Definições

Uma série temporal caracteriza-se por um conjunto de valores observados para uma determinada variável ao longo do tempo. Quando as observações são obtidas continuamente, isto é a todo instante ao longo do tempo, diz-se que a série temporal é contínua, cuja representação é X_t. Uma série temporal é dita discreta quando as observações são tomadas em instantes discretos de tempo.

Definição B.1: Uma série temporal {x_t} é a realização ou trajetória de uma família de variáveis aleatórias {X_t}.

Assim, uma série x₁,x₂,K,x_k com k observações sucessivas constitui uma amostra da realização de uma população infinita da série temporal que pode ter sido gerada por um processo estocástico.

Em particular, para uma classe de processos de interesse, os denominados processos estacionários de segunda ordem, consideraremos somente os momentos amostrais de primeira e segunda ordem.

A função média, ou simplesmente média de X é:

[ ]

⁼

∫

₋^+∞_∞

( )

=E X t x f x t dx

t ( ) ;

µ

enquanto a função de autocovariância (facv) de X é:

( )( )

[

t t s s

]

s

t X E X X

X s

t µ µ

γ(, )=cov( ; )= − −

Há duas formas de estacionaridade: fraca ou de segunda ordem e estrita ou forte.

Definição B.2: Uma série temporal {x_t} é dita ser estritamente estacionária se todas as distribuições finito-dimensionais permanecem invariante sob translações no tempo, ou seja,

[

X t x X t x X tn xn

]

P

[

X t h x X t h x X tn h xn

]

P (₁)≤ ₁; ( ₂)≤ ₂;L, ( )≤ = (₁+ )≤ ₁; ( ₂+ )≤ ₂;L, ( + )≤ para quaisquer t₁,t₂,K,t_n,h de T.

Isto significa que todas as distribuições unidimensionais são invariantes sob translações do tempo, logo a média µ(t) e a variância V(t) são constantes, ou seja,

) ( , )

(t =µ V t =σ² ∀t∈T

µ (B.1) De forma análoga, todas as distribuições bidimensionais dependem de

1

2 t

t − . De fato como γ(t₁,t₂)=γ(t₁+t,t₂ +t), fazendo t=−t₂ vem que )

( ) 0 , ( ) ,

(t₁ t₂ γ t₁ t₂ γ k

γ = − =

para k=t₁−t₂. Logo, γ(t₁,t₂) é uma função de um só argumento, no caso do processo ser estritamente estacionário. Fazendo t=−t₁ verifica-se que γ(t₁,t₂) é função de t₁−t₂ . Então, os momentos de ordem dependem apenas das diferenças t_j−t₁ e constituem funções com n−1 argumentos. Assim, restringindo aos momentos de primeira e segundas ordens têm-se:

Definição B.3: Uma série temporal {x_t} diz-se fracamente estacionária ou estacionária de segunda ordem se e somente se :

(i) E

[ ]

Xt ^=µt ^=µ, constante,∀t∈T (ii) E

[ ]

Xt^{2 ≤∞,}∀t∈T;

(iii) γ(t₁,t₂)=cov(X_t1;X_t2) é uma função de t₁−t₂

Logo, um processo fracamente estacionário apresenta média e variância constantes ao longo do tempo e a covariância entre dois pontos dependente unicamente da distância entre eles.

Definição B.4: Um processo estocástico {X(t),t∈T} é dito ser Gaussiano se, para qualquer conjunto t₁,t₂,K,t_n de T, as variáveis aleatórias X(t₁),K,X(t_n) têm distribuição normal n-variada.

B.2 Alguns operadores úteis

Nesse estudo será empregado extensivamente o operador de defasagem B definido por

,K 2 , 1 , 0

=

∀

= X ₋ m X

B^m _{t t m}

O operador B pode ser utilizado na forma polinomial, de maneira que

t n t k t

t

t d x d x d x k

x + _{1 −1}+ _{2 −2}+K+ ₋ = possa ser escrito como

( )

t t

n

nB x k

d B

d B

d ++ + + =

+ _{1 2} ² K

1 ou d(B)x_t =k_t

onde

n nB d B

d B d B

d( )=1+ ₁ ++ ₂ ² +K+

A operação inversa é realizada pelo operador de avanço F definido como ,K

2 , 1 , 0

=

∀

= X ₊ m X

F^m _{t t m}

Outro importante operador é o operador diferença ∇ definido por

1

− −

=

∇X_t X_t X_t

Observe que o operador ∇ pode ser expresso em termos de B como segue: ∇X_t = X_t−BX_t =(1−B)X_t ou seja ∇=1−B.

Generalizando, tem-se o operador diferença de ordem d definido como

( )

^d

d = −B

∇ 1 . A primeira diferença, d=1, é um exemplo de filtro linear utilizado para eliminar a tendência na série temporal. A técnica de diferenciação constitui um importante elemento na construção do modelo autoregressivo integrado de média móvel - ARIMA.

Também, podemos definir o operador soma S=∇⁻¹de forma que:

∑

^∞

=

= − o j

j t

t X

SX

K K+ + +

+ +

= _{t t− t− t−k}

t X X X X

SX _{2 3}

( )

t

k

t B B B B X

SX = 1+ + ²+ ³+K+ +K

(

B

)

X X

SX = 1− ⁻¹ =∇⁻¹

B.3 Função de Autocorrelação - FAC

Define-se a função de autocovariância de uma série temporal estacionária )}

(

{X t como

( )( )

[

^{µ µ}

]

γ(k)=cov(X_t;X_t−k)=E X_t − X_t−k − (B.2)

A função de autocorrelação (FAC) de uma série temporal estacionária )}

(

{X t é definida como

) ( ).

(

) , ( )

0 (

) ) (

(

t t

k t t

X V X V

X X Cov

k = k = ⁻

γ

ρ γ (B.3) A função de autocorrelação fornece uma medida de dependência linear entre os valores de uma série temporal em diferentes períodos. As autocorrelações medem ainda o tamanho e a força da “memória” do processo. O gráfico da autocorrelação amostral versus a defasagem (k) é denominado de correlograma. Este gráfico é utilizado como indicador de não-estacionaridade da série temporal. Observe que as linhas tracejadas na Figura 4.1 representam limites de significância estatística, acima dos quais as autocorrelações são consideradas significativamente diferentes de zero.

De fa s a g e m

Autocorrelação

4 5 4 0 3 5 3 0 2 5 2 0 1 5

1 0 5

1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 - 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 - 1,0

F unç ã o d e A uto c o r r e l a ç ã o

Figura B.1 – Correlograma para uma série com sazonalidade

B.4 Função de Autocorrelação Parcial - FACP

A função de autocorrelação parcial é utilizada como uma ferramenta para estimar a ordem de um modelo autoregressivo AR(p). Define-se a função de autocorrelação parcial como a seqüência de correlações entre (X_t eX_t−1),

) e

(X_t X_t−2 , (X_t eX_t−3) e assim por diante, desde que os efeitos de defasagens anteriores sobre X_t permanecem constantes. A FACP é calculada como o valor do coeficiente φ_kk na equação

t k t kk t

k t k t k

t X X X X e

X =φ _{1 −1}+φ _{2 −2}+φ _{3 −3}+K+φ ₋ + (B.4)

O coeficiente φ_kk é obtido pelas equações de Yuler-Walker k

k j

j kk j

k j k

j =φ ₁ρ ₋₁+φ ₂ρ ₋₂+K+φ ρ ₋ , =1,2,K

ρ (B.5)

Na forma matricial temos

















=

































−

−

−

−

k kk

k k

k k

k k

ρ ρ ρ

φ φ φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

M M

K M K M M

K K

2 1 2

1

2 1

2 1

1 1

1 1

1

(B.6)

Resolvendo estas equações sucessivamente para k =1,2,3Kobtemos

1

11 ρ

φ =

2 1

2 1 2

1 1 2 1

1

22 1

1 1 1

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

φ −

= −

=

































=

1 1 1

1 1

1 2

2 1

2 1

3 2 1

2 1

1 1

33

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ

em geral,

[ ]

[ ]

k k

kk P

P^* φ =

onde P_ké a matriz de autocorrelações e P_k^* é a matriz P_k com a última coluna substituída pelo vetor de autocorrelações.

Assim, conclui-se a apresentação dos conceitos básicos. A seguir, apresenta-se o modelo ARIMA multiplicativo sazonal ou simplesmente SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S.

B.5 Modelo SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s

Suponha uma série temporal sazonal não estacionária {X_t} observada s períodos por ano, de maneira que s=4 para séries trimestrais e s=12 para séries mensais. Uma forma de remover a sazonalidade da série e transformá-la em uma série estacionária {Z_t}, para que um modelo ARIMA possa ser empregado, consiste em efetuar uma diferença sazonal conforme a equação abaixo:

t t s s

t

t X B X Z

X − ₋ =(1− ) =

Porém, em muitos casos é necessário adicionar ao modelo uma modelagem de Z_t determinada por seu padrão sazonal,

α

t, como expressa a seguinte equação

t s t

D s

s B X B

B )(1 ) ( )α

( − =Θ

Φ (B.7) onde Φ(B^s)=1−Φ₁B^s −Φ₂B^2s −K−Φ_PB^Ps representa o polinômio sazonal autoregressivo de ordem P e Θ(B^s)=1−Θ₁B^s −Θ₂B^2s −K−Θ_QB^Qs representa o polinômio sazonal de médias móveis de ordem Q.

Observa-se, pela equação (B.7), que o padrão sazonal é aleatório entre os ciclos “s”. Se a sazonalidade da série {

α

t} não tiver sido completamente filtrada, um modelo ARIMA(p,d,q) regular pode representar at. através da seguinte equação:

t t

d B a

B

B)(1 ) ( )

( α θ

φ − = (B.8)

onde φ(B)=1−φ₁B−φ₂B² −K−φ_pB^p representa o polinômio autoregressivo não sazonal de ordem p, θ(B)=1−θ₁B−θ₂B² −K−θ_qB^q representa o polinômio de médias móveis não sazonal de ordem q e {a_t} constitui o ruído branco com média zero e variância finita σ_a². Combinando os dois modelos chega-se à classe de modelos sazonais multiplicativos ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s ou SARIMA

t s

t

s BW B B a

B ) ( ) ( ) ( )

( φ =Θ θ

Φ (B.9) onde W_t =(1−B)^d(1−B^s)^DX_t representa uma série estacionária obtida após a aplicação dos operadores diferença regular ∇^d e diferença sazonal ∇^Ds .

Nessa classe de modelos permite-se tanto a diferenciação regular representa por “d ” quanto à diferenciação sazonal expressa por “D”. Nota-se que a série diferenciada pode ser representada usando tanto componentes auto- regressivos e de médias móveis regulares quanto sazonais. Em geral, o valor para D é raramente maior que um e os valores de P e Q não ultrapassam 2 (Brockwell e Davis, 2002).

O objetivo da metodologia de séries temporais é encontrar um modelo estocástico linear da classe ARIMA que possa ter gerado {X_t} e possa ser utilizado para fornecer previsões de valores futuros do fenômeno em estudo. Caso a série temporal {X_t} apresente sazonalidade, esta poderá ser representada por um modelo da classe SARIMA (p,d,q)(P,D,Q) conforme a equação (B.9).

A estratégia de modelagem, tanto para modelos sazonais quanto para não sazonais é baseada em um ciclo de três etapas iterativas:

a) determinação da estrutura do modelo SARIMA(p,d,q)(P,Q,D)s b) estimação dos parâmetros do modelo;

c) validação do modelo identificado.

A etapa de identificação consiste em selecionar valores para p,d, q e P, D, Q. Essa etapa envolve subjetividade e julgamento pessoal. Na etapa de estimação, os coeficientes identificados anteriormente são estimados usando

técnicas estatísticas. A última etapa indica se o modelo identificado e estimado descreve adequadamente o comportamento dos dados da série {X_t}. Caso o modelo não seja adequado, o ciclo deve começar novamente. (Box, Jenkins e Reinsel, (1994)).

A verificação da adequabilidade do modelo SARIMA é efetuada analisando as autocorrelações amostrais dos erros (a_t) as quais devem seguir assintoticamente uma distribuição normal com média zero e variância

N 1

gerando um ruído branco. Como os erros verdadeiros (a_t) não são conhecidos, a inferência baseia-se nas estimativas dos erros, os resíduos at. Desta forma, se o modelo estiver corretamente especificado, os resíduos não devem apresentar correlação serial, pois toda a dinâmica dos dados já foi capturada pelo modelo proposto.

A autocorrelação dos resíduos de ordem j é calculada como

∑

∑

= +

=

−

= _T

t t T

j t

j t t j

a a a r

1 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ)

(ε (B.10)

então, os valores das autocorrelações residuais devem estar contidos no intervalo de confiança assintótico de 95% descrito por 



 



−

T T

, 2

2 , onde T indica o número de observações da série.

Em adição ao exame das autocorrelações individuais dos resíduos, um teste conjunto das primeiras m autocorrelações pode ser utilizado – o teste Ljung – Box descrito pela equação (B.11)

Q^*=

∑

= −

+

m

j

j j

j T T r

T

1

2(ˆ ) ) ˆ

2

( ε

.. (B.11)

com valores tabulados da distribuição do χ_m²_−p−qcom (m-p-q) graus de liberdade e com a rejeição da hipótese nula (de que o modelo é adequado) para valores de Q^*

maiores que o valor critico assintótico. Na prática o valor de m deve ser pelo menos igual T (Box, Jenkins e Reinsel (1994)).

Para medir a exatidão das previsões, a maioria dos métodos empregam o resíduo e_t = X_t −Xˆ_t em seus cálculos. Os três métodos mais conhecidos são o erro quadrático médio (EQM), o desvio absoluto médio (MAD) e o erro percentual absoluto médio (MAPE) descrito pelas equações:

n e EQM

n

t

∑

t

= =¹ 2

(B.12)

n e MAD

n

t

∑

t

= =¹ (B.13)

n X e MAPE

n

t t

∑

t

= =¹ (B.14) onde n corresponde ao número de valores preditos para a série {X_t}. Destaca-se que no meio acadêmico não existe consenso a respeito do melhor método a utilizar. Se o analista desejar obter um modelo de variância mínima recomenda-se o EQM. Se for possível desprezar alguns erros elevados, o MAD pode ser a melhor opção. O MAPE é indicado quando se deseja comparar a precisão de duas séries temporais distintas (Brockwell e Davis, (2002))

Embora, a metodologia de Box-Jenkins possua a vantagem de produzir previsões precisas para o curto prazo, ela exige um número mínimo de 50 observações e preferencialmente 100 observações para obter previsões confiáveis para o modelo SARIMA. Em situações práticas, o ambiente é incerto e muda rapidamente, além disso, o analista é solicitado a predizer situações usando uma pequena quantidade de informações sobre o fenômeno.

Uma forma de atacar esta limitação consiste em utilizar o modelo de regressão linear fuzzy proposto por Tanaka e Ishibuchi (1992). Este modelo

No documento MODELO DE PREVISÃO FUZZY: UMA ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA SISTEMAS ELÉTRICOS ISOLADOS NA AMAZÔNIA. (páginas 170-179)