Com o conjunto de dados da (Tabela 3) elaborou-se o script no R para o MRA dada pelo seguinte modelo:
y=Xβ+Zγ +e
30 Para este modelo utilizou-se o polinômio de Legendre de ordem um, tanto para os fatores de efeitos fixos quanto para os de efeitos aleatórios.
Para realizar o script para o MRA, instalaram-se os pacotes sommer (COVARRUBIAS- PAZARAN, 2016), orthopolynom (NOVOMESTKY; NOVOMESTKY, 2022), do R 4.4.0 (R Core Team, 2020). Utilizou-se o polinômio de Legendre de ordem um, tanto para os efeitos fixos quanto para os aleatórios, devido aos valores de pesos variarem linearmente com o tempo.
O tempo aqui utilizado variou de [1,4], por isso precisou ser interpolado no intervalo [-1,1], no qual os polinômios de Legendre são ortogonais. utilizou-se a fórmula abaixo para interpolar os tempos:
t∗i =−1 + t2(t−tmin)
max−tmin
Em quet∗ié o tempo interpolado, sendotmaxo maior valor do tempo etmin o menor valor.
Foram interpolados dois primeiros tempos para efeito de ilustração, pois isso será reali- zado no R:
Para o Tempo 1;
t1 =−1 + 2(1−1)4−1 ⇒a1 =−1 + 03 −1 =−1 = 0 =−1 Para o tempo 2;
t2 =−1 + 2(2−1)4−1 ⇒a2 =−1 + 23 =−1 + 0,666 =−0,333
Os polinômios utilizados aqui serão normalizados, ou seja,R−11 Φn(x)dx = 1e Kirkpa- trick et al. (1990) normalizou o polinômio de Legendre utilizando a seguinte fórmula:
Φn(x) =q2n+12 .Pn(x):
OndePn(x)é o polinômio de Legendre de ordemnaplicado em (x) eΦn(x)é o polinô- mio de Legendre de ordemnnormalizado aplicado em (x).
Assim, para o tempo interpolado−1tem-se:
Φ0(−1) = 210
P
0
k=02
(−1)0(2.0−2.0)!
0!(0−0)!(0−2.0)!(−1)0−2.0=1.q12.1.1.1 = 0,7071
O cálculo para os demais tempos interpolados serão feitos no software R.
Passos para o script:
Primeiramente carregou se os pacotes sommer,orthopolynom e o pacote graphics. Após isto construiu-se o polinômio de Legendre. Para construir o polinômio no R utilizaram-se as funções
31 proposta por Morota (2010a, 2010b).
‘stdtime‘ <-
function(t, n, tmax, tmin){
if(missing(tmax)) { tmax <- t[which.max(t)]
}
if(missing(tmin)) { tmin <- t[which.min(t)]
}
N <- n+1
M <- matrix(0, nrow=length(t), ncol=N) a <- -1 + 2*(t-tmin)/(tmax - tmin) M[,1] <- 1
for (i in 2:N){
M[,i] <- a(i−1) }
return(M) }
‘legendre‘ <- function(n, gengler){
if (nargs()==1){
gengler <- TRUE }
if (gengler != TRUE gengler != FALSE){
gengler=TRUE }
N <- n+1
L <- matrix(0,nrow=N, ncol=N) for(i in (1:N)){
if(i==1){
L[i,i] <- 1 }
else if(i==2){
L[i,i] <- 1 }
else {
tmp <- L[i-1,]
tmp2 <- as.numeric() tmp2 <- c(0,tmp[1:(N-1)])
L[i,] <- (1/(i-2+1))*( (2*(i-2) + 1)*tmp2 -(i-2)*L[i-2,] )
} }
for (j in (1:N)){
L[j,] <- (sqrt( (2*(j-1)+1)/2) )*L[j,]
}
if (gengler==TRUE){
L <- sqrt(2)*L }
return(L) }
Utilizou-se as funções já inseridas para criar a matriz M contendo os po- linômios de valores de tempo interpolados e a matriz Φ contendo os valores dos
32 polinômio aplicado nos valores interpolados.
tempo = 1:4 K <- 1
M <- stdtime(tempo, K) M
Lambda <- legendre(K, gengler = FALSE) Phi <- M %∗%t(Lambda)
Phi
As matrizes M eΦcontendo, respectivamente, os valores interpolados e os coeficientes do polinômio de Legendre, são:
M4×2 =
1 −1
1 −0,333 1 0,333
1 1
Φ4×2 =
0.7071068 −1.2247449 0.7071068 −0.4082483 0.7071068 0.4082483 0.7071068 1.2247449
O próximo passo foi inserir os arquivos de dados, sendo dois arquivos, um contendo o conjunto de dados (tabela 3), e o outro contendo a matriz de parentesco, já utilizada no modelo misto, ambas em arquivo no formato txt.
Feito isto, ajustou-se o MRA utilizando-se as funçoes mmer do pacote sommer (COVARRUBIAS- PAZARAN, 2016) e a função leg(). A função leg() foi combinada com a estrutura de variâncias
ds. A estrutura ds trata-se de uma estrutura diagonal comG=Inσγ2eR=Inσe2.
MRA<- mmer(peso sexo, random = vs(leg(tempo,1),ind,Gu = A), rcov = vs(ds(tempo),units) ,data = peso) names(MRA) summary(MRA)
Foram encontradas as seguintes variâncias para os coeficientes dos polinômios de le- gendre.
Para os coeficientesa0 variância34,36, para o coeficientea1, variância28,61e para o resíduo0,09.
Os coeficientes de regressão aleatória do polinômio de Legendre estão apresentados na (Tabela 6)
Tabela 7 – Coeficientes de regressão dos polinômios de Legendre de ordem um.
Animal a0 a1
1 2,48 7,65 2 −0,94 6,46 3 −5,51 5,07 4 −3,06 4,80 5 −0,45 5,44
33 Figura 1 – Sumário do MRA.
Fonte: Próprio Autor
Os valores genéticos encontrados para os animais nos respectivos tempos foram basea- dos na fórmula de Jamrozik, et al.(1997).
V G(at)i =
k−1
X
m=0
γimϕm(at)
ondek é a ordem do polinômio de Legendre para o efeito genético aditivo,γimé o coeficiente de regressão para o i-ésimo animal eϕm, o coeficiente do polinômio para o i-ésimo animal.
Utilizando-se a fórmula, tem-se:
Para o animal 1 no tempo 1 temos o seguinte valor genético:
V G(a1)1 =γ10Φ0(1)+γ11Φ1(1) = 2,481×0,707+7,652×−1,224 = 1,754−9,366 =−7,61 Os demais cálculos feito no R segue na (tabela 7).
RnRegQ<−rbind(unlist(M RA$U$‘leg0 :ind‘) , unlist(M RA$U$‘leg1 :ind‘),
unlist(M RA$U$‘leg2 :ind‘))
colnames(RnRegQ)<−unique(peso$ind) RnRegL <−RnRegQ[−3,]
RnRegL
34
tempo <−unique(peso$tempo) P hiQ <−leg(tempo,2)
P hiL <−P hiQ[,−3]
P hiL
V G <−t(apply(RnRegL,2, f unction(x)P hiL%*%x))
Tabela 8 – Valores genéticos encontrados para os animais nos respectivos tempos.
Animal tempo1 tempo2 tempo3 tempo4
1 -7,61 -1,36 4,87 11,12
2 -8,58 -3,30 1,96 7,24
3 -10,11 -5,97 -1,83 2,31
4 -8,06 -4,13 -0,20 3,72
5 -6,99 -2,54 1,89 6,34
Os valores para os efeito fixo estimadoβestão na (Tabela 8).
Tabela 9 – Valores estimados paraβ.
βˆ0 16,66 βˆ1 −2,49
Valores observados e preditos para o ganho de pesos dos animais estão na (Tabela 9).
Para calcular o ganho de peso preditoyˆpara cada animal utilizou-se a equaçãoyiˆ(t) = βt+V Gt, sendo oβˆo valor do beta estimado para o animalino tempotsemdoi= 1,2,3,4,5 et= 1,2,3,4eV Gi(t)o valor genético do animal(i)no tempot.
Por exemplo : Para o animal1no tempo1, temos o seguinte ganho de peso predito:
y1ˆ(1) =−2,491×1 + 16,661−7,61 = 6,56;
Para o animal1no tempo2, temos o seguinte peso predito : y1ˆ(2) =−2,491×2 + 16,661−1,36 = 10,319
Os ganhos de peso observados para os animais do sexo masculino (Tabela 10), quando comparados com os ganhos de peso preditos, aumnentam a variação à medida que o tempo passa. Já as fêmeas acontecem o contrário essa diferença diminui com o tempo.
Pode-se perceber também que quanto maior o valor genético encontrado para o animal naquele tempo maior é a variação entre o ganho de peso observado e predito. Como-se pode notar na Tabela 10, o animal 1 apresentou o maior valor genético no tempo 4 e também a sua maior variação entre o ganho de peso observado e o ganho de peso predito.
35
Tabela 10 – Valores observados e preditos para os ganho de peso dos animais.
Animal sexo tempo pesos observados pesos preditos
1 1 1 6,70 6,56
2 1 1 5,49 5,59
3 1 1 4,12 4,06
4 2 1 3,71 6,10
5 2 1 4,72 7,18
1 1 2 12,12 10,32
2 1 2 10,90 8,38
3 1 2 7,90 5,71
4 2 2 7,35 7,55
5 2 2 8,91 9,14
1 1 3 19,80 14,06
2 1 3 16,90 11,15
3 1 3 12,49 7,36
4 2 3 11,13 8,99
5 2 3 13,94 11,08
1 1 4 25,21 17,82
2 1 4 20,80 13,94
3 1 4 16,40 9,01
4 2 4 15,84 15,4
5 2 4 17,90 13,04
36
6 CONCLUSÕES
Apesar de o pacote sommer (COVARRUBIAS-PAZARAN, 2016) ser potencialmente útil na análise do MRA, ainda parece não haver citações do mesmo em trabalhos que realizam esta análise. Particularmente, encontra-se de forma isolada alguns script que devem ser usados como base para essas análises.
O modelo misto é analisado de forma confiável e facilmente obtido por meio do pacote lme4.
O MRA pode ser interpretado por meio das funções mmer e leg() do pacote sommer, no qual a função leg() pode ser combinada com uma estrutura de variâncias.
O pacote sommer do R é uma alternativa ao WOMBAT e ao ASReml para análise do MRA.
37
REFERÊNCIAS
BATES, D. et al. Fitting linear mixed-effects models using lme4. Journal of Statistical Software, v. 67, n. 1, p. 1–48, 2015.
BATES, D.; VAZQUEZ, A. I. Pedigree-based mixed-effects models.biorxv, –, p. –, 2014.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C.História da matemática. [S.l.]: Editora Blucher, 2019.
CAETANO, G. d. C. Interação genótipos x níveis de proteína na dieta e análise
multicaracterísticas para conversão alimentar e desempenho produtivo de codornas de corte.
Universidade Federal de Viçosa, 2015.
COVARRUBIAS-PAZARAN, G. Genome-assisted prediction of quantitative traits using the r package sommer.PloS one, Public Library of Science San Francisco, CA USA, v. 11, n. 6, p.
e0156744, 2016.
GILMOUR, A. et al. Asreml update: what’s new in release 2.00. VSN International Ltd, Hemel Hempstead, UK, 2006.
HENDERSON, C. Statistical methods in animal improvement: historical overview.Advances in statistical methods for genetic improvement of livestock, Springer, p. 2–14, 1990.
HENDERSON, C. R. A simple method for computing the inverse of a numerator relationship matrix used in prediction of breeding values.Biometrics, JSTOR, p. 69–83, 1976.
HENDERSON, C. R. A simple method for computing the inverse of a numerator relationship matrix used in prediction of breeding values.Biometrics, JSTOR, p. 69–83, 1976.
HENDERSON JUNIOR, C. R. de. Analysis of covariance in the mixed model: higher-level, nonhomogeneous and random regression.Biometrics, v. 38, p. 33–40, 1982.
JAMROZIK, J.; SCHAEFFER, L. Estimates of genetic parameters for a test day model with random regressions for yield traits of first lactation holsteins. Journal of Dairy Science, Elsevier, v. 80, n. 4, p. 762–770, 1997.
KIRKPATRICK, M.; LOFSVOLD, D.; BULMER, M. Analysis of the inheritance, selection and evolution of growth trajectories. Genetics, Oxford University Press, v. 124, n. 4, p.
979–993, 1990.
KNOLLE, H. Los polinomios de legendre. Boletín de matemáticas, Departamento de Matemáticas y Estadística, v. 13, n. 1, p. 63–70, 1979.
MENEZES, G. R. d. O. et al. Modelos de regressão aleatória na avaliação da produção de leite em cabras da raça saanen. Revista Brasileira de Zootecnia, SciELO Brasil, v. 40, p.
1526–1532, 2011.