75 Figura 13 – Densidade numérica das partículas produzidas para os campos (curvas de cima para baixo) ϕ,χ e σ em função de τ =mϕt. Portanto, pretendemos determinar como a presença de flutuações e dissipação afetam a ressonância paramétrica e consequentemente a produção de partículas durante este período.
Modelo Cosmol´ ogico Padr˜ ao
Tensor Energia-Momento de um Fluido Perfeito
Com esta base podemos agora definir uma expressão para o tensor energia-momento que aparece nas equações de Einstein. Depois de termos definido a medida mais adequada para a descrição do universo e do tensor energia-momento, voltamos às equações (1) e construímos as equações de Friedmann que descreverão a evolução do universo.
Equa¸c˜ oes de Friedmann
Reescreva-o para incluir a densidade total de energia do universo e a densidade da matéria cosmológica. As equações (15) e (17) são as equações de Friedmann que fornecem a dinâmica do universo e devem ser capazes de reproduzir sua história.
Limita¸ c˜ oes do Modelo Padr˜ ao
Esses defeitos se diluiriam mais lentamente que a radiação durante a expansão do universo na fase dominada pela radiação. Como resultado, estas relíquias dominarão a matéria total do universo existente, o que não corresponde às observações.
Infla¸ c˜ ao
Com base na hipótese de que a(t) cresceria fortemente durante este período, negligenciamos o termo curvo do espaço k e obtemos Como veremos, a matéria e a radiação podem ser criadas após a inflação através do reaquecimento do universo.
Alguns Exemplos de Modelos Inflacion´ arios
Infla¸c˜ ao Ca´ otica
Modelo Inflacion´ ario H´ıbrido
Infla¸c˜ ao Morna
A integral sobre o primeiro termo na expressão acima é a correção para o potencial efetivo para um loop em T = 0. A parte dependente da temperatura da expressão do potencial efetivo em (63) é finita e pode ser escrita como A integral acima, que é o potencial térmico efetivo bosônico, admite uma expansão em altas temperaturas, antes de ≪1, que é dada por [25].
Dentro da aproximação de alta temperatura dada pela equação 67), a expressão para o potencial efetivo na teoria é λφ4 (negligenciando termos independentes de ¯ϕ e preservando a ordem ainda mais baixa em (67)). Notemos que a partir da solução dependente da temperatura, na situação clássica de quebra espontânea de simetria do potencial clássico, ou seja, quando m2 = −|m2|, o resultado acima é expresso como um vácuo com quebra de simetria, ¯ϕ ̸= 0 , restaura a simetria, ¯ϕ = 0,.
Campo Escalar Carregado
Potencial Efetivo para Campo Carregado
O ponto de partida para nossos cálculos é a função de partição Gran Canonical dada por. A aproximação do loop de potencial efetivo corresponde a negligenciar todos os termos na ação de ordem superior a S(2), ou seja, todos aqueles de ordem superior a quadrática em ϕ ′i (e qualquer desvio de ϕi = ¯ϕi inversamente). Fixando Ji, temos uma expressão tratável para a função de partição no laço, que pode ser inserida na equação (92) para obter o potencial efetivo.
Notamos que esta expressão para Z(1) é exatamente o que teríamos obtido se tivéssemos iniciado os nossos cálculos sem incluir os termos de origem. Este capítulo considera modelos de produção de partículas conhecidos como perturbativos e não perturbativos.
Dinˆ amica do Inflaton ap´ os a Infla¸ c˜ ao
Vimos também que esse fenômeno poderia ser reproduzido através da dinâmica do campo escalar denominado ínflaton. À medida que o campo ϕ cai abaixo de MPl, o termo de atrito 3Hϕ˙ torna-se cada vez menor, e a inflação termina quando ϕ≈ M2Pl. Conclui-se que na fase de oscilações do campo ϕ em torno do mínimo do seu potencial efetivo, o universo se expandiria de acordo com o comportamento da matéria não relativística [22].
Observe que esta hipótese não é seguida pela proposta de inflação quente, que leva em conta tais interações do ínflaton com outros campos de matéria e, dependendo de vários parâmetros do modelo, tais interações podem realmente alterar a dinâmica do campo do ínflaton. Abaixo está uma descrição de dois mecanismos de produção de partículas, perturbativos e não perturbativos.
M´ etodo Perturbativo de Produ¸ c˜ ao de Part´ıculas
Um campo escalar homogêneo com frequência mϕ pode ser considerado como uma onda coerente de partículas ϕ com momento zero e densidade de partículas nρϕ/mϕ. Para um campo escalar homogêneo em um universo com constante de HubbleH, a equação de movimento para ϕ, na aproximação de pequena amplitude de oscilação, é dada por. Uma descrição fenomenológica deste efeito pode ser realizada adicionando um termo de amortecimento Γϕϕ˙ em vez de adicionar um termo proporcional para o operador de polarização,. 118).
Neste modelo, o aquecimento não terminaria até que a constante de Hubble H se tornasse menor que Γϕ, caso contrário a maior parte da energia permaneceria armazenada no campoϕ. Segue-se agora uma descrição detalhada de outro mecanismo de produção de partículas, que se revelou muito mais eficiente que o método perturbativo.
Pr´ e-aquecimento
Para gΦ < mϕ temos o chamado regime de ressonância paramétrica estreita, onde então q ≪ 1. Neste regime, a ressonância é mais pronunciada na primeira banda de ressonância, para modos com k2 ~ m2ϕ(1−2q ±q) . Este processo pode ser interpretado como uma ressonância com o decaimento de duas partículas ϕ com massa mϕ em duas partículas χ com momento k∼mϕ.
Há ressonância para modos com k2/m2ϕ = Ak−2q, para valores acima da linha Ak = 2q no gráfico de estabilidade/instabilidade da equação de Mathieu. Esta relação é satisfeita para a maior parte do período de oscilação do campo do ínflaton ϕ no regime de ressonância ampla com q1/2 = gΦ2 ≫ 1.
Teoria de Campos de Temperatura Finita
Com isso e as relações de comutação usuais para os operadores de criação e aniquilação [23] obtemos Também podemos expressar a transformada de Fourier do propagador de Feynman em temperatura finita como segue. Uma das vantagens encontradas na representação em tempo real é a possibilidade de escrever funções de Green de dois pontos sem a necessidade de utilizar tempo imaginário, o que exigiria o uso de operações analíticas constantes para conversão para tempo real.
Singularidades decorrentes de funções δ de Dirac são possíveis em diagramas de Feynman com dois ou mais propagadores [25].
A Formula¸ c˜ ao de Teoria Quˆ antica de Campos a Tempo Real
Dentre os contornos possíveis que atendem às condições acima, está o chamado contorno Keldysh conforme mostrado na figura. Este é o chamado contorno de Schwinger, mostrado na figura ??, que descreveremos e usaremos em nossas deduções das equações efetivas de movimento determinadas posteriormente. Desta forma, podemos determinar no esboço de Schwinger dois tipos diferentes de campos, que identificaremos pelos índices + e -, dependendo se os campos estão em C1 ou C2 respectivamente.
Podemos então expressar a função geradora Z das funções de Green ao longo deste contorno como segue. Levando em consideração a periodicidade KMS do campo escalar, ϕ(⃗x, t) =ϕ(⃗x, t−iβ), é possível calcular as integrais da trajetória sobre formas quadráticas, obtendo como resultado final a divisão em reais tempo. função, generalizada para levar em conta o contorno do caminho fechado no tempo no plano complexo.
Modelo de Campos e as correspondentes Equa¸ c˜ oes Efetivas de
Portanto, não é possível encontrar uma equação de movimento efetiva simplesmente deduzindo-a em relação à variável de campo, uma vez que estamos lidando com um campo escalar real e sua equação também deve ter valor real. Nesta equação, ξ(x) é tratado como uma característica de ruído gaussiana conforme dado anteriormente pelas Eqs. Da mesma forma, seguindo o mesmo procedimento adotado para determinar a equação 172), podemos determinar a equação da ação efetiva do movimento para o campo χ dada pelo autor.
Várias aproximações podem ser aplicadas às equações efetivas de movimento (172) e (173), em particular aproximações locais para núcleos não locais (dispersivos) podem ser úteis dependendo da aplicação específica. 4 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E RESSONÂNCIA PARAMÉTRICA NO MODELO DE CAMPO DE FIO TRILINEAR.
Solu¸ c˜ ao para a Equa¸ c˜ ao de Movimento para o Campo de Inflaton 63
Vamos agora investigar como podemos encontrá-lo. uma solução para a equação de movimento para flutuações de χ. Aqui mostraremos como podemos obter uma solução para a equação de desenvolvimento de campoχ. Com estes resultados, podemos determinar a evolução da densidade de energia das partículas χ como modo k. 197) na segunda linha, e na terceira linha tomamos a média durante um período de oscilação do campo do ínflaton ϕ.
A partir da expressão (200), podemos ver que a produção χ de partículas ressonantes diminui devido aos efeitos de espalhamento, o que reduz a taxa de decaimento ressonante do campo de inchaço ϕ. Como vimos, derivamos uma solução analítica para a equação de movimento efetiva para o campo χ considerando apenas o caso em que não há flutuações.
Ressonˆ ancia para caso das Equa¸ c˜ oes de Movimento Cl´ assicas e
Na Figura 13 mostramos as densidades numéricas de partículas produzidas pela ressonância paramétrica para os campos, que também são obtidas diretamente com o programa LATTICEEASY e definidas pela fórmula. Comparando a evolução dos campos apresentados nas Figuras 10, 11 e 12, notamos que o número máximo de partículas produzidas coincide com a variação máxima de cada campo. Pela mesma razão, o efeito previsto pela equação 200) de redução da taxa de produção de partículas devido ao efeito de decaimento de campo é extremamente pequeno.
Uma solução para realmente verificar tal redução na taxa de produção de partículas de ressonância paramétrica seria aumentar os valores dos acoplamentos trilineares g e h. Especialmente no contexto da cosmologia, o estudo da dinâmica de campo desempenha um papel importante no estudo da inflação, da produção de partículas e da geração de densidades de perturbação. A dissipação e consequente produção de entropia aqui estudada está diretamente relacionada ao processo cinemático de desintegração desses campos em partículas mais leves.
Nossos resultados mostram que os termos de espalhamento e flutuação podem gerar efeitos significativos na dinâmica de produção de partículas ressonantes, devido ao amortecimento das oscilações do campo e à consequente redução da taxa de produção de partículas.
