Propriedade AHSP

Logo, kS−Tk ≤2.

Por outro lado, temos que as normas de T e S s˜ao atingidas em algum ponto extremo de BX. De fato, se |x|<1 ou |y|<1 ent˜ao

|T(x, y)| ≤

1 +|x|+ 1 1 +|y|

<

1 ++ 1 1 + = 1 e

|S(x, y)| ≤

1 +|x|+ 1 1 +|y|

<

1 + + 1

1 + = 1.

Os pontos extremos de B_X s˜ao (−1,1),(−1,−1),(1,−1),(1,1). ´E f´acil ver que |T(x, y)|=kTk nos pontos (−1,1) e (1,−1) e |S(x, y)| = kSk nos pontos (1,1) e (−1,−1). Da´ı, a distˆancia entre o conjunto de pontos onde T atinge a norma e o conjunto de pontos onde S atinge sua norma ´e 2.

(2) (a) kzk−xkk< para todo k∈A,

(b) x^∗(z_k) = 1 para um certo x^∗ ∈S_X^∗ e para todo k ∈A.

Veremos nas Proposi¸c˜oes 3.15 e 3.16 que a propriedade AHSP continua v´alida para cada combina¸c˜ao convexa finita (em vez de s´eries convexas infinitas) e para sequˆencias (x_k)^∞_k=1 de vetores na bola unit´aria de X (em vez de sequˆencias (xk)^∞_k=1 na esfera).

O Lema 3.14 ser´a utilizado para mostrar que alguns espa¸cos de Banach possuem a proprie- dade AHSP e tamb´em para provar a Proposi¸c˜ao 3.16.

Lema 3.14. Sejam{cn}uma sequˆencia de n´umeros complexos com |cn| ≤1para todo neη >0 tal que para uma s´erie convexa

X∞ n=1

αn valeRe X∞ n=1

αncn>1−η. Ent˜ao, para todo0< r <1, o conjunto A={i∈N:Re c_i > r} satisfaz a estimativa

X

i∈A

α_i ≥1− η 1−r.

Demonstra¸c˜ao. Sejam 0 < r < 1 e A o conjunto {i ∈ N : Re ci > r}. Por hip´otese, se {cn} uma sequˆencia de n´umeros complexos com |cn| ≤1 para todo n ∈N, η > 0 tal que para uma s´erie convexa

X∞ n=1

αn a seguinte afirma¸c˜aoRe X∞ n=1

αncn>1−η´e v´alida, temos que

1−η ≤Re X∞

i=1

α_ic_i = X∞

i=1

α_iRe c_i

=X

i∈A

αiRe ci +X

i /∈A

αiRe ci

≤X

i∈A

αi|ci|+X

i /∈A

αir

≤X

i∈A

αi+rX

i /∈A

αi

=X

i∈A

αi+rX

i /∈A

αi+rX

i∈A

αi−rX

i∈A

αi

= (1−r)X

i∈A

αi+r X∞

i=1

αi

= (1−r)X

i∈A

αi+r.

Ent˜ao obtemos

X

i∈A

α_i ≥ 1−η−r

1−r = 1− η 1−r.

Mostremos agora as equivalˆencias da Defini¸c˜ao 3.13.

Proposi¸c˜ao 3.15. Um espa¸co de Banach X tem a propriedade AHSP se, e somente se, para cada >0 existe0< η < tal que para cada sequˆencia finita (xk)ⁿ_k=1 ⊂SX e cada combina¸c˜ao

convexa finita Xn

k=1

αk com

Xn

k=1

αkxk

>1−η,

existem um subconjunto A ⊂ {1, . . . , n} e um subconjunto {zk: k ∈A} ⊂ X com as seguintes propriedades:

(i) X

k∈A

αk >1−η,

(ii) kzk−xkk< para todo k ∈A,

(iii) x^∗(zk) = 1 para algum x^∗ ∈SX^∗ e todo k∈A.

Demonstra¸c˜ao. Se X tem a propriedade AHSP, segue da Defini¸c˜ao 3.13 que para todo > 0 existe 0< η < tal que para toda s´erie convexa e toda sequˆencia com

X∞

k=1

α_kx_k

>1−η,

existem um subconjunto A ⊂ N e um subconjunto {zk: k ∈ A} satisfazendo as condi¸c˜oes (1) e (2) da propriedade AHSP, em particular, tal afirma¸c˜ao ´e v´alida para cada sequˆencia finita (xk)ⁿ_k=1 ⊂SX e cada combina¸c˜ao convexa finita

Xn

k=1

αkxk com

Xn

k=1

αkxk

>1−η.

Reciprocamente, vejamos que a condi¸c˜ao sobre as combina¸c˜oes convexas finitas garante que X tem a propriedade AHSP.

Seja >0. Tome 0< η < dado pela hip´otese. Ent˜ao existe uma constanteC >1 tal que 0< Cη < . De fato, como > η, existeδ > 0 tal queη < δ < . Logo, para C = δ

η >1, temos que

0< η < Cη = δ

ηη =δ < . Sejam (xk)^∞_k=1 ⊂SX uma sequˆencia e

X∞ k=1

βk uma s´erie convexa tais que

X∞

k=1

β_kx_k

>1−η >1−Cη.

Como

X∞

k=1

βkxk

>1−η, existe 0< 0 <

X∞

k=1

βkxk

−1 +η. Da´ı, j´a que lim

n→∞

Xn

k=1

βkxk

=

X∞

k=1

βkxk

, existe n1 ∈Ntal que

Xn k=1

βkxk

>1−η+0,

para todon ≥n1. Al´em disso, como lim

n→∞

X

k>n

βk = 0, existen2 ∈N tal que X

k>n

βk <min{(C−1)η, 0}, para todon ≥n2. Tomando N = max{n1, n2}, temos que

XN k=1

β_kx_k −X

k>N

β_k>1−η+₀−₀ = 1−η

e X

k>N

βk <(C−1)η.

Assim,

XN

k=1

βkxk+ X

k>N

βk

! xN+1

≥

XN

k=1

βkxk

−

X

k>N

βk

! xN+1

=

XN

k=1

β_kx_k

− X

k>N

β_k

!

kx_N+1k

=

XN k=1

β_kx_k

− X

k>N

β_k

!

>1−η

Usando a condi¸c˜ao para a sequˆencia finita (xk)^N+1_k=1 ⊂ SX e a combina¸c˜ao convexa finita

N+1X

k=1

αkxk, onde αk = βk, para todo k = 1, . . . , N, e αN+1 = X

k>N

βk, segue que existem Ae⊂ {1, . . . , N + 1} e um conjunto de vetores {z_k:k ∈Ae} ⊂X tais que

(i) X

k∈Ae

αk >1−η,

(ii) kzk−xkk< para todok ∈A,e

(iii) x^∗(zk) = 1 para algumx^∗ ∈SX^∗ e todo k∈A.e

Caso N + 1 ∈/ A, iremos definire A :=Ae e assim as condi¸c˜oes da Defini¸c˜ao 3.13 s˜ao satisfeitas considerando os mesmos elementos das condi¸c˜oes (i), (ii) e (iii) obtidas anteriormente.

Por outro lado, se N + 1∈A, tomee A :=Ae\ {N + 1}. Neste caso, as condi¸c˜oes (ii) e (iii) obtidas para a sequˆencia finita (xk)^N_k=1⁺¹ ⊂ SX e a combina¸c˜ao convexa finita

N+1X

k=1

αkxk ainda continuam v´alidas tomando os mesmos conjuntos e o mesmo operador linear x^∗ ∈ SX^∗. Para completar a prova resta-nos mostrar a condi¸c˜ao (i). Temos que

X

k∈A

βk=X

k∈A

αk =X

k∈Ae

αk−αN+1

=X

k∈A˜

αk−X

k>N

βk

>1−η−(C−1)η = 1−Cη.

Isso completa a demostra¸c˜ao de que X tem a propriedade AHSP tomando Cη no lugar de η.

Proposi¸c˜ao 3.16. Um espa¸co de Banach X tem a propriedade AHSP se, e somente se, para todo >0 existe γ()>0 e η()>0 com lim

→0⁺γ() = 0, tal que para toda sequˆencia (y_k)^∞_k=1 ⊂ BX e toda s´erie convexa

X∞

k=1

αk com

X∞ k=1

αkyk

>1−η()

existem um subconjunto A⊂ N e um subconjunto {z_k: k ∈A} ⊂ X com as seguintes proprie- dades:

(i) X

k∈A

αk >1−γ(),

(ii) kzk−ykk< para todo k∈A,

(iii) x^∗(zk) = 1 para algum x^∗ ∈SX^∗ e todo k∈A.

Demonstra¸c˜ao. A volta ´e imediata, uma vez que as sequˆencias (xk)^∞_k=1 ⊂SX que satisfazem as condi¸c˜oes da hip´otese est˜ao contidas em BX e portanto satisfazem a Defini¸c˜ao 3.13.

Suponha que X tem a AHSP. Para cada ∈ (0,1), considere η() satisfazendo a Defini¸c˜ao 3.13 da propriedade AHSP. Defina

η⁰() : = η(₂)² 8 ,

para todo ∈(0,1). Sejam (y_k)^∞_k=1 ⊂B_X uma sequˆencia e uma s´erie convexa X∞

k=1

α_k tais que

X∞

k=1

αkyk

>1−η⁰(). (3.1)

A desigualdade anterior implica que o vetor X∞

k=1

α_ky_k 6= 0. Ent˜ao, como consequˆencia do Teorema 1.58 (Teorema de Hahn-Banach), existe um funcional lineary₀^∗ ∈S_X^∗ tal que

y₀^∗ X∞

k=1

α_ky_k

!

=

X∞ k=1

α_ky_k

. (3.2)

Segue de (3.1) e (3.2) que X∞

k=1

αkRe(y^∗₀(yk)) = Re y₀^∗ X∞

k=1

αkyk

!!

=

X∞ k=1

αkyk

>1−η⁰().

Defina o conjunto B := {k ∈ N: Re(y₀^∗(yk)) > 1−

2}. Mostremos que B ´e n˜ao vazio. De fato, suponha que Re(y₀^∗(yk)) ≤ 1−

2, para todo k ∈ N. Multiplicando os membros dessa

desigualdade por αk >0, obtemos

α_kRe(y^∗₀(y_k))≤α_k 1−

2

, ∀k ∈N

=⇒ X∞

k=1

αkRe(y₀^∗(yk))≤ X∞

k=1

αk

1− 2

=⇒ 1−η⁰()<1− 2

=⇒ η⁰()>

2

=⇒ η ₂ ² 8 >

2

=⇒ η 2

>4.

A ´ultima desigualdade ´e falsa, pois como condi¸c˜ao da Defini¸c˜ao 3.13 de AHSP temos que 0< η

2 <

2, ent˜ao 0< η 2

< ²

2 <1. Por isso, B ´e n˜ao vazio.

Aplicando o Lema 3.14 parack = (y^∗₀(yk)), r= 1−

2 e A=B, obtemos a estimativa X

k∈B

αk>1− η⁰() 1− 1− ₂

= 1− 2η⁰()

= 1−

2η(2)²

8

= 1− η ₂ 4 . Da´ı, temos que

X

k∈B

α_k>

X∞ k=1

α_k−η ₂ 4

=X

k∈B

αk+X

k /∈B

αk− η ₂ 4 , o que implica

X

k /∈B

αk < η ₂ 4 . Seja Γ ={k ∈N: yk = 0}. Ent˜ao Γ⊂B^c. Defina

y⁰_k=

( yk

ky_kk , k∈Γ^c x , k∈Γ,

onde x∈SX ´e tal que y₀^∗(x)>0. Logo,

X∞

k=1

αky⁰_k

=ky^∗₀k

X∞ n=1

αky⁰_k

≥ y₀^∗

X∞

k=1

αky_k⁰!

≥Re y^∗₀ X∞

k=1

α_ky_k⁰

!!

= X∞ k=1

αkRe(y^∗₀(y_k⁰))

=X

k∈B

α_kRe(y^∗₀(y_k⁰)) + X

k /∈B, k∈Γ^c

α_kRe(y₀^∗(y_k⁰)) + X

k /∈B, k∈Γ

α_kRe(y₀^∗(y_k⁰))

=X

k∈B

αkRe

y₀^∗ yk

kykk

+ X

k /∈B, k∈Γ^c

αkRe

y₀^∗ yk

kykk

+ X

k /∈B, k∈Γ

αkRe(y₀^∗(x))

=X

k∈B

αk

ky_kkRe(y^∗₀(yk)) + X

k /∈B, k∈Γ^c

αk

ky_kkRe(y^∗₀(yk)) + X

k /∈B, k∈Γ

αkRe(y₀^∗(x))

≥X

k∈B

αkRe(y₀^∗(yk)) + X

k /∈B, k∈Γ^c

αkRe(y₀^∗(yk)) + X

k /∈B, k∈Γ

αkRe(y₀^∗(x))

≥X

k∈B

αkRe(y₀^∗(yk)) + X

k /∈B, k∈Γ^c

αkRe(y₀^∗(yk)) + X

k /∈B, k∈Γ

αkRe(y₀^∗(yk))

=X

k∈B

αkRe(y^∗₀(yk)) +X

k /∈B

αkRe(y^∗₀(yk))

≥X

k∈B

α_kRe(y₀^∗(y_k)) +X

k /∈B

α_k(−1)

=X

k∈B

αkRe(y^∗₀(yk))−X

k /∈B

αk

=X

k∈B

αkRe(y^∗₀(yk)) +X

k /∈B

αkRe(y^∗₀(yk))−X

k /∈B

αkRe(y₀^∗(yk))−X

k /∈B

αk

= X∞ k=1

αkRe(y^∗₀(yk))−X

k /∈B

αkRe(y₀^∗(yk))−X

k /∈B

αk

≥ X∞

k=1

αkRe(y₀^∗(yk))−X

k /∈B

αk|y^∗₀(yk)| −X

k /∈B

αk

≥ X∞

k=1

αkRe(y₀^∗(yk))−X

k /∈B

αk−X

k /∈B

αk

= X∞ k=1

αkRe(y^∗₀(yk))−2X

k /∈B

αk

>1−η⁰()−2η ₂ 4

= 1− η ₂ ²

8 − η ₂ 2

= 1−η ₂

²+ 4η ₂ 8

= 1−η ₂

(+ 4) 8

>1−η 2

, pois

(+ 4)

8 < <1

=⇒ −η 2

(+ 4)

8 >−η 2

>−η 2

.

Como X tem a propriedade AHSP, existem um subconjunto C ⊂ N e um subconjunto {zk : k ∈C} ⊂X satisfazendo as seguintes propriedades:

1. X

k∈C

αk >1−η 2

, 2. kz_k−y_k⁰k<

2 para todok ∈C,

3. x^∗(z_k) = 1 para algumx^∗ ∈S_X^∗ e todo k∈C.

Defina o conjunto A := B ∩C. Mostremos que o conjunto A ´e n˜ao vazio. Suponha que A ´e vazio, ent˜ao para todo n ∈C temos n /∈B, logo

X

n∈C

αn ≤X

n /∈B

αn < η ₂ 4 . Da´ı,

1−η 2

< η ₂ 4 , que implica

1< η ₂

4 +η 2

= η ₂

(+ 4) 4

<2η 2

<2 2 =.

Mas isso ´e uma contradi¸c˜ao, pois <1. Portanto, o conjunto A´e n˜ao vazio.

Vejamos que X

k∈A

αk >1−γ(), ondeγ() := η 2

+η ₂

4 . De fato, X

k∈A

αk = X

k∈B∩C

αk

≥X

k∈C

αk−X

k /∈B

αk

>1−η 2

− η ₂ 4

= 1−γ()

e

→0lim⁺γ() = lim

→0⁺ η 2

+ η ₂ 4

!

= 0.

Al´em disso, kzk−ykk< para todok ∈A, pois se k ∈A ent˜ao kzk−ykk=kzk−y⁰_k+y_k⁰ −ykk

≤ kzk−y⁰_kk+ky⁰_k−ykk

=kzk−y⁰_kk+

yk

ky_kk −yk

=kzk−y⁰_kk+

yk−ykkykk kykk

=kzk−y⁰_kk+

(1− kykk)yk

kykk

<

2 +|1− kykk|ky_kk kykk

=

2 +|1− kykk|

<

2 + 2 =, uma vez que kykk ≥ |y₀^∗(yk)| ≥ Re(y^∗₀(yk)) > 1−

2 para todo k ∈ A. Por fim, note que x^∗(z_k) = 1, para todok ∈A, poisA ⊂C.

O resultado a seguir ser´a utilizado para mostrar que os espa¸cos de dimens˜ao finita possuem a propriedade AHSP.

Lema 3.17. Seja X um espa¸co normado de dimens˜ao finita. Ent˜ao para todo > 0, existe δ >0 tal que para qualquerx^∗ ∈SX^∗, existe y^∗ ∈SX^∗ satisfazendo dist(x, D(y^∗))< para todo x∈ {x∈SX :Re x^∗(x)>1−δ}, onde D(y^∗) :={y∈BX :y^∗(y) = 1}.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que existe 0 >0 tal que a condi¸c˜ao acima n˜ao seja satisfeita. Assim, para todoδ >0 existex^∗_δ ∈SX^∗ tal que para todoy^∗ ∈SX^∗,dist(x, D(y^∗))≥0 para algumx∈ {y∈SX :Re x^∗_δ(y)>1−δ}. Da´ı, podemos construir sequˆencias (rn)^∞_n=1 →1 e (x^∗_n)^∞_n=1 ⊂SX^∗

tais que para todo y^∗ ∈SX^∗, {x∈SX :x^∗_n(x)> rn} ∩ {x∈SX : dist(x, D(y^∗))≥0} 6=∅. De fato, tomandorn= 1−1

n para cadan ∈N, por hip´otese temos que existex^∗_n ∈SX^∗ tal que para todo y^∗ ∈ SX^∗ existe xn ∈

y∈SX: Re x^∗_n(y)>1− 1 n

tal que dist(xn, D(y^∗)) ≥ 0. Pela compacidade da esfera unit´aria, passando para uma subsequˆencia se necess´ario, podemos supor x^∗_n →x^∗ para algum x^∗ ∈SX^∗. Pela condi¸c˜ao anterior, existe uma sequˆencia (xn)^∞_n=1 ⊂SX tal que rn< Re x^∗_n(xn)≤1 para todo n e tal que para todo n ∈N,

dist(xn, D(x^∗))≥0. (3.3)

Por argumento an´alogo ao utilizado anteriormente, podemos assumir que (xn)^∞_n=1converge para algum x∈SX. J´a que x^∗_n(xn)→1 e ambas sequˆencias s˜ao convergentes, temos que x^∗(x) = 1, ou seja, x∈D(x^∗). Da´ı,

dist(xn, D(x^∗))≤ kxn−xk →0.

A desigualdade acima contradiz (3.3).

Comparando o Lema 3.17 com o Teorema de Bishop-Phelps-Bollob´as em espa¸cos de di- mens˜ao finita, vemos que o funcional y^∗ depende apenas de x^∗, enquanto no caso do teorema temos que y e y^∗ dependem da escolha de x e x^∗. O fato dey^∗ depender apenas de x^∗ vem de considerarmos o δ dependendo n˜ao apenas de , mas tamb´em do espa¸co X.

O pr´oximo resultado mostra que os espa¸cos de dimens˜ao finita tem a propriedade AHSP.

Proposi¸c˜ao 3.18. Todo espa¸co normado de dimens˜ao finita tem a propriedade AHSP.

Demonstra¸c˜ao. Seja X um espa¸co normado de dimens˜ao finita. Ent˜ao, para cada > 0, existeδ >0 satisfazendo a condi¸c˜ao do Lema 3.17. Podemos supor que δ < <1, pois caso as condi¸c˜oes do Lema 3.17 sejam satisfeitas para algumδ ≥, tamb´em ser˜ao v´alidas para qualquer 0< δ0 < . Tomemos uma s´erie convexa

X∞

k=1

αk e uma sequˆencia (yk)^∞_k=1 ⊂BX tais que

X∞

k=1

αkyk

>1−δ².

Como o vetor X∞

k=1

αkyk6= 0, ent˜ao segue do Corol´ario 1.59 que existe x^∗ ∈SX tal que

x^∗ X∞

k=1

αkyk

!

=

X∞

k=1

αkyk

. Note que |x^∗(yk)| ≤ kx^∗kkykk ≤1 para todo k ∈N e

Re X∞

k=1

αkx^∗(yk) =

X∞ k=1

αkyk

>1−δ². Da´ı, pelo Lema 3.14 , o subconjunto

G:={n ∈N:Re x^∗(y_n)>1−δ}

´e tal que X

k∈G

αk≥1− δ²

δ = 1−δ. Note que G6=∅, pois se G=∅, ent˜ao para todok ∈N Re x^∗(y_k)≤1−δ.

Multiplicando por αk ambos os lados, obtemos

Re αkx^∗(yk)≤αk(1−δ), para todok ∈N. Logo,

Re X∞

k=1

αkx^∗(yk)≤ X∞

k=1

αk(1−δ)

= 1−δ <1−δ²,

o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, segue do Lema 3.17 que existe um elemento y^∗ ∈SX^∗ e um subconjunto {zk :k ∈ G} ⊂ SX tal que y^∗(zk) = 1 para todo k ∈G com kyk−zkk < , o que completa a prova.

A seguir vamos mostrar que C(K) satisfaz a propriedade AHSP, para qualquer espa¸co de Hausdorff compacto K. A Proposi¸c˜ao 3.19 ser´a demonstrada no caso complexo, mas ´e v´alida no caso real.

Proposi¸c˜ao 3.19. Os espa¸cos reais ou complexos C(K) tˆem a propriedade AHSP, para qual- quer espa¸co de Hausdorff compacto K.

Demonstra¸c˜ao. Fixe 0 < < 1, e tome uma sequˆencia (fk)^∞_k=1 ⊂ BC(K) e uma s´erie convexa X∞

k=1

αk satisfazendo

X∞

k=1

αkfk

>1− 4

4

.

Como

X∞

k=1

αkfk

= sup( X∞

k=1

αkfk(t)

: t∈K )

>1− 4

4

,

existet0 ∈K tal que

X∞ k=1

αkfk(t0)

>1− 4

4

. Considere λ∈C com |λ|= 1 tal que

1≥Re λ X∞

k=1

α_kf_k(t₀)

!

=

X∞

k=1

α_kf_k(t₀)

>1− 4

4

. (3.4)

Considere A:=

k ∈N:Re(λfk(t0))>1− 4

2

. Mostremos que o conjunto A n˜ao ´e vazio.

Suponha que A seja vazio. Ent˜ao

Re(λfk(t0))≤1− 4

2

,

para todok ∈N. Da´ı, multiplicando αk de ambos os lados obtemos

Re(λαkfk(t0))≤αk

1− 4

2

,∀k ∈N

=⇒ Re X∞

k=1

αkfk(t0)

!

≤

1− 4

2X∞

k=1

αk= 1− 4

2

<1− 4

4

,

o que ´e uma contradi¸c˜ao com a inequa¸c˜ao (3.4).

Agora,

1− 4

4

< Re λ X∞ k=1

αkfk(t0)

!

= X∞

k=1

αkRe(λfk(t0))

=X

k∈A

αkRe(λfk(t0)) +X

k /∈A

αkRe(λfk(t0))

≤X

k∈A

αk|λfk(t0)|+

1− 4

2 X

k /∈A

αk

≤X

k∈A

α_k+

1− 4

2 X

k /∈A

α_k

= X∞

k=1

αk− 4

2X

k /∈A

αk.

Como X∞ k=1

αk= 1, obtemos que

1− 4

4

<1− 4

2X

k /∈A

αk. Da´ı, temos que

X

k /∈A

αk <

4 2

, e ent˜ao,

X

k∈A

α_k >1− 4

2

,

o que significa que a condi¸c˜ao (i) da Proposi¸c˜ao 3.16 ´e satisfeita.

Seja δ = 4

2

. Para cada k ∈ A, temos que [0,1−δ] e {|fk(t0)|} s˜ao conjuntos fechados e disjuntos em C. Assim, |fk|⁻¹([0,1−δ]) e {t0} s˜ao fechados e disjuntos em K, pois |fk(·)| ´e cont´ınua. Segue pelo Teorema 1.18 (Lema de Urysohn) que para cadak∈A existe uma fun¸c˜ao cont´ınua u_k: K →[0,1] tal que

uk(x) =

0 , sex∈ |fk|⁻¹([0,1−δ]), 1 , sex=t0,

ou seja, temos uma fun¸c˜ao uk ∈C(K) tal que

supp uk⊂ |fk|⁻¹((1−δ,1]), uk(t0) = 1, 0≤uk(t)≤1, para todot ∈K. Para cada k ∈A, podemos definir gk em K por

gk(t) :=λ

fk(t) +uk(t)

−fk(t) + f_k(t)

|fk(t)|

parat ∈supp ukegk(t) =λfk(t) parat∈K\supp uk. Comogk´e dada por soma e multiplica¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas emK, ent˜aog_k´e cont´ınua emK, para todok ∈A. Al´em disso,g_kpertence a esfera unit´aria de C(K) j´a que fk pertence a bola unit´aria fechada e |gk(t0)| = 1. De fato, para todot ∈K temos que

|gk(t)|=

fk(t) +uk(t)

−fk(t) + fk(t)

|fk(t)|

≤ |fk(t)|+ uk(t)

fk(t) (1− |fk(t)|)

|fk(t)|

=|f_k(t)|+u_k(t)|1− |fk(t)||

|fk(t)| |f_k(t)|

≤ |f_k(t)|+|1− |f_k(t)||

=|fk(t)|+ 1− |fk(t)|= 1, ou seja,

kgkk= sup{|g(t)|:t ∈K} ≤1.

Por outro lado, temos que

|gk(t0)|=

fk(t0) +uk(t0)

(1− |fk(t0)|)fk(t0)

|fk(t0)|

=

fk(t0) +

(1− |fk(t0)|)fk(t0)

|fk(t0)|

=

fk(t0)|fk(t0)|+ (1− |fk(t0)|)fk(t0)

|fk(t0)|

= 1

|fk(t0)||fk(t0)|= 1.

Logo, g_k ∈S_C(K). Al´em disso, segue da defini¸c˜ao de g_k que kg_k−λf_kk < δ para todo k ∈ A, uma vez que essa fun¸c˜ao ´e zero fora do conjunto supp uk e para t∈supp uk temos que

|gk(t)−λfk(t)|= λuk(t)

(1− |fk(t)|)fk(t)

|f_k(t)|

=uk(t)

(1− |fk(t)|)fk(t)

|fk(t)|

≤

|(1− |fk(t)|)|

|fk(t)|

|fk(t)|

=|1− |f_k(t)||

= 1− |fk(t)|<1−(1−δ) =δ, (3.5) para todok ∈A. Tomando a:= 2

4 2

, como

δ > | −gk(t0) +λfk(t0)| ≥Re(−gk(t0) +λfk(t0)) =−Re gk(t0) +Re λfk(t0), obtemos

Re gk(t0)> Re λfk(t0)−δ >1− 4

2

−δ= 1−2 4

2

= 1−a.

J´a que

1 =|gk(t0)|= q

(Re gk(t0))²+ (Im gk(t0))², ent˜ao

(Im gk(t0))² = 1−(Re gk(t0))²

<1−(1−a)²

= 1−(1−2a+a²)

= 2a−a²

<2a, ou seja,

|Im gk(t0)|<√ 2a.

Da´ı, temos que

|gk(t0)−1|= q

[Re (gk(t0)−1)]²+ [Im (gk(t0)−1)]²

= q

(Re (gk(t0))−1)²+ (Im (gk(t0)))²

<

q

(−a)²+ (√ 2a)²

=√

a²+ 2a. (3.6)

Agora, para cadak ∈A, definimoshk: K →Cporhk :=gk(t0)λgk, de modo quehk ∈SC(K), pois

khkk=kgk(t0)λgkk=gk(t0) λkgkk= 1,

para todo k ∈A. O elementox^∗ =λδt0, ondeδt0(f) =f(t0) para f ∈C(K), ´e um elemento de SC(K)^∗ e satisfaz x^∗(hk) = 1 para todok ∈A. De fato, temos que

x^∗(hk) = λgk(t0)λgk(t0) =|λ|²|gk(t0)|² = 1, para todok ∈K, e

|x^∗(f)|=|λf(t0)|

=|λ||f(t0)|

=|f(t0)| ≤ kfk,

o que mostra que kx^∗k= 1. Isso prova o item (iii) da Proposi¸c˜ao 3.16.

Resta mostrar o item (ii) da Proposi¸c˜ao 3.16. Segue das inequa¸c˜oes (3.5) e (3.6) e da escolha

deδ que

kh_k−f_kk=kµ_kλg_k−f_kk

=kµk|λ|²gk−λfkk

=kµkgk+gk−gk−λfkk

≤ kµkgk−gkk+kgk−λfkk

=k(µk−1)gkk+kgk−λfkk

=|µk−1|+kgk−λfkk

=|g_k(t₀)−1|+kg_k−λf_kk

<√

a²+ 2a+δ

= r⁴

4³ + ² 4 +

4 2

= s

² 4

² 4² + 1

+

4 2

<

r²

4 ·2 + 4

2

=√ 2

2 + ² 16

<

√2 2 + 1

16

!

< ,

para todok ∈A.

Mostremos agora que todo espa¸co uniformemente convexo tem a propriedade AHSP.

Proposi¸c˜ao 3.20. Um espa¸co de Banach uniformemente convexo tem a propriedade AHSP.

Demonstra¸c˜ao. Sejam X um espa¸co de Banach uniformemente convexo, > 0 arbitr´ario e δ=δ() o m´odulo de convexidade de X.

Vamos fixar 0 < < 1 e tomar r() = 1−δ(), η() = (1−r())

2 e γ() =

2. Sejam (x_n)^∞_n=1 ⊂B_X uma sequˆencia e

X∞ n=1

α_n uma s´erie convexa tal que

X∞ n=1

αnxn

>1−η().

Segue do Corol´ario 1.59 que existe um funcional x^∗ ∈SX^∗ tal que x^∗

X∞ n=1

αnxn

!

=

X∞ n=1

αnxn

>1−η(), ou seja,

Re x^∗ X∞ n=1

αnxn

!

>1−η().

SejaA ={n ∈N:Re x^∗(xn)> r()}. Mostremos que o conjuntoA que definimos ´e n˜ao vazio.

Suponha que A ´e vazio, ent˜ao

Re x^∗(xn)≤r(),

para todon ∈N. Da´ı, multiplicando a desigualdade por αn temos que Re x^∗(αnxn)≤αnr(),∀n∈N

o que implica

Re x^∗ X∞ n=1

αnxn

!

≤ X∞ n=1

αnr()

=r()

= 1− 2η()

<1−2η()<1−η(),

contradi¸c˜ao essa que mostra que o conjunto A n˜ao ´e vazio. Ent˜ao, segue do Lema 3.14 que X

n∈A

αn>1− η() 1−r()

= 1−

(1−r()) 2

1−r()

= 1− (1−r()) 2(1−r())

= 1−

2 = 1−γ().

Para n, m∈A, temos que

kxn+xmk ≥ |x^∗(xn+xm)|

≥Re(x^∗(x_n+x_m))

=Re x^∗(xn) +Re x^∗(xm)

>2r() = 2−2δ(), ent˜ao

kxn+xmk

2 >1−δ(),

e, como X ´e uniformemente convexo, obtemos kxn−xmk < . Como A 6= ∅, ent˜ao podemos escolhern0 ∈A. Defina zn =xn0 para todon ∈A. Portanto, temos que

kz_n−x_nk< , para todon ∈A, e X

n∈A

α_n >1−γ().

Finalmente, segue do Corol´ario 1.59 que existe um funcional z^∗ ∈ S_X^∗ tal que z^∗(xn0) = 1, ou seja, z^∗(zn) = 1 para todo n∈A.

Portanto, segue da Proposi¸c˜ao 3.16 que X tem a propriedade AHSP.

Mostraremos que todo espa¸co de Banach estritamente convexa que n˜ao ´e uniformemente convexo n˜ao possui a propriedade AHSP.

Proposi¸c˜ao 3.21. Um espa¸co de Banach estritamente convexa com a propriedade AHSP ´e uniformemente convexo.

Demonstra¸c˜ao. Seja X um espa¸co de Banach estritamente convexa. Suponha que X tenha a propriedade AHSP. Segue da Proposi¸c˜ao 3.16 que para > 0 suficientemente pequeno tal que γ()< 1

2, e para pontos x, y ∈BX tais que x

2 + y 2

>1−η(),

existemu, v ∈S_X ez^∗ ∈S_X^∗ tais que ku−xk< ,kv−yk< ez^∗(x) = z^∗(y) = 1. Da´ı, temos que

ku+vk ≥z^∗(x+z) = 2.

Por outro lado,

ku+vk ≤ kuk+kvk= 2.

Logo,ku+vk= 2. ComoX ´e estritamente convexa, ent˜ao segue da Proposi¸c˜ao 1.77 queu=v.

Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.74 obtemos que X ´e uniformemente convexo, pois kx−yk ≤ kx−uk+ku−yk

=kx−uk+kv−yk<2.

Exemplo 3.22. Denote por `ⁿ_∞ o espa¸co vetorial Kⁿ com a norma k · k^∞, onde K =C ou R. O espa¸co reflexivo

X =⊕²`ⁿ_∞=



{x= (xi)^∞_i=1: xi ∈`ⁿ_∞ ∀i∈N}, kxk= X∞ n=1

kxik²∞

!¹₂



n˜ao satisfaz a propriedade AHSP, pois n˜ao ´e uniformemente convexo (para os detalhes desse exemplo veja [7], p´agina 294).

No documento A propriedade de Bishop-Phelps-Bollob´ as (páginas 57-73)