Teorema do Gráfico Fechado

XXV Congresso de Iniciação Científica

Teorema do Gráfico Fechado

Aluno-autor: Vinícius Lourenço da Rocha, Orientador: Roberto de Almeida Prado. FCT-UNESP, Matemática – Licenciatura, vinincius.oczrocha@hotmail.com, bolsa FAPESP.

Palavras Chave: Teorema do Gráfico Fechado, Operadores Fechados, Operadores Limitados.

Introdução

Nem todos os operadores de importância prática são limitados, como por exemplo, o operador derivada, que é frequentemente aplicado em várias áreas, como a mecânica quântica. Entretanto, a maioria dos operadores utilizados em problemas práticos possui uma propriedade que lhes dá o nome de operadores lineares fechados e estes se aproximam de certa forma, dos operadores limitados.

Objetivos

O objetivo deste trabalho é apresentar o importante Teorema do Gráfico Fechado, que mostra a equivalência entre operadores lineares limitados e fechados, definidos em espaços de Banach.

Material e Métodos

O material utilizado para elaborar este trabalho são as referências [1] e [2]. O método utilizado envolve conceitos e resultados da Análise Funcional.

Resultados e Discussão

Vejamos agora algumas definições importantes para a compreensão deste trabalho. Considere um operador linear

T : D ( T )  Y

, onde

D ( T )  X

e

X

,

Y

são espaços de Banach.

Definição 1. (Operador Linear Limitado) O operador linear

T

é dito limitado quando existe uma constante

C

0tal que

Tx



C x

, para todo

) (T D x 

.

Definição 2. (Operador Linear Fechado) O operador linear

T

é dito fechado quando o seu gráfico

G ( T )  {( x , y ) | x  D ( T ), y  Tx }

é fechado no espaço normado

X



Y

.

Observe que no espaço normado

X



Y

, as duas operações algébricas definidas são as usuais, isto é, para quaisquer

( x

₁

, y

₁

), ( x

₂

, y

₂

)  X  Y

e



escalar, tem-se,

) ,

( ) , ( ) ,

( x

₁

y

₁

 x

₂

y

₂

 x

₁

 x

₂

y

₁

 y

₂

) , ( ) ,

( x

₁

y

₁

 x

₁

 y

₁

 

.

Além disso, a norma definida em

X



Y

é

1 1 1 1, )

(

x y



x



y

.

Em outras palavras, dizer que um operador linear

T

é fechado significa dizer que, para toda sequência de pontos

x

_n

D

(T)convergente,

X x

x

_n   , com a sequência de pontos )

(

Tx

_n também convergente,

Tx

_n 

y

, se tenha

) (T D

x 

e

Tx  y

.

Em que condições um operador linear limitado é um operador fechado? O resultado a seguir responde esta pergunta e é importante dentro da Análise Funcional. Tal resultado é conhecido como

Teorema do Gráfico Fechado. A sua demonstração pode ser encontrada nas referências [1,2].

Teorema 3. (Teorema do Gráfico Fechado) Sejam

X

,

Y

são espaços de Banach e

T

:

X



Y

um operador linear. Então

T

é limitado se, e somente se,

T

é fechado.

Vejamos agora dois exemplos.

Exemplo 4. (Não-Fechado e Limitado) Seja

X X I D

I : ( )  

o operador identidade. Este operador é limitado, porém não é fechado.

Exemplo 5. (Fechado e Não-Limitado) Seja

] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ ) (

: D T C C

T  

o operador derivada,

onde

C [ 0 , 1 ]

é o espaço normado das funções contínuas definidas no intervalo [0,1]. Este operador não é limitado, mas é fechado.

Conclusões

Neste trabalho apresentamos um resultado importante da Análise Funcional, conhecido como o Teorema do Gráfico Fechado e demos alguns exemplos de operadores limitados e fechados.

Agradecimentos

Agradeço à FAPESP pela bolsa de Iniciação Científica.

____________________

1KREYSZIG, E.: Introductory Functional Analysis with Applications.

University of Windsor: John Wiley & Sons, 1989.

2 Oliveira, C. R.: Introdução à Análise Funcional. 1.ed. Rio de Janeiro:

IMPA, 2012.