)

onde

S ab = # 0 | : q a (0) ¯ q b (0) : | 0 $ ,

S ab µ = # 0 | : D µ q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $ ,

S ab µν = # 0 | : D µ D ν q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $

Logo, resolvendo cada termo da express˜ ao (2.24) obteremos um tipo de contribui¸c˜ ao n˜ ao-perturbativa.

(a) Condensado de Quarks: analisando o termo dominante da expans˜ ao (2.24), obtemos os condensados de quarks. Sua express˜ ao ´e dada por:

S ab = # 0 | : q a α (0) ¯ q b β (0) : | 0 $ = N δ ab δ αβ (2.25) onde explicitamos os ´ındices spinoriais αβ e N ´e um fator de normaliza¸c˜ ao. Para determi- nar este fator, multiplicamos ambos os lados desta express˜ ao por δ ab δ αβ e reordenando os campos dos quarks obtemos:

N = − 1

12 # 0 | : ¯ q (0)q (0) : | 0 $ ≡ − 1

12 # qq ¯ $ portanto,

S ab = − δ ab

12 # qq ¯ $ (2.26)

onde # qq ¯ $ ´e o condensado de quarks e, usualmente, seu valor num´erico ´e dado por [36]:

# qq ¯ $ = − (0.23 ± 0.03) 3 GeV (2.27) Podemos admitir corre¸c˜ oes na massa dos quarks que pertecem ao condensado. Para isto, basta considerar o segundo termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µ = # 0 | : D µ q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 $ = N δ abµ ) αβ (2.28)

o segundo termo da série é:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

mas portanto:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17

Obviamente, todas as express˜ oes n˜ ao-fatoriz´ aveis dever˜ ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .

2.2.4 Resumo das Contribui¸ c˜ oes da OPE

Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜ oes pertuba- tivas, n˜ ao-perturbativas e n˜ ao-fatoriz´ aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´ a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:

Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)

S ab q (x) = + + + + + +

+ + +

S ab q (x) = iδ ab

!"

x /

2 π 2 x 4 + im q

4 π 2 x 2

#

+

"

i

12 + m q x / 3 2 4

#

! qq ¯ " +

"

ix 2

3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7

#

! q g ¯ s σ G q "

$

+

− it n ab

! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2

$

% g s 2 G 2 &

+ it n ab

! iσ µν

3 2 6 + m q

3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /

$

! q g ¯ s σ Gq "

(2.43)

Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)

S ab c (p) = + +

Condensado misto

S µ⌫ ,ab =

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da o terceiro termo da série é:

terça-feira, 21 de julho de 15

multiplicando os dois lados por ( µ ) )

S µ ,ab =

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 13

No gauge do ponto fixo: x µ A µ = 0, as derivadas ordin´ arias dessa equa¸c˜ ao podem ser sub- stitu´ıdas por derivadas covariantes.

x µµ −→ x µ D µ

onde D µ = ∂ µ − ig s A µ . Assim, o campo dos quarks torna-se:

q a (x) = q a (0) + x µ D µ q a (x) | x=0 + 1

2 x µ x ν D µ D ν q a (x) | x=0 + · · · Inserindo esta expans˜ ao em (2.23), obtemos:

# 0 | : q a (x) ¯ q b (0) : | 0 $ = S ab + x µ S ab µ + 1

2 x µ x ν S ab µν + · · · (2.24)

onde

S ab = # 0 | : q a (0) ¯ q b (0) : | 0 $ ,

S ab µ = # 0 | : D µ q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $ ,

S ab µν = # 0 | : D µ D ν q a (x) | x=0 q ¯ b (0) : | 0 $

Logo, resolvendo cada termo da express˜ ao (2.24) obteremos um tipo de contribui¸c˜ ao n˜ ao-perturbativa.

(a) Condensado de Quarks: analisando o termo dominante da expans˜ ao (2.24), obtemos os condensados de quarks. Sua express˜ ao ´e dada por:

S ab = # 0 | : q a α (0) ¯ q b β (0) : | 0 $ = N δ ab δ αβ (2.25) onde explicitamos os ´ındices spinoriais αβ e N ´e um fator de normaliza¸c˜ ao. Para determi- nar este fator, multiplicamos ambos os lados desta express˜ ao por δ ab δ αβ e reordenando os campos dos quarks obtemos:

N = − 1

12 # 0 | : ¯ q (0)q (0) : | 0 $ ≡ − 1

12 # qq ¯ $ portanto,

S ab = − δ ab

12 # qq ¯ $ (2.26)

onde # qq ¯ $ ´e o condensado de quarks e, usualmente, seu valor num´erico ´e dado por [36]:

# qq ¯ $ = − (0.23 ± 0.03) 3 GeV (2.27) Podemos admitir corre¸c˜ oes na massa dos quarks que pertecem ao condensado. Para isto, basta considerar o segundo termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µ = # 0 | : D µ q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 $ = N δ abµ ) αβ (2.28)

o segundo termo da série é:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

mas portanto:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves ( u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17

Obviamente, todas as express˜ oes n˜ ao-fatoriz´ aveis dever˜ ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .

2.2.4 Resumo das Contribui¸ c˜ oes da OPE

Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜ oes pertuba- tivas, n˜ ao-perturbativas e n˜ ao-fatoriz´ aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´ a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:

Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)

S ab q (x) = + + + + + +

+ + +

S ab q (x) = iδ ab

!"

x /

2 π 2 x 4 + im q

4 π 2 x 2

#

+

"

i

12 + m q x / 3 2 4

#

! qq ¯ " +

"

ix 2

3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7

#

! q g ¯ s σ G q "

$

+

− it n ab

! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2

$

% g s 2 G 2 &

+ it n ab

! iσ µν

3 2 6 + m q

3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /

$

! q g ¯ s σ Gq "

(2.43)

Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)

S ab c (p) = + +

Condensado misto

S µ⌫ ,ab =

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ao D 2 q , podemos ver que da defini¸c˜ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, ´e f´acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ao deste termo, visto que n˜ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ao ser´a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da o terceiro termo da série é:

que, analogamente, fornece o condensado misto:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 14

multiplicando ambos os lados por δ abµ ) βα , obtemos:

N = − 1 48

! q / ¯ Dq "

e usando a equa¸c˜ ao de Dirac Dq / a α = − im q q a α , temos:

N = i m q

48 " qq ¯ # Portanto,

S ab µ = i δ ab m q

48 " qq ¯ # γ µ (2.29)

e este termo n˜ ao contribui no caso limite em que m q → 0.

(b) Condensado Misto: ´e importante ressaltar que esta contribui¸c˜ ao vem, essencialmente, dos condensados mistos formados por quarks leves (u, d, s). Considerando agora o terceiro termo da expans˜ ao (2.24):

S ab µν = " 0 | : D µ D ν q a α (x) | x=0 q ¯ b β (0) : | 0 # = N δ ab δ αβ g µν (2.30) multiplicando ambos os lados por δ ab δ αβ g µν , obtemos:

N = − 1 48

! qD ¯ 2 q "

Para calcular a express˜ ao D 2 q, podemos ver que da defini¸c˜ ao D µ = ∂ µ − ig s A µ n t n , podemos escrever

[D µ , D ν ] = − ig s G µν

onde G µν = G µν n t n . Ap´ os algumas manipula¸c˜ oes alg´ebricas, ´e f´ acil demonstrar que σ µν [D µ , D ν ] q = 2i #

D / / D − D 2 $

q = − ig s σ Gq

mas D / / Dq = − m 2 q q , ent˜ ao no caso de propagadores de quarks leves podemos desprezar a contribui¸c˜ ao deste termo, visto que n˜ ao contribui em 1 a ordem em m q . Logo

D 2 q = 1

2 (g s σ Gq ) (2.31)

Assim, o fator de normaliza¸c˜ ao ser´ a dado por N = − 1

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.32)

E, portanto, obtemos:

S ab µν = − δ ab g µν

96 " qg ¯ s σ Gq # (2.33)

Geralmente, o condensado misto ´e expresso em termos do condensado de quarks atrav´es da

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 17

Obviamente, todas as express˜oes n˜ao-fatoriz´aveis dever˜ao sempre estar associadas com a emiss˜ ao de um gl´ uon por um quark externo q ! .

2.2.4 Resumo das Contribui¸c˜ oes da OPE

Por fim, podemos expressar o propagador total (2.12) que cont´em as contribui¸c˜oes pertuba- tivas, n˜ao-perturbativas e n˜ao-fatoriz´aveis, considerando os condensados at´e dimens˜ao 5. Uma forma bastante ´ util de represent´a-lo ´e por meio de diagramas. Abaixo, segue as express˜ oes do propagador total para os quarks leves e pesados:

Quarks Leves: (espa¸co das coordenadas)

S ab q (x) = + + + + + +

+ + +

S ab q (x) = iδ ab

!"

x /

2 π 2 x 4 + im q

4 π 2 x 2

#

+

"

i

12 + m q x / 3 2 4

#

! qq ¯ " +

"

ix 2

3 2 6 + m q x 2 x / 3 2 2 7

#

! q g ¯ s σ G q "

$

+

− it n ab

! ( xσ / µν + σ µν x) / 3 2 9 π 2 x 2

$

% g s 2 G 2 &

+ it n ab

! iσ µν

3 2 6 + m q

3 2 8 ( xσ / µν + σ µν x) /

$

! q g ¯ s σ Gq "

(2.43)

Quarks Pesados: (espa¸co dos momentos)

S c (p) = + +

terça-feira, 21 de julho de 15

No documento Marina Nielsen - MESONPI (páginas 31-35)

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