Aus diesem Grund – und auch weil Sie eher Informatik und weniger Philosophie studieren – wird sich dieser Kurs weniger mit den tiefgreifenden philosophischen Problemen befassen, auf die Sie praktisch bei den ersten Schritten in der Logik stoßen. Der Ablauf ist wie folgt: Ich präsentiere Ihnen das Thema in der Vorlesung und Sie können bereits während der Vorlesung mit dem Üben mit kleinen Miniübungen beginnen.
Syntax von Programmiersprachen
Wieder gibt es Regeln, die befolgt werden, und wieder fällt es uns schwerer, sie zu erkennen, weil wir sofort über die Bedeutung nachdenken.
Syntax logischer Sprachen
Was ist Semantik? 7
- Semantik von Programmiersprachen
- Aussagenvariablen
- Junktoren
- Formeln und ihre Syntax
In diesem Kurs lernen Sie nicht die Grundideen der Aussagenlogik kennen – sie sind Ihnen angeboren. Vielleicht ist es an dieser Stelle irritierend, dass die Aussagenlogik eine bestimmte Art von Logik haben soll.
Semantik der Aussagenlogik 14
- Variablenbelegungen
- Auswertungen
Für die Länge 0 ist die Aussage trivial wahr, da es für die Länge 0 keine Formel gibt. Die Aussage gilt auch für die Länge 1, da es nur w,funda als ableitbare Zeichenfolgen der Länge 1 gibt.
Semantische Begriffe 17
- Erfüllbarkeit
- Tautologien
- Kontradiktionen
- Eine kleine Anwendung
- Folgerung und Implikation
- Die zwei Beweisebenen
- Wichtige Folgerungen
Der Wolf sagte: „Wenn Eier in den Kuchen geraten, frisst der Bär nichts vom Kuchen!“ Ein Modell ist der Beruf, der alle Variablen festlegt; die Zuordnung β(p) = 1 und β(q) = 1 und β(r) = 0 ist kein Modell.
Semantische Äquivalenz 27
- Äquivalenz ist äquivalent zu Äquivalenz 28
- Motivation mit Chips
Fahren Sie fort mit „Nehmen Sie für die erste Richtung an, dass A gilt.“ Schließen Sie daraus, dass dann auch B gelten muss. Geben Sie für die folgenden Satzformeln äquivalente Formeln an, die nur die Thread-Konjunktion enthalten.
Disjunktive Normalform 33
- Existenz
- Konstruktion
Konjunktive Normalform 36
- Existenz
- Konstruktion I
- Konstruktion II
- Motivation
- Mathematische Beweise
Ursprünglich gibt es zwei Arten von Normalformen für Satzformeln: die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform. Eine Formel liegt in disjunktiver Normalform vor, wenn sie nur aus Monomen besteht, die durch Oder-Verknüpfungen verbunden sind. Dieser ist wie folgt aufgebaut: Für jede Variable, die in ϕ vorkommt, gibt es eine Spalte und eine Ergebnisspalte.
Ein solches Monom enthält für jede Variable von ϕ genau ein Literal, wobei genau die Literale negiert werden, für die die Variable in der Zeile 0 ist. Eine Formel liegt in relationaler Normalform vor, wenn sie nur aus durch UND-Verknüpfungen verbundenen Klauseln besteht. Zu jeder Satzformel gibt es äquivalente Formeln in normaler disjunktiver und auch konjunktiver Form.
Für jede Zuweisung β gilt also βˆ(ϕ) = 1 genau dann, wenn die Zahl a3,a2,a1,a0(β) ein Vielfaches von 3 ist. Die eingekreiste Zahl gibt die Minuten an, die für die Frage in einer Prüfung zur Verfügung stehen würden. Geben Sie explizit an, welche Ihrer Formeln die disjunktive und welche die konjunktive Normalform ist.
Beweissysteme 45
- Beispiele
- Korrektheit und Vollständigkeit
Anatomie eines Beweises 46
- Der Beweis
- Analyse
- Vorbereitungen
- Graphische Schreibweise
Wenn es für eine Aussage einen formalen Beweis gibt, kann man sich die mühsame Suche nach Fehlern ersparen – die Aussage ist dann einfach wahr. Der Dialog findet zwischen dem großen Helden Achilles und einer Schildkröte statt.1 Die Schildkröte erzählt Achilles von seiner neuesten Entdeckung: Für jede Formel gibt es eine entsprechende Formel im DNF. Ich habe etwas Interessantes gefunden: Zu jeder Aussagenformel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 in disjunktiver Normalform.
Achilles Nun, ich kann mir vorstellen, dass es Formeln gibt, auf die das nicht zutrifft. Schildkröte In dieser Wahrheitstabelle gibt es einige Zeilen, in denen die Formel 1 ergibt. Ungefähr einmal im Quartal bekomme ich eine E-Mail, in der sich jemand über die Beweise beschwert.
Ich kann es mir nicht ganz vorstellen, aber falls es niemandem aufgefallen ist: Die Version von Euklids Beweis in der Beamer-Dokumentation/-Vorlage ist falsch. Darüber hinaus wird für die untere Grenze des Intervalls ein Name a und für die obere Grenze des Intervalls ein Name a festgelegt. Dass es überhaupt einen I1 mit dieser Einschränkung gibt, liegt daran, dass die Reihenfolge begrenzt ist. Hier wird erwartet, dass der Leser dies bemerkt und ergänzt.
Korrektheit und Vollständigkeit 53
- Vollständigkeitssatz
- Axiome
- Modus ponens
- Beispiele
Für diejenigen, denen diese mathematische Trickserei zu schnell vorkommt, ist hier das Ein-Satz-Beweissystem »Resolution« für den Hausgebrauch: »Um zu zeigen, dass φ tautologisch ist, schreiben Sie ϕ in assoziativer Normalform und wenden Sie die Lösungsregel an, bis ein Widerspruch entsteht. «. Diese leere Klausel ergibt sich aus der Anwendung der Auflösungsregel auf die Klauseln a und ¬a (ϕ und ϕ0 sind leer). Die erste Formel zum Beweis von P ist die Negation von ϕ. Die Negation von ϕ ist also ebenfalls ein Widerspruch und somit ist ϕ eine Tautologie.
Genauer gesagt bedeutet es: Bei einer willkürlichen Tautologieϕ und der Umwandlung von mens¬ϕ in ein knf ergibt sich eine Auflösung, die sich als Widerspruch erweist. Für jede widersprüchliche Formel ψ in konjunktiver Normalform gibt es einen Auflösungsbeweis dafür, dass es sich um einen Widerspruch handelt. Wir müssen zeigen, dass es für jeden Widerspruch in knf mit nur einer Variablen einen Auflösungsbeweis gibt.2 Der einzige Widerspruch in knf mit nur ei-.
Wir werden nun zeigen, dass ψ0 die Sätze enthält und somit ein Auflösungsbeweis dafür ist, dass ψ ein Widerspruch ist.7. Die Formel ρ enthält nur nVariablen9 und ist zudem ein Widerspruch (denn ein Modell von ρ wäre auch ein Modell von ψ0, manvbewiesen durch 0). Bringen Sie dazu die Formel ϕ mit dem Algorithmus aus der Vorlesung in die konjunktive Normalform.
Ableitungen 59
- Der Ableitungsbegriff
- Das Deduktionstheorem
- Der Beweisplan
- Der Konsistenzbegriff
- Jede konsistente Menge hat ein Modell . 70
- Was ist Prädikatenlogik?
1] Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman & Hall, 1997 Das in dieser Vorlesung verwendete Aussagenlogik-Axiomsystem stammt von hier. Das Finden der Wahrheitstabellen ist natürlich fast lächerlich einfach: Schreiben Sie einfach alle möglichen Zuweisungen für die Variablen untereinander und rechts immer eine 1. Wenn dem Beweissystem „Wahrheitstabelle“ sofort klar wäre, dass es immer eine gibt Für jede Tautologie einen Beweis zu liefern, wäre es für die Auflösung viel komplexer, dies zu beweisen.
Wenn nun β ein Modell aller ϕimiti Tipp: Der Vollständigkeit halber zeigen Sie, dass Axiom III des Mendelson-Systems aus den obigen Regeln abgeleitet werden kann. Sowohl die Syntax als auch die Semantik der Prädikatenlogik sind wesentlich komplexer als die der Aussagenlogik. Das war mit der Aussagenlogik auch nicht einfach, aber am Ende ging es um die Frage, wie lange man bereit war, auf eine Antwort zu warten. Auf der anderen Seite ist anzumerken, dass die Formulierung H(x,y)∧H(y,z) ein wenig von der großen Dramatik auslässt, die „xhat was mityund yhat was mitz“ immer noch hatte und Material für mehrere Millionen bieten würde Opern-Fortsetzungen. Hinweis: Ähnlich wie beim Programmieren sind Deklarationen nicht wirklich notwendig, haben sich aber als sehr nützlich erwiesen. In der Einleitung zum vorherigen Kapitel war es sowohl aufschlussreich als auch überzeugend zu argumentieren, dass QL als Soap-Opera-Logik bezeichnet werden sollte. In der Seifenopernlogik gibt eine Welt alles an, was zum Verständnis einer Formel wie H(x,y) ∧ H(y,z) erforderlich ist. Diese Menge an Menschen nennt man im logischen Universum stur, der Begriff ist vielleicht etwas groß geraten – aber wie so oft lässt sich daran nichts ändern. Da es furchtbar unwissenschaftlich klingen würde, würde man immer von „der Filmfigur hinter Mr Die Bedeutung ist dieselbe. Um die Arität eines Relationssymbols in einer Signatur anzuzeigen, wird diese Arität auch hochgestellt in die Signatur geschrieben: R3. Nun sind die Dinge ganz ähnlich: In der Prädikatenlogik schreiben wir W |=ϕ als „ϕ gilt in der Welt W“. Geben Sie eine Formel erster Ordnung für die Signatur τ an, die in der Welt W nur erfüllt ist, wenn α(x) = Liechtenstein. Geben Sie für jedes der folgenden Konzepte an, ob sie mit Beziehungssymbolen oder mit Funktionssymbolen beschrieben werden sollen. Wenn das konstante Symbol s in der Welt für den Mann Sokrates (auch S = Sokrates) steht, dann gilt es auch in der Welt. Geben Sie eine Formel an, die in N, aber nicht in Z gültig ist, eine Formel, die in Z, aber nicht in Q gültig ist, und eine Formel, die in Q, aber nicht in N gültig ist. Bestimmen Sie für jede der folgenden Formeln erster Ordnung, ob es sich um eine Tautologie, einen Widerspruch oder keines von beidem handelt. Geben Sie für jede Formel, die weder eine Tautologie noch ein Widerspruch ist, eine Welt an, in der die Formel wahr ist, und eine Welt, in der die Formel nicht wahr ist. Hinweis: Da die Formel geschlossen ist (keine freien Variablen), müssen Sie keine Variablenzuweisungen zu den Welten festlegen. Allerdings beschränken wir die Verwendung von ∃!: Die Formel ∃!x(ϕ) ist nur zulässig, wenn die Größe ∃! erscheint nirgendwo in ϕ. Jetzt zeigen wir die erste Richtung (ϕ∧ψ)∨ψ|=ψ, das heißt, jedes Muster für (ϕ∧ψ)∨ψ ist auch ein Muster für ψ. Es wird der Satz des König der Löwen vorgestellt, der besagt, dass die Formel in jeder endlichen Struktur gültig ist. Hinweise: Wie in der Aussagenlogik gelten zwei Sätze eigentlich nur für Formeln einer bestimmten Syntax – sie können nur die Konjunktion →und¬ und den Universalquantor verwenden. Wie in der Aussagenlogik kann dies jedoch leicht verallgemeinert werden, indem weitere Axiome für andere Symbole hinzugefügt werden. Über den Beweis: Ein Beweis ähnelt der Aussagenlogik: Sie zeigen, dass jeder konsistente Satz von Formeln ein Modell hat. Computer können sogar Beweise erhalten, indem sie einfach systematisch alle möglichen Beweise ausprobieren. Also: Sie können ein Computerprogramm schreiben, das für (fast) jeden realen mathematischen Satz einen Beweis für diesen Satz ausgibt. Da W ein Modell von ϕ ist, folgt aus den Annahmen ϕ|=ψ und ϕ|=ρ, dass W auch ein Modell von ψ und ρ ist. Und so weiter zum Letzteren, was nachweislich das Erstere impliziert. Wenn das Ding ein Tupel mit einer festen Anzahl von Komponenten ist (wie etwa eine Grammatik, die immer aus vier Teilen besteht), dann schreibt man »SeiG= (N,T,S,E) eine Grammatik.Syntax der Prädikatenlogik 76
Substitution 97
Hilbertkalkül der Prädikatenlogik 104
Syntax und Semantik der Prädikatenlogik in
