quantidades foram resumidos em duas tabelas, das quais obtivemos parcelas para várias dimensões (até dez), e no limite d → ∞. Para dimensões pares a série era finita, en- tão temos funções polinomiais com ordem crescente com a dimensionalidade. Também destacamos o uso de técnicas de soma de Borel para contornar a divergência da série para dimensões ímpares. Além disso, no limited→ ∞ a série é infinita, mas convergente. Em geral, as curvas, tanto para entropia quanto para calor específico, aumentam constante- mente em função da temperatura adimensional, e apresentam alguma atenuação com o aumento de d. Finalmente, mencionamos que, embora nosso foco tenha sido nos aspec- tos físico-matemáticos fundamentais do modelo, esperamos que os resultados contribuam para um modelo amplamente utilizado para descrever propriedades físicas de sistemas de matéria condensada.
5.2
Motivações para pesquisas futurasDe maneira geral, visamos o estudo de modelos teóricos de física da matéria conden- sada, em especial o modelo de Hubbard e suas variações, com a aplicação de métodos de estatística fracionária de Haldane. Para criar um contexto da sua relevância física, apresentaremos uma digressão inicial. Na Ref. [54], os autores utilizaram o modelo de Bose-Hubbard para mostrar que modos semelhantes aos de Majorana podem ser realiza- dos e testados em um sistema dissipativo fortemente correlacionado. Adicionalmente, na Ref. [55], foi utilizado um modelo semelhante para tentar entender transições de fase quânticas topológicas, emergência de modos relativísticos e ordem topológica local de luz em um sistema de luz-matéria fortemente interagente. Na Ref. [56] a luz quântica foi entendida como uma forma de controlar fases topológicas da matéria. Por outro lado, ressaltamos também que, em um trabalho recente do nosso grupo, ref. [57], encontramos uma conexão não-trivial entre o ponto de transição da fase topológica na rede de trímeros e aquele em um sistema bidimensional associado, em concordância com os resultados no contexto do bombeamento de Thouless em redes fotônicas. No futuro, pretendemos examinar alguns aspectos relevantes e ainda inconclusivos. De fato, os resultados repor- tados nas Ref. [54, 55, 56, 57] foram obtidos através da estatística de Bose-Einstein, deixando em aberto as consequências físicas e o entendimento da descrição dos fenômenos à luz da estatística fracionária de exclusão de Haldane. Neste contexto, examinaremos a possibilidade da extensão dos métodos de estatística fracionária para o caso de sistemas de bósons interagentes, como o modelo de Bose-Hubbard, [54, 58]. Estaremos também interessados na continuidade do estudo do modelo de Hubbard no regime de spin incoer- ente, Ref. [16, 15], estendendo nosso entendimento deste modelo em regimes de interesse teórico-experimental. Um possível viés envolverá a exploração da resposta magnética (suscetibilidade) do sistema.
57
REFERÊNCIAS
[1] E. H. Lieb and B. Simon, “The thomas-fermi theory of atoms, molecules and solids,”
Advances in mathematics, vol. 23, pp. 22–116, 1977.
[2] B. I. Halperin, “Statistics of quasiparticles and the hierarchy of fractional quantized hall states,” Phys. Rev. Lett., vol. 52, p. 1583, 1984.
[3] F. Wilczek, “Quantum mechanics of fractional-spin particles,” Phys. Rev. Lett., vol. 49, p. 957, 1982.
[4] R. Mackenzie and F. Wilczek, “Peculiar spin and statistics in two space dimensions,”
Int. J. Mod. Phys., vol. A3, p. 2827, 1988.
[5] J. Nakamura, S. Liang, G. C. Gardner, and M. J. Manfra, “Direct observation of anyonic braiding statistics,”Nature Physics, vol. 16, p. 931, 2020.
[6] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics. Addison-Wesley, 1969.
[7] F. D. M. Haldane, “Fractional quantization of the hall effect: a hierarchy of incom- pressible quantum fluid states,”Physical Review Letters, vol. 51, p. 605, 1983.
[8] F. Wilczek,Fractional Statistics and Anyon Superconductivity. World Scientific, 1990.
[9] J. M. Luttinger, “Fermi surface and some simple equilibrium properties of a system of interacting fermions,” Physical Review, vol. 119, p. 1153, 1960.
[10] C. Vitoriano, L. B. Bejan, A. M. S. Macêdo, and M. Coutinho-Filho, “Metal-insulator transition with infinite-range coulomb coupling: Fractional statistics and quantum critical properties,” Phys. Rev. B, vol. 61, p. 7941, 2000.
[11] F. D. M. Haldane, “Fractional statistics”in arbitrary dimensions: A generalization of the pauli principle,”Phys. Rev. Lett., vol. 67, p. 937, 1991.
[12] M. V. N. Murthy and R. Shankar, “Exclusion statistics: From pauli to haldane,”
The IMSc Report No. 120, pp. 1–104, 2009.
[13] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum theory of many-particle systems. Courier Corporation, 2012.
[14] Y.-S. Wu, “Statistical distribution for generalized ideal gas of fractional-statistics particles,”Phys. Rev. Lett., vol. 73, p. 922, 1994.
[15] C. Vitoriano, R. R. Montenegro-Filho, and M. D. Coutinho-Filho, “Fractional ex- clusion statistics and thermodynamics of the hubbard chain in the spin-incoherent luttinger liquid regime,” Phys. B, vol. 98, p. 085130, 2018.
[16] G. F. O. Ramos and M. D. Coutinho-Filho, “Thermodynamics of the infinity-range hubbard model in the spin-incoherent regime,” Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, vol. 55, p. 455001, 2022.
58 [17] M. V. N.Murthy and R. Shankar, “Haldane exclusion statistics and second virial
coefficient,” Phys.Rev.Lett., vol. 72, p. 3629, 1994.
[18] J. J. Sakurai and J. Napolitano,Modern Quantum Mechanics. Cambridge University Press, 3 ed., 2021.
[19] F. A. N. Santos, L. C. B. da Silva, and M. D. Coutinho-Filho, “Topological ap- proach to microcanonical thermodynamics and phase transition of interacting clas- sical spins,” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, vol. 2017, p. 013202, 2017.
[20] T. Aoyama, “Specific heat of the ideal gas obeying the generalized exclusion statis- tics,”Eur.Phys B., vol. 20, p. 123, 2001.
[21] G. E. Andrews, R. Askey, and R. Roy, Special Functions. Cambridge University Press, 1999.
[22] R. M. May, “Quantum statistics of ideal gases in two dimensions,” Phys. Review, vol. 135, p. A1515, 1964.
[23] I. S. Gradshteyn and I. M. Rhyzik, Table of Integrals, Series and Products. New York: Academic Press, 7 ed., 2007.
[24] V. E. Korepin and F. H. L. Essler, Exactly Solvable Models of Strongly Correlated Electrons. Singapore: World Scientific, 1994.
[25] P. W. Anderson,The theory of Superconductivity in the High-Tc Cuprates. Princeton University Press, 1997.
[26] N. F. Mott, “The basis of the electron theory of metals, with special reference to the transition metals,” Proc. Phys. Soc., vol. 62, p. 416, 1949.
[27] N. F. Mott,Metal-Insulator Transitions. CRC Press, 1990.
[28] F. Gebhard,The Mott Metal Isolator Transitions. Springer, 2010.
[29] P. W. Anderson, “Absence of diffusion in certain random lattices,” Phys. Rev., vol. 109, p. 1492, 1958.
[30] J. Hubbard, “Electron correlations in narrow energy bands,”Proc. Roy. Soc., vol. 276, p. 238, 1963.
[31] J. Hubbard, “Electron correlations in narrow energy bands. ii. the degenerate band case,” Proc. Roy. Soc., vol. 277, p. 237, 1964.
[32] J. Hubbard, “Electron correlations in narrow energy bands iii. an improved solution,”
Proc. Roy. Soc., vol. 281, p. 401, 1964.
[33] W. Metzner and D. Vollhardt, “Correlated lattice fermions in d = ∞ dimensions,”
Phys. Rev. Lett., vol. 68, p. 244, 1992.
[34] E. H. Lieb and F. Y. Wu, “Absence of mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension,” Phys.Rev.Lett., vol. 20, p. 1445, 1968.
59 [35] Y. Hatsugai and M. Kohmoto, “Exactly solvable model of correlated lattice electrons
in any dimensions,”J. Phys. Soc. Jpn., vol. 61, p. 2056, 1992.
[36] C. Vitoriano, K. R. Junior, and M. D. Coutinho-Filho, “Hubbard model with infinite- range attractive interaction,” Phys. Review B, vol. 72, p. 165109, 2005.
[37] C. Vitoriano and M. D. Coutinho-Filho, “Fractional statistics and quantum scaling properties of the hubbard chain with bond-charge interaction,” Phys. Rev. Lett., vol. 102, p. 146404, 2009.
[38] C. Vitoriano and M. D. Coutinho-Filho, “Fractional statistics and quantum scaling properties of the integrable penson-kolb-hubbard chain,” Phys. Review B, vol. 82, p. 125126, 2010.
[39] K. G. Wilson, “Problems in physics with many scales of length,”Scientific American, vol. 241, pp. 158–179, 1979.
[40] H. J. Maris and L. P. Kadanoff, “Teaching the renormalization group,” American journal of physics, vol. 46, pp. 652–657, 1978.
[41] M. A. Continentino,Quantum Scaling in Many-Body Systems. Cambridge University Press, 2017.
[42] S. Sachdev,Quantum Phase Transition. Cambridge University Press, 1999.
[43] H. E. Stanley, Introduction to Phase Transition and Critical Phenomena. Oxford University Press, 1971.
[44] L. P. Kadanoff, W. Götze, D. Hamblen, R. Hecht, E. A. S. Lewis, V. V. Palciauskas, M. Rayl, J. Swift, D. Aspnes, and J. Kane, “Static phenomena near critical points:
theory and experiment,”Reviews of Modern Physics, vol. 39, p. 395, 1967.
[45] E. N. Economou,Green’s Function in Quantum Physics. Springer, 1990.
[46] G. A. Fiete, “Colloquium: The spin-incoherent luttinger liquid,”Reviews of Modern Physics, vol. 79, p. 801, 2007.
[47] G. A. Fiete and L. Balents, “Green’s function for magnetically incoherent interacting electrons in one dimension,” Physical review letters, vol. 93, p. 226401, 2004.
[48] G. A. Fiete, “Fermi-edge singularity in a spin-incoherent luttinger liquid,” Physical review letters, vol. 97, p. 256403, 2006.
[49] A. Feiguin and G. A. Fiete, “Spectral properties of a spin-incoherent luttinger liquid,”
Physical Review B, vol. 81, p. 075108, 2010.
[50] A. E. Feiguin and G. A. Fiete, “Spin-incoherent behavior in the ground state of strongly correlated systems,” Physical Review Letters, vol. 106, p. 146401, 2011.
[51] M. Berry, A Half-century of Physical Asymptotics and Other Diversions: Selected Works by Michael Berry. World Scientific, 2017.
[52] R. B. Dingle, Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. Academic Press, 1973.
60 [53] J. C. L. Guillou and J. Zinn-Justin, “Accurate critical exponents from the ε-
expansion,”Journal de Physique Lettres, vol. 46, pp. 137–141, 1985.
[54] C.-E. Bardyn and A. İmamoˇglu, “Majorana-like modes of light in a one-dimensional array of nonlinear cavities,”Physical Review Letters, vol. 109, p. 253606, 2012.
[55] S. Sarkar, “Topological quantum phase transition and local topological order in a strongly interacting light-matter system,” Scientific Reports, vol. 7, no. 1, pp. 1–15, 2017.
[56] O. Dmytruk and M. Schirò, “Controlling topological phases of matter with quantum light,”Communications Physics, vol. 5, no. 1, p. 271, 2022.
[57] V. M. M. Alvarez and M. D. Coutinho-Filho, “Edge states in trimer lattices,”Physical Review A, vol. 99, no. 1, p. 013833, 2019.
[58] C. Gardner and B. Zoller, The quantum world of ultra-cold atoms and light book II:
the physics of quantum-optical devices, vol. 4. World Scientific Publishing Company, 2015.