INDHOLDSANMELDELSE Ana Cleide Parente Eliane Amiune Camargo BIDRAGENDE Ana Cleide Parente Eliane Amiune Camargo Marcelo Corrêa.
Aula
F UNC ¸ ˜ OES C OMPOSTAS E I NVERSAS
Em outras palavras, os domínios D=D(f) das funções f são sempre subconjuntos de números reais, ou seja, D⊂R, enquanto o contradomínio consiste em todos os números reais R.
F UNC ¸ ˜ OES C OMPOSTAS
F UNC ¸ ˜ OES S OBREJETORA , I NJETORA E
B IJETORA
Uma função g : A→B é bijetora (ou injetiva) se elementos distintos x1 e x2 do domínio A dão como imagens os elementos g(x1) e g(x2), que também são distintos. Uma função f : A→B que possui propriedades injetivas e sobrejetivas é chamada de função bijetiva.
Veja um exemplo de função não sobrejetiva f, mostrada no diagrama a seguir, onde. Finalmente, após a nossa discussão sobre uma função bijetiva f, fica claro que existe uma função inversa.
I NVERSA
F UNC ¸ ˜ OES M ON OTONAS ´
Construa o gráfico de f, conclua que o inverso f−1 existe e determine o valor de f−1(3). b) escreva uma expressão para f−1(x).
A S F UNC ¸ ˜ OES E XPONENCIAL E
L OGAR ´ ITMICA
Para o número racional m/p, onde o denominador é um número positivo, definimos a potência m/p de b, denotada por bm/p, como sendo. Nesta configuração, definimos br, a r-ésima potência de b, onde r é um número real positivo, como o limite.
Antes de tratar do caso geral, vamos trabalhar em um exemplo específico, apresentando o gráfico da função exponencial. Ajustando os dados da tabela anterior, determinamos vários pontos no gráfico desta nova função exponencial.
Reservando a notação logb para representar a função logaritmo na base b, definimos o valor da função como um número positivo x por equivalência. Se b>0 e b6=1, as definições tornam a função exponencial f(x) com base b e logb funções inversas uma da outra.
N ´ UMERO e
Como a função logarítmica y=logax é o inverso da função exponencial y=ax, podemos obter seu gráfico a partir do gráfico exponencial. Observando os gráficos anteriores e notando que logb1=0, visto que b0=1, independente da base b, concluímos que o gráfico da função y=logbx sempre passa pelo ponto (1,0) .
Nesse sentido, o Cálculo é um portal que separa a Matemática Clássica – gerada na Grécia antiga e aprofundada ao longo dos séculos, passando pela Idade Média, que recebe contribuições de diversas culturas, como a Hindu e a Árabe – da Matemática Contemporânea, que trata de problemas extensos. , como o cálculo de órbitas de satélites, problemas avançados de Economia e Administração, ou que servem para expressar, por exemplo, as mais diversas teorias da Física Moderna. A principal ferramenta matemática que será utilizada para lidar com o infinito, seja ele infinitamente grande ou infinitamente pequeno, é chamada de limite.
F UNC ¸ ˜ OES
O gráfico da função f é consequência de sua definição, mas, dado Gf, podemos reconstruir a função f. Desta forma, podemos referir-nos à função f ou ao seu gráfico como se fossem essencialmente o mesmo objeto.
C ONSIDERAC ¸ ˜ OES F INAIS
Suponha que v(t) =t2−4t+2 descreve a velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de uma trajetória reta dada em cm/s. O custo de produção de sabão por dia de trabalho em uma determinada fábrica é dado pela equação.
L IMITES DE F UNC ¸ ˜ OES – P ROPRIEDADES
Muito bem, você aprendeu que usamos um limite para descrever o comportamento de uma função f em torno de um determinado ponto, digamos a. Você percebe que a função f não precisa ser definida no ponto em questão para considerar o limite naquele ponto.
D IST ANCIA ENTRE ˆ N ´ UMEROS R EAIS
Esta expressão significa que para cada vizinhança de L, por menor que seja o seu raio, existe uma vizinhança de a, de algum raio, tal que as imagens dos pontos dessa vizinhança de a, por´ diferentes do próprio a, pertencem à vizinhança de L. Observe que todos os pontos pertencentes à vizinhança de a possuem uma imagem em f na vizinhança de L.
P ROPRIEDADE DE U NICIDADE DO L IMI -
TE DE F UNC ¸ ˜ OES
Pela nossa descrição do limite, sabemos que existem valores de x suficientemente próximos de a tais que suas imagens são arbitrariamente próximas de L e M.
E XEMPLOS DE F UNC ¸ ˜ OES C OMPLETAMEN -
TE SEM L IMITES !
Sabemos que se o limite de f quando x tende a a é L, quando os valores de x são tomados arbitrariamente próximos de a, suas imagens devem estar próximas de L. Portanto, se em alguma situação tivermos pontos arbitrariamente próximos de a a, com imagens arbitrariamente próximas de valores diferentes, por ex. L16=L2, saberemos que neste caso a função não admite limite.
Ora, isso indica que f não admite limite porque x tende para 1, porque se admitisse, as imagens deveriam estar cada vez mais próximas do mesmo ponto: o limite.
L IMITE
Nesta aula, você explorou ainda mais o conceito de limite de uma função em um determinado ponto. Usando as funções apresentadas no Exemplo 3.4 como modelos, desenhe os gráficos das funções que não admitem limite quando x tende a 1.
L IMITES L ATERAIS E MAIS A LGUMAS
P ROPRIEDADES
Antes de abordar os principais tópicos desta aula, você aprenderá outra estratégia para calcular limites, ampliando assim seu já não tão pequeno conjunto de técnicas para aumentar a indeterminação.
P ROPRIEDADES E LEMENTARES DOS L IMI -
TES DE F UNC ¸ ˜ OES
Como seria de esperar, o limite da função funciona muito bem quando se trata dessas operações. Revisitaremos esta questão em breve, quando estudarmos o conceito de continuidade de funções.
L IMITES L ATERAIS
A ideia é a seguinte: queremos estudar o comportamento de uma determinada função f nas proximidades de um determinado ponto a, mas queremos considerar, digamos, apenas o caso em que os pontos analisados estão à direita de a. A função g é definida em R, mas usando expressões diferentes dependendo se consideramos x<0 ou x>0.
O L IMITE E OS L IMITES L ATERAIS
Observe que as propriedades elementares dos limites também se aplicam aos limites laterais. Para analisar o comportamento da função g nas proximidades do ponto 1, utilizamos as fronteiras laterais.
L IMITES E NVOLVENDO I NFINITO – P RIMEIRA P ARTE
Em primeiro lugar, é necessário ter uma ideia clara sobre o significado da frase matemática. Você deve ter notado que as funções que tratamos até agora são essencialmente funções algébricas.
B REVE H IST ORICO ´
L IMITES I NFINITOS
Geometricamente, esta situação corresponde ao que chamamos de assíntota vertical do gráfico da função. Porém, a questão permanece: teríamos tomado valores de x suficientemente próximos de zero para determinar o comportamento da função.
A SS ´ INTOTAS V ERTICAIS
Dado o gráfico da função f na figura a seguir, determine os limites indicados. infinito, quando x tende para a, é necessário que o limite do denominador, quando x tende para a, seja zero, e o limite do numerador seja diferente de zero. Neste caso, todo o trabalho consistirá em analisar os sinais para determinar se o limite será a+∞. Começamos calculando o domínio da função e determinando as retas candidatas às assíntotas verticais.
L IMITES E NVOLVENDO I NFINITO – S EGUNDA P ARTE
A LGUMAS P ROPRIEDADES DOS L IMITES
I NFINITOS
Até 1655 o símbolo ∞ foi utilizado como alternativa ao M, que representava 1000 em algarismos romanos, quando, por sugestão do matemático inglês John Wallis, passou a representar o infinito.
L IMITES DE FUNC ¸ ˜ OES NO INFINITO
I NTERPRETAC ¸ ˜ AO GEOM ETRICA ´
Portanto, para valores cada vez maiores de M, poderemos precisar aumentar os valores de r. Na figura abaixo você pode ver como, para três valores diferentes de M, precisamos, para o exemplo em questão, de três valores diferentes de r, indicados pelos correspondentes.
C OMPORTAMENTO DAS F UNC ¸ ˜ OES P OLI -
NOMIAIS NO I NFINITO
C ´ ALCULO DOS L IMITES NO I NFINITO
C ´ ALCULO DE LIMITES NO INFINITO DE FUNC ¸ ˜ OES RACIONAIS
O sinal do limite, no caso grau(p)>grau(q) é determinado pelos sinais dos coeficientes dos termos de maior grau. A mesma estratégia pode ser usada para calcular limites numa infinidade de funções algébricas envolvendo radicais.
C ONSIDERAC ¸ ˜ OES FINAIS
É muito importante conhecer o comportamento no infinito dos polinômios, bem como das funções racionais. Determine as assíntotas verticais e horizontais, se houver, de cada uma das seguintes funções.
F UNC ¸ ˜ OES R EAIS E C ONTINUIDADE
À esquerda está o gráfico de uma função contínua f :[a,b]→R, onde intuitivamente entendemos que desenhar o gráfico pode ser feito sem levantar a ponta do lápis até o papel. Em outras palavras, o gráfico de uma função contínua não pode ter saltos ou lacunas.
L IMITE DE UMA F UNC ¸ ˜ AO NUM P ONTO DE SEU D OM ´ INIO
Não é essencial que o domínio de definição da função seja exatamente um intervalo. Portanto, está provado que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Esta função é dada pelo quociente de duas funções polinomiais e devemos primeiro determinar o seu domínio. Veja que o domínio da função racional r consiste em todos os números x∈R onde q(x)6=0.
O C ONCEITO DE D ERIVADA
I NTRODUC ¸ ˜ AO
T ANGENTE A UMA C URVA P LANA
T ANGENTE ?
Observe também que quando o número s converge para o número c, ou seja, quando s→c, então os coeficientes angulares das retas secantes convergem para o coeficiente a da reta tangente, ou seja, as→a. Como conhecemos o ponto P= (1,2) na reta tangente, podemos calcular a sua inclinação e, portanto, definir a sua inclinação usando a fórmula 9.2 descrita anteriormente.
F UNC ¸ ˜ AO
A D ERIVADA DE UMA F UNC ¸ ˜ AO
Para calcular a derivada da função em um ponto, é importante que este ponto pertença a um pequeno intervalo que está totalmente contido no domínio da função. Em geral, utilizando a propriedade aditiva da derivada da soma de duas funções diferenciáveis e o resultado do exemplo anterior, encontramos a fórmula da derivada de uma função polinomial.
Suponha que y = f(x) represente uma função que determina o custo total y que uma fábrica gasta para produzir e vender x unidades de um determinado bem material. Observe que a função f(x) =2x+12x2 representa o custo de produção e venda de x unidades de um determinado produto. a) o custo médio de produção e comercialização de uma unidade do produto, no regime de produção de 10 unidades. b) o aumento médio por unidade de produção quando o regime de produção passa de 10 unidades para 12 unidades.
Como aplicação, conseguimos derivar fórmulas para a derivação de funções polinomiais e funções racionais. Nesta aula continuaremos nossos estudos encontrando fórmulas para a derivação de funções onde aparecem potências e radicais, bem como derivações de funções logarítmicas e exponenciais.
A D ERIVADA DA R AIZ Q UADRADA DE UMA
Estudaremos também um importante teorema denominado regra da cadeia, que estabelece a fórmula para a derivação de funções compostas. Ocasionalmente usamos a propriedade que determina a fórmula da derivada de um produto de funções.
É interessante observar, diretamente na fórmula que acabamos de escrever, a prova de que a função da enésima raiz f(x) =√n. Como f(x) =log(x) é uma função contínua, podemos trocar os símbolos de limite pelo símbolo log e assim encontrá-lo.
D ERIVADAS DE F UNC ¸ ˜ OES C OMPOSTAS – R EGRA DA C ADEIA
Um dos mais importantes deles é o teorema que estabelece a regra da cadeia, que prescreve a derivada de funções compostas. Derivada para funções compostas (regra da cadeia) Considere duas funções reais diferenciáveis f : I → R e g : J→R tais que a imagem de f está contida no domínio de g.
A D ERIVADA S EGUNDA DE UMA F UNC ¸ ˜ AO
Na macroeconomia, a função consumo global é definida como uma variável dependente, em qualquer momento, do conjunto de rendimentos nacionais. Para x> x0, o gráfico da função consumo c(x) está sempre abaixo da diagonal que representa a renda nacional x.
D ERIVADAS – M ´ AXIMOS E M´ INIMOS
Estamos interessados em encontrar os pontos máximo, mínimo e de inflexão da função. Antes de fornecermos as técnicas, vamos começar com a definição do que é um ponto máximo ou mínimo para uma função.
M ´ AXIMOS E M´ INIMOS R ELATIVOS
Considere uma função contínua f :[a,b]→R definida em um intervalo fechado, onde a Na aula anterior identificamos uma condição necessária para que uma função f: I → R, que possui uma derivada contínua em um intervalo aberto I, admita um ponto x0∈I como ponto de m máximo ou mínimo. Para definir estas condições precisamos que pelo menos a primeira e a segunda derivadas da função sejam definidas num pequeno intervalo centrado em x0 e que a segunda derivada seja contínua neste pequeno intervalo. Solução: Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, procedemos como nos Critérios para encontrar o máximo e o mínimo. Além disso, descobrimos que o denominador da última expressão é uma função positiva. Em outras palavras, os valores de x que cancelam a derivada, ou seja, L′(x) =0, são exatamente as raízes da equação cúbica. Uma vez identificada uma raiz, podemos decompor a equação cúbica e até procurar outras raízes e depois resolver uma equação quadrática. A derivada de uma função pode ser entendida como uma operação em um conjunto apropriado de funções. Podemos, portanto, expressar todas as funções que são integrais indefinidas da função g(x) pela equação.
C RIT ERIO PARA ´ P ESQUISA DE M ´ AXIMOS E M´ INIMOS
A PLICAC ¸ ˜ OES : L UCRO T OTAL E L UCRO M ARGI -
O C ONCEITO DE I NTEGRAL – I NTEGRAL I NDEFINIDA
