6 AS UNIDADES DE ANÁLISE: OS SIGNIFICADOS DE FRAÇÕES
As unidades de análises apresentadas neste capítulo foram sistematizadas com base nos encontros do experimento formativo sob a forma de curso de extensão. Os dados estão organizados em três unidades de análise: Fração como conhecimento construído historicamente; Reflexão sobre o conceito parte-todo: Ampliando o conceito; Discussão sobre os significados quociente, razão, operador multiplicativo e número. Essa organização foi necessária de forma a facilitar a compreensão do movimento do experimento formativo, bem como apresentar indícios de apropriação de conhecimentos pelo professor.
Registramos que, além das perguntas fechadas que visavam delinear o perfil de formação das participantes da pesquisa, incluímos perguntas abertas com a finalidade de conhecer qual era a relação estabelecida pelas docentes com o assunto frações (APÊNDICE B). Para isso, as professoras responderam as seguintes questões: O que é fração para você? Escreva uma atividade sobre frações que você costuma realizar com seus alunos? Quando você ensina o conteúdo frações, quais recursos utiliza em suas aulas? Dos itens a seguir, quais aqueles que você acredita estar relacionados com frações?
No decurso deste capítulo retomaremos as respostas das docentes, quando for interessante para complementar as discussões realizadas.
Assim, alinhada ao referencial adotado, propusemos o início dos estudos por esse significado, pois ele carrega consigo o processo sócio-histórico concretizado como produto da atividade humana. Para tanto, nos apoiamos em Ifrah (1995), quando se refere aos egípcios, e sobre como a necessidade de medir advinda do pagamento de impostos ao faraó, influenciou o uso da representação fracionária.
Episódio 1 - O problema da medida
Antes de recorrer à historicidade das frações, propusemos uma tarefa de formação que abordava a ação de medir a altura de um quadro branco, instalado na sala do LEM/Ifes, utilizando diferentes instrumentos não graduados. A tarefa foi realizada no dia 19/09/2016 e objetivo da tarefa consistiu em despertar nos cursistas a necessidade de utilizar a representação fracionária para representar partes do instrumento de medida utilizado, e assim favorecer a compreensão do movimento lógico-histórico do conceito de fração. Os instrumentos disponibilizados foram:
barbante, canudo azul, palito de picolé, canudo rosa, caneta, fio de lã, régua de madeira não graduada (Figura 8).
Figura 8 – Instrumentos disponibilizados para medir.
Fonte: Elaborado pela autora (2016)
A seleção dos instrumentos e a superfície a ser mensurada foi definida pelos pesquisadores, de modo que a medida encontrada não expressasse um número inteiro e obrigasse os docentes a traçar uma estratégia para registrar a parte não
inteira encontrada na medida. Para melhor organização dos espaços, os participantes foram organizados em grupos de 3 ou 4 pessoas (Figura 9). Os instrumentos de medida escolhidos pelos sujeitos desta pesquisa foram palito de picolé, barbante e canudo rosa.
Figura 9 - Professores realizando a tarefa de medir.
Fonte: Elaborado pela autora com base na tarefa dos professores (2016).
Para cada integrante do grupo foi entregue um instrumento (APÊNDICE D) de registro, que foi preenchido no movimento da referida ação. O instrumento foi planejado de modo a orientar os professores e contribuir no momento de estabelecer a relação entre as partes inteira e fracionada do instrumento escolhido pelo grupo. E, por meio disso, compreenderem a necessidade de fazer um novo tipo de registro, que é a fração derivada de uma medida.
A tarefa de formação foi concluída com a sistematização das discussões, na qual as professoras enunciaram a medida encontrada com o instrumento escolhido e qual foi a estratégia empregada para relacionar a parte do instrumento que foi utilizada e que era menor do que o instrumento inteiro adotado. Os resultados obtidos foram sistematizados em um quadro (Figura 10). A elaboração dessa síntese se revelou importante, pois, ao construí-lo, surgiram discussões envolvendo outros conceitos que, inicialmente, não estavam previstos no planejamento e que serão abordados na cena 1.1 deste episódio de formação. Após as discussões, finalizamos o encontro com uma síntese histórica baseada em Ifrah (1997), na qual destacamos o sistema egípcio, a necessidade de medir e a solução de fracionamento do cúbito.
Figura 10 - Quadro sistematizando as discussões.
Fonte: Elaborado pela autora com base nos registros dos professores (2016).
Assim, destacamos, na sequência, algumas cenas que demonstram a apropriação de conhecimentos acerca de frações com o significado de medida. Nessas cenas, as professoras participantes desta pesquisa fazem suas colocações.
Cena 1.1 – Qual fração do instrumento foi usada para medir?
PESQUISADORA: Vocês haviam encontrado 11 palitos inteiros e um pedacinho.
LINDA: Esse pedacinho a gente não tinha como dobrar, então, pegamos um lápis preto que é um outro instrumento, marcamos o tamanho e fomos medindo e encontramos que esse pedacinho corresponde a 1/5.[...]
PESQUISADORA: E quem usou o barbante?
DANIELLE: 1/7
PESQUISADORA: Então, o barbante mediu 3?
DANIELLE: 3 inteiros e 1/7.
PESQUISADORA: Vocês conseguiram dividir em 7 partes aí?
DANIELLE: Sim, conseguimos. Dobrando. (DIÁLOGO EXTRAÍDO DO CURSO DE FORMAÇÃO, 19/09/2016)
Desse diálogo, destacamos a fala da professora Linda, que apresenta a estratégia traçada para descobrir que a fração do palito de picolé correspondia a aproximadamente 1/5. Como se tratava de um instrumento rígido foi preciso utilizar outro instrumento (lápis preto) que possibilitasse comparar as medidas. Tal
estratégia corrobora com a definição de Caraça (1951) quando estabelece que medir é comparar “quantas vezes” um tamanho cabe dentro de outro.
A professora Danielle, por sua vez, estabeleceu outra forma de relacionar a fração com instrumento utilizado. Seu grupo escolheu o barbante, um instrumento flexível.
Desse modo, descobriram a relação por meio de dobradura. As relações podem ser visualizadas na Figura 10.
Cena 1.2 – O que é um número misto?
Este diálogo é relevante porque não constava no planejamento das pesquisadoras abordar esse assunto, porém ao serem estimuladas a representar em forma de fração a medida encontrada, as cursistas logo reconheceram a estrutura apresentada como número misto.
[...]PESQUISADORA: Como é que a gente pode representar, então, a altura do quadro medido com o instrumento palito verde?
CURSISTA: 11 1/5
PESQUISADORA: Como eu coloco isso aqui?
CURSISTA: Isso é um número misto. [...]
PESQUISADORA: O que é um número misto?
CURSISTA: É uma fração imprópria. Parte inteira parte fracionária. Fração maior do que um inteiro
PESQUISADORA: E se eu quiser representar usando uma fração só?
CURSISTA: Você transforma.
PESQUISDORA: Como?
CURSISTA: Multiplica pelo debaixo [denominador] e soma com o de cima [numerador]. Onze vezes cinco mais um. 56/5.
PESQUISADORA: Por quê?
[discussão volumosa inaudível]
LINDA: Se cada palito desse tem cinco pedaços, espera aí que eu fiz aqui, eu tenho cinco quintos desse palito aqui, então, eu tenho cinco inteiros, aí fica cinco inteiros de cinco quintos e juntando dá justamente 56/5. Deu pra entender? É isso? Tá certo? (DIÁLOGO EXTRAÍDO DO CURSO DE FORMAÇÃO, 19/09/2016)
Ao serem questionadas sobre o que é um número misto, foi interessante observar que a primeira resposta que emergiu do grupo foi o fato de ser uma fração imprópria, gerando um burburinho no grupo. Porém, logo as cursistas chegaram à conclusão que se tratava de um número composto de uma parte inteira e uma fracionária.
No momento em que a pesquisadora estimula as professoras a representar a fração mista em uma fração imprópria, surge o enunciado da “regra” que é aplicada em
sala de aula “Multiplica pelo debaixo [denominador] e soma com o de cima [numerador] (FALA DA CURSISTA, CURSO DE FORMAÇÃO, 19/09/2016). Assim que a regra foi citada, a pesquisadora estimulou as cursistas a explicarem o motivo de ser aplicada a regra e porquê o resultado era correto. Ao serem encorajadas a explicar como é feita a conversão de número misto para fração imprópria, instala-se uma discussão volumosa e a professora Linda pede a fala e relaciona a parte fracionária do número que ela encontrou com a quantidade de inteiros, como sendo,
“Se cada palito desse tem cinco pedaços, espera aí que eu fiz aqui, eu tenho cinco quintos desse palito aqui, então, eu tenho cinco inteiros, aí fica cinco inteiros de cinco quintos e juntando dá justamente 56/5. Deu pra entender? É isso? Tá certo?”
(FALA DA LINDA, CURSO DE FORMAÇÃO, 19/09/2016)
A socialização das discussões mostra o caráter coletivo da construção do conhecimento (interpessoal), conforme Vigotski (2008), pois foi no decurso das discussões e com a mediação da pesquisadora que Linda sistematizou o esboço (Figura 11) que explica a expressão “Multiplica pelo debaixo [denominador] e soma com o de cima [numerador]. Onze vezes cinco mais um. 56/5”, dita pela colega cursista.
Figura 11 - Registro escrito da professora Linda, encontro do curso de formação.
Fonte: Elaborado pela autora com base no registro escrito da professora Linda (2016).
Nesse sentido, ao propor outra forma de conversão (Figura 11), Linda apresentou indícios de apropriação de conhecimentos sobre números mistos. Vigotski (2008) infere que na zona de desenvolvimento iminente os conhecimentos que vão ser apropriados necessitam da mediação do professor ou da interação com alguém mais experiente no assunto. Nesse caso, observamos que a dúvida expressada por Linda, “É isso? Está certo?” pode significar que se trata de um conhecimento, fruto
das discussões coletivas estabelecidas, e sistematizado por Linda a partir das falas das colegas de curso, indicando assim indícios de apropriação de conhecimentos.
Linda interagiu com seu grupo, e no momento da mediação das pesquisadoras, enquanto as colegas de curso sugeriram a regra usual para transformar o número misto em fração imprópria, ela enunciou suas conclusões.
Cena 1.3 – O significado medida e prática em sala de aula.
Na continuação do diálogo acerca da tarefa de formação realizada temos:
[...] PESQUISADORA: Então, qual é a medida do quadro?
VERÔNICA: 11 inteiros e 1/5 de palitos de picolé, quatro inteiros e 3/4 de canudo rosa e por aí vai. Aí a criança chega à conclusão de que precisa de uma medida padrão se quiser comparar uma medida com a outra.
PESQUISADORA: São várias formas de representar a mesma medida.
(DIÁLOGO EXTRAÍDO DO CURSO DE FORMAÇÃO, 19/09/2016)
Ao final da sistematização das medidas, uma das pesquisadoras indagou as cursistas sobre a altura correta do quadro branco. Nesse momento, Verônica evidenciou que as estratégias adotadas no curso podem ser usadas em sala de aula, e ressaltou a importância de realizar tais discussões.
Conforme já dito, antes do início do curso as professoras foram convidadas a responder um questionário. Quando questionada sobre quais itens você acredita estar relacionado com frações? Verônica respondeu: “Parte de um todo, Número, Conjuntos discretos, Divisão, Conjunto contínuo” (RESPOSTA DA VERONICA, QUESTIONÁRIO INICIAL,12/09/2016). Observamos que a professora Verônica não relacionou medida como um item que pudesse estar relacionado com frações. Além disso, ao final do curso de formação, durante a apresentação do relato de experiência, a professora Verônica relata que,
[...] quando eu vim para o curso eu já havia iniciado a discussão de frações por meio de parte-todo [...] o curso ajudou muito porque balança, eu acho que se eu tivesse começado o curso logo eu não teria iniciado por parte- todo de novo, talvez eu iniciasse por medida. (RELATO DA PROFESSORA VERONICA, 28/11/2016, CURSO DE FORMAÇÃO).
O relato da professora Verônica pode evidenciar que ela não conhecia o significado de fração como medida e que se trata de um conhecimento apropriado a partir das discussões do curso de formação. Dessa forma, ao reconhecer a medida do quadro
como “11 inteiros e 1/5 de palitos de picolé, quatro inteiros e 3/4 de canudo rosa e por aí vai” (RELATO DA PROFESSORA VERONICA, 19/09/2016, CURSO DE FORMAÇÃO), a professora apresenta indicativos de uma nova qualidade de compreensão sobre conhecimentos de frações.
Dentro da Teoria da Atividade, tal reflexão corrobora com o motivo elencado pela docente, em resposta à pergunta feita no questionário inicial, “Quais suas expectativas para esse curso? O que você gostaria de aprender sobre frações?”.
Nessa questão, a docente esboça como expectativa para o curso conhecer
“maneiras lúdicas para ensinar em sala de aula” (RESPOSTA DA VERONICA, QUESTIONÁRIO INICIAL, 12/09/2016). Nessa direção, a fala da professora “Aí a criança chega a conclusão de que precisa de uma medida padrão se quiser comparar uma medida com a outra” (RELATO DA PROFESSORA VERONICA, 19/09/2016, CURSO DE FORMAÇÃO) mostra uma relação feita pela professora entre os conhecimentos frações e grandezas e medidas que não foi enunciada antes dessa discussão.
A respeito das expectativas do curso, a professora Danielle, ao responder o questionário inicial, diz que “Eu, gostaria de aprender um pouco mais sobre o assunto. Sempre tive dificuldades em relação a frações e tento superar isso.
Acredito que o curso vai me ajudar a responder algumas dúvidas” (RESPOSTA DA DANIELLE, QUESTIONÁRIO INICIAL, 12/09/2016). De fato, ao final a docente coloca que o significado medida foi o que mais marcou sua experiência no curso, como mostra o relato,
PESQUISADORA: O que trouxe de novo para você?
DANIELLE: Frações como medida. Só sabia frações literalmente [como]
parte-todo e aí a história da fração foi o que mais me encantou usar diferentes materiais de medida e porque surgiu o número fracionário, então, aquilo ali eu achei fantástico e eu falei, agora sim tem significado [sentido]
para mim. Então, fica mais fácil para eu compreender e ensinar (DIÁLOGO EXTRAÍDO DO CURSO DE FORMAÇÃO, 28/11/2016).
Leontiev (1978) defende que o sentido pessoal se refere à relação estabelecida pelo sujeito com o fenômeno. Desse modo, se retomarmos as dificuldades enunciadas pela docente no início do curso e relacionarmos com o relato “agora, sim, tem significado [sentido] para mim”, podemos dizer que conhecer esse significado por
meio da tarefa de formação planejada permitiu que a professora atribuísse, um novo sentido às frações, e que, por isso, se sente mais segura para ensinar. Em outras palavras, uma nova qualidade foi inserida na formação de Danielle. Nesse caso, podemos dizer que houve apropriação de conhecimentos por parte da professora em relação ao significado medida. Outro relato da docente confirma essa afirmação.
DANIELLE: Diferente de todo o grupo eu trabalho na Educação Infantil, com grupo 5, crianças de 5 e 6 anos. Eu falo que aqui do curso o que eu mais gostei foi frações como medida e achei que frações como medida era o mais apropriado para minha turma, para eu trazer a ideia de fração não exatamente a representação fracionária (RELATO PROFESSORA DANIELLE, CURSO DE FORMAÇÃO, 28/11/2016).
Nessa linha, o diálogo entre aprendizagem na formação e atividade pedagógica presente no relato de experiência feito por Danielle mostra uma atividade organizada intencionalmente em sua sala de aula baseada na tarefa de formação realizada no experimento formativo.
DANIELLE: Aí eu falei para meus alunos que era possível medir as coisas com algumas partes do corpo, no caso a palma da mão, a gente chama de palmo, do polegar até o dedo mínimo.
[...] Estabelecemos que seria usado como instrumento de medida quatros dedos, excluindo o polegar. E ai eu desenhei no quadro os meus dedos e falei que esse seria o nosso inteiro.
Perguntei, se eu quiser dividir o inteiro em quantos pedaços eu posso dividir e eles responderam em quatro, “tia porque são quatro dedos”,
[...] Aí eu fui ao quadro de novo, na TV desenhada, e medi de novo com meus dedos e aí deu 6 e sobrou um pedacinho, então, eu perguntei e agora como medir...eles responderam “uai, tia mais um dedo seu”. E, aí, eu coloquei ¼ porque eu não quero que eles saiam daqui sabendo representar frações, mas eu trabalho com a ideia de que eu não posso privá-los de conhecer, então, eu representei ¼ mas não fiquei presa nessa representação. (RELATO PROFESSORA DANIELLE, CURSO DE FORMAÇÃO, 28/11/2016).
Com base no relato de Danielle, verificamos que uma atividade de formação realizada no experimento formativo serviu de alicerce para planejar uma tarefa de ensino para seus alunos. Quando isso ocorre, as tarefas de ensino e formação se encontram em seu motivo e objetivo e, de acordo com a Teoria da Atividade, podemos dizer que o experimento formativo se configurou para essa docente uma Atividade de Formação.
Contudo, podemos entrever que a tarefa produzida pela professora não foi idêntica ao proposto na formação, mas constituiu em uma nova versão, ou seja, não podemos nos esquecer de que o professor está inserido em um contexto que possui especificidades, como foi explicitado por Danielle. Essas especificidades podem ser pensadas por meio de proposições de Moura (2004, p. 260), quando diz que “[...] as pessoas são singulares e é essa singularidade que queremos afirmar, que queremos que continue a existir na sua plenitude, mas que tenha no coletivo o referencial de seu desenvolvimento, já que a existência isolada não tem razão de ser”. Desse modo, é possível inferir que os enunciados da professora Danielle mostram aprendizagens sistematizadas decorrentes de um coletivo e que, em seu contexto de trabalho, pode reelaborar e agir no ensino de modo singular.
Síntese do significado medida
Diante das cenas apresentadas no episódio medida, percebemos que a tarefa de formação, enquanto ação intencionalmente planejada, conduziu as cursistas ao entendimento de fração como conhecimento historicamente produzido devido a uma necessidade humana, conforme o compreendemos na Teoria Histórico-Cultural.
Aos disponibilizarmos para a tarefa instrumentos que, ao serem utilizados não foram capazes de expressar a medida do quadro branco por meio de um número inteiro de vezes, fez com que os professores percebessem a importância do uso de frações para o desenvolvimento da humanidade.
Para Gladchef e Moura (2016, p. 828), “o processo de significação da atividade de ensino de matemática dos professores é orientado pelas ações organizadas e praticadas na atividade de formação”. Corroboramos com os autores, pois como vimos na fala das professoras, as ações planejadas intencionalmente e inseridas na tarefa de formação desencadearam um processo de significação que oportunizou as professoras constituírem um novo significado acerca de frações. Desse modo, elas puderam se apropriar de novos conhecimentos sobre frações e atribuir, assim, um novo sentido a sua prática e, por consequência, uma nova qualidade a sua formação.
6.2 REFLEXÃO SOBRE FRAÇÃO COMO PARTE-TODO: AMPLIANDO O