PROGRAMA DE P ´
OS-GRADUAC
¸ ˜
AO
MATEM ´
ATICA EM REDE NACIONAL
MESTRADO PROFISSIONAL
ILD ´
ALIO AGUIAR DE SOUZA SANTOS
O ENSINO E APLICAC
¸ ˜
OES DE MATRIZES
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
INSTITUTO DE MATEM ´
ATICA
PROGRAMA DE P ´
OS-GRADUAC
¸ ˜
AO
MATEM ´
ATICA EM REDE NACIONAL
MESTRADO PROFISSIONAL
ILD ´
ALIO AGUIAR DE SOUZA SANTOS
O ENSINO E APLICAC
¸ ˜
OES DE MATRIZES
ORIENTADORA: Prof.
aDra. R ´
UBIA MARA DE OLIVEIRA SANTOS
Trabalho de Conclus ˜ao de Curso apresentado ao Programa de
P ´os-Graduac¸ ˜ao em Matem ´atica em Rede Nacional do Instituto
de Matem ´atica - INMA/UFMS como parte dos requisitos para
obtenc¸ ˜ao do t´ıtulo de Mestre.
ILD ´
ALIO AGUIAR DE SOUZA SANTOS
Trabalho de Conclus ˜ao de Curso submetido ao Programa de P ´os-Graduac¸ ˜ao
em Matem ´atica em Rede Nacional, Instituto de Matem ´atica, da Universidade Federal de
Mato Grosso do Sul, como parte dos requisitos para obtenc¸ ˜ao do t´ıtulo de Mestre.
Aprovado pela Banca Examinadora:
Profa. Dra. R ´ubia Mara de Oliveira Santos - UFMS
Prof. Dr. Roberto Quirino do Nascimento - UFPB
Prof. Dr. Jair da Silva - UFMS
Agradecimentos
Agradec¸o a Deus por ter me concedido forc¸a e sabedoria para lidar com os
problemas nesta jornada, e por tornar esta vit ´oria uma realidade.
Agradec¸o a minha esposa Claudia Steffany e ao meu filho Renan, por sempre
estarem ao meu lado em todos os momentos me apoiando e brigando quando necess ´ario
e por terem compreendido a minha aus ˆencia durante este per´ıodo.
Gostaria de agradecer aos meus pais por sempre me apoiarem em qualquer
decis ˜ao e nunca terem deixado de confiar em mim.
Agradec¸o a Deus pela minha orientadora Prof.a Dra. Rubia Mara de Oliveira Santos pela paci ˆencia quanto a minha n ˜ao habilidade com a escrita, pelos ensinamentos,
Este trabalho fala sobre as matrizes, sua hist ´oria, seu ensino, e suas aplicac¸ ˜oes.
Quanto ao ensino das matrizes, verificou-se um sistema de aprendizagem totalmente
alg ´ebrico e com poucos exemplos de aplicac¸ ˜oes. Neste sentido, orientac¸ ˜oes ao ensino
foram estabelecidas visando subsidiar o trabalho docente na introduc¸ ˜ao a matrizes com
uma abordagem diferenciada em sala de aula. Para tal, foi apresentado o conte ´udo
de matrizes por meio de suas definic¸ ˜oes e propriedades. O trabalho apresenta uma
introduc¸ ˜ao `a Otimizac¸ ˜ao Linear e estabelece seus principais conceitos. O Problema de
Empacotamento de DAG’s (Directed Acyclic Graphs) ´e apresentado, seguido de um
es-tudo de t ´ecnicas para sua resoluc¸ ˜ao.
Abstract
This paper is about matrices, their history, teaching, and applications.
Con-cerning to Matrices teaching, it was verified a totally algebraic learning system and with
a few examples of applications. In this sense, orientations about teaching were set up
aiming subsidize instructor work on matrices introduction as a differentiated approach at
classroom. For this, it was presented the matrices subject by means of definitions and
properties. This work presents an introduction to Linear Optimization and set up their
mainly concepts. DAG’s Packing Problems (Directed Acyclic Graphs) is presented,
fol-lowing an study of techniques for its resolution.
1 Introduc¸ ˜ao 11
1.1 Hist ´oria das matrizes . . . 12
1.2 Objetivo do Trabalho . . . 13
2 Ensino das Matrizes 15 2.1 An ´alise de livro Did ´adico I . . . 18
2.1.1 Livro 1 . . . 19
2.1.2 Livro 2 . . . 20
2.1.3 Livro 3 . . . 21
2.2 An ´alise de livro did ´atico II . . . 22
2.3 Situac¸ ˜ao did ´atica . . . 26
2.4 Considerac¸ ˜oes Finais . . . 36
3 Fundamentac¸ ˜ao Te ´orica de Matriz 37 3.1 Definic¸ ˜ao e Representac¸ ˜ao de Matriz . . . 38
3.2 Tipos de Matrizes . . . 38
8
3.3 Igualdade e Desigualdade de Matrizes . . . 40
3.4 Operac¸ ˜oes com Matrizes . . . 40
3.4.1 Adic¸ ˜ao de Matrizes . . . 40
3.4.2 Subtrac¸ ˜ao de Matrizes . . . 41
3.4.3 Multiplicac¸ ˜ao de N ´umero Real por Matriz . . . 41
3.4.4 Multiplicac¸ ˜ao de Matrizes . . . 43
3.4.5 Matriz Transposta . . . 44
3.4.6 Trac¸o de uma Matriz . . . 45
3.4.7 Matriz Inversa . . . 46
3.5 Considerac¸ ˜oes Finais . . . 46
4 Aplicac¸ ˜oes de Matriz em Otimizac¸ ˜ao Linear 47 4.1 Conceitos B ´asicos de Otimizac¸ ˜ao Linear . . . 52
4.2 Teoria do M ´etodo Simplex . . . 61
4.3 Problema de Empacotamento de DAGs - PED . . . 68
4.3.1 First Fit Decreasing Height (FFDH) . . . 70
4.3.2 Best Fit Decreasing Height (FFDH) . . . 71
4.3.3 Modelo Matem ´atico para o Problema do Empacotamento de DAGs 75 4.4 Coniderac¸ ˜oes Finais . . . 79
5 As Conclus ˜oes 80
2.1 Matrizes A e B . . . 30
2.2 Matriz C soma das marizes A e B . . . 31
2.3 Soma de matrizes com ordens diferentes . . . 32
2.4 Multiplicac¸ ˜ao de um n ´umero real por uma matriz . . . 34
4.1 O gradiente . . . 57
4.2 Regi ˜ao Fact´ıvel . . . 58
4.3 Curvas de n´ıvel da func¸ ˜ao . . . 58
4.4 Restric¸ ˜ao (4.7) . . . 60
4.5 Restric¸ ˜oes (4.4) e (4.7) . . . 60
4.6 Restric¸ ˜oes (4.5) e (4.7) . . . 60
4.7 Restric¸ ˜oes (4.6) e (4.7) . . . 60
4.8 Regi ˜ao Fact´ıvel . . . 60
4.9 Exemplo de Empacotamento de DAGs . . . 69
4.10 Conjunto de DAGs . . . 73
4.11 Empacotamento pela heur´ıstica FFDH . . . 74
LISTA DE FIGURAS 10
4.12 Empacotamento pela heur´ıstica BFDH . . . 74
1
INTRODUC
¸ ˜
AO
A id ´eia de matriz comec¸ou a aparecer no tempo da china antiga e sua origem
est ´a intimamenente ligada ao estudo de sistemas lineares.
O surgimento das matrizes se deu a partir da necessidade de se desenvolver
m ´etodos para a resoluc¸ ˜ao de sistemas lineares, os quais comec¸aram a serem
represen-tados por tabelas num ´ericas formadas pelos coeficientes das equac¸ ˜oes que compunham
esses sistemas, essas tabelas deram origem ao que chamamos hoje de matrizes.
Hoje em dia as matrizes s ˜ao muito utilizadas para representar dados,
permi-tindo uma visualizac¸ ˜ao pr ´atica e com maior clareza das informac¸ ˜oes expostas, al ´em de
SEC¸ ˜AO 1.1 • HIST ´ORIA DAS MATRIZES 12
facilitar a resoluc¸ ˜ao de alguns c ´alculos complexos, o que podemos considerar ser sua
import ˆancia em v ´arias `areas, como na matem ´atica, engenharia, f´ısica, administrac¸ ˜ao e
computac¸ ˜ao. Elas tamb ´em permitem o ac ´umulo de informac¸ ˜oes em um pequeno espac¸o,
geralmente est ˜ao presentes em jornais, revistas, livros e internet.
1.1
Hist ´oria das matrizes
Os primeiros ind´ıcios de matrizes surgiram no s ´eculo II a.c., apesar de existir
alguns ind´ıcios no s ´eculo VI a.c., por ´em foi no final do s ´eculo XVII que as ideias foram
estudadas e desenvolvidas at ´e os dias atuais.
Os babil ˆonios estudaram problemas e buscaram t ´ecnicas para a resoluc¸ ˜ao de
um sistema linear de duas vari ´aveis e duas equac¸ ˜oes por volta de 300 a.c. e preservaram
esses problemas em tabletas de argila.
Por volta de 200 a.c. e 100 a.c., os chineses conseguiram chegar bem mais
perto das matrizes. O texto Nove Cap´ıtulos da Arte Matem ´atica que foi escrito durante a dinastia Han cont ´em o primeiro exemplo conhecido de m ´etodos de matriz.
Em 1545, Girolano Cardano encontra uma regra para a soluc¸ ˜ao de um sistema
de duas equac¸ ˜oes lineares, a regra de Cramer, para a resoluc¸ ˜ao de um sistema linear
2x2 e desde ent ˜ao muitos resultados comec¸aram a surgir.
No Jap ˜ao e na europa a ideia de um determinante foi quase simult ˆanea, em
1683 o matem ´atico Seki kowa (1637-1708) publicou suas ideias e escreveu M ´etodo de resolver os problemas dissimulados que cont ´em m ´etodos matriciais com tabelas da mesma forma com que foram costruidos os m ´etodos chineses.
E logo depois Gottfried Leibniz (1646-1716), em 1683 que gerou a primeira
aparic¸ ˜ao na Europa em uma carta enviada ao marqu ˆes de L’h ˆopital, por ´em dava o nome
deresultante.
Durante o s ´eculo XVIII, diversos matem ´aticos desenvolveram estudos
relaci-onados aos m ´etodos matriciais e sobre os determinantes, como por exemplo, em 1730
de matrizes 2x2 e 3x3. Em 1764 com B ´ezout surgiram os determinantes de
Vander-monde, e Laplace em 1772 que discutiu a soluc¸ ˜ao de um sistema de equac¸ ˜oes lineares
usando determinante.
J ´a no s ´eculo XIX Carl Friedrich Gauss utilizou pela primeira vez o termo de-terminante no seu trabalho Disquisitiones Arithmeticae, em 1801 e no mesmo trabalho descreve a multiplicac¸ ˜ao de matrizes, que para ele era como uma composic¸ ˜ao, pois n ˜ao
tinha alcanc¸ado o conceito de matriz alg ´ebrica. No mesmo s ´eculo Augustin Louis
Cau-chy prova o teorema da multiplicac¸ ˜ao de determinantes e da novos resultados sobre o
assunto, vale ressaltar que foi ele quem introduziu a ideia de matrizes semelhantes e
mostrou que elas possuem o mesmo polin ˆomio caracteristico.
A partir de Cauchy outros matem ´aticos como Jacobi, Arthur Cayley, James J.
Sylvester desenvolveram e sistematizaram definic¸ ˜oes e propriedades que s ˜ao at ´e hoje
utilizadas, como por exemplo: Sylvester foi o primeiro a usar o termo matriz e a definiu como um arranjo retangular de termos; Cayley apresentou a inversa de uma matriz.
1.2
Objetivo do Trabalho
Este trabalho tem por objetivo analisar o conte ´udo de matrizes no Ensino
M ´edio, sua abordagem, seu ensino e suas aplicac¸ ˜oes. O trabalho encontra-se dividido
da seguinte maneira:
Cap´ıtulo 2: Ensino de Matrizes
Neste cap´ıtulo tem-se uma conjuntura do ensino das matrizes no Ensino M ´edio.
Apresentam-se os Par ˆametros e Diretrizes Curriculares Nacionais para o ensino
m ´edio, al ´em de an ´alises de livros did ´aticos do Ensino M ´edio no que tange o ensino
de matrizes. Encontram-se tamb ´em orientac¸ ˜oes que podem ser utilizadas em sala
de aula como uma proposta did ´atica para o Ensino das matrizes.
Cap´ıtulo 3: Fundamentac¸ ˜ao te ´orica das matrizes
SEC¸ ˜AO 1.2 • OBJETIVO DO TRABALHO 14
definic¸ ˜oes, teoremas e propriedades, seguidos de suas eventuais demonstrac¸ ˜oes.
Cap´ıtulo 4: Aplicac¸ ˜oes de Matriz em Otimizac¸ ˜ao Linear
Neste cap´ıtulo ´e apresentada uma introduc¸ ˜ao `a Otimizac¸ ˜ao Linear e o estudo de
seus principais conceitos. Em seguida ´e explicitado o M ´etodo Simplex com sua
fundamentac¸ ˜ao te ´orica, por fim ´e apresentado o Problema de Empacotamento de
DAGs (PED) e s ˜ao aplicadas t ´ecnicas para a soluc¸ ˜ao do problema.
Cap´ıtulo 5: As conclus ˜oes
Neste cap´ıtulo se encontram as conclus ˜oes deste trabalho e as indicac¸ ˜oes para
2
ENSINO DAS MATRIZES
A educac¸ ˜ao no ensino m ´edio tem o compromisso de desenvolver os processos
formativos do educando seja na vida familiar, no mundo do trabalho, pr ´aticas sociais,
den-tre outros, segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educac¸ ˜ao Nacional - LDB ( 9394/96)
a qual determina os marcos legais para o ensino m ´edio. Na LDB tem-se como maiores
destaques para o ensino m ´edio suas finalidades; a organizac¸ ˜ao curricular; e algumas
diretrizes.
Quanto a suas finalidades, o ensino m ´edio tem que permitir ao educando a
consolidac¸ ˜ao e o aprofundamento dos conhecimentos provenientes do ensino
fundamen-tal; a preparac¸ ˜ao para o mundo do trabalho e o exerc´ıcio da cidadania, o desenvolvimento
16
do pensamento cr´ıtico e sua formac¸ ˜ao ´etica. O que deve repercurtir no crescimento do
educando como pessoa humana e o desenvolvimento de compet ˆencias para continuar
seu aprendizado.
No que diz respeito a organizac¸ ˜ao curricular tem-se uma proposta nacional
que leva em considerac¸ ˜ao as diferentes realidades do brasil. O que deve ajudar o
educando a tornar-se capaz de se adaptar as mais diferentes propostas pedag ´ogicas
na nossa unidade federativa sem perder o seu foco, ou seja, sem deixar que as
com-pet ˆencias fundamentais exigidas nos alunos do ensino m ´edio deixem de ser alcanc¸adas,
al ´em de permitir uma grande margem de flexibilidade no que diz respeito aos conte ´udos
e m ´etodos de ensino que melhor potencializem esses resultados.
Olhando para as diretrizes, temos as Diretrizes Curriculares Nacionais para o
Ensino M ´edio (DCNEM) que prop ˜oem uma formac¸ ˜ao segundo os princ´ıpios da
contextua-lizac¸ ˜ao e da interdisciplinaridade al ´em de indicar as compet ˆencias e habilidades que se
espera serem adquiridas pelos alunos fazendo com que a escola n ˜ao se limite apenas
ao ensino disciplinar, mas sim que a escola desenvolva um trabalho que contribua para
o desenvolvimento dessas compet ˆencias e habilidades.
Segundo os Par ˆametros Curriculares Nacionais para o Ensino M ´edio - PCNEM
(Brasil, 2002) o ensino da matem ´atica dever ´a proporcionar aos alunos habilidades
re-lacionadas a representac¸ ˜ao, comprens ˜ao, comunicac¸ ˜ao, investigac¸ ˜ao, contextualizac¸ ˜ao
sociocultural. Visando estes par ˆametros apresentados pelos DCNEM (2000) e PCNEM
(2002) a matem ´atica de hoje tem um aprendizado que se estende al ´em do conte ´udo
fazendo com que o individuo a associe com o seu cotidiano, n ˜ao querendo formar
ma-tem ´aticos e muito menos estudantes que tenham em sua formac¸ ˜ao apenas compet ˆencias
ligadas a este componente curricular.
O professor de matem ´atica no que diz respeito a forma de trabalhar os conte
´u-dos, deve procurar o desenvolvimento do pensamento matem ´atico realizado pelo aluno
por meio de processos que gerem uma aprendizagem valorizando sempre o racioc´ınio
matem ´atico, racioc´ınio esse que em uma sala de aula deve ser aproveitado ao m ´aximo
valiosos e muito bem aproveitados.
Alguns exemplos de processos que podem favorecer a compreens ˜ao dos
alu-nos s ˜ao: perguntas durantes as aulas, situac¸ ˜oes problemas que permitam aos alualu-nos
formular questionamentos, reflex ˜oes, a elaborac¸ ˜ao de hip ´oteses e assim permitindo-os
retirar conclus ˜oes; apresentac¸ ˜ao exemplos e contra-exemplos; situac¸ ˜oes que levem os
alunos a abstrair regularidades, criac¸ ˜ao de modelos e generalizac¸ ˜oes; apresentac¸ ˜ao de
propriedades matem ´aticas seguidas de explicac¸ ˜ao; apresentac¸ ˜ao de f ´ormula seguidas
de sua respectiva deduc¸ ˜ao.
Diante disso espera-se que o professor de matem ´atica ao administrar os
conte-´udos durante o ensino m ´edio possibilite ao seu aluno utilizar conte conte-´udos da matem ´atica
para: resolver problemas pr ´aticos na sua vida, que a interprete a matem ´atica como uma
ci ˆencia que possui caracter´ısticas pr ´oprias, e que se organiza por meio de teoremas
e demonstrac¸ ˜oes. O aluno deve perceb ˆe-la como um conhecimento social e
historica-mente constru´ıdo pelo homem e notar a sua relev ˆancia no desenvolvimento cientifico e
tecnol ´ogico.
Os conte ´udos b ´asicos do ensino m ´edio na matem ´atica se dividem em quatro
blocos: N ´umeros e operac¸ ˜oes; Func¸ ˜oes; Geometria; An ´alise de dados e probabilidade.
No trabalho com esses quatro blocos deve-se sempre buscar a articulac¸ ˜ao entre eles,
apesar da divis ˜ao.
Nosso objetivo no momento ´e olhar para o conte ´udo espec´ıfico de ”matrizes”
que no caso encontra-se dentro do bloco deN ´umeros e Operac¸ ˜oes, a qual ´e geralmente ensinada no segundo ano do ensino m ´edio. Temos como objetivo realizar uma an ´alise
cr´ıtica sobre o processo de ensino e aprendizagem de matrizes, para tais informac¸ ˜oes
ser ´a utilizado o livro did ´atico.
Atualmente, o livro did ´atico ´e a principal ferramenta utilizada no Brasil, j ´a
que sua distribuic¸ ˜ao acontece de forma gratuita em todo o ˆambito nacional nas escolas
p ´ublicas, ´e visto como um instrumento did ´atico-pedag ´ogico muito forte para o professor,
pois o auxilia no trabalho educativo contribuindo para o seu planejamento e execuc¸ ˜ao
perti-SEC¸ ˜AO 2.1 • AN ´ALISE DE LIVRO DID ´ADICO I 18
nentes ao professor.
J ´a para o aluno o livro did ´atico tem por objetivo consolidar, ampliar, aprofundar
e integrar os conhecimentos. Auxiliando o aluno para desenvolver habilidades e ajuda-lo
na sua formac¸ ˜ao social e cultural.
Na sec¸ ˜ao 2.1 encontram-se tr ˆes analises de livros did ´aticos do ensino m ´edio
referente apenas ao processo de ensino e aprendizagem do conte ´udo de matrizes logo
ap ´os ser ´a proposta uma nova forma de abordagem para o ensino de matrizes no ensino
m ´edio.
2.1
An ´alise de livro Did ´adico I
O livro did ´atico ainda hoje ´e o ´unico recurso mais utilizado pelos professores,
al ´em de ser um componente da estrutura escolar. Por ´em, para o livro did ´atico ser
uti-lizado o professor e/ou pesquisador deve analisar o livro, e esta an ´alise deve ser feita
tanto metodol ´ogica como conceitual.
Analisar um livro did ´atico n ˜ao ´e algo t ˜ao f ´acil e r ´apido, os professores devem
ter em mente o que querem observar, ou seja, qual o objetivo desta an ´alise. A an ´alise
dos livros did ´aticos utilizados nas escolas pode ser um importante indicativo de como
est ´a o ensino nas escolas, e como pode est ´a sendo trabalhados os conte ´udos.
Neste trabalho a an ´alise do livro did ´atico foi feita com intuito de verificar os
processos metodol ´ogicos utilizados por autores ao trabalharem com matrizes, tendo em
vista uma poss´ıvel atividade did ´atica com os alunos para que os mesmos possam ter
uma melhor compreens ˜ao do conte ´udo trabalhado.
Nesta sec¸ ˜ao ser ˜ao feitas an ´alises referente ao processo de ensino e
aprendi-zagem do conte ´udo de matrizes dos seguintes livros:
• Livro 1: Matem ´atica de Paiva, M.(2010)
• Livro 2: Matem ´atica Ci ˆencia e Aplicac¸ ˜oes (2010) de I. Iezzi, Gelson. II. Dolce,
• Livro 3: Matem ´atica: Contexto e Aplicac¸ ˜oes (2010) de Dante, Luiz Roberto.
2.1.1
Livro 1
O livro ´e objetivo no que diz respeito ao ensino de matrizes. Sua abordagem
comec¸a por meio de tabelas num ´ericas retangulares e a partir disto faz uma analogia
com as matrizes. Em seguida mostra: sua definic¸ ˜ao, suas formas de representac¸ ˜oes
e evidencia as matrizes especiais. A cada t ´opico faz uso de exemplos e um traz um
exerc´ıcio resolvido ao final destes t ´opicos e logo ap ´os exerc´ıcios, o livro segue este
procedimento ao longo do texto.
O conte ´udo ´e introduzido por explanac¸ ˜ao de uma forma bem pontual, o autor
se preocupa muito com a linguagem presente no texto e deixa-o bem refinado quanto `a
linguagem matem ´atica que por sua vez ´e bem rigorosa. O texto possui clareza, tornando
de f ´acil interpretac¸ ˜ao para o aluno. No todo n ˜ao possui erros conceituais e tamb ´em n ˜ao
faz induc¸ ˜ao ao erro.
Os conte ´udos contidos no livro s ˜aoo bem hierarquizados e muito bem
eviden-ciados pelos recursos gr ´aficos, o livro possui algumas leituras complementares,
principal-mente sobre fatos hist ´oricos relacionados ao conte ´udo estudado. O livro tem car ˆencias
quanto a utilizac¸ ˜ao de outros recursos did ´aticos, como por exemplo, aplicac¸ ˜oes com
tec-nologias, n ˜ao fazendo muitas refer ˆencias ao conte ´udo de matrizes.
Na explicac¸ ˜ao, a quantidade de exemplos utilizados pelo autor ´e m´ınima,
ape-sar de estarem em sintonia com o seu respectivo t ´opico. A cada t ´opico o autor faz o uso
de exerc´ıcios resolvidos, tornando mais vis´ıvel a utilidade do processo evidenciado no
t ´opico, geralmente o livro traz apenas um exerc´ıcio resolvido para exemplificar.
Os exerc´ıcios s ˜ao voltados para a fixac¸ ˜ao das definic¸ ˜oes e propriedades
res-saltadas durante os t ´opicos, a maioria destes exerc´ıcios n ˜ao ´e contextualizado no que
diz respeito `as outras ´areas e com o cotidiano, al ´em de n ˜ao privilegiarem o uso da
imaginac¸ ˜ao e da criatividade dos alunos.
SEC¸ ˜AO 2.1 • AN ´ALISE DE LIVRO DID ´ADICO I 20
matem ´aticas como, por exemplo, a l´ıngua materna, a linguagem simb ´olica, os desenhos,
as tabelas e etc. O autor n ˜ao permite ao aluno estabelecer as relac¸ ˜oes sobre o conte ´udo
e efetuar generalizac¸ ˜oes, sempre mostra as propriedades de formas expositivas e sem a
participac¸ ˜ao do aluno.
2.1.2
Livro 2
O autor inicia sua abordagem com um breve contexto hist ´orico sobre a origem
das matrizes evidenciando sua ligac¸ ˜ao com os sistemas de primeiro grau, logo depois
apresenta uma tabela e comenta a praticidade, simplicidade e utilidade de uma tabela
para a representac¸ ˜ao de dados, usando esta tabela o autor comec¸a a expor o que s ˜ao
matrizes e suas representac¸ ˜oes, logo mostra os tipos de matrizes especiais que
exis-tem e a relac¸ ˜ao de igualdade e ent ˜ao apresenta as operac¸ ˜oes com matrizes, por ´em as
propriedades das operac¸ ˜oes n ˜ao s ˜ao evidenciadas durante seus respectivos t ´opicos.
A cada definic¸ ˜ao ou exposic¸ ˜ao de conceitos tem-se o uso constante de
exem-plos e exerc´ıcios resolvidos, por fim prop ˜oe uma sec¸ ˜ao de exerc´ıcios para validar a
apren-dizagem do aluno e um roteiro de trabalho, que possui quest ˜oes a serem trabalhadas em
grupo.
Quanto a linguagem utilizada pelo autor, nota-se uma preocupac¸ ˜ao com relac¸ ˜ao
a leitura por parte do aluno, na sua grande maioria usa-se a linguagem materna para
mostrar as definic¸ ˜oes, conceitos e procedimentos deixando de dar ˆenfase na linguagem
matem ´atica simb ´olica, que por sua vez ´e exposta apenas nas resoluc¸ ˜oes de exemplos e
exerc´ıcios resolvidos.
O texto em geral ´e bem objetivo e claro, n ˜ao possui erros conceituais e tamb ´em
n ˜ao faz menc¸ ˜ao ao erro, mas o autor ao definir algumas caracter´ısticas aproveita-se de
palavras cujo significado matem ´atico n ˜ao ´e explicitado no texto podendo gerar no aluno
a n ˜ao compreens ˜ao da definic¸ ˜ao.
A quantidade de exemplos utilizada pelo autor para cada definic¸ ˜ao ou
tem-se um aluno limitado, pois o autor n ˜ao proporciona a interac¸ ˜ao do aluno durante sua
sistematizac¸ ˜ao.
Nos exerc´ıcios propostos a maioria ´e aplicac¸ ˜ao do que ´e exposto, mas
encontra-se algumas quest ˜oes que s ˜ao contextualizadas, o autor faz uso dos exerc´ıcios para
fa-zer com que o aluno perceba algumas propriedades das operac¸ ˜oes e n ˜ao as colocam
em evid ˆencia deixando para o professor efetuar com os alunos estas conjecturas em
relac¸ ˜ao `as propriedades fato que pode passar despercebido dependendo do professor
em quest ˜ao.
2.1.3
Livro 3
O autor inicia com um texto que mostra uma grande utilidade de matriz no dia
a dia, feito isso utiliza uma tabela e a partir dela mostra o que ´e matriz e a defini, tudo de
uma forma bem direta, aproveitando os exemplos da definic¸ ˜ao para identificar a ordem
das matrizes.
Quanto a representac¸ ˜ao gen ´erica de uma matriz, ´e introduzida por meio de
um exemplo seguida da definic¸ ˜ao convencional logo ap ´os prop ˜oe alguns exerc´ıcios. De
maneira bem objetiva exp ˜oe os de tipos de matrizes especiais e fala sobre a igualdade
de matrizes de uma forma te ´orica seguindo ent ˜ao para exerc´ıcios.
Ao trabalhar com igualdade de matrizes, o autor inicia com tr ˆes exemplos e
logo ap ´os introduz alguns exerc´ıcios referentes aos exemplos dados. Em seguida traz
algumas operac¸ ˜oes com matrizes, na operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao cita duas matrizes e mostra
como funciona o algoritmo seguido de sua definic¸ ˜ao, n ˜ao comenta as propriedades, as
cita como um trabalho a ser desenvolvido, por ´em n ˜ao dando muita import ˆancia.
Na operac¸ ˜ao de multiplicac¸ ˜ao o autor cria um t ´opico para o algoritmo, por ´em
tenta explicitar o algoritmo de uma maneira mais compreens´ıvel, sem muitas explicac¸ ˜oes
o autor volta ao algoritmo e passa o processo usual, neste caso o autor deixa a crit ´erio
do professor tentar uma abordagem diferente para introduzir a multiplicac¸ ˜ao de matrizes,
SEC¸ ˜AO 2.2 • AN ´ALISE DE LIVRO DID ´ATICO II 22
Este autor aponta um diferencial em seu livro, pois, diferentemente dos outros
livros analisados, percebe-se que neste o autor traz um t ´opico que trata de equac¸ ˜oes
ma-triciais e outro sobre aplicac¸ ˜oes de matrizes, mas se ret ´em apenas a computac¸ ˜ao gr ´afica,
mostrando poss´ıveis casos de aplicac¸ ˜oes diretas como, rotac¸ ˜ao, escala, translac¸ ˜ao,
den-tre outros.
Quanto ao aspecto gr ´afico o livro ´e muito estruturado e bem colorido. A
linguagem utilizada pelo autor ´e clara e objetiva n ˜ao deixando margem a duvidas ou
induc¸ ˜ao para o aluno ao erro, tamb ´em n ˜ao foram constatados erros matem ´aticos durante
a an ´alise.
Observou-se que o autor tem a preocupac¸ ˜ao de articular conhecimentos
no-vos com conhecimentos pr ´evios dos alunos, um fato ruim ´e que grande parte das
ativi-dades s ˜ao seguidas por teoria gerando um desinteresse ou podendo deixar o conte ´udo
dif´ıcil, nota-se uma aus ˆencia quanto ao uso de exerc´ıcios resolvidos e a quantidade de
exemplos no texto ´e muito baixa. Assim como tamb ´em existe a necessidade de o
profes-sor estar atento `as termologias utilizadas, pois o autor trabalha neste livro com muito o
rigor matem ´atico, o que exige do professor uma an ´alise visando priorizar as termologias
que considerar indispens ´aveis a formac¸ ˜ao dos alunos.
2.2
An ´alise de livro did ´atico II
Nesta sec¸ ˜ao ser ´a feita uma an ´alise dos livros did ´aticos buscando verificar se
os mesmos contemplam alguns dos objetivos propostos pelos Par ˆametros Curriculares
Nacionais para o Ensino M ´edio, os quais est ˜ao bem definidos nas compet ˆencias e
habi-lidades que um aluno deve obter com o Ensino M ´edio.
O conjunto de Compet ˆencias e habilidades deve ser produzido no trabalho
com a Matem ´atica em comum com as outras ´areas de conhecimento durante esta etapa
de ensino. Este conjunto traz como objetivo da matem ´atica no ensino m ´edio a investigac¸ ˜ao,
express ˜ao e racioc´ınio, como tamb ´em tornar poss´ıvel `a elaborac¸ ˜ao e compreens ˜ao de
A metodologia do professor e/ou do livro ´e importante, pois se as mesmas
estiverem restritas as definic¸ ˜oes, exemplos e exerc´ıcios de fixac¸ ˜ao, pouco se garante de
que o aluno tenha compreendido o significado das ideias pertinentes ao ensino deste
conte ´udo. Visando sanar esta dificuldade no ensino da matem ´atica devemos contemplar
pr ´aticas que ajude a diminuir as dificuldades na aprendizagem, pr ´aticas que ajudem o
aluno a perceber as ideias e as articulac¸ ˜oes entre os conte ´udos propostos, e que antes
eram apresentados sem articulac¸ ˜oes.
Segundo os Par ˆametros Curriculares Nacionais-PCN o ensino da matem ´atica,
como um todo ´e um processo lento e ´arduo, onde se deve trabalhar a resoluc¸ ˜ao de
pro-blemas proporcionando aos alunos uma diversidade de situac¸ ˜oes. Situac¸ ˜oes onde se
busca fazer com que os alunos criem conjecturas, percebam as regularidades existentes,
compreendam a generalizac¸ ˜ao de padr ˜oes, compreendam as estruturas dos algoritmos,
aprimorem as habilidades de organizac¸ ˜ao e representac¸ ˜ao dos dados, tenham a
capaci-dade de argumentac¸ ˜ao, saibam lidar com os elementos fundamentais na formalizac¸ ˜ao do
conhecimento matem ´atico seja para efetuar uma leitura ou para interpretar uma situac¸ ˜ao
em sala de aula ou na vida real.
Levando-se em conta todas estas considerac¸ ˜oes sobre a import ˆancia da
ma-tem ´atica no Ensino M ´edio, os PCN estabelecem alguns objetivos para que o ensino da
matem ´atica possa ter significado para o aluno e que resulte em uma aprendizagem real,
s ˜ao eles:
• Compreender os conceitos, procedimentos e estrat ´egias matem ´aticas que
permi-tam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formac¸ ˜ao cient´ıfica geral;
• Aplicar seus conhecimentos matem ´aticos a situac¸ ˜oes diversas, utilizando-os na
interpretac¸ ˜ao da ci ˆencia, na atividade tecnol ´ogica e nas atividades cotidianas;
• Analisar e valorizar informac¸ ˜oes provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferra-mentas matem ´aticas para formar uma opini ˜ao pr ´opria que lhe permita expressar-se
criticamente sobre problemas da Matem ´atica, das outras ´areas do conhecimento e
SEC¸ ˜AO 2.2 • AN ´ALISE DE LIVRO DID ´ATICO II 24
• Desenvolver as capacidades de racioc´ınio e resoluc¸ ˜ao de problemas, de comunicac¸ ˜ao,
bem como o esp´ırito cr´ıtico e criativo;
• Utilizar com confianc¸a procedimentos de resoluc¸ ˜ao de problemas para desenvolver
a compreens ˜ao dos conceitos matem ´aticos;
• Expressar-se oral, escrita e graficamente em situac¸ ˜oes matem ´aticas e valorizar a
precis ˜ao da linguagem e as demonstrac¸ ˜oes em Matem ´atica;
• Estabelecer conex ˜oes entre diferentes temas matem ´aticos e entre esses temas e o
conhecimento de outras ´areas do curr´ıculo;
• Reconhecer representac¸ ˜oes equivalentes de um mesmo conceito, relacionando
procedimentos associados `as diferentes representac¸ ˜oes;
• Promover a realizac¸ ˜ao pessoal mediante o sentimento de seguranc¸a em relac¸ ˜ao
`as suas capacidades matem ´aticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e
cooperac¸ ˜ao.
Deve-se dar uma grande import ˆacia ao desenvolvimento de valores,
habili-dades e atitudes desses alunos, pois s ˜ao os objetivos centrais da educac¸ ˜ao e podem
possibilitar ou n ˜ao a aprendizagem do aluno.
Ao se olhar para o ensino e aprendizagem do conte ´udo de matrizes, tamb ´em
se tem alguns objetivos no que diz respeito `as compet ˆencias e as habilidades a serem
adquiridas pelos alunos. Pode-se destacadar as seguintes compet ˆencias e habilidades:
• Construir, classificar e operar matrizes.
• Selecionar conjunto de informac¸ ˜oes sobre fatos reais ou imagin ´arios na resoluc¸ ˜ao
de situac¸ ˜oes problemas;
• Ler e interpretar matematicamente textos que envolvam matrizes aplicando
es-trat ´egias na resoluc¸ ˜ao de situac¸ ˜oes-problemas;
• Transcrever mensagens matem ´aticas da linguagem corrente para a linguagem simb ´olica
e vice-versa;
Diante destes objetivos, prop ˜oe a an ´alise dos livros did ´aticos aplicando-lhes
uma nota de 0 ou 1 (0 ser ´a quando n ˜ao contempla o crit ´erio e 1 quando o crit ´erio ´e
contemplado). Segundo os crit ´erios citados a seguir, os quais s ˜ao retirados dos objetivos
propostos pelos PCN. Os crit ´eriosobservados para a an ´alise ser ˜ao:
1. O livro proporciona situac¸ ˜oes favor ´aveis para a construc¸ ˜ao de matrizes.
2. O livro apresenta situac¸ ˜oes problemas nas quais seja necess ´ario compreender as
operac¸ ˜oes com matrizes para resolv ˆe-las.
3. O livro apresenta situac¸ ˜oes problemas nas quais s ˜ao necess ´arias a leitura e a
interpretac¸ ˜ao de textos que envolvem matrizes
4. O livro apresenta problemas nos quais ´e necess ´aria a mudanc¸a da linguagem
cor-rente para a linguagem simb ´olica, ou vice-versa, para resolv ˆe-los, possibilitando a
elaborac¸ ˜ao de estrat ´egias para resoluc¸ ˜ao do mesmo.
Para tal an ´alise foram utilizados os seguintes livros:
• Livro 1: Matem ´atica de Paiva, M.(2010).
• Livro 2: Matem ´atica Ci ˆencia e Aplicac¸ ˜oes (2010) de I. Iezzi, Gelson. II. Dolce,
Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. P ´erigo, Roberto. V. Almeida, Nilze de.
• Livro 3: Matem ´atica: Contexto e Aplicac¸ ˜oes (2010) de Dante, Luiz Roberto.
• Livro 4: Matem ´atica: Ensino M ´edio (2010) de I. Diniz, Maria Ignez de Souza Vieira.
II. Smole, K ´atia Stocco.
• Livro 5: Matem ´atica: Ci ˆencia, Linuagem e Tecnologia (2010) de Ribeiro, Jackson.
A tabela a seguir mostra o resultados obtidos ap ´os a an ´alise dos livros did ´aticos
SEC¸ ˜AO 2.3 • SITUAC¸ ˜AO DID ´ATICA 26
An ´alise dos Livros
Crit ´erio 1 Crit ´erio 2 Crit ´erio 3 Crit ´erio 4
Livro 1 1 1 1 1
Livro 2 1 1 1 0
Livro 3 1 1 1 0
Livro 4 1 1 1 0
Livro 5 1 1 1 1
Est ´a tabela construida ´e um exemplo de uma matriz do tipo 5× 4 onde as
colunas s ˜ao os crit ´erios analizados e as linhas fazem refer ˆencia a um dos livros que
foram an ´alizados.
2.3
Situac¸ ˜ao did ´atica
Nesta sec¸ ˜ao ser ˜ao apresentadas propostas did ´aticas para serem utilizadas
em sala de aula, visando fornecer ao professor do Ensino M ´edio um caminho para o
Ensino de Matrizes. Busca-se a todo o momento tornar o aluno um ser ativo, fato que
com o qual torna a aprendizagem para o aluno mais signicativa e prazerosa.
Matematicamente a definic¸ ˜ao de matriz ´e: sejam m e n dois n ´umeros inteiros
maiores ou iguais a 1, denomina-se matriz m×n (l ˆe-se m por n) uma tabela retangular formada por m.n n ´umeros reais, dispostos em m linhas e n colunas. Em outras
pala-vras temos um agrupamento ordenado de n ´umeros que se apresentam dispostos em
linha e colunas numa tabela retangular, fato que justifica a grande maioria dos livros do
ensino m ´edio, inclusive os presentes neste trabalho, iniciar o assunto de matriz com
al-guma situac¸ ˜ao problema ou an ´alise de dados que envolva tabelas, para somente ent ˜ao
comec¸ar com a definic¸ ˜ao do que ´e uma matriz.
A ideia de matriz pode ser iniciada com situac¸ ˜oes do cotidiano do aluno,
dados. Estas situac¸ ˜oes podem ser encontradas em artigo de jornal, revista. Tamb ´em
po-dem ser dados de empresa, de uma escola, entre outros. Neste sentido, para iniciarmos
a discuss ˜ao do estudo de matriz neste trabalho, ser ´a utilizado uma situac¸ ˜ao problema
comum do dia a dia de uma empresa.
Exemplo: Buscando saber como andava o movimento de sua padaria, o senhor Jos ´e
em um final de semana, decidiu registrar o n ´umero de fregueses que fizeram compras e
tamb ´em os separou por per´ıodos (manh ˜a, tarde ou noite). Obtendo os seguintes
resul-tados:
N ´umero de Fregueses
Manh ˜a Tarde Noite
S ´abado 57 110 35
Domingo 77 81 24
Com a tabela criada o senhor Jos ´e pode obter v ´arios tipos de dados, como
por exemplo:
• quantos fregueses foram atendidos no s ´abado `a noite, basta olhar o n ´umero que
se encontra na primeira linha e na treceira coluna;
• quantos fregueses foram atendidos no domingo pela manh ˜a, basta olhar o n ´umero
que se encontra na segunda linha e na primeira coluna;
O professor pode comentar que uma tabela deste tipo, em que os n ´umeros se
encontram dispostos em linhas e colunas, neste caso, duas linhas e tr ˆes colunas formam
uma matriz e que ´e representada da seguinte forma:
57 110 35
77 81 24
Feito isso, outros itens podem ser observados na representac¸ ˜ao de uma
SEC¸ ˜AO 2.3 • SITUAC¸ ˜AO DID ´ATICA 28
sucinta, j ´a que ainda n ˜ao foi formalizada a definic¸ ˜ao de matriz. Para complementar a
situac¸ ˜ao, seria muito bom o professor ressaltar por meio de exemplos todos os tipos de
matrizes que existem, por ´em sem comentar suas peculiaridades. Com isso temos a
ne-cessidade de uma sistematizac¸ ˜ao sobre a representac¸ ˜ao de uma matriz, no que tange
esta representac¸ ˜ao, a matriz geralmente ´e indicada por uma letra mai ´uscula e cada um
dos seus n ´umeros s ˜ao chamados de elementos ou termos de uma matriz, estes
elemen-tos ou termos s ˜ao representados pela mesma letra utilizada para representar a matriz,
por ´em min ´uscula, acompanhada de dois ´ındices que indicam, respectivamente, a linha
e a coluna em que o elemento est ´a localizado, observe a representac¸ ˜ao da matriz A do
tipom×n:
A= (aij)m×n=
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
..
. ... ... . .. ...
am1 am2 am3 · · · amn
=
a11a12a13 · · · a1n
a21a22a23 · · · a2n
..
. ... ... . .. ...
am1 am2 am3 · · · amn
A lista ordenada (ai1, ai2, ai3,· · · , ain)chama-se a i- ´esima linha da matriz,
en-quanto que(a1j, a2j, a3j,· · · , amj)chama-se a j- ´esima coluna da matriz. Esta
representa-c¸ ˜ao pode ser abreviada da seguinte forma: A=(aij)mxn, com1≤i ≤m,1≤j ≤n e i, j ∈
N.
Por certas caracter´ısticas algumas matrizes recebem nomes especiais, como:
matriz quadrada, matriz triangular, matriz diagonal, matriz identidade, matriz nula, matriz
linha e matriz coluna. Neste caso ´e comum as matrizes linha e matrizes colunas serem
citadas apenas como casos particulares, por ´em seria interessante o professor aproveitar
a oportunidade e comentar sobre vetores de uma forma bem compacta, pois para os
alu-nos as matrizes s ˜ao ensinadas sem muitas aplicac¸ ˜oes, ou seja, de forma fechada, como
se s ´o existisse aplicac¸ ˜ao para a construc¸ ˜ao de tabelas e com esta ferramenta o professor
al ´em de expandir o universo de pensamento do aluno ganha exemplos valiosos para a
consolidac¸ ˜ao do assunto pelo aluno, j ´a que o conte ´udo de vetores ´e algo imprescind´ıvel
no ensino superior principalmente no campo computacional.
da definic¸ ˜ao e em sequ ˆencia a resoluc¸ ˜ao de exerc´ıcios, poderia surgir com um
pro-blema que tenha da necessidade de se relacionar dados atrav ´es da soma e a partir
desta relac¸ ˜ao comec¸ar a exposic¸ ˜ao do algoritmo (conjunto de processos para efetuar um
c ´alculo) da soma de matrizes.
Exemplo: Uma ind ´ustria automobil´ıstica produz dois carros de modelos I e II, nas cores
azul, verde e branco, nos meses de janeiro e fevereiro de um mesmo ano. As tabelas a
seguir representam a quantidade de produc¸ ˜ao nestes meses:
Produc¸ ˜ao de Janeiro
Modelo I Modelo II
Azul 200 190
Verde 180 150
Branco 120 100
Produc¸ ˜ao de Fevereiro
Modelo I Modelo II
Azul 220 205
Verde 210 170
Branco 130 110
De que maneira podemos determinar a produc¸ ˜ao do bimestre janeiro-fevereiro
desse ano?
Intuitivamente, temos que para determinar a produc¸ ˜ao do bimestre deve-se
somar os elementos de mesma posic¸ ˜ao das duas tabelas, obtendo-se uma nova tabela:
Produc¸ ˜ao de Janeiro-Fevereiro
Modelo I Modelo II
Azul 420 395
Verde 390 320
Branco 250 210
Ap ´os a resoluc¸ ˜ao do problema, cabe ao professor expor a definic¸ ˜ao da soma
de matrizes. Com o algoritmo compreendido pelo aluno, por que n ˜ao fazer com que
os alunos percebam as propriedades relacionadas a esta soma ou at ´e mesmo como o
algoritmo surgiu? Neste caso pode-se usar o software winmat. Este software permite
SEC¸ ˜AO 2.3 • SITUAC¸ ˜AO DID ´ATICA 30
nele pode-se trabalhar em modo real, complexo e inteiro; tem-se a possibilidade de
tra-balhar com matrizes de ordens maiores e um outro fator que contribui ´e o fato dele ser um
software livre. Pode-se utilizar o software winmat de v ´arias formas, procura-se fazer com
que os alunos percebam o algoritmo da adic¸ ˜ao e sua exist ˆencia. Segue uma poss´ıvel
atividade a ser desenvolvida:
Na primeira parte da atividade tem-se por objetivo levar os alunos a construc¸ ˜ao
do pensamento sobre o algoritmo da soma de duas matrizes, para tal tarefa pede-se que
os alunos construam duas matrizes de ordem 2 e nomeiem-nas, respectivamente, de A
e B. (Figura 2.1)
Figura 2.1: Matrizes A e B
Em seguida, solicitar que os alunos calculem a soma das duas matrizes acima
o que conseguiram observar quanto `a soma dos elementos das matrizes A e B.
Figura 2.2: Matriz C soma das marizes A e B
Continua-se com este processo com exemplos de matrizes de ordem iguais
at ´e que seja n´ıtida a captac¸ ˜ao do algoritmo pelos alunos e agora cabe ao professor
efetuar a sistematizac¸ ˜ao do que foi percebido pelos alunos.
A segunda parte da atividade tem por objetivo levar os alunos a perceber
quando ´e poss´ıvel somar duas matrizes. Pede-se para que construam duas matrizes
quaisquer com o n ´umero de linhas diferente uma da outra, em seguida realize a soma
(Figura 2.3), com o resultado da soma das matrizes na tela questiona-se o aluno
per-guntando o que conseguiram observar quanto `a soma dos elementos das matrizes, fato
que n ˜ao vai ocorrer j ´a que possuem as matrizes ordens diferentes fazendo com que o
SEC¸ ˜AO 2.3 • SITUAC¸ ˜AO DID ´ATICA 32
Figura 2.3: Soma de matrizes com ordens diferentes
Pede-se que tente novamente efetuar esta operac¸ ˜ao com matrizes de ordens
diferentes fato que os levar ˜ao a uma outra incompatibilidade, e a partir disto pergunta-se
por que esta soma n ˜ao ocorreu? O que mudou em relac¸ ˜ao `a atividade anterior quando
se teve o resultado da soma? Uma poss´ıvel conclus ˜ao apresentada pelos alunos ´e que
se as matrizes forem de ordens diferentes, algum elemento de alguma das matrizes, n ˜ao
teria outro elemento correspondente da outra matriz para se somar, por isso sempre que
se soma matrizes de ordens diferentes n ˜ao se tem o resultado. Novamente cabe ao
professor efetuar a sistematizac¸ ˜ao do que foi percebido pelos alunos.
Este processo de ensino-aprendizagem facilita muito, pois ´e um meio
alterna-tivo para se sair do ambiente de sala de aula com quadro negro e giz, e ao mesmo tempo
torna o aluno um ser ativo, fazendo com que o mesmo gere suas conclus ˜oes. Pode
utili-zar o mesmo procedimento para que os alunos consigam perceber as propriedades que
as-sociatividade, a exist ˆencia do elemento neutro e a exist ˆencia do oposto (sim ´etrico). O
mesmo procedimento pode ser utilizado quando estamos ensinando subtrac¸ ˜ao de
matri-zes.
Geralmente, as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e subtrac¸ ˜ao de matrizes s ˜ao bem
acei-tas pelos alunos, por ´em percebe-se que a maioria dos casos ou exerc´ıcios que s ˜ao
propostos aos alunos s ˜ao casos v ´alidos, ou seja, casos onde estas operac¸ ˜oes
conse-guem ser executadas. Seria ´otimo trabalhar com os alunos casos onde estas operac¸ ˜oes
n ˜ao ocorrem, pois com isso o professor faz com que o aluno reflita se ´e poss´ıvel ou
n ˜ao executar estes algoritmos, permitindo ao aluno saber quando aplicar, fato que n ˜ao
ocorre com frequ ˆencia proporcionando ao aluno uma m ´a formulac¸ ˜ao de conhecimento,
j ´a que quando se deparar com uma situac¸ ˜ao onde n ˜ao seja poss´ıvel executar a soma
ou a diferenc¸a de matrizes o mesmo aplicar ´a e consequentemente estar ´a errando. Fato
que torna esta interac¸ ˜ao com as tecnologias um fator ainda mais importante, j ´a com elas,
como mostrado na atividade sugerida acima podemos gerar o conhecimento sem este
poss´ıvel equivoco.
Na multiplicac¸ ˜ao de um n ´umero real por uma matriz, como se trata de um
algo-ritmo semelhante `a multiplicac¸ ˜ao de n ´umeros reais os livros n ˜ao d ˜ao muita import ˆancia
e nota-se que geralmente abordam de forma bem sucinta e os exerc´ıcios s ˜ao apenas
aplicac¸ ˜oes. Com o auxilio das tecnologias ganha-se um aliado muito forte,
principal-mente porque essas tecnologias estimulam o aluno a sair da sua posic¸ ˜ao de equil´ıbrio,
j ´a que se trata de um ambiente onde o mesmo possui muita destreza. Como j ´a mostrado
anteriormente com a ajuda do software winmat conseguimos retirar uma aprendizagem
gerada por meio de repetic¸ ˜ao que na maioria das vezes ´e executada sem o real
sen-tido da operac¸ ˜ao, retirando tamb ´em a autonomia do aluno, tornando-o um ser passivo
no processo de aprendizagem que geralmente o desmotiva. Utilizando-se do software o
professor consegue lidar com a multiplicac¸ ˜ao de um n ´umero real por uma matriz de um
modo estimulante para o aluno. A seguir se encontra uma poss´ıvel situac¸ ˜ao did ´atica: o
professor cria uma matriz qualquer e efetua a multiplicac¸ ˜ao por um n ´umero sem que haja
SEC¸ ˜AO 2.3 • SITUAC¸ ˜AO DID ´ATICA 34
ap ´os isto questiona o aluno, pedindo para que o mesmo compare as duas matrizes e
repasse o que conseguiu notar.
Figura 2.4: Multiplicac¸ ˜ao de um n ´umero real por uma matriz
Espera-se que com este fato o aluno perceba que o comando que o
profes-sor deu faz com que cada elemento da matriz obtida seja o resultado do produto
en-tre numero real utilizado e o elemento da primeira matriz, caso o aluno n ˜ao perceba,
pode-se utilizar novamente o mesmo processo at ´e que o aluno perceba, vale ressaltar
que o tempo ganho com o auxilio do software ´e muito grande por isto este processo de
percepc¸ ˜ao pelo aluno se torna muito r ´apido j ´a que a quantidades de exemplos se torna
a sistematizac¸ ˜ao e a formalizac¸ ˜ao deste procedimento com a turma.
Com estes exemplos na multiplicac¸ ˜ao de um n ´umero real por uma matriz o
professor pode questionar a turma perguntando: ”Se isso acontece com um n ´umero,
se multiplicar uma matriz pela outra, o que vai acontecer?”Com esta pergunta o
profes-sor consegue relacionar a multiplicac¸ ˜oes de matrizes obtendo um retorno por parte do
aluno, que ao se deparar com esta situac¸ ˜ao em um primeiro momento ir ´a construir duas
matrizes e a partir delas efetuar o produto buscando encontrar algum fato que o fac¸a
en-xergar uma semelhanc¸a entre os elementos como j ´a feito anteriormente na multiplicac¸ ˜ao
de um numero real, por ´em n ˜ao ir ´a encontrar esta resposta de forma t ˜ao r ´apida. Com
esta situac¸ ˜ao-problema cabe ao professor trazer a nova ferramenta, que neste caso ´e o
algoritmo da multiplicac¸ ˜ao de matrizes, mostrando como ´e o algoritmo e de que forma
deve ser feito por meio de exemplos e assim trabalhar com situac¸ ˜oes que levem o aluno
a utilizar este algoritmo. Pode utilizar o mesmo procedimento para que os alunos
consi-gam perceber as propriedades que est ˜ao envolvidas quando se multiplica duas ou mais
matrizes.
´
E comum os livros mostrarem uma situac¸ ˜ao para exemplificar e logo em
se-guida passar a definic¸ ˜ao e suas propriedades.
A multiplicac¸ ˜ao de matrizes n ˜ao ´e de f ´acil compreens ˜ao para os alunos por se
tratar de um algoritmo extenso, deste modo o professor tem que trabalhar com muito mais
exemplos que envolvam multiplicac¸ ˜oes de matrizes para assim expor aos seus alunos a
definic¸ ˜ao de multiplicac¸ ˜ao de matrizes, feito isso se trabalham exemplos, por ´em
volta-se a afirmar que ´e bom a utilizac¸ ˜ao de exemplos onde o algoritmo n ˜ao possa ocorrer,
permitindo ao aluno uma reflex ˜ao sobre a definic¸ ˜ao que foi exposta anteriormente.
Ao utilizamos o software winmat para tal assunto a definic¸ ˜ao foi dada antes dos
exemplos, mas possui um sentido diferente, j ´a que no livro cria-se uma recorr ˆencia de
exemplos para encontrar o algoritmo e na utilizac¸ ˜ao do software n ˜ao gera esta prioridade.
Vale ressaltar que ap ´os ser definido pelo professor o mesmo far ´a usos de
exemplos para que os alunos possam assimilar a definic¸ ˜ao. J ´a as propriedades da
SEC¸ ˜AO 2.4 • CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS 36
com que os alunos percebam-nas criando situac¸ ˜oes para que os alunos possam
conjec-turar estas propriedades por meio do software? ´E claro que ao t ´ermino destas
conjectu-ras o professor deve ent ˜ao fazer um fechamento a respeito, com rigor e utilizando se da
linguagem matem ´atica.
2.4
Considerac¸ ˜oes Finais
Este cap´ıtulo mostrou um modo diferente de abordar o conte ´udo de matrizes
e suas operac¸ ˜oes, mostrando que a tecnologia pode favorecer o processo de
aprendiza-gem dos alunos em relac¸ ˜ao ao conceito de matrizes.
Em um ambiente informatizado tem-se a possibilidade de fazer v ´arios
expe-rimentos em pouco tempo, o que dificilmente ocorreria em uma manipulac¸ ˜ao concreta,
favorecendo o processo de investigac¸ ˜ao do aluno, podendo melhorar sua construc¸ ˜ao de
conceitos.
Normalmente as aulas de matem ´atica t ˆem car ´ater est ´atico, s ˜ao ministradas
em salas de aulas, com aulas tradicionais e com uso de livros. Muitas vezes esses
tipos de aulas fazem com que os alunos n ˜ao fac¸am a assimilac¸ ˜ao do que ´e dito pelo
professor tornando a aula um conjunto de s´ımbolos, palavras e desenhos sem quaisquer
significados.
O uso do computador possibilita tamb ´em a interatividade, a qual concretiza
a ac¸ ˜ao mental do aluno, mostrando-as na tela do computador, possibilitando que ele
manipule os objetos pensados. Assim, os alunos podem fazer diversas representac¸ ˜oes,
as quais representam diferentes ideias, o que possibilita uma melhor explorac¸ ˜ao dos
3
FUNDAMENTAC
¸ ˜
AO TE ´
ORICA DE
MATRIZ
Este cap´ıtulo destina-se a apresentar os conceitos relativos as matrizes, a
definic¸ ˜ao de matriz, teoremas e suas respectivas demonstrac¸ ˜oes. Conceitos estes que
contribu´ıram para a compreens ˜ao do objeto de estudo desta pesquisa.
SEC¸ ˜AO 3.1 • DEFINIC¸ ˜AO E REPRESENTAC¸ ˜AO DE MATRIZ 38
3.1
Definic¸ ˜ao e Representac¸ ˜ao de Matriz
Definic¸ ˜ao 3.1. Uma matriz m×n ´e um conjunto A de mn n ´umeros aij ∈ N, onde i =
1,· · · , m, e j = 1,· · · , n. Neste caso os n ´umeros aij, s ˜ao chamados de entradas ou,
elementos da matriz A e dizemos que A t ˆem m linhas e n colunas ou, que ela ´e uma matrizm×n (leia “m por n”).
Uma matriz A com entradasaij ´e denotada pelas seguintes formas:
Am×n= (aij)m×n= {aij |i= 1,· · · , m, e j = 1,· · · , n}
ou,
a11a12 a13 · · · a1n
a21a22 a23 · · · a2n
..
. ... ... . .. ...
am1 am2 am3 · · · amn
m×n
=
a11a12 a13 · · · a1n
a21a22 a23 · · · a2n
..
. ... ... . .. ...
am1 am2 am3 · · · amn
m×n
Denotaremos porMm×no conjunto das matrizes comm linhas en colunas.
3.2
Tipos de Matrizes
Definic¸ ˜ao 3.2. Considere uma matrizm×n, quandon= 1a matriz ´e chamada de matriz coluna. a11 a21 a21 .. . am1
m×1
Definic¸ ˜ao 3.3. Considere uma matrizm×n, quandom = 1a matriz ´e chamada de matriz linha.
Definic¸ ˜ao 3.4. Considere uma matriz (aij) de ordem m×n, quando m = n a matriz ´e
chamada de matriz quadrada. E ser ´a denotada por An =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
n×n
, neste
caso diz-se que a matriz ´e quadrada do tipon×nou, de ordemn.
Note que ao denotarMm×n o conjunto das matrizesm×n, podemos tamb ´em
considerar que:
• Quandon= 1, dizemos queMm×1 ´e o conjunto das matrizes colunas.
• Quandom= 1, dizemos queM1×n ´e o conjunto das matrizes linhas.
• Quandom =n, usa-se o s´ımboloMn para denotar o conjunto das matrizes n×n.
E, nesse caso dizemos que as matrizes s ˜ao quadradas ou, Mn ´e o conjunto das
matrizes quadradas.
Definic¸ ˜ao 3.5. Uma matriz (aij) de Mn ´e denominada matriz identidade quando todos
os seus elementos aij = 0 para i 6= j e aij = 1 para i = j. E ser ´a denotada por In ou
simplesmente por I quando a referencia a respeito den ´e bem clara.
Definic¸ ˜ao 3.6. Uma matriz (aij) de Mm×n ´e denominada matriz nula se todos os seus
elementosaij = 0, ou seja, forem nulos. E ser ´a denotada porOm×n ou simplesmente por
O quando a referencia a respeito demen for bem clara.
Definic¸ ˜ao 3.7. Uma matriz quadrada n ˜ao nulaA = (aij) ´e triangular superior
(respecti-vamente triangular inferior) seaij = 0para todoi > j (respectivamenteaij = 0para todo
i < j).
Definic¸ ˜ao 3.8. Uma matriz n ˜ao nula (aij) de Mn ´e denominada matriz diagonal, quando
todos os seus elementosaij = 0parai6=j. E os elementosaij, comi=j s ˜ao chamados
SEC¸ ˜AO 3.3 • IGUALDADE E DESIGUALDADE DE MATRIZES 40
3.3
Igualdade e Desigualdade de Matrizes
Definic¸ ˜ao 3.9. Considere duas matrizes A = (aij) e B = (bij) matrizes de Mm×n. As
matrizes A e B s ˜ao ditas iguais se e somente se todos os elementos correspondentes s ˜ao iguais, ou seja:
A = B⇔aij =bij, para todoi= 1,· · · , m, e j = 1,· · ·, n
A negac¸ ˜ao de A = B ´e representada por A 6= B, que significa que A e B s ˜ao
de tipos diferentes ou que A e B s ˜ao do mesmo tipo, mas pelo menos um elemento de A
difere do elemento de mesma posic¸ ˜ao de B.
3.4
Operac¸ ˜oes com Matrizes
3.4.1
Adic¸ ˜ao de Matrizes
Definic¸ ˜ao 3.10. Considere duas matrizes A = (aij) e B = (bij) matrizes de Mm×n. A
soma de A com B, denotada por A+B, ´e a matriz C = (cij) pertencente a Mm×n tal que
cij =aij +bij, com1≤i≤m e1≤j ≤n; neste caso dizemos que C = A + B ou A + B =
C.
Definic¸ ˜ao 3.11. Considere a matrizA= (aij)deMm×n. Dizemos que a matriz oposta da
matriz A (representada por -A) ´e a matriz que somada com a matriz A tem como resultado a matriz nula. Note que ao pegar uma matrizA∈Mmn e α=−1, tem−se (−1)A=−A.
Teorema 3.1. Sejam as matrizes A,B,C ∈Mm×n e sendo O a matriz nula pertencente a
Mm×n. Ent ˜ao:
(I) A + B = B + A
Demonstrac¸ ˜ao:
(I)A+B = (aij)m×n+(bij)m×n = (aij+bij)m×n = (bij+aij)m×n = (bij)m×n+(aij)m×n=B+A
(II)(A+B) +C = ((aij)m×n+ (bij)m×n) + (cij)m×n= (aij +bij)m×n+ (cij)m×n =
= (aij+bij+cij)m×n= (aij)m×n+(bij+cij)m×n = (aij)m×n+((bij)m×n+(cij)m×n) = A+(B+C)
(III)A+O = (aij)m×n+ (oij)m×n= (aij +oij)m×n = (aij)m×n =A
O+A= (oij)m×n+ (aij)m×n= (oij +aij)m×n= (aij)m×n=A
(IV)A+ (−A) = (aij)m×n+ (−aij)m×n = (aij −aij)m×n = (oij)m×n =O
(−A) +A= (−aij)m×n+ (aij)m×n = (−aij +aij)m×n= (oij)m×n =O
3.4.2
Subtrac¸ ˜ao de Matrizes
Definic¸ ˜ao 3.12. Considere duas matrizes A = (aij) e B = (bij) matrizes de Mm×n. A
subtrac¸ ˜ao ou, diferenc¸a de A e B, denotada por A - B, ´e a matrizC = (cij)pertencente a
Mm×n tal que cij = aij −bij, com 1≤ m e1 ≤ j ≤n; neste caso dizemos que C = A - B
ou C = A + (-B).
3.4.3
Multiplicac¸ ˜ao de N ´umero Real por Matriz
Definic¸ ˜ao 3.13. Seja A = (aij)∈ Mm×n e α n ´umero real. O produto da matriz A pelo
n ´umeroα , denotado porαA, ´e a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por
α. Isto ´e:
αA =
α.a11α.a12α.a13 · · · α.a1n
α.a21α.a22α.a23 · · · α.a2n
..
. ... ... . .. ...
α.am1 α.am2 α.am3 · · · α.amn
= (α.aij)m×n
Teorema 3.2. Sejam as matrizes A, B ∈Mm×neα, β ∈R. Ent ˜ao:
(I)α(A+B) = αA+αB
(II)(α+β)A=αA+βA
SEC¸ ˜AO 3.4 • OPERAC¸ ˜OES COM MATRIZES 42
(IV)1.A=A
Demonstrac¸ ˜ao:
(I)α(A+B) =α((aij)m×n+ (bij)m×n) =α(aij +bij)m×n= (α(aij +bij))m×n = (α.aij)m×n+
(α.bij)m×n =α(aij)m×n+α(bij)m×n=αA+αB
(II) (α +β)A = (α + β)(aij)m×n = ((α +β)aij)m×n = (αaij +βaij)m×n = (αaij)m×n +
(βaij)m×n=α(aij)m×n+β(aij)m×n=αA+βA
(III)(αβ)A = (αβ)(aij)m×n= ((αβ)aij)m×n= (α(βαij))m×n=α(βaij)m×n=α(β(aij)m×n) =
α(βA)
(IV)1A= 1(aij)m×n = (1aij)m×n= (aij)m×n=A
No conjunto Mm×n(R) das matrizes reais m por n, onde m e n s ˜ao n ´umeros
naturais dados maiores que zero. Quando definimos a operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao verificamos
que s ˜ao validas as igualdades:
A+B =B+A
(A+B) +C =A+ (B+C)
A+O =O+A=A A+ (−A) = (−A) +A=O
E ao multiplicar uma matriz de Mm×n(R) por um n ´umero real verificamos que
tamb ´em s ˜ao v ´alidas as igualdades:
(αβ)A=α(βA) (α+β)A=αA+βA α(A+B) = αA+αB
1.A=A
Estas igualdades da soma de matrizes e da multiplicac¸ ˜ao de uma matriz por
um n ´umero real juntas, formam um par importante de operac¸ ˜oes que caracteriza um
Espac¸o Vetorial e portanto podemos dizer que o conjuntoMm×n(R) ´e um Espac¸o Vetorial
sobreR. Os Espac¸os Vetoriais s ˜ao muito importantes, pois s ˜ao os objetos de estudo da ´
3.4.4
Multiplicac¸ ˜ao de Matrizes
Definic¸ ˜ao 3.14. Considere duas matrizes A = (aij) ∈ Mm×n e B = (bij) ∈ Mk×l. Para
multiplicar A com B e determinar o produto AB ´e necess ´ario que n = k quando isso ocorre AB est ´a bem definida e ela ´e uma matriz de Mm×l. Ser ´a denotado por[AB]ij a
(i, j)- ´esima entrada de AB, ela ´e dada pela seguinte f ´ormula:
AB = [AB]ij = n
X
t=1
aitbtj
Teorema 3.3. Sejam A,B e C matrizes e α um n ´umero real. Ent ˜ao, sempre que os produtos e somas forem definidos:
(I) (AB)C = A(BC) (II) A(B + C) = AB + AC (III) (A + B) C = AC + BC (IV)α(AB) = (αA) B = A(αB) Demonstrac¸ ˜ao:
(I) Aplicando a definic¸ ˜ao 3.12, temos:
[(AB)C]ih= l
X
j=1
Pn
t=1aitbtj
cjh = l X j=1 n X t=1
aitbtjcjh =
= n X t=1 l X j=1
ait(btjcjh) = n X t=1 ait Pl
j=1(btjcjh)
= [A(BC)]ih
(II) Aplicando a definic¸ ˜ao 3.12 e 3.9, temos:
A(B+C) =h(ait)(btj+ctj
i
ij = n
X
t=1
ait(btj+ctj)
AB +AC =
n
X
t=1
aitbtj+ n
X
t=1
aitctj = n
X
t=1
aitbtj +aitctj = n
X
t=1
ait(btj +ctj)
(III) Aplicando a definic¸ ˜ao 3.12 e 3.9, temos:
(A+B)C= [(ait+bit)ctj]ij = n
X
t=1
SEC¸ ˜AO 3.4 • OPERAC¸ ˜OES COM MATRIZES 44
AC+BC =
n
X
t=1
aitctj+ n
X
t=1
bitctj = n
X
t=1
aitctj+bitctj = n
X
t=1
(ait+bit)ctj
(IV) Aplicando a definic¸ ˜ao 3.12
α(AB) =α[AB]ij =α
Pn
t=1aitbtj
=
n
X
t=1
αaitbtj = n
X
t=1
(αait)btj = [(αA)B]ij
= (αA)B α(AB) =α[AB]ij =α
Pn
t=1aitbtj
=
n
X
t=1
αaitbtj = n
X
t=1
aitαbtj = n
X
t=1
ait(αbtj)
= [A(αB)]ij =A(αB)
Logoα(AB) = (αA)B eα(AB) = A(αB), portanto α(AB) = (αA)B = A(αB).
3.4.5
Matriz Transposta
Definic¸ ˜ao 3.15. A transposta de uma matriz A = (aij)∈Mm×n ´e a matrizAt= (aji)obtida
atrav ´es de troca i- ´esima linha de A pela i- ´esima coluna de A. O resultado ´e uma matriz
n×m a ser chamada a matriz transposta, e denotada porAt.
Teorema 3.4. Sejam A e B matrizes eαum n ´umero real. Ent ˜ao, sempre que os produtos e somas forem definidos:
(I)(A+B)t=At+Bt
(II)(At)t=A
(III)(αA)t=At
(IV)(AB)t=BtAt
Demonstrac¸ ˜ao: (I)(A+B)t=
(aij +bij)m×n
t
= (aji+bji)nxm = (aji)nxm+ (bji)nxm =At+Bt
(II)(At)t=
(aij)m×n tt
=(aji)nxm
t
= (aij)m×n=A
(III)(αA)t=
(αaij)m×n
t
(IV) Seja A uma matriz m×n e B uma matrizn×k, queremos provar que os (i,j)- ´esima elemento de(AB)t ´e igual a (i,j)- ´esima elemento deBtAt. Ent ˜ao:
[AB]ij = n
X
t=1
aitbtj ⇒[(AB)t]ij = [AB]ji = n
X
t=1
ajtbti= n
X
t=1
btiajt
Por outro lado [BtAt]
ij = Pnt=1btiajt. Comparando isso com a ´ultima igualdade teremos
o resultado desejado.
Definic¸ ˜ao 3.16. Se A ´e uma matriz quadrada o k- ´esima pot ˆencia de A ´e a matriz Ak
obtida pela multiplicac¸ ˜ao de A com sik vezes.
Definic¸ ˜ao 3.17. Uma matriz quadrada n ˜ao nula A ´e sim ´etrica quando ela ´e igual a sua transposta, ou seja, A ´e sim ´etrica se, e somente se, At = A. Assim A ´e anti-sim ´etrica
quandoAt =−A.
3.4.6
Trac¸o de uma Matriz
Definic¸ ˜ao 3.18. O trac¸o de uma matriz quadrada A = (aij) ´e a soma dos elementos
diagonais. Denotaremos o trac¸o de matriz A portr(A). Ent ˜ao seA ∈Mn, temos que:
tr(A) = a11+a22+a33+· · ·+ann = n
X
i=1
aii
Teorema 3.5. SejamA, B ∈Mn duas matrizes. Ent ˜ao:
(I)tr(O) = 0
(II)tr(Im) = m
(III)tr(A+B) =tr(A) +tr(B)
(IV)tr(αA) = αtr(A), para todo escalar α∈N (V)tr(At) =tr(A)
(VI)tr(AB) = tr(BA)
Demonstrac¸ ˜ao: (I)tr(O) =Pn
i=10ii= 011+ 022+· · ·+ 0nn = 0, pois0ii = 0∀i= 1,2,· · · , n
(II)tr(Im) =
Pm
i=1aii =a11+a22+· · ·+amm =m, poisaii= 1 ∀i= 1,2,· · ·, m
(III)tr(A+B) =Pn
SEC¸ ˜AO 3.5 • CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS 46
(IV)tr(αA) =Pn
i=1αaii=α(
Pn
i=1aii) =αtr(A)
(V) tr(At) = Pn
i=1aii = tr(A), note que os elementos da diagonal da matriz transposta
de A e os elementos da diagonal da matriz A continuam os mesmos. (VI)tr(AB) =Pn
i=1
Pn
j=1aijbji =Pnj=1Pni=1bijaji =tr(BA)
Observac¸ ˜ao: A multiplicac¸ ˜ao das matrizes quadradas n ˜ao ´e uma operac¸ ˜ao comutativa, ou seja, AB6=BA. Por ´em os trac¸os de AB e BA s ˜ao iguais.
3.4.7
Matriz Inversa
Definic¸ ˜ao 3.19. Uma matriz quadrada A = (aij) ´e chamada de invers´ıvel se existe uma
matrizB = (bij)tal que AB = BA = I, onde I ´e a matriz identidade. Tal matriz B ´e ´unica, a
chamamos de inversa de A e a denotamos porA−1.
3.5
Considerac¸ ˜oes Finais
Este cap´ıtulo apresentou a ´Algebra das matrizes, fazendo uma exposic¸ ˜ao do
conte ´udo de matrizes de forma gradativa dando ˆenfase a alguns conceitos b ´asicos de
suas principais definic¸ ˜oes, teoremas e propriedades de forma bem objetiva, com o intuito
de subsidiar o professor em seu trabalho, al ´em de uma refer ˆencia para o ensino dos
4
APLICAC
¸ ˜
OES DE MATRIZ EM
OTIMIZAC
¸ ˜
AO LINEAR
As matrizes s ˜ao muito utilizadas para representar dados gerando uma
visualiza-c¸ ˜ao clara e pr ´atica das informavisualiza-c¸ ˜oes, permitindo um grande acumulo de informavisualiza-c¸ ˜oes em
um pequeno espac¸o, facilitando a resoluc¸ ˜ao de c ´alculos complexos, dai a sua import ˆancia
em v ´arias ´areas. O uso de matrizes vem sendo explorado para a resoluc¸ ˜ao de
proble-mas do mundo real e a utilizac¸ ˜ao destes probleproble-mas em sala de aula favorece o ensino da
matem ´atica e mostra a necessidade de se aprender matem ´atica tornando a
