XXV Congresso de Iniciação Científica
Uma Aplicação do Teorema de Bézout ao Teorema do Hexágono de Pascal
Aluno-autor: Joél Faria Junior, Ilha Solteira, FEIS, Matemática, joeljunior.mat.feis@gmail.com, Cnpq.
Orientador: Prof. Dr. Jaime Edmundo Apaza Rodriguez Palavras Chave: Curva Algébrica, Grau, Intersecção.
Introdução
Este trabalho surgiu a partir do interesse de estudar as intersecções entre curvas descritas por polinômios em duas variáveis, ou seja, estudar onde essas curvas se cruzam. Um Teorema fundamental para esse estudo é o Teorema de Bézout, e o enfoque principal desse trabalho é exibir uma aplicação direta e geométrica desse Teorema para demonstrar o Teorema do Hexágono de Pascal.
Material e Métodos
O material usado para a realização desse trabalho foram os livros que estão citados na bibliografia e o software livre GeoGebra (versão 4.2).
Resultados e Discussão
O resultado obtido foi a utilização do Teorema de Bézout para demonstrar a propriedade geométrica do Teorema do Hexágono de Pascal.
“Teorema de Bézout: Se são curvas planas projetivas sem componente em comum então o número de pontos na intersecção , contados com multiplicidade, é igual ao produto dos graus de com ”
E também a demonstração do Teorema do Hexágo- no de Pascal.
“Teorema do Hexágono de Pascal: Sejam seis pontos distintos sobre uma cônica irredutível . Se as retas se intersectam em , as retas se intersectam em e as retas se intersectam em , então os pontos estão sobre a mesma reta, , são colineares.
Conclusões
Concluímos então que para demonstrar o Teorema do Hexágono de Pascal precisamos mostrar que três pontos são colineares. Mostrados na figura a seguir.
Figura 1. Hexágono de Pascal
E para mostrar que estes três pontos se encontram sobre uma mesma reta precisamos utilizar o Teorema de Bézout e as condições que o teorema impõe. Feito isso podemos utilizar esse teorema para a demonstração do Teorema do hexágono de Pascal.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer primeiramente a Deus que me proporcionou saúde e sabedoria para desenvolver esse trabalho de iniciação científica, ao meu professor orientador que disponibilizou de seu tempo e atenção me ajudando, a minha família que sempre me apoiou nas decisões que tenho tomado e ao CNPq que fomentou e apoiou meu trabalho de Iniciação Científica.
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¹ VAINSENCHER, I.; Introdução às Curvas Algébricas Planas. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 1996. 160 pp. (Coleção Matemática Universitária, 5).
² MELO, M. M.; Alguns Exemplos de Curvas Planas. Revista da Olim- píada, Goiânia, no5, 54 pp. a 66 pp., Março/2004.
³ GARCIA, A. & LEQUAIN, Y.; Elementos de Álgebra. 5a edição, 2a impressão. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2010. 326 pp. (Projeto Euclides).
4 HEFEZ, A.; Curso de Álgebra. Volume 1, 1a edição. Rio de Janeiro:
Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002.
214 pp. (Coleção Matemática Universitária).
5 LEHMANN, C. H.; Geometria Analítica. 1a edição, 2a impressão.
Porto Alegre: Globo, 1974. 457 pp..
