GENERIC POLYNOMIALS FOR THE CYCLIC 2-GROUPS OVER FIELDS WITH CHARACTERISTIC TWO Генерирующий многочлен для циклических 2-групп над полями характеристики два

УДК 519.642.8

ГЕНЕРИРУЮЩИЙМНОГОЧЛЕНДЛЯ

ЦИКЛИЧЕСКИХ 2-ГРУППНАДПОЛЯМИ

ХАРАКТЕРИСТИКИДВА

Сергеев Александр Эдуардович к.ф.-м.н, доцент

Кубанскийгосударственныйуниверситет,

Краснодар, Россия

В статье построены генерирующие многочлены для циклических групп порядков 4, 8 и16 над полями характеристики два. По указанной конструкции можно получать генерирующие многочлены для любых циклических 2-групп над полями характеристики два. Приводится также обзор известных результатов по генерирующим многочленам для циклических групп

Ключевые слова: ГЕНЕРИРУЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН, ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА, ГРУППА ГАЛУА МНОГОЧЛЕНА

UDK 519.642.8

GENERIC POLYNOMIALS FOR THE CYCLIC 2-GROUPS OVER FIELDS WITH CHARACTERISTIC TWO

Sergeev Alexander Eduardovich

Cand.Phys.-Math.Sci, associate professor

Kuban State University, Krasnodar, Russia

In this article, the generic polynomials for cyclic groups of order 4, 8 and 16 over fields with characteristic two are constructed. With this construction, the generic polynomials for all cyclic 2-groups over fields with characteristic two can be obtained. We also give survey of known results of generic polynomials for the cyclic groups.

Keywords: GENERIC POLYNOMIALS, CYCLIC GROUP, GALOIS GROUP OF POLYNOMIALS

1. Введение

Пусть K − поле и G − конечная группа. Генерирующий многочлен даетописаниерасширенийГалуа с группойГалуа G.

Напомним определение генерирующегомногочлена [3].

Определение 1. (Кемпер). Пусть K − поле и G − конечная группа. Назовем нормированный, сепарабельный многочлен g(t₁,...,t_m,X) из кольца

] )[ , ... ,

(t₁ t X

K _m генерирующим для группы G над полем K, если

выполняются следующиедвасвойства:

(1) группа Галуа многочлена g (как многочлена от X над полем

) , ... , (t₁ t_m

K ) есть G;

(2) если L − бесконечное поле, содержащее K и N/L − расширение

Галуа с группой G, тогда существуют элементы λ₁,...,λ_m∈L,

такие, что N является полем разложения многочлена

) , , ... ,

( ₁ X

g λ λ_m над L.

Проблема 1. Дана конечная группа G и бесконечное поле K. Существует ли для данной группы G над данными полем K генерирующиймногочлен , иесли да, построить еговявномвиде.

Замечание. 1) Общее описание C₈-расширений над полями характеристики, неравной 2, содержащими элемент 2 было дано в [7]. В

частности, если элемент 2∈K, то многочлен

1 4 16

20

8 ₂

4 2 3 4 2 6 8

+ + −

+ −

t s X s X s sX

X является

генерирующим многочленом для циклической группы C₈ над полем

K

,

характеристики неравной 2.

С другой стороны, Saltman доказал, что не существует

генерирующегомногочлена длягруппы Cn надполем Q, если 8|n [6].

2) Для циклической группы нечетного порядка и поля K,

содержащего элемент ζ +1/ζ, где ζ − первообразный корень n-ой степени

изединицы, Miyake построил генерирующиймногочлен [4].

3) Smith [8] и Dentzer [1], независимо друг от друга, построили

генерирующие многочленыдляциклическихгрупп нечетных порядковнад полем Q.

4) Используя конструкцию Cohen’a, Nakano построилгенерирующий

многочлен для циклических групп нечетных порядков над полем K характеристики p, p≠2 [5].

5) Над полем K характеристики p, p≠2, известно, что существует

генерирующий многочлен от n параметров для циклических групп C_pn,

однаковявномвиде онинепостроеныдажедлямаленьких p и n [2].

§ 2. Построениегенерирующего многочлена дляциклическойгруппы

4-гопорядканад полемхарактеристикидва

СформулируемтеоремуВиттаоциклическихрасширениях [9].

Теорема 2.1. (Витт). Пусть p −простоечисло, K −поле

характеристики p, L/K − циклическое расширение степени pf−1 ( f >1).

Обозначим через σ − порождающий элемент циклической группы Галуа

расширения L/K. Тогда, существуют такие элементы δ,γ∈L, что

, 1 /Kδ = L

Sp σ(γ)−γ =δp−δ. Для любого u∈K поле M, полученное

присоединением к L корня θ уравнения xp −x=u+γ, является расширением

Галуа поля K с циклической группойГалуа порядка pf, и такможетбыть

получено любоециклическое расширение степени pf, содержащее поле L.

При этом M =K(θ). Продолжение автоморфизма σ поля L на поле M

можно выбратьтак, что σ(θ)=θ+δ.

Для C₄-расширений Галуа теорема Витта дает следующие

результаты.

Теорема 2.2. Пусть K− поле характеристики 2, M/K − циклическое расширение степени 4, L⊃K− квадратичное над K подполе M. Тогда существуют такие элементы a,b∈K, α∈L, β∈M, что выполняются

равенства: α2+α =a, β2+β =b+aα. При этом L=K(α), M =K(β), а

автоморфизм σ, порождающий группу Галуа расширения M/K, можно выбратьтак, что σ(α)= α+1, σ(β)=β+α.

Доказательство. Квадратичное расширение L/K, как и любое

квадратичное расширение поля характеристики 2, получается

присоединением к K элемента α, такого что α2+ α =a, где a − некоторый

элемент из K. Обозначим через σ единственный нетождественный автоморфизмрасширения L/K; тогда, какизвестно, σ(α)= α+1. Имеем:

, 1 ) 1 ( ) (

/Kα =α +σ α =α + α + = L

Поэтому, по теореме Витта существует такой элемент b∈K, что поле

M получается присоединением к L корня уравнения x2 +x=b+aα, причем

), (β K

M = и автоморфизм σ расширения L/K можно так продолжить на

расширение M/K, что σ(β)=β +α. 

Теорема 2.3. Пусть K₁=K(t₁,t₂) − поле рациональных функций от независимых переменных t1,t2, L1=K1(α), M1=L1(β), где α − корень

многочлена g(y)= y2+ y+t₁∈K₁[y], а β − корень многочлена

]. [ )

(x x2 x t₂ t₁ L₁ x

h = + + + α∈ Тогда M₁/K₁ − расширение Галуа с циклической

группой 4-гопорядка. При этом, M₁=K₁(β), а образующую σ группы Галуа

расширения M1/K1 можно выбратьтак, что σ(α)= α+1, σ(β)=β +α.

Доказательство. Ясно, что многочлен g(y) неприводим над K₁, а многочлен h(x) неприводим над L₁, поэтому степени расширений L₁/K₁ и

1 1/L

M равны 2, а значит, [M₁:K₁]=4. Пусть σ− единственный

нетождественный автоморфизм расширения L₁/K₁; тогда σ(α)= α+1, и

поэтому

, 1 ) 1 ( ) (

1

1/K α =α +σ α =α + α + =

L

Sp σ(t₁α)−t₁α =t₁=α2−α.

Поскольку поле M1 получается из поля L1 присоединением корня β урав-

нения x2−x=t₂+t₁α, расширение M₁/K₁ является по теореме Витта

циклическим расширением 4-ой степени, причем M₁=K₁(β), а продолжение

автоморфизма σ расширения L1/K1 на поле M1 можно выбрать так, что

. )

(β β α

σ = + 

В обозначениях теоремы 2.3 элемент β является корнем не только

многочлена h(x), ноимногочлена

∏

∈ = ⋅

=

) / ( 2

1

1 1

)) ( ( ) ( ) ( )

, ; (

K L Gal

x h x h x h t

t x f

τ τ σ ,

Все коэффициентыкоторогопринадлежатполю K₁=K(t₁,t₂). Укажемявный

= + + + + +

+ + = +

+ + + +

+ +

=( )( ( )) ( )( )

) , ;

(x t₁ t₂ x2 x t₂ t₁ x2 x t₂ t₁ x2 x t₂ t₁ x2 x t₂ t₁ t₁

f α σ α α α

2 1 2 2 3 1 1 2 1 4

2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 4

) 1

( t x t x t t tt x

t t t x t x t t

t x

x + + + + + ++ + = + + + + + +

= α α .

Поскольку корень β многочлена f(x;t₁,t₂) порождает расширение

1 1/K

M той же степени, что и степень многочлена f(x;t₁,t₂), этот многочлен

неприводим. Следовательно, все его корни вместе с корнем β

принадлежат нормальному расширению M1/K1, а потому M1=K1(β) − поле

разложения f(x;t₁,t₂), и группа Галуа этого многочлена над полем K(t₁,t₂)

совпадает с группой Галуа расширения M1/K1, то есть является

циклическойгруппой 4-гопорядка.

Теорема 2.4. Пусть K − поле характеристики два. Тогда

определенный выше многочлен f(x;t₁,t₂)∈K[x,t₁,t₂] является генерирующим

для группы C4 надполем K.

Доказательство. Мы уже убедились в том, что группа Галуа

многочлена f(x;t₁,t₂) над полем K(t₁,t₂)является циклической группой 4-го

порядка. Осталось показать, что если K' − какое-то расширение поля K, а

' / ' K

M − циклическое расширение четвертой степени, то существуют такие

элементы a,b∈K', что M' − поле разложения специализации многочлена

) , ; (x t₁ t₂

f при t₁=a, t₂ =b.

По теореме 2.2 существуют такие элементы a,b∈K', α,β∈M' и

порождающийэлемент σ группы Галуарасширения M'/K', что

. 1 ) ( , ,

), ( '

'=K β α2+α =a β2+β =b+aα σ α =α+ M

Ясно, что β −кореньмногочлена h'(x)=x2+x+b+aα, а значит, имногочлена

). (

) 1 ( )

)( (

)) ( ' ( ) ( ' ) (

' x h x h x x2 x b a x2 x b a a x4 a x2 ax a3 ab b2 f = ⋅σ = + + + α + + + α + = + + + + + + Следовательно, f'(x) − специализация многочлена f(x;t₁,t₂) при t₁=a и

.

2 b

t = В частности, это означает, что f'(x)∈K'[x]; поскольку его корень β'

порождает расширение M'/K' той же степени, что и степень многочлена

) ( ' x

корнем β принадлежат нормальному расширению M'/K', и значит,

) ( ' ' K β

M = −полеразложениямногочлена f'(x). 

§ 3. Построение генерирующегомногочленадля циклическойгруппы

8-гопорядканад полемхарактеристикидва

Используя построение C₄-расширений Галуа поля K характеристики

два, будем строить согласно теореме Витта, циклические C8-расширения

Галуа.

Пусть K − поле характеристики 2 и пусть сначала M/K − циклическое расширение степени 4. Согласно теореме 2.2, существуют

такие элементы a,b∈K, α∈L, β∈M, что α2+ α =a, β2+β =b+aα. При этом

), (α K

L= M =K(β), а автоморфизм σ, порождающий группу Галуа

расширения M/K, можно выбрать так, что σ(α)= α+1, σ(β)=β+α. Отсюда

получаем:

, 1 1 )

1 ( )) ( ( ) (

2 _{α σ σ α σ α α α}

σ = = + = + + = σ2(β)=σ(σ(β))=σ(β+α)=(β +α)+(α+1)=β+1,

. )

)( 1 ( ) )( 1

(σ − αβ = α+ β+α −αβ =β+α2+α =β+a

Следовательно,

. 1 ) ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) )( 1 )( 1 ( )

( 2 2

/ = + + = + +a = + +a + +a =

Sp_{M K} αβ σ σ αβ σ β β β

Далее,

= + + + + + = − + + + =

− a b a ab a2 b a a 2 ab

2 _{( )( ) ( )}

)

(αβ αβ α β α αβ α β α

= −

+ − + + + − = + + + +

+(a2 a b)α a(β a) ab(σ 1)α (a2 a b)(σ 1)β a(σ 1)(αβ) ab

). )

( )( 1

(σ − abα+ a2+a+b β+aαβ

=

По теореме Витта получаем теперь, что для произвольного расширения

K

N/ 8-ой степени, содержащего поле M, существует такой элемент c∈K,

что поле N получается присоединением к M корня γ многочлена

); )

( (

)

(x x2 x c abα a2 a b β aαβ

g = − − + + + + + при этом N =K(γ). Поскольку каждое

являющееся циклическим расширением 4-ой степени, мы получаем отсюда

(используятеорему 2.2) следующуютеорему.

Теорема 3.1. Пусть K − поле характеристики 2, N/K − циклическое расширение степени 8. Тогда существуют такие элементы

, , ,b c K

a ∈ α,β,γ∈N, что:

,

2_{+ α =a}

α β2+β =b+aα, γ2+γ =c+abα+(a2+a+b)β +aαβ.

При этом N=K(γ), а подполя L=K(α), M =K(β) поля Nимеют над K

соответственностепени 2 и 4.

Теорема 3.3. Пусть K₁=K(t₁,t₂,t₃), L₁=K₁(α), M₁=L₁(β), N₁=M₁(γ), где

α − корень многочлена g(z)=z2+z+t₁∈K₁[z], β − корень многочлена

], [ )

(y y2 y t₂ t₁ L₁ y

h = + + + α∈ γ − корень многочлена p(x)=x2+x+t₃+t₁t₂α+

]. [ )

(t₁2 +t₁+t₂ +t₁ ∈M₁ x

+ β αβ Тогда расширение N₁/K₁ является расширением

Галуа, группа Галуа которого является циклической группой 8-го порядка.

При этом N₁=K₁(γ).

Доказательство. Ясно, что многочлен g(z) неприводим над полем

1

K , многочлен h(y) неприводим над L₁, а многочлен p(x) неприводим над

, 1

M так что [L₁:K₁]=[M₁:L₁]=[N₁:M₁]=2, а значит, тогда, [M₁:K₁]=4. По

теореме 2.3 расширение M1/K1 является циклическим расширением

степени 4, и можно так выбрать порождающий его группу Галуа

автоморфизм σ, что σ(α)= α+1, σ(β)=β+α. Как показано в начале

параграфа, тогда:

, 1 ) (

1 1/K αβ =

M

Sp (αβ)2−αβ =(σ−1)(t₁t₂α+(t₁2+t₁+t₂)β+t₁αβ).

Поскольку поле N1 получается из поля M1 присоединением корня γ

уравнения x2−x=t₃+t₁t₂α+(t₁2 +t₁+t₂)β +t₁αβ, расширение N₁/K₁ является по

теоремеВиттациклическим расширением степени 8, причем N₁=K₁(γ). 

Сохраним обозначения теоремы 3.2 до конца параграфа. Элемент γ

∏

∈ = ⋅ ⋅ ⋅

=

) / (

3 2

3 2 1

1 1

)), ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ) ( )

, , ; (

K M Gal

x p x

p x

p x p x p t

t t x f

σ σ σ σ σ

все коэффициенты которого принадлежат полю K₁=K(t₁,t₂,t₃). Поскольку

корень γ многочлена f(x;t₁,t₂,t₃) порождает расширение N₁/K₁ той же

степени, что и степень самого многочлена, этот многочлен неприводим.

Следовательно, все корни f(x;t₁,t₂,t₃) вместе с корнем γ принадлежат

нормальному расширению N₁/K₁, а потому, N₁=K₁(γ) − поле разложения

многочлена f(x;t₁,t₂,t₃), и группа Галуа этого многочлена над полем

) , , (t₁ t₂ t₃

K совпадает с группой Галуа расширения N₁/K₁, т.е. является

циклической 8-гопорядка.

Теорема 3.3. Пусть K −полехарактеристики 2. Тогда определенный выше многочлен f(x;t₁,t₂,t₃)∈K[x,t₁,t₂,t₃] является генерирующим для

группы C8 надполем K.

Доказательство. Докажем второй пункт в определении

генерирующего многочлена (первый пункт был доказан выше). Покажем,

что если K' − какое-то расширение поля K, а N'/K' − циклическое

расширение степени 8, то существуют такие элементы a,b,c∈K', что N' −

поле разложения специализации многочлена f(x;t₁,t₂,t₃) при t₁=a, t₂ =b,

.

3 c

t =

Потеореме 3.1 существуютэлементы a,b,c∈K', α',β',γ'∈N', такие,

что N'=K'(γ'), α'2+α'=a, β'2+β'=b+aα', а также

'. ' ' ) (

' '

'2 γ α 2 β α β

γ + =c+ab + a +a+b +a

Положим L'=K'(α'), M'=L'(β'). Каждаяиз степеней [L':K'], [M':L'], [N':M'] не

больше 2, а их произведение равно [N':K']=8. Поэтому

, 2 ] : [ ] : [ ] :

[L₁ K₁ = M₁ L₁ = N₁ M₁ = и следовательно, M'/K' − расширение степени

расширение степени 4. Тогда, потеореме 2.2 образующую σ' группы Галуа этогорасширенияможно выбратьтак, что σ'(α')= α'+1, σ'(β')=β'+α'.

Пусть ϕ − гомоморфизм кольца K[t₁,t₂,t₃] в поле K', тождественный

на K и отображающий элементы t₁,t₂,t₃ в a,b и c; продолжим его до

гомоморфизма из K[t₁,t₂,t₃][α,β] в N', положив ϕ(α)=α', ϕ(β)=β'. Такое

определение корректно, таккак

, ' ' ) ( )

(α2 α ϕ ₁ α 2 α

ϕ + = t =a= + ϕ(β2+β)=ϕ(t₂+t₁α)=b+aα'=β'2+β'.

Крометого, ϕσ =σ'ϕ:

)), ( ( ' ) ' ( ' 1 ' ) 1 ( )) (

(σ α ϕ α α σ α σ ϕ α

ϕ = + = + = =

)). ( ( ' ) ' ( ' ' ' ) ( )) (

(σ β ϕ β α β α σ β σ ϕ β

ϕ = + = + = =

Заметим, что многочлен p'(x)=x2+x+c+abα'+(a2+a+b)β'+aα'β' может быть

представленввиде:

)); ( ( ) ) ( ( ) (

' x x2 x t₃ t₁t₂ t₁2 t₁ t₂ t₁ p x p =ϕ + + + α+ + + β + αβ =ϕ

поэтому многочлен ∏ ∏ ∏ = = =      = = = 3 0 3 0 3 0 )) ( ( )) ( ( ( ' )) ( ' ( ' ) ( '

i i i

i i

i _{p x p x p x}

x

f σ σ ϕ ϕ σ =ϕ(f(x;t₁,t₂,t₃))

является специализацией многочлена f(x;t₁,t₂,t₃) при t₁=a, t₂ =b, t₃=c. В

частности, это значит, что f'(x)∈K'[x]; поскольку корень γ' порождает

расширение N'/K' той же степени, что и степень многочлена f'(x), этот

многочлен неприводим. Следовательно, все корни f'(x) вместе с корнем γ'

принадлежат нормальному расширению N'/K', а потому N'=K'(γ') − поле

разложения f'(x). 

Укажем теперь явный вид найденного нами C8-генерирующего

многочлена f(X;t₁,t₂,t₃):

+ + + + + + + + + + + + +

= 8 6 1 51 4 22 12 15 31 2 13 2 12 22 21 1 31 3

2

1, , ) [ 1 ]

;

(X t t t X X t X t X t t t t t t t t t t t t t X t

f + + + + + + + + + + + + + + + + 2 1 2 2 4 1 2 2 2 1 3 2 2 1 2 4 1 2 5 1 3 1 2 7 1 5 1 2 1 3 2 2 1 3 2 1 2 2 2 1 3 1 2 3 2 [ ]

+ + + + + + + + + + + + + + + + + 3 1 2 3 2 1 3 3 4 1 2 3 3 1 2 3 5 1 2 3 2 1 2 3 2 2 3 3 2 2 4 3 2 1 4 2 1 2 3 1 3 2 6 1 4 1 2 2 1 3 1 5 1

2t t t t t t t t t t t t ] t t t t t t t t t t t t t t t t t

t + + + + + + + + + + + + + + + 2 1 5 2 4 1 4 2 3 1 4 2 11 1 6 2 6 1 4 2 7 1 3 4 1 3 2 5 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3

2t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

t . 3 1 3 2 6 1 2 2 2 1 4 2 5 1 2 9 1 2 4 1 3 2 6 1 3

2t t t t t t t t t t t t t

t + + + + + +

+

§ 4. Построение генерирующегомногочленадля циклическойгруппы

16-гопорядканад полемхарактеристики два

Используя построения генерирующих многочленов для циклических групп 4-го и 8-го порядков можно построить генерирующий многочлен

для циклической группы 16-го порядка. Результатом такого построения

являютсяследующееутверждение.

Теорема 4.1. Пусть K₁=K(t₁,t₂,t₃,t₄), L₁=K₁(α), M₁=L₁(β), N₁=M₁(γ),

), ( 1

1 N θ

T = где α − корень многочлена g(z)= z2+z+t₁∈K₁[z], β − корень

многочлена h(y)= y2+y+t₂+t₁α∈L₁[y], γ − корень многочлена p(x)=x2 +x+

+ +

+t₃ t₁t₂α (t₁2 +t₁+t₂)β +t₁αβ∈M₁[x], θ − корень многочлена r(x)=x2 +x+t₄ +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+(t₁t₂t₃ t₃t₁ t₁5 t₁3t₂ t₂2 t₁4 t₁t₂)α (t₂t₃ t₂2t₁ t₁t₃ t₁4 t₁2t₂2 t₁2t₃ t₁2t₂ t₁3 t₁t₂b)β + + + + + + + + + + + + + + + +

+(t₃ t₂2 t₁4 t₁t₂)γ (t₁t₃ t₁3t₂ t₁t₂2 t₃ t₂2 t₁4 t₁2t₂ t₂)αβ t₁t₂αγ (t₂ t₁ t₁2)βγ

.

αβγ

a Тогда расширение T₁/K₁ −расширение Галуа, группаГалуакоторого

является циклическойгруппой 16-гопорядка. Приэтом T₁=K₁(θ).

Как и в предыдущих параграфах, аналогичным образом,

устанавливается, что элемент θ является корнем не только многочлена

), (x

r а ноикорнем многочлена

∏ ∈ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ) / ( 4 3 2 4 3 2 1 1 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , , , ; ( K M Gal x p x p x p x p x p x p t t t t x f

σ σ σ σ σ σ ,

причем его группа Галуа является циклической группой 16-го порядка.

Отсюда, поаналогиисдоказательством теоремы 3.3, справедлива теорема:

Теорема 4.3. Пусть K− поле характеристики два. Тогда

определенный выше многочлен f(x;t₁,t₂,t₃,t₄)∈K[x,t₁,t₂,t₃,t₄] является C₁₆

-генерирующиммногочленом над полем K.

Замечание. Очевидно, согласно нашей конструкции, мы можем

многочлены для циклических групп порядков ₂n _{(n=1,2,3,...)} над полем

характеристики два, однако нахождение таких многочленов в явном виде

слишком громоздко.

Список используемойлитературы

1. Dentzer R. Polynomials with cyclic Galois group // Comm. in Algebra. – 1995. – vol. 23. № 4. – p. 1593-1603.

2. Jensen C.U., Ledet A., Yui N. Generic polynomials. – Cambridge, 2002, p. 258. 3. Kemper G. Das Noethersche Problem und generische Polynome, Dissertation,

Universitat Heidelberg, 1994.

4. Miyake K. Linear fractional transformations and cyclic polynomials // Adv. Stud. Contemp. Math. (Pusan). – 1999. – vol. 1. – p. 137 – 142.

5. Nakano S. On generic polynomials of odd degree // Proc. Japan Acad. – 2000. – vol. 76. Ser A.

6. Saltman D. Generic Galois extensions and problem in field theory // Advances in Math. – 1982. – vol. 43. – p. 250 – 283.

7. Schneps L. On cyclic field extensions of degree 8. // Math. Scand. – 1992. – vol. 71. – p. 24 – 30.

8. Smith G.W. Generic cyclic polynomials of odd degree // Comm. Alg. – 1991. – vol. 19. – p. 3367 – 3391.