Modelos para crescimento de superfície

(1)

UNIVERSIDADE DE S˜AO PAULO INSTITUTO DE F´ISICA

Modelos para crescimento de superf´ıcie

Andre Cardoso Barato

Orientador: Prof. Dr. M´ario Jos´e de Oliveira

Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Instituto de F´ısica

da Universidade de S˜ao Paulo para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de

Mestre em Ciˆencias.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. S´ılvio Roberto de Azevedo Salinas (IFUSP) Prof. Dr. F´abio David Alves Aar˜ao Reis (IF-UFF)

Prof. Dr. Mário José de Oliveira (IFUSP) São Paulo

(2)

(3)

Agradecimentos

Aos meus pais Ana Maria Cardoso Barato e Jarbas Novelino Barato, por muitas coisas.

Ao meu orientador Mário José de Oliveira, pela excelente orienta¸cão.

(4)

(5)

Resumo

Neste trabalho, estudamos modelos para crescimento de superf´ıcie. Mais

especificamente, trabalhamos com um modelo que respeita a condi¸cão RSOS e outro modelo que apresenta uma transi¸cão de rugosidade da classe de universalidade da percola¸cão direcionada. Obtivemos resultados com

(6)

(7)

Abstract

In this work we studied models for surface growth. More speciﬁcally, we worked with a model that presents the RSOS restriction and another one that displays a depinning transition in the direct percolation universality

(8)

(9)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 11

1.1 O crescimento de superf´ıcies . . . 11

1.1.1 Deposi¸c˜ao aleat´oria . . . 13

1.1.2 As equa¸c˜oes EW e KPZ . . . 15

1.1.3 Alguns modelos . . . 18

1.2 Equa¸c˜ao mestra . . . 19

1.3 Percola¸c˜ao . . . 22

1.3.1 O estado percolativo . . . 22

1.3.2 Modelo unidimensional . . . 23

1.3.3 Solu¸c˜ao na rede de Bethe . . . 24

1.3.4 Percola¸c˜ao direcionada . . . 26

1.4 Processo de Contato . . . 28

1.4.1 Evolu¸c˜ao temporal da probabilidade . . . 29

1.4.2 Expoentes cr´ıticos . . . 32

2 Os modelos estudados 33 2.1 Modelo I . . . 33

2.2 Modelo II . . . 34

2.2.1 Transi¸c˜ao de rugosidade . . . 35

2.2.2 Rela¸c˜oes de escala das camadas . . . 36

2.2.3 Rela¸c˜oes de escala da largura da interface . . . 37

(10)

2.2.5 Percola¸c˜ao direcionada com acoplamento direcionado . 39

2.3 Outros modelos com transi¸c˜ao de ancoramento . . . 41

3 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio 43 3.1 Modelo I . . . 43

3.1.1 Caso EW,q = 1/2 . . . 44

3.1.2 Caso KPZ, q₆= 1/2 . . . 46

3.2 Modelo II restrito . . . 49

3.2.1 Fase lisa,q <1/3 . . . 50

3.2.2 Ponto cr´ıtico,q = 1/3 . . . 52

3.2.3 Fase rugosa, q >1/3 . . . 54

3.3 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio aos pares . . . 56

4 Resultados de simula¸c˜ao 60 4.1 Obten¸c˜ao de qc para o modelo II restrito . . . 60

4.2 O modelo II com o parˆametro h . . . 64

5 O estado estacion´ario do modelo RSOS 69 5.1 Encontrando o estado estacion´ario . . . 69

5.2 Aplica¸c˜ao no modelo II . . . 73

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 O crescimento de superf´ıcies

O crescimento de superf´ıcies [1, 2, 3, 4, 5] é observado tanto em proces-sos naturais como em laboratório. Como exemplo deste último, citamos a técnica experimental denominada epitaxia por feixe molecular, que permite o crescimento de superf´ıcies em n´ıvel atômico. Dentro da tradi¸cão da f´ısica

estat´ıstica, utilizamos modelos simplificados que contenham os ingredientes essenciais para a descri¸cão de um determinado fenômeno, no presente caso o processo de crescimento de superf´ıcie. Tais modelos, são o objeto de estudo deste trabalho.

Neste texto s˜ao considerados modelos estoc´asticos para crescimento de

superf´ıcie, tais que o substrato ´e discretizado formando um reticulado de pontos e a cada ponto do reticulado associamos uma altura. A cada instante de tempo um s´ıtio do reticulado ´e escolhido aleatoriamente. Depois de esco-lhido ele pode ter sua altura alterada dependo das regras do modelo. A altura

(12)

Figura 1.1: Poss´ıvel conﬁgura¸c˜ao de uma rede unidimensional para um mo-delo de crescimento de superf´ıcie

Deﬁnimos as seguintes grandezas:

h= 1

N

X

i=1

hi (1.1)

e

w=

v u u t 1

N

X

i=1

h(h₋hi)2i, (1.2)

onde N =Ld _{´e n´}_{umero de s´ıtios de uma rede hiperc´}_ubica _d _{dimensional de}

lado Le hi é altura do s´ıtio i. Assim, h é a altura média de uma realiza¸cão.

A altura média sobre várias realiza¸co˜es é dada por:

h=_hh_i. (1.3)

A grandeza w, conhecida como largura da interface, ´e o desvio padr˜ao das

alturas da superf´ıcie.

Em substratos de tamanho finito, para modelos com correla¸cões entre os s´ıtios, a largura da interface satura depois de um certo tempo. Portanto, temos dois regimes: um dinâmico em que a largura da interface cresce com

o tempo e outro estacion´ario onde a largura da interface satura. Denotamos por wsat a largura da interface de satura¸c˜ao e tx o tempo em que a largura

da interface satura. Deﬁnimos os expoentesα,β e z da seguinte forma [1]:

w(L, t)_∼tβ [t << tx], (1.4)

(13)

1.1 O crescimento de superf´ıcies 13

e

tx ∼Lz. (1.6)

Os expoentes β, α e z são conhecidos como expoentes de crescimento, de rugosidade e dinâmico, respectivamente. Os três expoentes não são indepen-dentes, pois a largura da interface segue a rela¸cão de escala de Family- Vicsek

[6]

w(L, t) = Lαf

µ

t Lz

¶

, (1.7)

onde f(x) é uma fun¸cão universal tal quef(_∞) é finito. Além disso para x pequeno, f(x) deve se comportar como f(x) _∼ xβ_{, onde} _β _{foi escolhido de}

modo que w n˜ao dependa de L no regime t << Lz_{. Isto ´e,} _Lα₍_t/Lz₎β _deve

independer de L, o que acarreta βz = α e, portanto, z = α/β. Notamos que os expoentes α, β e z não têm rela¸cão com um ponto cr´ıtico. Eles estão relacionados à invariância de escala da largura da interface (1.7).

1.1.1 Deposi¸

c˜

ao aleat´

oria

Consideramos aqui o modelo mais simples para o crescimento de uma su-perf´ıcie. Numa rede d dimensional discreta, a cada instante de tempo

es-colhemos um s´ıtio aletoriamente e aumentamos sua altura de uma unidade. Denotamos por P(h, n) a probabilidade de um s´ıtio ter altura h após a de-posi¸cão de n part´ıculas, a probabilidade de um s´ıtio ser escolhido ép= 1/N (N é o número de s´ıtios) e o tempo é igual ao número de part´ıculas

depo-sitadas por s´ıtio, t = n/N. Podemos calcular a largura da interface para a deposi¸c˜ao aleat´oria da seguinte forma [1]:

P(h, n) = n!

h!(n₋h)!p

h₍₁

−p)n−h, (1.8)

hh_i=

n

X

h=1

hP(h, n) = np=t,

hh2_i=

n

X

h=1

(14)

Ent˜ao,

w2 =_hh2_{i − h}h_i2 =t(1₋p) =_⇒w_∼t12. (1.10)

Portanto, para o caso da deposi¸cão aletória, β = 1/2. Como não existe

correla¸cão entre os s´ıtios, o desvio padrão das alturas não satura, assim, o expoente de rugosidadeα não está definido.

O modelo que acabamos de descrever bem como modelos mais compli-cados de crescimento de superf´ıcies podem ser descritos por uma equa¸c˜ao

de Langevin. Nessa formula¸cão consideramos o problema numa escala me-soscópica, onde a altura h é considerada uma variável cont´ınua. Como ilus-tra¸cão deste método escrevemos uma equa¸cão de Langevin para a deposi¸cão aletória

∂h(x, t)

∂t =F +η(x, t), (1.11)

onde F é uma constante, interpretada como o número médio de part´ıculas chegando no s´ıtioxpor unidade de tempo eη(x, t) é o ru´ıdo com as seguintes propriedades

hη(x, t)_i= 0

hη(x, t)η(x′, t′)_i=Dδd(x₋x′)δ(t₋t′), (1.12) ondexpercorre os s´ıtios de uma rede hipercúbica de dimensãodde espa¸camento a. Usando as equa¸cões (1.11) e (1.12), podemos calcular a largura da interface

como fun¸c˜ao do tempo:

h=F t+

Z t

0

η(x, t′)dt′ =_{⇒ h}h_i=F t. (1.13) Logo

h_{− h}h_i=

Z t

0

η(x, t′)dt′ (1.14)

e portanto

w2 =_h(h_{− h}h_i)2_i=_h

Z t

0

η(x, t′)dt′

Z t

0

η(x, t′)dt′_i= =

Z t

0

Z t

0 h

η(x, t′)η(x, t′′)_idt′′dt′ =

Z t

0

(15)

Apesar de a equa¸cão (1.11) ser uma aproxima¸cão cont´ınua para a deposi¸cão aletória discreta, a partir dela obtemos o mesmo expoente β = 1/2 obtido com a solu¸cão exata dada por (1.10). Portanto, esperamos que a aplica¸cão do mesmo método para modelos mais complicados, possa resultar nos expoentes

corretos para o modelo.

1.1.2 As equa¸

c˜

oes EW e KPZ

As equa¸cões de Edwards-Wilkinson (EW) [7] e de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) [8] são equa¸cões de Langevin para o crescimento de superf´ıcies que definem

duas classes de universalidade. A partir destas equa¸c˜oes podemos obter os expoentes cr´ıticosα, β ez que caracterizam as classes de universalidade EW e KPZ.

A equa¸c˜ao EW ´e dada por

∂h(x, t)

∂t =ν∇

2_h₊_η₍_x_{, t}_), _(1.16)

onde o ru´ıdo possui as propriedades (1.12). A equa¸c˜ao KPZ ´e dada por

∂h(x, t)

∂t =ν∇

2_h₊_λ₍_∇_h₎2₊_η₍_x_{, t}_), _(1.17)

onde o ru´ıdo possui as propriedades (1.12). A equa¸cão EW é recuperada fazendo λ = 0. Portanto a equa¸cão EW corresponde a uma teoria linear

para o crescimento de superf´ıcie equanto a equa¸cão KPZ incorpora a não-linearidade. Devido à ausência do termo não-linear na equa¸cão EW, modelos da classe EW apresentam simetria na dire¸cão do crescimento, já a classe KPZ não apresenta essa simetria. Ou seja, a equa¸cão (1.17) é invariante pela

transforam¸c˜ao h _{→ −}h apenas se λ = 0. Em uma dimens˜ao, α = 1/2 e β = 1/4 para a classe EW e α= 1/2 e β= 1/3 no caso KPZ.

(16)

do ru´ıdo em s´eries de Fourier:

h(x, t) = X q

hq(t) exp (iq.x)

η(x, t) =X q

ηq(t) exp (iq.x), (1.18)

onde a somatória percorre todos os vetores do espa¸co rec´ıproco pertencentes à primeira zona de Brillouin. Assim, a equa¸cão EW,

∂h(x, t)

∂t =ν∇

2_h₊_η₍_x_{, t}_), _(1.19)

se torna

∂

∂thq =−ν|q|

2_hq₊_ηq_. _(1.20)

Usando o m´etodo da fun¸c˜ao de Green,

hq(t) = exp(₋ν_|q_|2t)hq(0) +

Z t

0

dτexp[₋νq2(t₋τ)]ηq(τ). (1.21)

Desejamos calcular a largura da interfacew. Para isto, é necessário determi-nar primeiro a média _hηq(t)ηq′(t′)i. A partir de

ηq(t) = 1 Ld

X

x

η(x, t) exp (₋iq.x), (1.22)

onde a soma é sobre os s´ıtios da rede hipercúbica de dimensão d, temos

hηq(t)ηq′(t′)i=L−2d X

x

X

x′

hη(x, t)η(x′, t′)_iexp (₋iq.x₋iq′.x′). (1.23) Usando a propriedade (1.12),

hηq(t)ηq′(t′)i=L−2d X

x exp

·

−i(q.x+q′.x)

¸

Dδ(t₋t′). (1.24) Tendo em vista a seguinte representa¸c˜ao da fun¸c˜ao delta de Kronecker,

X

x

exp (iq.x) =Ldδq, (1.25)

obtemos,

(17)

Considerando uma superf´ıcie inicialmente com todas as alturas iguais a zero (hq(0) = 0) e utilizando o resultado (1.26), obtemos, a partir de (1.21), o resultado

hhq(t)hq′(t)i= DL

−d

2νq2

µ

1₋exp(2νq2t)

¶

δq+q′. (1.27)

A grandeza h ´e dada por

h= 1

Ld

X

x

X

q

hq(t) exp (iq.x) =X q

hq(t)δq=h0(t). (1.28)

Podemos escrever,

w2 =

¿

1 Ld

X

x

(h(x, t)₋h)2

À

(1.29)

e, portanto,

w2 =X

q6=0

X

q′6=0

hhqhq′iδq₊_q′. (1.30)

Utilizando a equa¸c˜ao (1.27),

w2 =L−dX

q6=0 D 2νq2

µ

1₋exp (₋2νq2t)

¶

. (1.31)

Para Lsuﬁcientemente grande, a somat´oria resulta na integral

w2 =

Z _dd_q

(2π)d

D 2νq2

µ

1₋exp (₋2νq2t)

¶

, (1.32)

que deve ser feita na primeira zona de Brillouin, excluindo o hipercubo de lado 2π/L centrado na origem. Entretanto, como estamos interessados no valor assintótico dessa integral para t _{→ ∞}, e como nesse caso a maior contribui¸cão da integral, para d < 2, é proveniente da região em torno da

origem do espa¸co q, podemos aproxim´a-la por:

w2 _∼ D

ν

Z ∞

2π/L

dqqd−3

µ

1₋exp (₋2νq2t)

¶

. (1.33)

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel y=q/L, obtemos,

w2 _∼ D

ν 1 Ld−2

Z ∞

2π

dyyd−3

µ

1₋exp (₋2νy2t/L2)

¶

(18)

Assim,

w2 _∼L2−df(t/L2), (1.35)

onde

f(x) = D ν

Z ∞

2π

dyyd−3

µ

1₋exp (₋2νxy2)

¶

. (1.36)

Comparando com a rela¸cão de escala (1.7) temosα= (2₋d)/2,β = (2₋d)/4 e z = 2, resultados válidos apenas para d < 2, pois a aproxima¸cão (1.33) é válida somente para d <2.

A equa¸cão EW pode ser resolvida, pois é uma equa¸cão linear (λ= 0). No caso da equa¸cão KPZ, apesar da não-linearidade, os expoentes para d = 1 podem ser obtidos exatamente [1, 2].

1.1.3 Alguns modelos

Como exemplos de modelos para crescimento de superf´ıcie, temos os modelos bal´ıstico [1, 9, 10], RSOS (“restricted solid on solid”) [1, 11] e aleat´orio com

relaxa¸cão[1, 12]. Os modelos bal´ıstico e RSOS são da classe KPZ enquanto que o aleatório com relaxa¸cão é da classe EW.

No modelo bal´ıstico se o s´ıtio escolhido tem altura maior ou igual `a altura

dos vizinhos, então sua altura é aumentada em uma unidade. Caso contrário sua altura passa a ser igual à altura do maior vizinho.

Para o modelo RSOS, escolhemos um s´ıtio i, se _|(hi + 1)−hi+1| ≤ 1 e

|(hi+ 1)−hi−1| ≤ 1 ent˜ao hi → hi + 1. Caso contr´ario a altura do s´ıtio i

permanece a mesma. A restri¸cão_|hi−hi+1| ≤1 é conhecida como restri¸cão, ou condi¸cão RSOS.

No caso do modelo aleatório com relaxa¸cão, part´ıculas são depositadas no substrato aleatoriamente. Se o s´ıtio escolhido é mais alto que um dos vizinhos

(19)

1.2 Equa¸c˜ao mestra 19

1 2 3 4 5

log t

0 0.5 1 1.5 2

log

w

L= 800 L= 1600

L= 3200

Figura 1.2: Modelo RSOS lnw _× lnt para L= 800, L= 1600 e L= 3200

Na figura 1.2 mostramos um gráfico t´ıpico de um modelo de crescimento

de superf´ıcie, no caso do modelo RSOS, de logw por logt.

1.2 Equa¸

c˜

ao mestra

A equa¸cão mestra [13, 14], é uma equa¸cão para evolu¸cão temporal da dis-tribui¸cão de probabilidades de um certo processo estocástico. Seguimos a referência [13] para deduzir a equa¸cão mestra.

Vamos considerar uma vari´avel aleat´oria xt, que assume apenas valores

inteiros. Consideramos também que o tempo t é discreto. Denotamos, a probabilidade de xt assumir os valoresn0 em t = 0, n1 em t= 1 e assim até nl em t =l, por

Pl(n0, n1, ..., nl). (1.37)

(20)

assumido os valores n0 em t = 0, n1 em t= 1, ... e nl em t =l, ´e dada por:

Pl+1(nl+1|n0, n1, ..., nl). (1.38)

Em um processo markoviano [15],Pl+1(nl+1|n0, n1, ..., nl) =Pl+1(nl+1|nl).

A probabilidade dextassumir o valornl+1no instantel+1, ´e igual ´a soma de cada valor quext pode assumir no intantel multiplicado pela respectiva

probabilidade condicional, ou seja,

Pl+1 =

X

nl

Pl+1(nl+1|nl)Pl(nl). (1.39)

Deﬁnimos a matriz estoc´asticaT,

T(n, m) =P(n_|m). (1.40)

Assim, a equa¸c˜ao (1.39) pode ser escrita como:

Pl+1 =T Pl, (1.41)

onde Pl ePl+1 s˜ao vetores colunas. Evidentemente que

X

m

T(m, n) = 1, (1.42)

pois se a variável aleatória está em um certo estado n, no instante imedia-tamente posterior ela estava em um dos poss´ıveis estados com probabilidade 1.

Para um processo estocástico, em que as transi¸cões ocorrem a cada inter-valo de tempo τ, definimos

W(n, m) = T(n, m)

τ para n6=m. (1.43)

Reescrevemos a equa¸c˜ao (1.39),

Pl+1(n) =

X

m6=n

T(n, m)Pl(m) +T(n, n)Pl(n) = (1.44)

= X

m6=n

T(n, m)Pl(m) +

µ

1₋X

m6=n

T(m, n)

¶

(21)

1.2 Equa¸c˜ao mestra 21

Com a equa¸c˜ao (1.43), Pl+1(n)−Pl(n)

τ =

X

m6=n

[W(n, m)Pl(m)−W(m, n)Pl(n)]. (1.45)

Finalmente, considerando o limite τ _→0, d

dtP(n, t) =

X

m6=n

[W(n, m)P(m, t)₋W(m, n)P(n, t)], (1.46)

onde t = lτ. A equa¸cão (1.46) é chamada de equa¸cão mestra. Ela deve ser entendida como uma equa¸cão de balan¸co probabil´ıstico, onde o primeiro

termo, do lado direito da equa¸cão (1.46), é um termo de “ganho”e o segundo termo é um termo de “perda”. O elemento de matriz W(m, n), é a taxa de transi¸cão do estado n para o estado m. Como os elementos diagonais da matriz W não aparecem na equa¸cão (1.46), eles podem ser definidos da

forma mais conveniente. Escolhendo

W(n, n) = ₋X

m6=n

W(m, n), (1.47)

temos que a soma dos elementos de uma coluna da matrizW ´e zero. Com a escolha (1.47), a equa¸c˜ao (1.46) pode ser reescrita na seguinte forma:

d

dtP =W P. (1.48)

Um bom exemplo para ilsutrar a equa¸cão mestra é o modelo de Ehrenfest. Em tal modelo, temos duas urnas contendo um número total de bolas igual a N. A dinâmica do modelo consiste em escolher uma bola e trocá-la de urna.

Assim, deﬁnindo n como o n´umero de bolas em uma das urnas, temos:

T(n+ 1, n) = (N −n) N T(n₋1, n) = n

N

T(m, n) = 0 se m₆=n_±1. (1.49)

Sendoγ uma constante positiva, definimosW(m, n) =γT(m, n) param ₆=n. A equa¸cão mestra para o modelo de Ehrenfest será, pois,

dPn

dt =γ

n+ 1

N Pn+1(t) +γ

µ

1₋ n−1 N

¶

(22)

1.3 Percola¸

c˜

ao

A percola¸cão [13, 16] pode ser entendida como a passagem de um fluido por um meio poroso. Cada poro pode ser permeável ou impermeável. E a liga¸cão entre dois poros pode permitir ou não a passagem do fluido.

Consideramos um modelo para percola¸cão, em que temos uma rede dis-creta formada por s´ıtios que podem estar ocupados com probabilidade p ou vazios com probabilidade q = 1₋p. S´ıtio ocupado significa que o poro é permeável. Portanto, a cada s´ıtio temos associada uma variável aleatória ηi

que assume o valor 1 (s´ıtio ocupado) com probabilidade p e valor 0 (s´ıtio vazio) com probabilidade q. Então, a configura¸cão da rede é definida pelo vetor η = (η1, η2, ..., ηN), onde N é o número de s´ıtios da rede. Assim, a

probabilidade de uma certa configura¸cão ηé dada por:

P(η) =pnqN−n onde n=η1+η2+...+ηN. (1.51)

< f(η)>=X

η

f(η)P(η) (1.52)

é a média de um fun¸cão de estado f(η).

1.3.1 O estado percolativo

Deﬁnimosns(η) como sendo o n´umero de aglomerados de tamanho s. Assim,

ρs =< ns> /N (1.53)

é o número médio de aglomerados de tamanho s por s´ıtio. A probabilidade de um s´ıtio pertencer a um aglomerado de tamanho s ésρs. Portanto, vale

a rela¸c˜ao

N

X

s=1

sρs =p. (1.54)

(23)

1.3 Percola¸c˜ao 23

Agora vamos considerar uma rede infinita, onde podemos ter um aglome-rado infinito. Quanto maior p, maior é a chance de existir tal aglomerado. Assim, numa rede infinita deve existir uma probabiliade cr´ıtica pc, tal que

para p < pc n˜ao ocorrem aglomerados inﬁnitos e para p > pc eles ocorrem.

Portanto, o sistema tem uma transi¸cão de fases de um estado sem percola¸cão (p < pc) para um estado percolativo (p > pc). Para tratar uma rede infinita

deﬁnimos as grandezas

F =

∞

X

s=1

sρs, (1.55)

P =p₋

∞

X

s=1

sρs (1.56)

e

S =

∞

X

s=1

s2ρs, (1.57)

onde F é o número médio de s´ıtios pertencentes aos aglomerados finitos, P é número médio de s´ıtios pertencentes aos aglomerados infinitos e S é o tamanho médio dos aglomerados finitos. Como um s´ıtio ocupado está num

algomerado ﬁnito ou inﬁnito,

F +P =p. (1.58)

Para p < pc s´o temos aglomerados ﬁnitos, portanto, F =p e P = 0. A

pro-babilidade de percola¸cão P é o parâmetro de ordem do modelo e o tamanho médio dos aglomerados finitosS é um análogo da susceptibilidade.

1.3.2 Modelo unidimensional

Para uma rede unidimensional temos ρs = psq2, pois um aglomerado de

tamanho s ´e formado por s s´ıtios ocupados e 2 vazios na fronteira. Assim, usando (1.55) e (1.57), temos

F =p (1.59)

e

S= p(1 +p)

(24)

Portanto, no modelo unidimensionalP = 0 parap₆= 1. Apenas no casop= 1 ocorre a percola¸cão. O tamanho médio dos aglomerados finitosS diverge em p=pc = 1.

1.3.3 Solu¸

c˜

ao na rede de Bethe

Para construirmos a Rede de Bethe, ligamos a um s´ıtio centralz vizinhos, a cada um dosz vizinhos ligamosσ=z₋1 s´ıtios e vamos adiante at´e contruir uma rede de um certo tamanho. Portanto, cada s´ıtio tem z vizinhos, um

da camada inferior e σ da camada superior. É poss´ıvel calcular o tamanho médio dos algomerados finitosS e o parâmetro de ordemP na rede de Bethe [13, 17].

Primeiro calculamos o per´ımetro ts, n´umero de s´ıtios necess´arios para

isolar um aglomerado de tamanhos. Na rede de Bethet1 =σ+1 ets+1−ts =

σ₋1 assim,

ts = (σ−1)s+ 2. (1.61)

Ent˜ao,

F =q2

∞

X

s=1

sbspsq(σ−1)s (1.62)

e

S =q2

∞

X

s=1

s2bspsq(σ−1)s, (1.63)

onde bs ´e uma constante que aparece devido `a possibilidade de se formar

aglomerados tomando “caminhos distintos”. Deﬁnimos a fun¸c˜ao geratriz

G(x) =

∞

X

s=1

bsxs, (1.64)

com x=pqσ−1_,

F =q2xG′(x) (1.65)

e

(25)

Para p < pc, devemos ter F =p e portanto G′[x(p)] =g(p) = (1−p)−(σ+1).

Assim, sabemos g(p) para p < pc. Falta obter g(p) para p > pc. Notamos

que x = p(1₋p)σ−1 _{tem duas solu¸c˜oes, uma em que} _p _{tende a zero para} _x tendendo a zero e outra em que p tende a unidade para x tendendo a zero.

Deﬁnimosp∗₍_p_{) como a raiz da equa¸c˜ao}_p∗₍₁₋_p∗₎σ−1 ₌_p₍₁₋_p₎σ−1 ₌_x _que tende a zero quandox vai a zero. Reescrevemos g(p),

g(p) = (1₋p∗(p))−(σ+1). (1.67) Nesta formag(p) vale para qualquerp. A fun¸c˜aop(1₋p)(σ−1)tem um m´aximo em pm = 1/σ, portanto p∗ = p para p < 1/σ e p∗ 6=p para p > 1/σ. Como

F =p para p < 1/σ e F ₆=p para p > 1/σ, pc = 1/σ. Usando as equa¸c˜oes

(1.65) e (1.67) temos,

F =p(1₋p)(σ+1)(1₋p∗)−(σ+1). (1.68) Para calcular S fazemos o seguinte:

G′′(x) = dg dp∗

dp∗

dx =

dg dp∗

µ

dx dp∗

¶−1

=₋ (σ+ 1)q

∗−2σ

(σ₋1)₋σq∗, (1.69)

onde q∗ _{= 1}₋_p∗_{. Com a rela¸c˜ao} _x ₌ _p₍₁₋_p₎(σ−1) ₌ _p∗₍₁₋_p∗₎(σ−1) _{e a} equa¸c˜ao (1.66),

S =q2[x(1₋p∗)−(σ+1)+x2(σ+ 1)(1₋p∗)−2σ]/(1₋σp∗)] = q

2_p∗_{(1 +}_p∗₎

q∗2₍₁₋_σp∗₎.

(1.70) Como exemplo podemos calcular P e S para σ = 2. Neste caso pc = 1/2

e p∗ _{= 1}₋_p_para _{p >} ₁_/_{2. Assim, para} _{p <} ₁_/₂

P = 0

S= p(1 +p)

1₋2p . (1.71)

Para p >1/2

P =p₋F = p

3₋_q3 p2

S = q

3₍₂₋_p₎

(26)

l

Figura 1.3: Rede para a percola¸c˜ao direcionada

Assim como a suscetibilidade o modelo de Ising, S diverge em pc e perto

da criticalidade S _∼1/_|p₋pc|. Poder´ıamos achar pc primeiro calculando S

para p < pc e depois usando o fato de que S deve divergir empc.

1.3.4 Percola¸

c˜

ao direcionada

No caso da percola¸cão direcionada [13, 18], também consideramos um fluido atravessando um meio poroso, porém neste caso uma dire¸cão é favorecida.

Por exemplo, podemos imaginar o meio poroso na presen¸ca do campo gravi-tacional.

Vamos considerar a interpetra¸cão dinâmica para a percola¸cão direcionada, onde a dire¸cão favorecida é o tempo. Em uma rede como a da figura (1.3),

um s´ıtio é ativo com probabilidade p e uma ligacão é intacta com probabili-dade q. Dois s´ıtios estarão ligados se eles forem ativos e a liga¸cão entre eles estiver intacta. O s´ıtio só pode estar diretamente ligado a s´ıtios das camadas vizinhas, ele não pode estar ligado a s´ıtios da mesma camada. A cada s´ıtio

da rede associamos uma variável aleatória ηi, tal que: ηi = 1 se o s´ıtio está

ligado a um s´ıtio da camada zero eηi = 0 caso contr´ario. O s´ıtioida camada

l assume o valorηi dependendo apenas dos valores deη nos s´ıtiosiei+ 1 da

(27)

a configura¸cão η, onde η = (η1, η2, ...). Temos a seguinte equa¸cão para a evolu¸cão da probabilidade [13]

Pl+1(ηi) =

X

η′

i

X

η′

i+1

w(ηi|η′i, ηi′+1)Pl(η′i, ηi′+1), (1.73) onde w(ηi|ηi′, ηi′+1) ´e a probabiliadade de que o s´ıtio ida camada l+ 1 esteja no estadoηi, dado que os s´ıtiosiei+ 1 da camadal se encontram no estado

η′

i eηi′+1. Portanto,

w(1_|1,1) =pq(1₋q) +p(1₋q)q+pq2

w(1_|1,0) =w(1_|0,1) =pq. (1.74)

Com as equa¸c˜oes (1.73) e (1.74), obtemos

Pl+1(1) = pq(2−q)Pl(1,1) +pqPl(1,0) +pqPl(0,1). (1.75)

No estado estacion´ario Pl(1) = Pl+1(1) = P, onde P ´e a probabilidade

de percola¸cão. Vamos calcular o parâmetro de ordem P fazendo uma apro-xima¸cão de campo médio simples [13] na equa¸cão (1.75). Nesta aproapro-xima¸cão

desconsideramos as correla¸c˜oes,

Pl(1,1) =Pl(1)Pl(1)

Pl(1,0) = Pl(0,1) =Pl(1)Pl(0). (1.76)

Tendo em vista que Pl(0) +Pl(1) = 1, com a aproxima¸c˜ao de campo m´edio

simples

−(pq2)P2+ (2pq₋1)P = 0, (1.77)

que tem como solu¸c˜oes P = 0 e P = 2pq_pq−21. Para a percola¸c˜ao direcionada

por s´ıtios (q = 1), P = (2p₋1)/p com pc = 1/2. No caso da percola¸c˜ao

direcionada por liga¸c˜oes (p= 1), P = (2q₋1)/q2 _com _q

c = 1/2.

(28)

equa¸c˜ao da evolu¸c˜ao temporal de um par de s´ıtios:

Pl+1(ηi, ηi+1) =

X η′ i X η′ i+1 X η′ i+2

w(ηi|ηi′, ηi′+1)w(ηi+1|ηi′+1, ηi′+2)Pl(η′i, ηi′+1, ηi′+2). (1.78) Na aproxima¸c˜ao de campo m´edio aos pares

Pl(η1, η2, η3) = Pl(η1, η2)Pl(η2, η3)/Pl(η2). (1.79)

Deﬁnindo zl = Pl(1,1), xl =Pl(1), tendo em vista que Pl(1,0) = Pl(0,1) =

Pl(1)−Pl(1,1), usando a equa¸cão 1.78 e a aproxma¸cão de campo médio ao

n´ıvel de pares, obtemos,

zl+1 = (pq)2

(xl−zl)2

xl

+ 2(pq)2(2₋q)zl(xl−zl) xl

+

(pq)2(2₋q)2z 2

l

xl

+ (pq)2(xl−zl) 2

1₋xl

. (1.80)

A equa¸c˜ao (1.75) pode ser escrita na forma

xl+1 =pq(2−q)zl+ 2pq(xl−zl). (1.81)

Portanto, no estado estacionário com aproxima¸cão de campo médio aos pares,

P =p₋(pq−1)

2

2pq₋1 . (1.82)

A percola¸cão direcionada (PD) define uma robusta classe de universali-dade para os modelos fora do equil´ıbrio. Para descobrir se um modelo está

ou não na classe PD devemos calcular seus expoentes cr´ıticos. Na próxima se¸cão, analisamos um modelo que está na classe PD e definimos os expo-entes cr´ıticos que caracterizam esta classe. Como exemplo de modelos que

apresentam transi¸c˜ao da classe PD, citamos o autˆomato de Domany-Kinzel [13, 19] e o modelo ZGB [20, 21, 22].

1.4 Processo de Contato

(29)

1.4 Processo de Contato 29

associamos uma variável aleatória que pode assumir os valores 1 ou 0, re-presentando indiv´ıduo doente e saudável, respectivamente. Na dinâmica do modelo, um s´ıtio 1 pode virar 0 independentemente de sua vizinhan¸ca, en-quanto que a mudan¸ca de 0 para 1 é autocatal´ıtica. Na figura 1.4 temos

representadas as regras do processo de contato unidimensional.

1

λ λ

λ

/2

Figura 1.4: Transi¸c˜oes do processo de contato unidimensional

Pelas regras do modelo, fica claro que ele possui um estado absorvente com todos os s´ıtios vazios. O processo de contato apresenta uma transi¸cão de fases, tal que, para λ > λc o estado estacionário do sistema pode ser

ativo e para λ < λc o sistema vai para o estado absorvente, ondeλ ´e a taxa

de cria¸cão de part´ıculas. Esta transi¸cão está na classe de universalidade da percola¸cão direcionada.

1.4.1 Evolu¸

c˜

ao temporal da probabilidade

Definindo ρ como a densidade de s´ıtios ativos, a equa¸cão mestra para o processo de contato em ddimensões é dada por [22]:

d

dtρ(x, t) = −ρ(x, t) + λ q

X

y

P rob[ηx(t) = 0, ηy(t) = 1]. (1.83)

(30)

1. Fazendo uma aproxima¸cão de campo médio simples na equa¸cão (1.83), obtemos,

dρ

dt = (λ−1)ρ−λρ

2_. _(1.84)

No estado estacion´ario

ρ(λρ₋λ+ 1) = 0, (1.85)

portanto, ρ = 0 ou ρ = 1₋λ−1_{. Para} _{λ <} _{1 a segunda solu¸cão é negativa,} portanto a única solu¸cão é o estado absorvente com ρ = 0. Para λ > 1 a primeira solu¸cão corresponde ao estado absorvente e a segunda solu¸cão cor-responde ao estado estacionário ativo. Assim, com a aproxima¸cão de campo

médio simples encontramos λc = 1 e na região ativa próxima à criticalidade

a densidadeρ_∼(λ₋1)1_{. Para}_{λ > λ}

c, e perto da criticalidade

ρ_∼(λ₋λc)β, (1.86)

onde β é um dos expoentes cr´ıticos que caracterizam a classe PD. Portanto, com aproxima¸cão de campo médio encontramosβCM _{= 1.}

Para λ₆= 1 a solu¸cão da equa¸cão (1.83) é dada por:

ρ(t) = λ−1

λ₋ce−(λ−1)t, (1.87)

onde c é uma constante determinada pela condi¸cão inicial. Através da equa¸cão (1.87), no caso λ <1 temos

ρ= 1−λ

c e

(λ−1)t₊_O₍_e(λ−1)2t₎ _(1.88)

e paraλ >1

ρ= λ−1

λ +

(λ₋1)c

λ2 e

(1−λ)t₊_O₍_e(1−λ)2t_). _(1.89)

Assim, para tempos longos

ρ(t)₋ρ_∼e−|λ−1|t_. _(1.90)

Perto do ponto cr´ıtico ρ ₋ρ _∼ exp(₋t/ξk), onde ξk ´e o comprimento de

correla¸cão temporal. O expoente νk é definido pela rela¸cão:

(31)

1.4 Processo de Contato 31

Pela equa¸c˜ao (1.90), νCM

k = 1.

Em λ= 1, a equa¸c˜ao (1.84), se torna

dρ

dt =−λρ

2_, _(1.92)

ent˜ao,

−dρ

λρ2 =dt. (1.93)

Portanto, no ponto cr´ıtico ρ = 1/(t+a), onde a é uma constante de inte-gra¸cão. Assim, para tempos longos ρ _∼ t−1_{. O expoente} _δ _{é definido pela} rela¸cão

ρ(t)_∼t−δ, (1.94)

em λ=λc. Portanto, δCM = 1.

Podemos considerar um modelo, que além das taxas apresentadas na fi-gura 1.4, tem uma taxa de cria¸cão de part´ıculas, independente da vizinhan¸ca, h. Como o modelo deixa de ter um estado absorvente, o parâmetro h mata

a transi¸cão de fases. Portanto a taxa h tem papel análogo ao do campo no modelo de Ising. Com a taxa h, devemos adicionar o termo h(1₋ρ) na equa¸cão (1.84). Assim,

dρ

dt = (λ−1)ρ−λρ

2₊_h₍₁

−ρ). (1.95)

No estado estacion´ario

ρ= 1

2λ

µ

λ₋h₋1 +p(λ₋h₋1)2_{+ 4}_λh

¶

. (1.96)

Da mesma forma que temos um expoente relacionando o campo e a magne-tiza¸c˜ao no modelo de Ising, para o processo de contato temos:

ρ_∼h1/δh

. (1.97)

(32)

1.4.2 Expoentes cr´ıticos

Existem outros expoentes cr´ıticos deﬁnidos para o processo de contato, por´em

eles nao são todos independentes, estão relacionados por leis de escala. Os expoentes independentes são três: νk,βeν⊥. O expoenteν⊥está relacionado

ao comprimento de correla¸c˜ao espacial ξ⊥ ∼ |λ−λc|−ν⊥. O expoente δ, por

exemplo, segue a rela¸c˜aoδ =β/νk.

A seguir, apresentamos uma tabela com alguns expoentes cr´ıticos do pro-cesso de contato. Mas antes, apresentamos uma rela¸cão que é importante para os próximos cap´ıtulos. Na criticalidade, para redes finitas,

ρ_∼L−β/ν⊥_, _(1.98)

onde L ´e o tamanho da rede. Na tabela 1.1 constam dados tirados da re-ferˆencia [22].

Tabela 1.1: Expoentes do processo de contato [22]

λc β νk ν⊥ δ δh−1

d=1 3.29785(2) 0.27649(4) 1.73383(3) 1.09684(6) 0.15947(3) 0.111(3)

CM 1 1 1 1

2 1

(33)

Cap´ıtulo 2

Os modelos estudados

Nas duas primeiras se¸cões deste cap´ıtulo, apresentamos dois modelos para crescimento de superf´ıcie. A maior parte desta disserta¸cão é dedicada ao se-gundo modelo. Fizemos uma aproxima¸cão de campo médio para o sese-gundo modelo e com o resultado obtido percebemos que a mesma aproxima¸cão

po-deria ser aplicada no primeiro modelo. O segundo modelo apresenta uma transi¸cão de fases conhecida como transi¸cão de ancoramento (“depinning transition”) [24], por isso na última se¸cão citamos outros modelos que apre-sentam o mesmo tipo de transi¸cão.

2.1 Modelo I

No modelo I [25, 26], a deposi¸cão ocorre com probabilidade q, a evapora¸cão com probabilidade 1₋q e a condi¸cão RSOS é respeitada. Em q = 1/2, a velocidade de crescimento da superf´ıcie é zero e o modelo apresenta uma

(34)

q

1−q q

q

q 1−q

1−q

Figura 2.1: Regras do modelo I

2.2 Modelo II

O modelo II [27, 28] tem duas vers˜oes, uma irrestrita e outra restrita. Para o caso irrestrito, temos as seguintes regras:

hi →hi+ 1 com probabilidade q,

hi → m´ın{hi, hi+1} com probabilidade (1−q)/2 e hi → m´ın{hi−1, hi} com probabilidade (1−q)/2.

A versão irrestrita pode ser mapeada no processo de contato se associar-mos a cada s´ıtio uma variável aleatóriaηi tal que: ηi = 1 sehi = 0 e ηi = 0

se hi 6= 0. Se deﬁnimos uma taxa λ = (1−q)/q ent˜ao, ηi vai de 1 para 0

com taxa 1 e vai de 0 para 1 com taxanλ/2, onde n é o número de vizinhos ocupados. Assim, fica claro que o modelo II irrestrito pode ser mapeado exatamente no processo de contato.

No caso restrito o modelo deve seguir a condi¸c˜ao RSOS. A deposi¸c˜ao

(35)

2.2 Modelo II 35

q

1−q q

(1−q)/2 q

Figura 2.2: Regras do Modelo II restrito

2.2.1 Transi¸

c˜

ao de rugosidade

Pelas regras do modelo II, tanto no caso restrito como no caso irrestrito, vemos que uma vez que uma camada ´e totalmente preenchida, nenhuma

part´ıcula desta camada pode ser evaporada. Devido a esse mecanismo, de ancorar a superf´ıcie, o sistema apresenta uma transi¸cão de ancoramento. Paraq < qc, a superf´ıcie não tem deposi¸cão de átomos suficiente para crescer

e para q > qc ela cresce com uma certa velocidade v. Na referˆencia [28]

foram obtidos: qc = 0.23267(3) para o modelo irrestrito e qc = 0.1889(1)

para o modelo restrito. Na fase travada (q < qc) a superf´ıcie ´e lisa, ou seja, a

largura da interface n˜ao cresce com o tempo. Paraq > qca superf´ıcie ´e rugosa

e da classe KPZ. Portanto, o modelo II apresenta tamb´em uma transi¸c˜ao de

rugosidade. No caso irrestrito, como o modelo se mapeia exatamente no processo de contato, a transi¸cão é da classe de universalidade da percola¸cão direcionada. É de se esperar que no caso restrito a transi¸cão de fases também seja PD. Tal expectativa é confirmada por simula¸cões nas referências [27, 28].

´

E importante notar que apesar do modelo II pertencer à classe PD, ele não apresenta estado absorvente. Na compara¸cão do Modelo II com o processo de contato, temos λ = (1 ₋q)/q, assim a fase em que a superf´ıcie cresce

(36)

Figura 2.3: Poss´ıvel conﬁgura¸c˜ao do modelo II comn0 = 6/24, n1 = 13/24 e

n2 = 5/24

a fase em que a superf´ıcie n˜ao cresce corresponde ao estado ativo do processo de contato.

2.2.2 Rela¸

c˜

oes de escala das camadas

O parâmetro de ordem no processo de contato é a densidade de s´ıtios ocu-pados ρ. Então, tendo em vista o mapeamento do modelo II irrestrito no

processo de contato, seu parâmetro de ordem é a fra¸cão de s´ıtios com altura igual à zero.

Definimos nk como a fra¸cão de s´ıtios com altura pertencente à camada

k. Esperamos que n0 apresente os expoentes PD, podemos nos perguntar se

as outras camadas apresentam expoentes PD. Deﬁnimos o expoente xk da

seguinte forma: perto da criticalidade, para q < qc,

mk ∼(qc −q)xk, (2.1)

onde

mk=

k

X

j=0

nj. (2.2)

Emq =qc,

mk(t)∼t−xk/νk (2.3)

e

mk(L)∼L−xk/ν⊥. (2.4)

Comon0 é mapeado no parâmetro de ordem do processo de contato, espera-mos x0 =β. A princ´ıpio dever´ıamos definir os expoentes νk e ν⊥ para cada

(37)

2.2 Modelo II 37

iguais para todas as camadas. Na tabela 2.1, constam os dados obtidos na referência [28] por simula¸cão. Foram usadas as equa¸cões (2.1), (2.3) e (2.4), com os expoentes ν⊥ = 1.09684(2) e νk = 1.73383(2). Os valores obtidos

parax0 coocordam comβ = 0.27649(4), e com o aumento dek o valor dexk

´e menor.

Tabela 2.1: Dados obtidos na refrˆencia [28]

Equa¸c˜ao 2.1 2.3 2.4

x0 i 0.275(5) 0.273(10) 0.276(5) r 0.270(10) 0.277(10) 0.265(10)

x1 i 0.114(5) 0.110(10) 0.125(5) r 0.108(10) 0.110(10) 0.118(10)

x2 i 0.039(15) 0.035(15) 0.045(10) r 0.022(15) 0.025(20) 0.033(15)

2.2.3 Rela¸

c˜

oes de escala da largura da interface

Paraq < qc a interface ´e lisa. No casoq > qc, a interface ´e rugosa com

expo-entes KPZ. Na criticalidade, esperamos um comprotamento intermedi´ario.

Na referˆencia [29], foram obtidas, para o modelo II restrito, as seguintes rela¸c˜oes:

w2(t)_≃τlnt, (2.5)

w_sat2 (L)_≃A+λlnL (2.6)

e, perto da criticalidade,

w2_sat(ǫ) =C₋ηln_|ǫ_|, (2.7) onde ǫ = q₋qc. Para condi¸c˜oes peri´odicas de contorno, foram calculados

τ = 0.102(3), λ = 0.161(2) e η = 0.173(10). Na mesma referˆencia, foi observada a rela¸c˜ao de escala

(38)

onde z =νk/ν⊥ ´e o expoente dinˆamico da classe PD. Assim,

λ =η/ν⊥ (2.9)

e

τ =η/νk. (2.10)

2.2.4 Aproxima¸

c˜

ao de campo m´

edio para o caso

irres-trito

Denotamos por P(h) a probabilidade de um certo s´ıtio ter altura h, para h= 0 a evolu¸c˜ao temporal de P(h) ´e dada por:

d

dtP(0) =−qP(0) + 1₋q

2

∞

X

h=1

[P(h,0) +P(0, h)], (2.11)

para h >0,

d

dtP(h) = qP(h−1)−qP(h) + 1₋q

2

∞

X

h′₌_h₊₁

[P(h, h′) +P(h′, h)]

−1−₂ q

h−1

X

h′₌₀

[P(h, h′) +P(h′, h)], (2.12) onde P(h, h′_{) ´e a probabilidade de dois s´ıtios vizinhos terem altura} _h _e _h′_.

Fazendo a aproxima¸c˜ao de campo m´edio simples, para a qual P(h, h′_{) =}

P(h)P(h′_{), temos [28]:}

d

dtP0 =−qP0+ (1−q)P0(1−P0). (2.13) Para as camadas superiores,

d

dtPh =qPh−1−qPh+ (1−q)Ph

µ 1₋ h X n=0 Pn ¶

−(1₋q)Ph h−1

X

n=0

Pn, (2.14)

onde Ph =P(h). Deﬁnimos,

φh =

h

X

n=0

(39)

2.2 Modelo II 39

A partir das equa¸c˜oes (2.13) e (2.14),

d

dtφ0 =−qφ0+ (1−q)φ0(1−φ0) (2.16) e

d

dtφh = (1−q)

µ

ǫφh−φ2h+ (1−ǫ)φh−1

¶

, (2.17)

onde ǫ = (1 ₋2q)/(1₋ q). Portanto, para ǫ > 0 (q < 1/2), no estado estacion´ario,

φo =ǫ (2.18)

e

φh =

1 2

·

ǫ+pǫ2_{+ 4(1}₋_ǫ₎_φ

h−1

¸

. (2.19)

A equa¸c˜ao (2.19), nos permite obterφh de forma recorrente. Paraq pr´oximo

de 1/2, e levando em conta queφ0 ´e da ordem deǫ concluimos queφ1 ∼√ǫ. De forma gen´erica temos,

φh ≃

p

φh−1. (2.20)

Os expoentes xh com aproxima¸cão de campo médio, através das equa¸cões

(2.18) e (2.20), s˜ao dados por:

xCM_h = 2−h. (2.21)

Resultado que concorda com a simula¸c˜ao, no seguinte sentido: quanto maior h menor xh.

2.2.5 Percola¸

c˜

ao direcionada com acoplamento

direci-onado

Os expoentes xh obtidos na referˆencia [28], pertencem `a classe de

universali-dade da percola¸cão direcionada com acoplamento direcionado [30, 31, 32]. A seguir, seguindo a referência [32], explicamos o que é a percola¸cão direcionada com acoplamento direcionado.

(40)

A _−→A+A com taxa σA,

A_−→0 com taxa µA,

A+A_−→A com taxa λA,

onde 0 sgnifica s´ıtio vazio. Esta rea¸cão está na classe PD. A equa¸cão mestra

com aproxima¸cão de campo médio, para o número médio de part´ıculas nA,

´e dada por

∂nA

∂t =−rAnA−λAn 2

A, (2.22)

onderA=µA−σA. Na aproxima¸cão de campo médio, a transi¸cão de fases, do

estado absorvente (rA >0) para o estado ativo (rA<0), ocorre em rA = 0.

No estado estacion´ario, na fase ativa, temosnA =|rA|/λA, assim βACM = 1.

Agora, consideramos o mesmo tipo de rea¸c˜ao com uma part´ıcula do tipoB,

obviamente que temos um outro sistema PD. Acoplamos as part´ıculasAeB da seguinte forma:

A_−→B com taxa µAB.

Como a rea¸cão A _→ B é permitida e a rea¸cão B _→ A não ocorre, dizemos que o acoplamento é direcionado. Podemos introduzir uma hierarquia de part´ıculas tal que: A _→B, A _→ C, B _→C e assim por diante. A questão a ser respondida é se um novo comportamento cr´ıtico aparece, ou seja, os

expoentes cr´ıticos relacionados as diferentes part´ıculas são PD? É claro que os expoentesAsão PD pois, devido ao acoplamento direcionado, a dinâmica das part´ıculasAnão depende das outras part´ıculas. Já a dinâmica das part´ıculas B depende das part´ıculas A e, em uma certa região do espa¸co de fases, um

novo comportamento cr´ıtico ´e observado. Na verdade, podemos relacionar nA, nB e nC `as densidades n0, n1 e n2 do modelo II, respectivamente.

Vamos considerar a equacão mestra com aproxima¸cão de campo médio para um sistema com part´ıculas A e B. A equa¸cão para as part´ıculas A

permanece a mesma, comrA=µA+µAB−σA. A equa¸c˜ao para as part´ıculas

B,

∂nB

∂t =−rBnBA−λBn

2

(41)

2.3 Outros modelos com transi¸c˜ao de ancoramento 41

tem a solu¸c˜ao estaion´aria

nB =

·µ

rB

λB

¶2

+ µAB λB

nA

¸

− rB

2λB

. (2.24)

Na regi˜ao do espa¸co de fases em que rA< 0 e (rB/2λB)2 ≫ |rA|µAB/λAλB,

temos:

nB ≃

r

µABnA

λB

. (2.25)

Portanto, βCM

B = 1/2, resultado que concorda com a aproxima¸c˜ao de campo

m´edio para o modelo II irrestrito.

Na referência [32] a percola¸cão direcionada com acoplamento direcionado foi simulada e os expoentes obtidos concordam com aqueles encontrados na referência [28] para o modelo II.

2.3 Outros modelos com transi¸

c˜

ao de

anco-ramento

O modelo DPD (“directed pecolation depinning”) [33, 34, 35], foi intorduzido para modelar o crescimento de uma superf´ıcie em um meio desordenado. Ele

tem as seguintes regras: os s´ıtios de uma rede quadrada, onde uma das dimensões está relacionada à altura, podem ser ativos com probabilidade p e inativos com porbabilidade 1₋p. Incialmente a altura de todos os s´ıtios é zero. Escolhemos um s´ıtio vizinho à interface e se ele é ativo a superf´ıcie

avan¸ca, caso contr´ario nada acontece. O crescimento da superf´ıcie pode ser ancorado por um aglomerado de s´ıtios inativos. O modelo apresenta uma tansi¸c˜ao PD em um certo valor pc. Para p > pc a superf´ıcie ancora e para

p < pc ela cresce. Por argumentos de escala, o expoente de rugosidade ´e dado

porα=ν⊥/νk = 0.633 em pc. Num experimento em que uma folha de papel

(42)

Na referência [37], foi introduzido um modelo com deposi¸cão de part´ıculas ativas e inativas. No caso, a part´ıcula incidente é ativa com probabilidade 1₋p e inativa com probabilidade p. A part´ıcula incidente só é depositada se encontra uma part´ıcula ativa. Na versão bal´ıstica do modelo ocorre uma

transi¸c˜ao da classe PD [38], onde para p > pc a interface ﬁca saturada por

part´ıculas inativas.

Por fim, citamos um modelo [39, 40] de deposi¸cão e evapora¸cão de d´ımeros. Neste modelo, um d´ımero é adsorvido com probabilidadepe evaporado, caso

(43)

Cap´ıtulo 3

Aproxima¸

c˜

ao de campo m´

edio

Neste cap´ıtulo escrevemos a equa¸cão mestra para os modelos I e II. Fazendo aproxima¸cão de campo médio simples e em n´ıvel de pares, resolvemos

nu-mericamente as equa¸cões resultantes. Para a integra¸cão numérica, definimos δt como o passo de integra¸cão e T como o número de passos de integra¸cão. Em todos os casos, usamos o passo δt = 1, pois a diminui¸cão no passo de integra¸cão não implicou em mudan¸cas significativas nos resultados obtidos.

3.1 Modelo I

A equa¸c˜ao mestra para o modelo I,

d

dtP(h) =qP(h, h−1, h)−qP(h+ 1, h, h+ 1) + +(1₋q)P(h+ 1, h+ 1, h+ 1)₋(1₋q)P(h, h, h) + +qP(h₋1, h₋1, h₋1)₋qP(h, h, h) + +(1₋q)P(h, h+ 1, h)₋(1₋q)P(h₋1, h, h₋1) + +qP(h₋1, h₋1, h)₋qP(h, h, h+ 1) + +(1₋q)P(h, h+ 1, h+ 1)₋(1₋q)P(h₋1, h, h) + +qP(h, h₋1, h₋1)₋qP(h+ 1, h, h) +

(44)

-40 -20 0 20 40

h

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

P

h

T= 106

T= 105

T= 104

Figura 3.1: Ph para q= 0.5, δt= 1, T = 104, 105 e 106

deve ser entendida da seguinte forma: ao primeiro termo do lado direito da equa¸c˜ao, corresponde a probabilidade de deposi¸c˜ao de uma part´ıcula em um

s´ıtio i, que tem altura hi =h−1 e que tem vizinhos com alturas hi−1 =h e hi+1 =h. Fazendo aproxima¸c˜ao de campo m´edio simples,

d

dtPh =q(P 3

h−1−Ph3) + (1−q)(Ph3+1−Ph3) +

+(1₋3q)(Ph2Ph+1−Ph2−1Ph) + (2−3q)(PhPh2+1−Ph−1Ph2), (3.2)

onde Ph =P(h). Como o modelo apresenta β = 1/4 em q = 1/2 e β = 1/3

em q₆= 1/2, analisamos os dois casos separadamente.

3.1.1 Caso EW,

q

= 1

/

2

Para o caso q = 1/2, a integra¸cão numérica da equa¸cão (3.2) resulta nas figuras 3.1 e 3.2. Tendo em vista a figura 3.2, paraq= 1/2 admitimos uma solu¸cão do tipo

Ph =

p

(45)

3.1 Modelo I 45

500 1000 1500 2000

h

2 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025

P

h 2

Figura 3.2: P2

h para q= 0.5,δt= 1 e T = 106

onde A(t) e B(t) são fun¸cões do tempo. Em q = 1/2, a equa¸cão (3.2) pode ser escrita na forma

dP2

h

dt =P

2

h

·

Ph+1 Ph

(P_h2₊₁₋P_h2) + Ph−1 Ph

(P_h2₋₁₋P_h2) +(P_h2₊₁₋P_h2) + (P_h2₋₁₋P_h2)

¸

. (3.4)

Subtituindo a solu¸cão (3.3) nessa equa¸cão e utilizando a seguinte aproxima¸cão Ph±1/Ph ≃1∓Bh/Ph2,

dP2

h

dt ≃P

2

hB

·

−4 + 4Bh 2

P2

h

¸

. (3.5)

Para tempos longos, a solu¸cão da equa¸cão (3.5) é dada por:

A(t) = at−1/2 e B(t) = 1

8t

−1_, _(3.6)

onde a ´e uma constante positiva. A partir da distribui¸c˜ao de probabilida-des Ph =

q

at−1/2₋ 1

8t−1h2, calculamos hhi e hh

(46)

interface.

hh2_i₌

RH

−Hh

2_P

hdh

RH

−HPhdh

= 2at1/2_, _(3.7)

onde o limite de integra¸c˜ao H depende do tempo. Temos _hh_i= 0, pois hPh

´e uma fun¸c˜ao ´ımpar. Para determinar a, normalizamos Ph e usamos o fato

de que nos limites de integra¸c˜ao Ph = 0. Assim,H2 = 8at1/2 e

Z H

−H

Phdh =

√

2aπ = 1. (3.8)

Resultando na seguinte largura da interface:

w=p_hh2_i₌

µ√

2 π

¶1/2

t1/4_. _(3.9)

Portanto, com a aproxima¸c˜ao de campo m´edio simples obtemos o expoente

de crescimentoβ = 1/4 para q= 1/2.

3.1.2 Caso KPZ,

q

₆

= 1

/

2

Consideramos o casoq > 1/2, lembrando que o caso q < 1/2 é simétrico. A partir da equa¸cão (3.2), em q= 0.7, obtemos as figuras 3.3 e 3.4.

Agora admitimos uma solu¸c˜ao do tipo

Ph =

p

A(t) +B(t)h. (3.10)

Substituindo na equa¸c˜ao (3.2) e tendo em vista queP2

h±1 =Ph2±B, obtemos

dPh

dt =P

3

h

½

(1₋q)

·µ

1 + B P2

h

¶3/2

−1

¸

+q

·µ

1₋ B P2

h

¶3/2

−1

¸

+

(3q₋2)

·µ

1₋ B P2

h

¶1/2

−1₋ B P2

h

¸

+ (3q₋1)

·

1₋ B P2

h −

µ

1 + B P2

h

¶1/2¸¾

.

(3.11)

Expandindo os termos (1 _± B P2

h)

1/2 _{e (1}_± B P2

h)

3/2 _{da equa¸c˜ao (3.11) at´e} ordem 1/h2_,

dP2

h

dt ≃ −3BP

2

(47)

3.1 Modelo I 47

-100 0 100 200 300

h

0 0.01 0.02 0.03 0.04

P

h

T= 104

T= 105

T= 106

Figura 3.3: Ph para q = 0.7,δt= 1, T = 103, 104, 105 e 106

0 100 200 300 400

h

0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 5e-05

P

h

2

(48)

onde ǫ=q₋1/2. A partir de (3.12), obtemos para tempos longos,

B(t) = (24ǫt)−1

A(t) = at−1, (3.13)

onde a´e uma constante positiva. Assim,

Z H

−c

Phdh=

2 3(24ǫt)

−1/2₍_H₊_c₎(3/2)_, _(3.14)

Z H

−c

hPhdh= (24ǫt)−1/2

µ

2

5(H+c) (5/2)

−c2

3(H+c) (3/2)

¶

(3.15)

e

Z H

−c

h2Phdh= (24ǫt)−1/2

µ

2

7(H+c) (7/2)

−2c2

5(H+c) (5/2)₊

+c22

3(H+c) (3/2)

¶

, (3.16)

o que resulta na forma,

w2 = 12

175(H+c)

2_, _(3.17)

ondec= _BA(₍_tt)₎. Usando a condi¸cão de normaliza¸cão dePh e a equa¸cãoPH = 0,

encontramos

w=

µ

12 175

¶1/2

21/33ǫ1/3t1/3. (3.18)

(49)

3.2 Modelo II restrito 49

3.2 Modelo II restrito

A equa¸c˜ao mestra para o Modelo II ´e dada por:

d

dtP(h) =qP(h−1, h−1, h−1)−qP(h, h, h) + +(1₋q)P(h, h+ 1, h)₋(1₋q)P(h₋1, h, h₋1) + +qP(h₋1, h₋1, h)₋qP(h, h, h+ 1) + +(1−q)

2 P(h, h+ 1, h+ 1)−

(1₋q)

2 P(h−1, h, h) + +qP(h, h₋1, h₋1)₋qP(h+ 1, h, h) + +(1−q)

2 P(h+ 1, h+ 1, h)−

(1₋q)

2 P(h, h, h−1) +

+qP(h, h₋1, h)₋qP(h+ 1, h, h+ 1). (3.19)

Aplicando a aproxima¸c˜ao de campo m´edio,

d

dtPh =q(P 3

h−1−Ph3) + (1−3q)(Ph2Ph+1−Ph2−1Ph)

+(1₋2q)(PhPh2+1−Ph−1Ph2). (3.20)

´

E importante notar que a equa¸cão (3.20) vale para h > 0, se consideramos P−1 = 0, então a equa¸cão também vale para h= 0.

Para o modelo II devemos considerar as situa¸c˜oesq < qc, q=qc e q > qc.

Primeiramente, para encontrar o valor deqc escrevemos Ph±1 =Ph±Rh. No

estado estacion´ario, a equa¸c˜ao (3.20), pode ser escrita na forma

3PhR2h+ (1−3q)[3Ph2Rh−PhR2h] + (1−2q)[3Ph2Rh+PhR2h] = 0,

resultando em

Rh

Ph ≃

9

2q(q−1/3), (3.21)

onde foram desprezados termos da ordem R3

h. Como Rh ´e positivo para

q > 1/3 e negativo para q < 1/3, identiﬁcamos qc = 1/3. Pela ﬁgura 3.5,

(50)

0 50 100 150

h

0.005 0.01 0.015 0.02

P

h

q= 0.331

q= 0.332

q= 1/3

q= 0.334

q= 0.335

Figura 3.5: Ph para δt= 1, T = 106 e q= 0.331, 0.332, 0.333, 0.334 e 0.335

3.2.1 Fase lisa,

q <

1 /

3

Paraq <1/3 depois de um certo n´umero de passos de integra¸c˜ao, se

aumen-tamos T a distribui¸c˜ao de probabilidades Ph permanece a mesma. Assim,

consideramos uma solu¸c˜ao independente do tempo,

Ph =Ae−Bh. (3.22)

Substituindo a distribui¸c˜ao de probabilidades (3.22) na equa¸c˜ao (3.20),

A3e3Bh(e3B₋1)_{q+ (1₋3q)e−B+ (1₋2q)e−2B_}= 0. (3.23) As solu¸cõesA= 0 ee3B _{= 1 não interessam. Definindo}_e−B₌_x_{, as solu¸cões,}

da equa¸c˜ao

q+ (1₋3q)x+ (1₋2q)x2 = 0, (3.24)

são dadas por: x=₋1 e x= q/(1₋2q). A solu¸cão x=₋1 não serve, pois devemos tere−B _{positivo. Com a solu¸cão}

e−B = q

(51)

0 1 2 3 4 5 6

h

0 0.2 0.4 0.6

P

h

Figura 3.6: Ph para δt= 1, T = 106 e q= 0.2

obtemos,

Ph =

1₋3q 1₋2q

µ

q 1₋2q

¶h

. (3.26)

Notamos queP0 = 1/3−q ∼(q−qc), ou seja, com a nossa aproxima¸c˜ao de

campo m´edio, xCM

0 = 1. Na aproxima¸cão de campo médio para o modelo II irrestrito, feita na referência [27], foi obtida a rela¸cãoxCM

h = 1/2h, enquanto

que na nossa aproxima¸c˜ao para o caso restrito, xCM h = 1.

Com a distribui¸c˜ao de probabilidades (3.26), encontramos a largura da

interface da seguinte forma:

hh_i=Z−1

∞

X

h=0

hxh = −x

1₋x, (3.27)

hh2_i=Z−1

∞

X

h=0

h2xh = x 2 ₊_x

(1₋x)2, (3.28)

w2 =_hh2_{i − h}h_i2 = x (1₋x)2 e portanto

w=

p

q(1₋2q)

(52)

Para q < qc, com aproxima¸c˜ao de campo m´edio simples, obtemosw ∼(qc −

q)−1_{. Resultado diferente da simula¸c˜ao, onde} _w2 _∼_ln(_q

c−q).

3.2.2 Ponto cr´ıtico,

q

= 1

/

3

Admitimos a solu¸c˜ao

Ph(t) =

p

A(t)₋B(t)h2_. _(3.30)

A equa¸c˜ao (3.20) em q=qc, se torna,

dPh

dt =

1 3(P

3

h−1−Ph3) +

1 3(P

2

h+1Ph−Ph2Ph−1). (3.31) Como dPh2

dt = 2Ph dPh dt , dP2 h dt = 2 3P 2 h ·

Ph−1 Ph

µ

P_h2₋₁₋P_h2

¶

+

µ

P_h2₊₁₋P_h2

¶¸

. (3.32)

Fazendo a aproxima¸c˜ao Ph−1

Ph = 1 +

Bh P2 h, dP2 h dt ≃ 2 3P 2 h ·µ

1 + Bh P2

h

¶

(2Bh₋B) + (₋2Bh₋B)

¸

. (3.33)

Desprezando termos da ordem Ph2

h , dP2 h dt ≃ 2 3P 2 h µ

−2B+ 2B 2_h2

P2

h

¶

. (3.34)

A partir da equa¸c˜ao (3.34), temos as seguintes equa¸c˜oes paraA e B:

dA

dt =−

4 3BA, dB

dt =−

8 3B

2_. _(3.35)

Para tempos longos, A(t) = at−1/2 _e_B₍_t_{) = 3}_t−1_/_{8, onde}_a _{´e uma constante} positiva. Deﬁnindo

In =

Z H

0

(53)

0 20 40 60 80

h

0.01 0.02 0.03 0.04

P

h

T= 104

T= 105

T= 106

Figura 3.7: Ph para q= 1/3, δt= 1, T = 106, 105 e 104

2000 4000 6000 8000

h

2

5e-05 0.0001 0.00015 0.0002

P

h

2

Figura 3.8: P2

(54)

temos w2 ₌_I

2/I0−I12/I02.

w2 =

µ

1 4 −

42 (3π)2

¶

H2 (3.37)

A normaliza¸c˜ao (I0 = 1), implicaH2 = 8at1/2/3, assim

w_∼t1/4. (3.38)

No ponto cr´ıtico econtramos o expoente de crescimento β = 1/4. Resultado que difere da simula¸c˜ao, ondew2 _∼_ln_t_.

3.2.3 Fase rugosa,

q >

1 /

3

Acima da criticalidade, partimos da solu¸c˜ao

Ph(t) =A(t)

√

h. (3.39)

Com a equa¸c˜ao (3.20),

dA dt

√

h_≃h3/2A3_{q[(1₋1/h)3/2₋1] + (1₋3q)[(1 + 1/h)1/2₋(1₋1/h)]+ + (1₋2q)[(1 + 1/h)₋(1₋1/h)1/2]_}. (3.40)

Expandindo at´e ordem 1/h2_,

dA

dt ≃A

3_h_[_q₍

−₂3_h) + (1₋3q)( 3

2h) + (1−2q)( 3

2h)] = 3A 3₍₁

−3q). (3.41)

A solu¸c˜ao para tempos longos ´eA(t)_∼t−1/2_{, com (3.39) e (3.41),} Ph(t) =

1

p

6(3q₋1)t

−1/2_h1/2_. _(3.42) A seguir calculamos a largura da interface:

Z H

0

t−1/2_h1/2

p

6(3q₋1)dh= 1 =⇒H

3/2 ₌ 3 2t

1/2p

6(3q₋1), (3.43)

hh_i=

Z H

0

hPhdh=

3

(55)

0 20 40 60 80 100

h

0.02 0.04 0.06

P

h

T= 104

T= 105

T= 106

Figura 3.9: Ph para q= 0.7,δt= 1, T = 106, 105 e 104

0 50 100 150 200 250 300

h

0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025

P

h

2

Figura 3.10: P2

(56)

e

hh2_i=

Z H

0

h2Phdh=

3 7H

2_. _(3.45)

Portanto:

w2 =_hh2_{i − h}h_i2 =H2

µ 3 7 − 9 25 ¶ = 12 175 · 3 2 p

6(3q₋1)

¸4/3

t2/3. (3.46)

Para q > qc encontramos o expoente de crescimento β = 1/3, resultado que

concorda com a simula¸c˜ao.

3.3 Aproxima¸

c˜

ao de campo m´

edio aos pares

Nesta se¸cão, será apresentada a aproxima¸cão de campo médio aos pares para o modelo II. Com aproxima¸cão de campo médio simples, obtemos: a transi¸cão

de rugosidade, o expoente de crescimento KPZ para q > qc, qc = 1/3 e

os expoentes xk = 1. Com a aproxima¸c˜ao de campo m´edio em n´ıvel de

pares, devemos obter 0.1895 < qc <1/3 e uma melhor concordˆancia com os

resultados de simula¸c˜ao.

A equa¸cão (3.19), com aproxima¸cão de campo médio aos pares, se torna:

d

dtPh =qPh−1,h−1Ph−1,h−1/Ph−1−qPh,hPh,h/Ph) + +(1₋q)Ph,h+1Ph+1,h/Ph+1−(1−q)Ph−1,hPh,h−1/Ph+

+qPh−1,h−1Ph−1,h/Ph−1 −qPh,hPh,h+1/Ph+

+(1−q)

2 Ph,h+1Ph+1,h+1/Ph+1−

(1₋q)

2 Ph−1,hPh,h/Ph+ +qPh,h−1Ph−1,h−1/Ph−1 −qPh+1,hPh,h/Ph+

+(1−q)

2 Ph+1,h+1Ph+1,h/Ph+1−

(1₋q)

2 Ph,hPh,h−1/Ph+

(57)

3.3 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio aos pares 57

Precisamos tamb´em da evolu¸c˜ao temporal deP(h, h),P(h, h₋1) eP(h, h+1). d

dtP(h, h) =

q

·µ

P(h, h₋1, h) +P(h, h₋1, h₋1) +P(h, h₋1, h) +P(h₋1, h₋1, h)

¶

−

µ

P(h, h, h) +P(h, h, h+ 1) +P(h, h, h) +P(h+ 1, h, h)

¶¸

+1−q 2

·

P(h, h+ 1, h+ 1) +P(h+ 1, h+ 1, h)₋P(h, h, h₋1)

−P(h₋1, h, h)

¸

+ (1₋q)

·

P(h, h+ 1, h) +P(h, h+ 1, h)

¸

, (3.48)

d

dtP(h, h+ 1) =

q

·

P(h, h, h) +P(h, h, h+ 1)₋P(h, h, h+ 1)₋P(h+ 1, h, h+ 1)

¸

+ 1−q 2

·

P(h, h+ 1, h+ 1)₋P(h, h+ 1, h+ 1)

¸

−(1₋q)P(h, h+ 1, h) (3.49)

e d

dtP(h, h−1) = q

·

P(h, h₋1, h₋1) +P(h₋1, h₋1, h₋1)₋P(h, h₋1, h₋1)

+P(h, h₋1, h)

¸

+ 1−q 2

·

P(h, h, h₋1)₋P(h, h, h₋1)

¸

−(1₋q)P(h₋1, h, h₋1). (3.50)

Com aproxima¸c˜ao de campo m´edio aos pares: d

dtPh,h=q

·µ

(Ph,h−1+Ph−1,h)Ph−1,h−1+ 2Ph,h−1Ph−1,h

¶

/Ph−1

−

µ

(Ph+1,h+Ph,h+1)Ph,h+ 2Ph,hPh,h

¶

/Ph

¸

+1−q 2

·

(Ph,h+1+Ph+1,h)Ph+1,h+1/Ph+1−(Ph,h−1+Ph−1,h)Ph,h/Ph

¸

+(1₋q)

·

2Ph,h+1Ph+1,h/Ph+1

¸

(58)

5 10 15 20

h

0.1 0.2 0.3 0.4

P

h

q= 0.23253, T= 105

q= 0.23253, T= 106

q= 0.23254, T= 105

q= 0.23254, T= 106

Figura 3.11: Ph com aproxim¸c˜ao de campo m´edio aos pares e δt= 1

d

dtPh,h+1 =q

·

(Ph,hPh,h−Ph,h+1Ph+1,h)/Ph

¸

−(1₋q)Ph+1,hPh,h+1/Ph+1 (3.52)

e

d

dtPh,h−1 =q

·

(Ph−1,h−1Ph−1,h−1−Ph−1,hPh,h−1)/Ph−1

¸

−(1₋q)Ph,h−1Ph−1,h/Ph. (3.53)

As equa¸cões 3.47, 3.51, 3.52 e 3.53 não são independentes, pois Ph =

Ph,h+Ph,h+1+Ph,h−1. Portanto, devemos escolher trˆes das quatro equa¸c˜oes

para obter Ph por integra¸cão numérica. A figura 3.11, nos leva a concluir

que qc = 0.23254. Pois, at´e q = 0.23253, Ph n˜ao depende do tempo. Se Ph

n˜ao depende deT, a interface ´e lisa.

(59)

3.3 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio aos pares 59

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

q

0.5 1 1.5 2

w

S CM1 CM2

q= 0.23254 q= 0.1895

Figura 3.12: Comapara¸cão entre campomédio e simula¸cão para o modelo II

restrito com q < qc

Notamos que longe da criticalidade a concordância entre simula¸cão e campo médio é melhor. Perto do ponto cr´ıtico, na simula¸cão w2 _∼ _ln(_q

c −q),

en-quanto que com campo m´edio simples wCM ∼ (q−qc)−1. N˜ao foi poss´ıvel

obter como w diverge próximo do ponto cr´ıtico na aproxima¸cão aos pares. Notamos também que a concordância entre a aproxima¸cão de pares e a si-mula¸cão é bem melhor comparada com a a aproxima¸cão de campo médio