XXVI Congresso de Iniciação Científica
Projeto de Controladores via LMIs em uma Mesa Estabilizadora 2DOF Ball Balancer utilizando os solvers Sedumi e LMIlab do software Matlab.
André Rêgo Vieira*, Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, Prof. Dr. Edvaldo Assunção, Diogo Ramalho de Oliveira, Ariel Starke Buzetti, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Elétrica, andreregovieira@gmail.com*, Bolsa CNPq*.
Palavras Chave: Controle Ball Balancer, design baseado em LMI, LMIlab, Sedumi, Yalmip, Matlab.
Introdução
Atualmente com a evolução da tecnologia na área de controle, tornam-se necessárias várias técnicas de projeto de controladores que atinjam objetivos em um projeto. Uma das teorias mais fortes hoje em dia é o conceito de Linear Matrix Inequalities (LMIs).
Pode-se dizer que é um tipo de otimização convexa.
LMIs envolvem alguns conceitos matemáticos, sendo eles matrizes e vetores, determinantes, inversas, autovalores e autovetores,
positividade e estabilidade segundo Lyapunov e a convexidade. Toda conceituação foi estudada em Peres e Oliveira (2009).
Para facilitar a resolução dessas inequações, usa- se o software Matlab. Para utilizá-lo, é necessário instalar um pacote chamado Yalmip. Uma das grandes vantagens é que ele apresenta suporte para vários solvers (resolvedores). Por exemplo, esse pacote pode resolver LMIs com o LMILab ou com o Sedumi. O primeiro é o solver de LMIs padrão do Matlab e o segundo é um solver para problemas de programação semi-definida, usado exclusivamente para a solução de LMIs, segundo Silva e Buzachero (2011).
Material e Métodos
O sistema é descrito de acordo com a equação (1) e pela equação (2).
ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)
(1)
=
+
y(t) =
(2)
Sendo Kbb=1,3 m/s²rad, L=1,76 rad/sV e =0,0285 s, x a posição da bolinha e a posição angular do servomotor
Para projetar controladores via LMIs, deve-se primeiramente garantir factibilidade. Assim, sendo
G = -KP (3)
Se
AP +PA′−BG−G′B′+2σP < 0 (4) Sendo
P = P′> 0 (5)
Então há factibilidade e pode-se fazer
K = -GP-1 (6)
Utilizando σ = 3,3, para o solver Sedumi, tem-se:
K = Utilizando σ = 3,3, para o solver LMIlab, tem-se:
K =
Resultados e Discussão
Os resultados mostram saída y(t) (Figura a esquerda) e trajetória que a bolinha seguiu de acordo com uma referência quadrada de 5 cm definida (Figura a direita).
Figura 1. Resultado com solver Sedumi.
Figura 2. Resultado com solver LMIlab.
Conclusões
Primeiramente, os resultados mostram que ambos os solvers funcionam bem para projeto de controladores via LMI. Observa-se, também, que o solver Sedumi gerou resultado menos oscilatório que o LMIlab.
Por fim, foi mostrado que é possível obtever factibilidade usando taxa de decaimento.
Assim, os resultados ocorreram como esperado e dão boas perspectivas para futuras implementações no módulo didático.
Agradecimentos
Agradeço a minha família pelo apoio, ao professor Marcelo pelo conhecimento passado e a CNPq pela ajuda financeira.
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1 PERES, P.; OLIVEIRA, R. caracterização de estabilidade de sistemas lineares por meio de desigualdades matriciais lineares. [S.l.], 2009. Disponível em: <http://www.dt.fee.unicamp.br/
sala225/ia360/ia360.html>. Acesso em: 20 jun. 2013..
2 Silva, E. R. P. ; Buzachero, L. F. S.; Resolvendo LMIs com o MATLAB: Curso de Yalmip com solvers LMILab e SeDuMi. 2011.
0 20 40 60 80 100 120
-15 -10 -5 0 5 10
Saída y(t) (cm)
tempo (s)
0 20 40 60 80 100 120
-15 -10 -5 0 5 10
Saída y(t) (cm)
tempo (s)
