2. Fluxo de Potência em Sistema de Distribuição Elétrica
2.4. Estatística e Probabilidade
Neste trabalho será tratado o fluxo de carga de forma probalística, para o qual é necessário conhecer alguns conceitos de estatística e probabilidade os quais serão apresentados a seguir.
33
2.4.1. Variável Aleatória
Seja E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(s), é denominada variável aleatória.
Se emprega o termo variável aleatória para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento. Podendo ser discretas, ou contínuas (CORREA, 2003).
2.4.2. Média, Desvio padrão e Variância de uma variável aleatória
O valor médio pode ser definido como o valor típico ou o que mais representa uma população. Uma das limitações do valor médio é que pode ser afetado por valores extremos, valores muito altos tendem a aumentá-lo. Ao contrário, valores muito pequenos tendem a abaixá-lo, isto implica que pode deixar de ser um valor representativo da população.
A média e variância são similares tanto para variáveis aleatórias contínuas quanto discretas. Segundo (MONTGOMERY & RUNGER, 2003), supondo que X seja uma variável aleatória contínua com uma função densidade de probabilidade f(x). A média ou o valor esperado de X, denotado por m ou E(x), é
𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∞∞ (2.24) A variância de X, denotada por V(X) ou σ2, é
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝜇)−∞∞ 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−∞∞ 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝜇2 (2.25) O desvio padrão representa o grau de dispersão dos dados medidos com respeito ao valor médio. Um desvio grande indica que os pontos estão longe do valor médio e um desvio pequeno indica que os dados estão agrupados perto do valor médio. É denotado coma letra σ (sigma). Sendo o desvio padrão de X é
𝜎 = [𝑉(𝑋)]12 (2.26)
34 O desvio padrão pode ser interpretado também como uma medida de incerteza. O desvio de um grupo repetido de medições nos dá a precisão. Quando se determina se um grupo de medidas está de acordo com o modelo teórico, o desvio padrão dessas medidas é de vital importância: se a média das medidas está demasiadamente distante da predição (com a distância média em desvios padrões), então se considera que as medidas contradizem a teoria. Isto é coerente, já que as medições ficam fora da faixa no qual seria razoável esperar que ocorressem se o modelo teórico fora correto (PAREJA, 2009).
2.4.3. Distribuição e função de densidade de probabilidade
Uma vez definida a variável aleatória, existe interesse no cálculo dos valores das probabilidades correspondentes. Uma função de densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória contínua X.
Segundo (MONTGOMERY & RUNGER, 2003), a definição de densidade de probabilidade é uma função tal que
1) 𝑓(𝑥) ≥ 0 2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1−∞∞
3) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑒 𝑎𝑎𝑏 a 𝑏 para qualquer 𝑎 e 𝑏 Ela fornece uma descrição simples das probabilidades associadas a uma variável aleatória. É zero para valores de x que não possa ocorrer e é considerada zero onde ela não for especificamente definida. O ponto principal é que f(x) é usada para calcular uma área que representa a probabilidade de X assumir um valor entre [𝑎, 𝑏].
2.4.4. Curva de Distribuição Normal
A distribuição normal é a mais utilizada das distribuições de probabilidades.
Conhecida como a “curva em forma de sino”, sua origem está associada aos erros de mensuração. É pouco provável que quando feitas medidas com um determinado instrumento, mesmo que bem calibrado, todas as medições serão iguais; o mais comum é na obtenção de um conjunto de valores que oscilam, de modo aproximadamente simétrico, em torno do verdadeiro valor. Construindo-se o histograma desses valores,
35 obtém-se uma Figura com forma aproximadamente simétrica. Gauss deduziu matematicamente a distribuição normal como distribuição de probabilidade dos erros de observação, denominando-a então “lei normal dos erros”. A base teórica de uma distribuição normal é mencionada para justificar a forma um tanto complexa da função densidade de probabilidade (MONTGOMERY & RUNGER, 2003) (CORREA, 2003).
Sua função de densidade de probabilidade é dada por:
𝑓(𝑥) = 1
𝜎√2𝜋exp [−(𝑥−𝜇)2𝜎22] − ∞ < 𝑥 < ∞ (2.27) com parâmetros µ, em que −∞ < 𝜇 < ∞, e 𝜎 > 0. Também
𝐸(𝑥) = 𝜇 e 𝑉(𝑋) = 𝜎2 (2.28)
Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média µ e variância σ2, se escreve: X ~ N(µ, σ2). A Figura 10 ilustra uma curva normal típica, com seus parâmetros descritos graficamente.
Figura 10- Curva nomal típica Fonte: (CORREA, 2003).
Para uma mesma média µ e diferentes desvios padrão σ, a distribuição que tem maior desvio padrão se apresenta mais achatada, acusando maior dispersão em torno da média. A que tem menor desvio padrão apresenta “pico” mais acentuado e maior concentração em torno da média. A Figura 11 compara três curvas normais, com a mesma média, porém, com desvios padrão diferentes. A curva A se apresenta mais dispersa que a curva B, que por sua vez se apresenta mais dispersa que a curva C. Nesse caso, σA >
σB > σC. (CORREA, 2003)
36
Figura 11- Distribuições normais com mesma média e desvios padrão diferentes.
Fonte:(CORREA,2003)
2.4.5. Curva de Distribuição Lognormal
A distribuição lognormal é a distribuição de probabilidade de qualquer variável aleatória com seu logaritmo normalmente distribuído. Uma variável aleatória x tem uma distribuição lognormal quando seu logaritmo 𝑌 = log (𝑥) tem uma distribuição normal (GALLEGO & ECHEVERRI, 2012). A Figura 12 ilustra em como as curvas se comportam.
Figura 12 - Distribuição Lognormal Fonte:(CORREA,2003)
A função densidade de probabilidade da distribuição lognormal com média 𝜇𝑙𝑛e desvio padrão 𝜎𝑙𝑛pode ser definida por:
𝑓(𝑥) =𝑥𝜎 1
𝑙𝑛√2𝜋𝑒
(ln(𝑥)−𝜇𝑙𝑛)2 2𝜎𝑙𝑛2
(2.29) Para este caso a média logarítmica e o desvio padrão logarítimico devem ser calculados da seguinte forma:
37 𝜇𝑙𝑛= 1𝑛∑𝑛𝑖=1ln(𝑥𝑖) 𝜎𝑙𝑛 = √∑𝑛𝑖=1(ln(𝑥𝑛𝑖)−𝜇𝑙𝑛)2 (2.30) A função de distribuição de probabilidade acumulada de uma variável x que seu logaritmo esta normalmente distribuída pode ser definida como:
𝐹𝑥(𝑥) =𝜎 1
𝑙𝑛√2𝜋∫ 1𝑥𝑒
(ln(𝑥)−𝜇𝑙𝑛)2 2𝜎𝑙𝑛2 𝑥 𝑑𝑥
−∞ (2.31)
2.4.6. Curva de Distribuição Weibull
Em (WALPOLE, MYERS, MYERS, & YE, 2012) uma variável aleatória contínua x possui uma distribuição de Weibull, com parâmetros α e β, se sua função de densidade é dada por
𝑓(𝑥: 𝛼, 𝛽) = {𝛼𝛽𝑥𝛽−1𝑒−𝛼𝑥𝛽, 𝑥 > 0, 0, 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 Onde 𝛼 > 0 e 𝛽 > 0.
A Figura 13 mostram curvas da distribuição de Weibull para 𝛼 = 1 e alguns valores de 𝛽. Se pode ver que as curvas mudam consideravelmente para os diferentes valores do parâmetro 𝛽. Para os valores de 𝛽 > 1, as curvas são bastante pequenas e se assemelham à curva normal.
A média e a variância de uma distribuição Weibull são 𝜇 = 𝛼−𝛽1𝜞(1 +1
𝛽) 𝜎2 = 𝛼−𝛽2 {𝜞(1 +𝛽2)− [𝜞 (1 +𝛽1)]2} (2.32)
Figura 13- Distribuição Weibull 𝛼 = 1
Fonte:(CORREA,2003)
38