UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE
UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE CENTRO DETECNOLOGIA
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIAELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO
Probabilidades Imprecisas: Intervalar, Fuzzy e
Fuzzy Intuicionista
Claudilene Gomes da Costa
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
Costa, Claudilene Gomes da.
Probabilidades imprecisas: intervalar, fuzzy e fuzzy intuicionista / Claudilene Gomes da Costa. - Natal, RN, 2012.
144 f.
Orientador: Bejamín René Callejas Bedregal Co-orientador: Adrião Duarte Dória Neto
Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Compu-tação.
1. Probabilidade intervalar - Tese. 2. Número fuzzy - Tese. 3. Probabilidade fuzzy - Tese. 4. Número fuzzy intuicionista - Tese. 5. Probabilidade fuzzy intuicionista. 6. Cadeias de Markov - Tese. I. Bedregal, Bejamín René Callejas. II. Dória Neto, Adrião Duarte. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título
Probabilidades Imprecisas: Intervalar, Fuzzy e
Fuzzy Intuicionista
Claudilene Gomes da Costa
Tese de Doutorado aprovada em 20 de agosto de 2012 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Benjamín René Callejas Bedregal (orientador) . . . DIMAP/UFRN
Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto (co-orientador) . . . DCA/UFRN
Prof. Dr. Ronei Marcos de Morais (examinador) . . . UFPB
Agradecimentos
A Deus, pelo dom da vida.
Ao professor Benjamín, pela orientação, amizade, dedicação, companheirismo, acolhi-mento e atenção constante desde antes do ínicio do doutorado até o término, sempre muito prestativo e cheio de grandes idéias e com certeza esse trabalho não seria o mesmo sem suas contribuições.
Ao professor Adrião, pela orientação, acessibilidade e principalmente por ter sido a ins-piração do tema desse trabalho.
A Roberto, por toda a sua dedicação, companheirismo, apoio nos momentos difícies e pela contribuição com sua vasta experiência matemática no desenvolvimento desta tese.
A meu amigo João Agnaldo, por sua grande ajuda que me incentivou e colaborou com sua experiência estatística na disciplina de Processos Estocásticos.
A Fabiana, que me ajudou desde do primeiro dia de aula até o último dia, com a sua ternura, paciência e amizade em assistir minhas apresentações nas defesas de qualificação e da tese.
Aos meus pais, por cuidarem e amarem meus filhos enquanto estudava, viajava e traba-lhava.
As minhas irmãs, a Ivanosca e a Edilane (assistente) pela força, apoio e cumplicidade.
Aos meus amigos, Péricles e Náthalee que tornaram minha vida durante esta jornada muito mais leve e feliz, estando sempre ao meu lado.
Resumo
A idéia de considerar imprecisão em probabilidades é antiga, remontando aos traba-lhos de George Booles, que em 1854 pretendia conciliar a lógica clássica, que permite modelar ignorância completa, com probabilidades. Em 1921, John Maynard Keynes em seu livro fez uso explícito de intervalos para representar a imprecisão nas probabilida-des. Porém, apenas a partir dos trabalhos de Walley em 1991 que foram estabelecidos princípios que deveriam ser respeitados por uma teoria de probabilidades que lide com imprecisões.
Com o surgimento da teoria dos conjuntos fuzzy em 1965 por Lotfi Zadeh, surge uma outra forma de lidar com incertezas e imprecisões de conceitos. Rapidamente, começaram a se propor diversas formas de considerar as idéias de Zadeh em probabilidades, para lidar com imprecisões, seja nos eventos associados às probabilidades como aos valores das probabilidades.
Em particular, James Buckley, a partir de 2003 começa a desenvolver uma teoria de probabilidade fuzzy em que os valores das probabilidades sejam números fuzzy. Esta pro-babilidade fuzzy segue princípios análogos ao das propro-babilidades imprecisas de Walley.
Por outro lado, usar como graus de verdade números reais entre 0 e 1, como proposto originalmente por Zadeh, tem o inconveniente de usar valores muito precisos para lidar com incertezas (como alguém pode diferenciar de forma justa que um elemento satisfaz uma propriedade com um grau 0.423 de algo que satisfaz com grau 0.424?). Isto motivou o surgimento de diversas extensões da teoria dos conjuntos fuzzy pelo fato de incorporar algum tipo de imprecisão.
atribuir o grau de pertinência. Esta nova extensão hoje em dia é chamada de teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov. Vale salientar, que o termo intuicionista aqui não tem relação com o termo intuicionista como conhecido no contexto de lógica intuicionista.
Neste trabalho será desenvolvida duas propostas de probabilidade intervalar: a proba-bilidade intervalar restrita e a probaproba-bilidade intervalar irrestrita; também serão introduzi-das duas noções de probabilidade fuzzy: a probabilidade fuzzy restrita e a probabilidade fuzzy irrestrita e por fim serão introduzidas duas noções de probabilidade fuzzy intuici-onista: a probabilidade fuzzy intuicionista restrita e a probabilidade fuzzy intuicionista irrestrita.
Palavras-chave: Probabilidade intervalar, número fuzzy, probabilidade fuzzy,
Abstract
The idea of considering imprecision in probabilities is old, beginning with the Booles George work, who in 1854 wanted to reconcile the classical logic, which allows the mo-deling of complete ignorance, with probabilities. In 1921, John Maynard Keynes in his book made explicit use of intervals to represent the imprecision in probabilities. But only from the work of Walley in 1991 that were established principles that should be respected by a probability theory that deals with inaccuracies.
With the emergence of the theory of fuzzy sets by Lotfi Zadeh in 1965, there is another way of dealing with uncertainty and imprecision of concepts. Quickly, they began to pro-pose several ways to consider the ideas of Zadeh in probabilities, to deal with inaccura-cies, either in the events associated with the probabilities or in the values of probabilities. In particular, James Buckley, from 2003 begins to develop a probability theory in which the fuzzy values of the probabilities are fuzzy numbers. This fuzzy probability, follows analogous principles to Walley imprecise probabilities.
On the other hand, the uses of real numbers between 0 and 1 as truth degrees, as originally proposed by Zadeh, has the drawback to use very precise values for dealing with uncertainties (as one can distinguish a fairly element satisfies a property with a 0.423 level of something that meets with grade 0.424?). This motivated the development of several extensions of fuzzy set theory which includes some kind of inaccuracy.
In this work, will be developed two proposals for interval probability: the restricted interval probability and the unrestricted interval probability, are also introduced two no-tions of fuzzy probability: the constrained fuzzy probability and the unconstrained fuzzy probability and will eventually be introduced two notions of intuitionistic fuzzy probabi-lity: the restricted intuitionistic fuzzy probability and the unrestricted intuitionistic fuzzy probability
Index terms: Interval probability, fuzzy number, fuzzy probability, intuitionistic fuzzy
Sumário
Sumário i
Lista de Figuras iv
Lista de Símbolos e Abreviaturas v
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . 1
1.2 Justificativa . . . 4
1.3 Objetivos . . . 5
1.4 Estado da Arte . . . 5
1.5 Organização do Texto . . . 16
2 Teoria Intervalar 18 2.1 Considerações Iniciais . . . 18
2.2 Aritmética Intervalar . . . 19
2.3 Métrica sobreIR . . . 21
2.4 Sequências e Limites de Intervalos . . . 22
2.5 Relações de Ordem sobre Intervalos . . . 23
3 Teoria de Probabilidade Intervalar 25 3.1 Considerações Iniciais . . . 25
3.2 Axiomática da Probabilidade Intervalar . . . 25
3.3 Probabilidade Intervalar . . . 27
3.3.1 Probabilidade Intervalar Restrita . . . 27
3.3.2 Probabilidade Intervalar . . . 32
3.4 Caso de Estudo . . . 36
3.4.2 Um exemplo considerando a atual classificação sul-americana para
copa do mundo de 2014-FIFA . . . 40
3.5 Probabilidade Condicional Intervalar . . . 43
3.6 Cadeias de Markov Intervalares . . . 48
3.6.1 Cadeias de Markov Intervalares finitas com tempo discreto . . . . 49
4 Teoria Fuzzy 57 4.1 Considerações Iniciais . . . 57
4.2 Conjuntos Fuzzy . . . 59
4.2.1 Operações Conjuntistas sobre conjuntos Fuzzy . . . 62
4.3 Números Fuzzy . . . 67
4.3.1 Números Fuzzy Triangulares e Trapezoidais . . . 68
4.3.2 Operações Aritméticas de Números Fuzzy . . . 69
4.3.3 Métrica sobre
N
. . . 724.3.4 Sequências e Limites de Números Fuzzy . . . 72
4.3.5 Relações de Ordem entre Números Fuzzy . . . 73
5 Teoria de Probabilidade Fuzzy 76 5.1 Considerações Iniciais . . . 76
5.2 Axiomática da Probabilidade Fuzzy . . . 77
5.3 Probabilidade Fuzzy . . . 78
5.3.1 Probabilidade Fuzzy Restrita . . . 78
5.3.2 Probabilidade Fuzzy . . . 81
5.4 Probabilidade Condicional Fuzzy . . . 85
5.5 Cadeias de Markov Fuzzy . . . 89
5.5.1 Cadeias de Markov Fuzzy finitas com tempo discreto . . . 89
6 Teoria Fuzzy Intuicionista 96 6.1 Considerações Iniciais . . . 96
6.2 Conjuntos Fuzzy Intuicionistas . . . 97
6.3 Operações sobre Conjuntos Fuzzy Intuicionistas . . . 101
6.4 Números Fuzzy Intuicionistas . . . 104
6.4.1 Operações Aritméticas de Números Fuzzy Intuicionistas . . . 105
6.4.2 Métrica sobre
N I
. . . 1066.4.3 Sequências e Limites de Números Fuzzy Intuicionistas . . . 106
7 Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista 110
7.1 Considerações Iniciais . . . 110
7.2 Axiomática da Probabilidade Fuzzy Intuicionista . . . 110
7.3 Probabilidade Fuzzy Intuicionista . . . 112
7.3.1 Probabilidade Fuzzy Intuicionista Restrita . . . 112
7.3.2 Probabilidade Fuzzy Intuicionista . . . 115
7.4 Probabilidade Condicional Fuzzy Intuicionista . . . 118
7.5 Cadeias de Markov Fuzzy Intuicionistas . . . 122
7.5.1 Cadeias de Markov Fuzzy Intuicionistas finitas com tempo discreto 122 8 Conclusão 129 8.1 Artigos Publicados . . . 131
8.2 Trabalhos Futuros . . . 132
Lista de Figuras
4.1 Exemplo de Conjunto Fuzzy . . . 60
4.2 Conjunto Fuzzy Convexo . . . 61
4.3 Conjunto Fuzzy ConvexoµA(t)≥µA(r) . . . 62
4.4 Conjunto Fuzzy Não-Convexo . . . 62
4.5 Função de Pertinência que representam os conceitos de um jovem, meia-idade e idosos . . . 64
4.6 Função de Pertinência que representa o complemento do conjunto fuzzy
A
1 64 4.7 Função de Pertinência que representa o complemento do conjunto fuzzyA
3 65 4.8A
2=A1∩A3 . . . 654.9 Número Fuzzy Trapezoidal . . . 69
Lista de Símbolos e Abreviaturas
IR: Conjunto dos intervalos de números reais
IR+: Conjunto dos intervalos de números reais positivos R: Conjunto dos números reais.
N: Conjunto dos números naturais. Z: Conjunto dos números inteiros.
µA(x): Função de pertinência de um elemento x.
A
: subconjunto fuzzy de universoµA.≤K: Ordem de Kulisch-Miranker.
≤M: Ordem de Moore.
A
α:α-nível de um conjunto fuzzyA
. NF: Número fuzzyS(
A
): Suporte de um conjunto fuzzyA
.N(
A
): Núcleo de um conjunto fuzzyA
. Rn: Espaço Euclideano n-dimensional.̥T: Conjunto dos números fuzzy trapezoidais.
XAα(x): Função característica do conjunto crisp
A
α. CFVI: Conjunto fuzzy com valor intervalar.P(A): Probabilidade intervalar. CFI: Conjunto fuzzy intuicionista.
FI(X): Conjunto de todos os conjuntos fuzzy intuicionistas de universoX.
N
: Conjunto de todos os NFI estritamente positivos. NFI: Número fuzzy intuicionista.νA: Função de hesitação de um elemento x.
0L∗: Topo.
1L∗: Bottom.
≤L∗: Ordem deL∗-valorados. P: Função de Probabilidade Fuzzy. pi,j: Probabilidades de transição fuzzy.
PI: Probabilidade intervalar.
PIR: Probabilidade intervalar restrita. PF: Probabilidade fuzzy.
PFI: Probabilidade fuzzy intuicionista.
PFIR: Probabilidade fuzzy intuicionista restrita. FPFI: Função de probabilidade fuzzy intuicionista. PTFI: Probabilidade de transição fuzzy intuicionista. CMFI: Cadeias de Markov fuzzy intuicionista.
Capítulo 1
Introdução
1.1
Motivação
A teoria da probabilidade clássica fornece um modelo matemático para o estudo de in-certezas de natureza aleatória, também chamados de conhecimentos incertos que, mesmo que produzidos de forma idêntica, apresentam a cada experiência, resultados que variam imprevisivelmente. No entanto, a probabilidade clássica não é capaz de modelar incerte-zas devidas à incompletude do conhecimento ou incerteincerte-zas produzidas pelo conhecimento vago ou impreciso.
Na probabilidade clássica todos os eventos aleatórios devem ser definidos com pre-cisão, o que infelizmente não acontece em geral, pelo fato que essa hipótese parece ser bastante rigída em muitas situações práticas da nossa vida cotidiana. Como por exemplo, muitas vezes pode ocorrer situações em que é preciso lidar com a imprecisão, tais como: "a temperatura de amanhã", "ceú nublado", "dia bonito", "salário alto", etc. Para a teoria da probabilidade clássica estas expressões estão mal definidas e elas necessitam de uma outra teoria. Assim, para lidar com esses tipos de situações Loft Zadeh em 1965 [158] in-troduziu o conceito de conjunto fuzzy, cuja principal característica era a de considerar um grau de crença para indicar o quanto um especialista acredita que um elemento pertence a um determinado conjunto. Para tal fim, usa como possíveis graus de crenças números re-ais no intervalo[0,1]. Desta forma, a lógica fuzzy, a sua lógica subjacente, torna-se uma ferramenta importante para lidar com a incerteza do conhecimento e para representar a incerteza do raciocínio humano.
Capítulo 1. Introdução
genérico que cobre todos os modelos matemáticos que medem a possibilidade ou a incer-teza sem probabilidades numéricas refinadas. Os julgamentos, na maior parte das vezes, são qualitativos e é comum utilizar expressões como: "eu acho que", "é provável que", etc.. A imprecisão ocorre quando o especialista está para armar uma probabilidade supe-rior e infesupe-rior sobre algum evento. Para Smithson [138] os estudos do julgamento humano sobre a incerteza têm uma história que é quase contemporânea com as teorias das proba-bilidades. Ainda de acordo com Smithson [138] o uso da probabilidade para descrever estados cognitivos ou julgamentos subjetivos tem provocado muitos debates, além do de-senvolvimento de teorias e da realização de pesquisas empíricas.
Exemplos de probabilidades imprecisas são: a probabilidade intervalar como Yager [154], Zhang, Jia e Jiang [162], Tanaka e Sugihara [144], Weichelberger [152], Sar-veswaran, Smith e Blockey [133], Campos, Dimuro, Costa e Araújo [29], Intan [71] entre outros; e a probabilidade fuzzy como Zadeh [161], Buckley [20, 21], Dunyak, Saad e Wunsch [50], Rentería [126], entre outros. A probabilidade intervalar tem diversas apli-cações como tomada de decisão [155], corrosão de estruturas metálicas [133], e a pro-bablidade fuzzy tem aplicações nas áreas de estimação de futuras mudanças climáticas [87], avaliação de risco da água potável [33], sistema de reabilitação [50], classificação de grupo sanguíneo, teste de HIV, daltonismo, modelo de decisão, pesquisas políticas [20].
Neste trabalho, serão introduzidas duas novas noções de probabilidades intervalares e fuzzy, que satisfazem os princípios da probabilidade imprecisa. Uma das probabilidades intervalares introduzidas é ótima no sentido de [65, 132], porém tem como desvantagem que além de ser um pouco mais complexa de se calcular que a outra, ela impõe uma res-trição às probabilidades intervalares associada a cada elemento do espaço de amostras e por isso foi denominada de probabilidade intervalar restrita. A segunda probabilidade intervalar, embora seja correta no sentido de [65, 132], não é ótima, porém tem como vantagem que as probabilidades intervalares associadas a cada amostra podem ser inde-pendentes entre si, ou seja, não impõe qualquer restrição. A abordagem aqui utilizada para as duas probabilidades fuzzy é a mesma utilizada por Buckley em [20], ou seja, elas são obtidas a partir de seusα-níveis, que no caso são intervalos. Assim, uma das probabilidades fuzzy introduzidas nesta tese é determinada pela probabilidade intervalar irrestrita enquanto a outra é determinada pela outra probabilidade intervalar. Vale salien-tar que, a probabilidade fuzzy baseada na probabilidade intervalar irrestrita é sutilmente diferente a do Buckley, pois no caso dele, devido à ordem considerada entre números fuzzy, admite probabilidades fuzzy que tenha como α-nível um intervalo cujo extremo
Capítulo 1. Introdução
aqui, sempre osα-níveis serão intervalos não-negativos, ou seja, onde o extremo inferior
é um número maior que zero. Outro aspecto que diferencia a probabilidade fuzzy restrita da do Buckley, é a ordem considerada. Por exemplo, em [20, página 32] fica evidente que a probabilidade de Buckley não atende os axiomas de probabilidade intervalar do Walley [148].
Após diversas pesquisas realizadas sobre possíveis extensões da noção de conjunto fuzzy, surgiu uma extensão que tem chamado a atenção de muitas pesquisas nas últi-mas décadas é a teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas (CFI) introduzida por Krassimir Atanassov em 1983 [5]. Este fato ocorre, principalmente, devido ao fato de CFI serem coerentes com o comportamento humano. Os CFI consideram um grau extra para os con-juntos fuzzy no intuito de modelar a hesitação e incerteza ao momento de se atribuir o grau de pertinência ao conjunto. Este segundo grau representa o quanto o especialista acredita que o elemento não pertence ao conjunto. Na teoria dos conjuntos fuzzy o grau de não-pertinência de um elemento do universo é implicitamente definido como o com-plemento do grau de pertinência, ou seja, um menos o grau de pertinência e, portanto, é fixo. Em teoria dos CFI o grau de não-pertinência é de alguma forma independente do grau de pertinência e sua distância ao complemento deste expressa a hesitação no grau de pertinência.
Capítulo 1. Introdução
1.2
Justificativa
A teoria da probabilidade clássica tem se mostrado uma ferramenta poderosa para modelar conhecimentos de natureza aleatória. Por exemplo, tem sido capaz de lidar com eventos incertos tais como "a temperatura do ar amanhã". Assumindo que, pela disponi-bilidade de alguns dados do passado, pode-se tornar possível calcular a probadisponi-bilidade de, por exemplo, a temperatura do ar estar entre 20oC e 25oC. Note que, na teoria de
pro-babilidade clássica, os eventos tiveram de ser definidos com precisão. Porém, em muitas situações práticas existem imprecisões no valor probabilístico de um evento, especial-mente quando há pouca informação a disposição para evaluar a probabilidade; ou quando a informação disponível não é suficientemente específica; ou quando existem situações de conflito devido à existência de várias fontes de informação. A probabilidade clássica não consegue lidar de forma adequada nestas situações. Este fato motivou alguns pesqui-sadores a considerar valores de probabilidades diferentes ao usual (valores entre 0 e 1), como por exemplo: valores intervalares [28], intervalos generalizados [150] e números fuzzy [20].
Em 1991, Peter Walley [148] introduz o conceito de probabilidades imprecisas, como uma tentativa de estabelecer critérios que unifiquem essas diversas teorias de probabi-lidades que incorporam incertezas nos valores das probabiprobabi-lidades. Estes critérios, por serem gerais, admitem diversas teorias específicas e não equivalentes de probabilidades imprecisas para as mesmas classes de valores, por exemplo, a definição de probabilidade intervalar em [71] e [144] satisfazem os critérios de probabilidades imprecisas do Wal-ley e mais especificamente os axiomas de probabilidade intervalar do WalWal-ley [148], mas são diferentes. A comunidade de probabilidades imprecisas (http:www.sipta.org) não só admite esta pluralidade de propostas como a incentiva. Isto justifica que se introduzam novas probabilidades imprecisas, que possam trazer a tona, novos aspectos, propriedades e abrangência das probabilidades imprecisas.
Capítulo 1. Introdução
1.3
Objetivos
• Apresentar duas propostas para cada tipo de probabilidade imprecisa: a intervalar, a intervalar restrita, a fuzzy, a fuzzy restrita, a fuzzy intuicionista e a fuzzy intuici-onista restrita. Como também definir a probabilidade condicional e provar a versão do Teorema de Bayes em cada uma dessas teorias.
• Desenvolver a teoria de cadeias de Markov baseada em cada uma destas
probabi-lidades aqui introduzidas, dando ênfase à classificação dos estados e ao estudo do comportamento a longo prazo destas cadeias de Markov. Em outras palavras, será provado o importante Teorema da Convergência dos Estados Estacionários em cada uma dessas probabilidades imprecisas.
1.4
Estado da Arte
A teoria dos conjuntos introduzida por Georg Cantor em torno de 1870, baseada na noção de pertinência de elementos a conjuntos provou ser uma das mais poderosas fer-ramentas da Matemática Moderna que permitiu estudar e modelar o desenvolvimento de outras Ciências. No entanto, esta teoria clássica de conjuntos é muito rigorosa, pois ad-mite duas possibilidades: que um objeto pertença ou que não pertença ao conjunto, ou seja, esta teoria só permite valores "exatos", 0 (não há pertinência) e 1 (há pertinência) e não permite outras possibilidades que, no entanto, têm sido estudados na área de modelos lógicos.
clás-Capítulo 1. Introdução
sica formal, fatalmente chegam-se a conclusões que vão contra o senso comum. Isto mostra que algo está errado quando manipulados termos vagos a partir do raciocínio ló-gico formal, a primeira atitude deve ser a de identificar onde realmente encontra-se o problema. Talvez ele esteja na forma de como é usada a lógica clássica nos termos va-gos. Contudo, muitos resultados já mostraram que a lógica clássica realmente funciona de forma satisfatória quando aplicada a termos com fronteiras bem definidas, isto é, termos não-vagos.
Em 1965, Loft A. Zadeh [158], devido à necessidade de ferramentas mais flexíveis a certos termos linguísticos subjetivos, como "aproximadamante", "em torno de", dentre outros, sugeriu uma teoria para modelar a imprecisão, propondo uma teoria alternativa de conjuntos, onde a passagem da pertinência para a não-pertinência fosse gradual e não abrupta, assim publicou o seu primeiro trabalho sobre conjuntos fuzzy, baseado na lógica multinível. Com este trabalho foi possível obter uma formalização matemática de um conjunto fuzzy, generalizando a teoria convencional dos conjuntos.
Mais precisamente, um conjunto fuzzy
A
de um universoX é o conjuntoA
={(x,µA(x)): x∈X}ondeµA :X →[0,1]é a função de pertinência de
A
eµA(x)é o grau de pertinência queindica o "quanto"um elementox∈X pertence ao conjunto fuzzy
A
.Após a introdução de Zadeh da teoria dos conjuntos fuzzy, ficou claro desde o início que esta teoria era uma ferramenta extraordinária para representar o conhecimento hu-mano. No entanto, Zadeh estabeleceu em [159] que, por vezes, em processos de tomadas de decisão, o conhecimento é melhor representado por meio de algumas generalizações ou extensões da teoria de conjuntos fuzzy. Existem várias extensões fuzzy na literatura, como por exemplo: teoria dos conjuntos fuzzy intervalarmente valorados (CFIV) ou con-juntos fuzzy do tipo-2, que foi introduzida de forma independente e no mesmo ano por Zadeh [160], Grattan-Guinness [58], Jahn [73] e Sambuc [131]. Isto é, os conjuntos fuzzy tais que o grau de pertinência de cada elemento do conjunto é dado por um subin-tervalo fechado do insubin-tervalo[0,1]. Assim, não só imprecisão (falta de fronteiras nítidas), mas também, uma característica da incerteza (falta de informação) podem ser tratadas de forma intuitiva. Mais precisamente, um conjunto fuzzy intervalar
A
de um universoX éo conjunto
A
={(x,MA(x)): x∈X}ondeMA:X→Int([0,1])é a função de pertinência de
A
dada porMA(x) = [MA(x),MA(x)],Capítulo 1. Introdução
ondeMA(x)eMA(x)são os extremos inferior e superior do intervaloMA(x),
respectiva-mente.
Esta teoria tem sido amplamente estudada e utilizada. Por exemplo, vale a pena des-tacar os trabalhos de Gorzalczany sobre raciocínio aproximado [56, 57], Sambuc, e Roy e Biswas sobre diagnósticos médicos [131, 128], Turksen sobre lógica multivaloradas [145], Bedregal, Dimuro e Costa sobre Intervalo fuzzy baseado em regras de reconhe-cimento de gestos de mão [15], Bustince sobre processamento digital de imagem [24], Yager sobre tomada de decisão [156].
Uma outra extensão da teoria de conjuntos fuzzy foi introduzida por Atanassov [5]. Em conjuntos fuzzy, o grau de não-pertinência é dado a priori pelo seu complemento,
isto é, como sendo "um menos o grau de pertinência". Entretanto, um ser humano que expressa o grau de pertinência de um elemento num conjunto fuzzy muitas vezes, fruto de sua insegurança ou hesitação, não manifesta o grau de não-pertinência como o seu com-plemento, isso reflete um fato bem conhecido que a negação lingüística psicológica nem sempre se identifica com a negação lógica. Por esse motivo, Atanassov [5] introduziu o conceito de conjunto fuzzy intuicionista que se caratcteriza por duas funções, uma expres-sando o grau de pertinência e outra o grau de não-pertinência, respectivamente. Assim, os conjuntos fuzzy intuicionistas são uma generalização natural dos conjuntos fuzzy, e estes são úteis na modelagem de muitas situações da vida real, como por exemplo: pro-cessos de negociações [5, 7], tomada de decisões [140, 141, 142], processamento digital de imagens [76], visão computacional [70], reconhecimentos de padrões [163], imagens de células humanas [31], etc.
Um conjunto fuzzy intuicionista (CFI) atribui a cada elemento do universo um grau de pertinência, e um grau de não-pertinência que reflete o seu grau de hesitação. Mais precisamente, um conjunto fuzzy intuicionista
A
de um universoX é o conjuntoA
={(x,µA(x),νA(x)): x∈X}ondeµA,ν(
A
):X→[0,1]são as funções de pertinência e não-pertinência deA
e são tais que 0≤µA(x) +νA(x)≤1. A funçãoπA(x) =1−µA(x)−νA(x)é chamada de índiceintuicionista de x em
A
, e mede o grau de hesitação de quantox pertence aA
, que foi introduzida por Bustince e Burillo [25].Note que,πA(x)é a distância usual entreνA(x)e o complemento deµA(x).
impreci-Capítulo 1. Introdução
são e incerteza de opiniões não só pela função de pertinência. Isto é devido ao fato de que em algumas situações é mais fácil descrever sentimentos negativos que as atitudes positivas. Ainda mais, muitas vezes é mais fácil especificar os objetos ou as alternativas daquilo que não se gosta, mas simultaneamente não é possível especificar claramente o que se prefere. Considere uma situação observada numa imobiliária. Muitas vezes, um cliente que procura um apartamento para alugar ou comprar, porém não está totalmente convencido sobre a localização e considera várias opções. É óbvio que alguns bairros tem mais preferência do que outros, assim como também existem bairros que não é do gosto do cliente. Os CFI são muito úteis para a modelagem de situações da vida cotidiana como esta. Por exemplo, pode acontecer que uma pessoa indagada sobre o seu bairro favorito em Natal não pode escolher definitivamente se é Ponta Negra, Petrópolis ou Tirol, mas ele tem certeza de que definitivamente não quer morar no Alecrim. Assim, pode-se empregar um conjunto fuzzy intuicionista para a modelagem das preferências do cliente, onde a função de pertinência mostra o grau que um determinado bairro tenha mais preferência, enquanto a função de não-pertinência indica o grau que uma determinada região não deve ser tomada em consideração.
Tem-se uma situação semelhante quando se comparam as preferências expressas por meio de ordenações que admitem a incerteza devido à indefinição, imprecisão e hesita-ção, ou seja, onde pode-se indicar os objetos que certamente são melhores que outros, que certamente são piores que outros, mas tem-se também objetos que são indiferentes e in-comparáveis. Neste caso, os conjuntos fuzzy intuicionistas fornece também ferramentas perfeitas e naturais para a modelagem de tais ordenações.
É por esta versatilidade em suas aplicações que a teoria de CFI de Atanassov tem despertado um crescente interesse mundial o que pode ser percebido pelo fato que após quase 30 anos de existência já existem mais de 1000 trabalhos publicados sobre os con-juntos fuzzy intuicionista (uma visão geral pode ser encontrada em [115]). Além disso, há uma revista internacional (Notes on Intuitionistic Fuzzy Sets, ISSN 1310-4926) ex-clusivamente devotada para esta extensão de lógica fuzzy, desde 1997 uma conferência dedicada à conjuntos fuzzy intuicionistas é anualmente organizada, bem como várias ses-sões especiais em conferências internacionais, as quais são úteis para verificar a situação da teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas no âmbito das diferentes teorias de modela-gem de imprecisão.
É importante salientar que Atanassov e Gargov em [6] provam que, desde o ponto de vista matemático, a teoria dos CFIV e a teoria dos CFI são equivalentes. De fato, eles mostram que a função f,que associa a cada CFIV
A
o CFIB
= f(A
)dado porµB(x) =Capítulo 1. Introdução
dado porMA(x) = [µB(x),1−νB(x)],são inversas uma da outra, e portanto as teorias de
CFIV e CFI são generalizações equivalentes da noção de conjuntos fuzzy. Este fato não vem desmerecer nenhuma destas teorias e nem os resultados obtidos baseados em alguma destas teorias. De fato, desde o ponto de vista semântico (imprecisão de pertinência versus ponderando/modelando preferências) elas são muito diferentes. Uma coisa é que elas sejam equivalentes do ponto de vista matemático e outra são os conceitos e propriedades matemáticas que elas modelam (suas semânticas) e este último é o que mais importa nas aplicações. O mais importante é que estas duas teorias tem se desenvolvido com diferentes fundamentos e são baseadas em semânticas diferentes e ambas são necessárias para lidar com incertezas em diferentes contextos.
As considerações apresentadas são cruciais em eventos onde a imperfeição da infor-mação é uma regra, tais como, tomada de decisões, por exemplo. Existem vários aspectos de imperfeição da informação, dentre eles a incerteza e imprecisão são as mais importan-tes. A imprecisão pode ser modelada por conjuntos fuzzy intuicionistas e a incerteza é modelada pela teoria de probabilidades.
Em 1968, Zadeh [161] também foi o primeiro a definir um evento fuzzy e a estender o conceito de probabilidade clássica para tais eventos, preservando as propriedades básicas da teoria da probabilidade clássica. Em teoria clássica de probabilidades, um eventoAé
um elemento de umaσ-álgebra
F
formada por subconjuntos de um espaço amostralX euma medida de probabilidadePé uma medida normalizada sobre um espaço mensurável
(X,
F
); ou seja, P é uma função real-valorada que associa a cada eventoA emF
umaprobabilidade, P(A), tal que (a) P(A) ≥0 para todo A∈
F
; (b)P(X) =1; e (c)P écontavelmente aditiva, ou seja, se{Ai}é uma coleção de eventos disjuntos, então
P
∞ [
i=1 Ai
!
=
∞
∑
i=1 P(Ai).
No entanto, um evento fuzzy, no sentido de Zadeh [161], é entendido como um con-junto fuzzy
A
de universo X, que por simplicidade será suposto como sendo umsub-conjunto deRn,cuja função de pertinênciaµA é uma função mensurável à Borel e cuja
probabilidade é dada por
P(
A
) =Z
X
µA(x)dP.
Capítulo 1. Introdução
sejaX ={x1, . . . ,xn},a probabilidade de um evento fuzzy
A
⊆X é dada porP(
A
) =n
∑
i=1
P(xi)µA(xi),
ondeP(xi)é a probabilidade clássica de ocorrência do evento{xi}.
Em virtude desta abordagem de Zadeh sobre eventos fuzzy e probabilidade fuzzy, Eulalia Szmidt e Janusz Kacprzyk em [140, 141, 142], no caso em que o universo é discreto, propuseram uma definição de evento fuzzy intuicionista e sua probabilidade. Para Szmidt e Kacprzyk um evento fuzzy intuicionista é entendido como um conjunto fuzzy intuicionista
A
de um espaço amostral discreto X ={x1, . . . ,xn}, cuja função depertinência µA e de não-pertinência νA são funções mensuráveis à Borel. Neste caso,
o índice de hesitação πA tambem é mensuráveis à Borel. Assim, Szmidt e Kacprzyk
definiram a probabilidade de um evento fuzzy intuicionista
A
como um númeroP(A
)no intervalo[Pmin(A),Pmax(A)],ondePmin(
A
) =n
∑
i=1
P(xi)µA(xi),
a qual é chamada de probabilidade mínima de
A
, e ondePmax(
A
) =Pmin(A
) +n
∑
i=1
P(xi)πA(xi),
a qual é chamada de probabilidade máxima de
A
. A probabilidade mínimaPmin(A
)dá aprobabilidade garantida que um evento
A
ocorrerá. A probabilidade máximaPmax(A
)dáa maior probabilidade possível que um evento
A
ocorrerá. Assim, a diferençaPmax(A
)− Pmin(A
) mede a incerteza de ocorrência de um eventoA
. Note que, quando o evento fuzzy intuicionista considerado se remete a um evento fuzzy ordinário, ou seja, quando a margem de hesitação é nula (πA(x) =0 para todo x∈A
) então a probabilidade deste evento fuzzy intuicionista coincide com a probabilidade dele visto como evento fuzzy. Em outras palavras, a definição proposta por Szmidt e Kacprzyk estende a noção de pro-babilidadde de eventos fuzzy dada por Zadeh no caso discreto. É importante destacar que, quandoP(A
)é considerado como sendo o ponto médio do intervalo[Pmin(A),Pmax(A)],ou seja, quando
P(
A
) = 12[Pmin(A) +Pmax(A)] =
n
∑
i=1 P(xi)
Capítulo 1. Introdução
esta expressão foi proposta por Gerstenkorn e Manko em [53] como uma definição de probabilidade de eventos fuzzy intuicionistas.
Estas noções de evento fuzzy intuicionista e sua probabilidade foi estendida para o caso contínuo por Grzegorzewski em [59]. Para Grzegorzewski, um evento fuzzy intui-cionista é entendido como um conjunto fuzzy intuiintui-cionista
A
de universoX ⊆Rn, cuja função de pertinênciaµA e de não-pertinênciaνA (e portanto o índice de hesitação) sãofunções mensuráveis à Borel e cuja probabilidade é um númeroP(
A
)no intervaloZ
X
µA(x)dP,
Z
X
(1−νA(x))dP
.
A probabilidade proposta nos eventos fuzzy intuicionistas encontra-se em um intervalo e quando o evento fuzzy intuitionista torna-se um evento fuzzy (i.e.,νA(x) =1−µA(x)) o
intervalo proposto é degenerado e se reduz a probabilidade de um evento fuzzy definido por Zadeh. Note também que, quandoP(
A
)é considerado como sendo o ponto médio dointervalo[RXµA(x)dP,RX(1−νA(x))dP],ou seja, quando
P(
A
) = 12 Z
X
µA(x)dP+
Z
X(
1−νA(x))dP
= (
Z
X
µA(x) +
1
2πA(x))dP,
esta expressão foi proposta por Gerstenkorn e Manko em [53] como uma definição de probabilidade de eventos fuzzy intuicionistas.
Até o momento tratou-se de teorias de probabilidades em que os eventos são fuzzy ou fuzzy intuicionistas, porém sua probabilidade é exata, pois é um número no intervalo
[0,1].Porém, em muitas situações práticas existem imprecisões no valor probabilístico de um evento, especialmente quando há pouca informação a disposição para evaluar a proba-bilidade; ou quando a informação disponível não é suficientemente específica; ou quando existem situações de conflito devido à existência de várias fontes de informação. É nestas situações, por exemplo, que se faz necessário atribuir a um evento clássico um valor pro-babilístico impreciso, como por exemplo um valor intervalar (Probabilidade Intervalar); ou um número fuzzy (Probabilidade Fuzzy) ou fuzzy intuicionista (Probabilidade Fuzzy Intuicionista). Estes tipos de probabilidade são chamadas de probabilidades imprecisas por modelarem a incerteza sem probabilidades numéricas exatas.
Uma proposta de axiomática para a Probabilidade Intervalar foi apresentada por Wal-ley e Fine em [149, 148], a qual é descrita da seguinte maneira:
Seja(Ω,
F
)um espaço de probabilidade. Umaprobabilidade intervalaré umafun-çãoP:
F
→I([0,1]),dada porP(A) = [P(A),P(A)],que satisfaz as seguintesCapítulo 1. Introdução
Axioma IV:P(/0) =0 eP(Ω) =1;
Axioma V:P(A) =1−P(Ac),para todoA∈
F
,ondeAc=Ω\Aé o complementardeA;
Axioma VI:(Super aditividade) SeA∩B=/0entãoP(A∪B)≥P(A) +P(B);
Axioma VII:(Sub aditividade) SeA∩B= /0entãoP(A∪B)≤P(A) +P(B).
As funçõesPePsão chamadas deprobabilidade inferioreprobabilidade superior
respectivamente.
Pécoerentese existir um conjunto não-vazio
M
de funções de probabilidadesclás-sicas sobre
F
tal queP(A) =inf{π(A):π∈
M
}, para todoA
∈F
.Neste caso, pelo Axioma V, necessariamente temos que
P(A) =sup{π(A):π∈
M
}, para todoA
∈F
.Note que se P é coerente então P(/0) =0 e P(Ω) = 1. Portanto, se P é coerente, P(/0) = [0] e P(Ω) = [1], onde [0] e [1] são intervalos degenerados, ou seja, da forma
[a,a],que serão escritos na forma simplificada[a].
Pé2-monótonase satisfaz
P(A) +P(B)≤P(A∪B) +P(A∩B).
Neste caso, pelo Axioma V, necessariamente temos que
P(A) +P(B)≥P(A∪B) +P(A∩B).
É possível provar que todas probabilidades inferiores que são 2-monótonas são também coerentes (veja por exemplo [68]Lemma 2.5)
Com respeito da probabilidade fuzzy, ou seja, aquela que atribui um número fuzzy como valor de probabilidade a um evento clássico, pode-se dizer que o primeiro trabalho nesta direção foi feito por Buckley em [20]. Buckley considera como espaço amostral um conjunto discretoΩ={x1, . . . ,xn},e um conjunto de números fuzzyFi,i=1, . . . ,ncom
a propriedade0<Fi<1que existampi∈N(Fi)tais que n
∑
i=1
pi=1,ondeN(Fi)é o núcleo
Capítulo 1. Introdução
Nestas condições, Buckley define a probabilidade fuzzy PFB(A)de um subconjunto
AdeΩcomo sendo o conjunto fuzzy cujosα-níveisPFB(A)αsão dados por
PFB(A)α= (
∑
i∈IA
pi: pi∈Fi,α∀i=1, . . . ,ne
n
∑
i=1 pi=1
)
.
Além disso, Buckley prova que estas probabilidades são semi-aditivas, no sentido que para todoA,B⊂Ω
PFB(A∪B)≤PFB(A) +PFB(B)−PFB(A∩B).
SeAeBsão disjuntos, temos quePFB(A∪B)≤PFB(A) +PFB(B).
O problema é que a ordem usada por Buckley permite quePFB(A)α seja um intervalo contendo números negativos.
A proposta deste trabalho é o de desenvolver uma teoria de probabilidades imprecisas: probabilidade intervalar (PI), probabilidade fuzzy (PF) e probabilidade fuzzy intuicionista (PFI), ou seja, aquela que atribui um intervalo, um número fuzzy e um número fuzzy in-tuicionistas, respectivamente, como valor de probabilidade a um evento clássico. A neces-sidade de se desenvolver uma teoria de probabilidades imprecisas é justificada pelo fato que em muitas situações práticas existe hesitação sobre o valor atribuído à probabilidade de um evento.
Nesta teoria de probabilidade intervalar aqui apresentada, números intervalares são usados para representar a medida de probabilidade com o intuito de capturar de forma sim-ples a imprecisão e incompletude da probabilidade. Mais precisamente, será apresentada duas propostas de probabilidade intervalar, uma é denominada de probabilidade intervalar restrita e a outra simplesmente de probabilidade intervalar, as quais são assim definidas: suponha que o espaço amostralΩé um conjunto discreto, por exemplo,Ω={x1, . . . ,xn},
assim considere um conjunto de intervalosLi= [ai,bi],i=1, . . . ,n.Dado um subconjunto
AdeΩ,defina o conjunto de índices de AporIA={i∈ {1, . . . ,n}:xi∈A}.A
probabili-dade intervalar deA, denotada porPI(A),é definida por
PI(A) =
PI(A),PI(A)
,
onde
PI(A) =min
∑
i∈IA pi
n
∑
i=1 pi
: pi∈Li, ∀i=1, . . . ,n
Capítulo 1. Introdução
e
PI(A) =max
∑
i∈IA pi
n
∑
i=1 pi
: pi∈Li, ∀i=1, . . . ,n
SeLi= [ai,bi],i=1, . . . ,nsão tais que, para todoi=1, . . . ,n,existampi∈Litais que
n
∑
i=1
pi=1.A probabilidade intervalar restritaPB(A)deAé definida por
PB(A) =
PIB(A),PIB(A)
,
onde
PB(A) =min
(
∑
i∈IA
pi; pi∈Li∀i=1, . . . ,ne
n
∑
i=1 pi=1
)
e
PB(A) =max
(
∑
i∈IA
pi; pi∈Li∀i=1, . . . ,ne
n
∑
i=1 pi=1
)
.
Além disso, estas probabilidades são super-aditivas e sub-aditivas respectivamente, no sentido que para todoA,B⊂Ω
PI(A) +PI(B)≤PI(A∪B) +PI(A∩B);
PI(A) +PI(B)≥PI(A∪B) +PI(A∩B)
e
PB(A) +PB(B)≤PB(A∪B) +PB(A∩B);
PB(A) +PB(B)≥PB(A∪B) +PB(A∩B).
Inicialmente será proposto como definição de probabilidade fuzzy uma extensão na-tural da proposta restrita, acima mencionada, sobre probabilidade fuzzy. Neste trabalho será proposto a seguinte definição de PF para eventos discretos. Considere como es-paço amostral um conjunto discretoΩ={x1, . . . ,xn},e um conjunto de números fuzzy
Fi,i=1, . . . ,n.Nestas condições, será definida a probabilidade fuzzyPF(A)de um
Capítulo 1. Introdução
PF(A)α=
∑
i∈IA pi
n
∑
i=1 pi
:pi∈Fi,α, ∀i=1, . . . ,n
.
Neste trabalho será provado que tantoPF(A)comoPFB(A)são de fato um números fuzzy e que estas probabilidades são semi-aditivas, no sentido que para todoA,B⊂Ω
PF(A∪B)≤PF(A) +PF(B)−PF(A∩B)
e
PFB(A∪B)≤PFB(A) +PFB(B)−PFB(A∩B).
Será apresentada duas propostas de probabilidade fuzzy intuicionista, uma é a denomi-nada de probabilidade fuzzy intuicionista restrita e a outra simplesmente de probabilidade fuzzy intuicionista, as quais serão definidas como segue: Considere como espaço amos-tral um conjunto discretoΩ={x1, . . . ,xn},e um conjunto de números fuzzy
intuicionis-tasFi,i=1, . . . ,n. Nestas condições, defina a probabilidade fuzzy intuicionistaPFI(A)
de um subconjuntoAdeΩcomo sendo o conjunto fuzzy intuicionista cujos(α,β)-níveis
PFI(A)(α,β)são dados por
PFI(A)(α,β)=
∑
i∈IA pi
n
∑
i=1 pi
:pi∈Fi,(α,β), ∀i=1, . . . ,n .
Se Fi,i =1, . . . ,n são tais que, para todo i=1, . . . ,n, existam pi∈ N(Fi) tais que
n
∑
i=1
pi=1,ondeN(Fi)é o núcleo deFi,a probabilidade fuzzy intuicionista restritaPFIB(A)
de um subconjunto A de Ω é definida como sendo o conjunto fuzzy intuicionista cujos
(α,β)-níveisPFIB(A)(α,β)são dados por
PFIB(A)(α,β)= (
∑
i∈IA
pi:pi∈Fi,(α,β), ∀i=1, . . . ,n, e
n
∑
i=1 pi=1
)
.
Neste trabalho será provado que tantoPFI(A)comoPFIB(A)são de fato um números fuzzy intuicionistas e que estas probabilidades são semi-aditivas, no sentido que para todo
A,B⊂Ω
Capítulo 1. Introdução
e
PFIB(A∪B)≤PFIB(A) +PFIB(B)−PFIB(A∩B).
Claramente, quando todos osFi,i=1, . . . ,nsão números fuzzy, a definição de PFI aqui
apresentada coincide com a probabilidade fuzzy acima definida.
Neste trabalho também serão definidas as noções de probabilidade condicional: a intervalar, a intervalar restrita, a fuzzy, a fuzzy restrita, a fuzzy intuicionista e a fuzzy intuicionista restrita. Será provada uma versão intervalar, fuzzy e fuzzy intuicionista do Teorema de Bayes, o qual é um dos resultados mais importantes em qualquer teoria de probabilidades que se preze. Além disso, será desenvolvida a teoria de cadeias de Mar-kov: a intervalar, a fuzzy e a fuzzy intuicionista. Dessa forma, foram obtidos resultados importantes nesta direção tais como a classificação dos estados baseados nestas noções de probabilidades. Será provado o importante Teorema da Convergência dos Estados Es-tacionários em cada uma destas teorias.
1.5
Organização do Texto
Este texto está dividido em 6 capítulos:
• Capítulo 2, Teoria Intervalar, serão abordados em primeiro lugar as noções básicas da aritmética intervalar, a qual é considerada a métrica de Moore sobre o conjunto IRpara estudar a noção de limites de sequências de intervalos.
• Capítulo 3, Probabilidade Intervalar, será abordado um estudo sobre a teoria da probabilidade intervalar onde será apresentada uma proposta para a axiomática da probabilidade intervalar devida a Walley em [149]. Serão introduzidas também duas noções de probabilidade intervalar, denominadas de probabilidade intervalar restrita e de probabilidade intervalar, as quais satisfazem os axiomas propostos por Walley para uma teoria de probabilidade intervalar. Considerando estas duas noções de probabilidade intervalar, serão provados neste contexto os principais teoremas vin-dos da teoria da probabilidade clássica, tais como: O Teorema da Probabilidade Total Intervalar, O Teorema da Probabilidade Condicional Total Intervalar e o Teo-rema de Bayes Intervalar. Neste capítulo também será introduzido um estudo sobre as cadeias de Markov intervalares e a classificação de seus estados baseados nas duas noções de probabilidade intervalar propostos neste trabalho.
• Capítulo 4, Teoria Fuzzy, serão abordados em primeiro lugar as noções básicas da
Capítulo 1. Introdução
os números fuzzy para estudar a noção de limites de sequências de números fuzzy.
• Capítulo 5 - Teoria de Probabilidade Fuzzy, será abordado um estudo sobre a teoria da probabilidade fuzzy, onde será apresentado uma proposta para uma axiomática da probabilidade fuzzy inspirada pelo trabalho de Walley em [149]. Serão introdu-zidas também duas noções de probabilidade fuzzy, denominadas de probabilidade fuzzy restrita e de probabilidade fuzzy, as quais satisfazem os axiomas propos-tos para uma teoria de probabilidade fuzzy. Considerando estas duas noções de probabilidade fuzzy, serão provados neste contexto os principais teoremas vindos da teoria da probabilidade clássica, tais como: O Teorema da Probabilidade To-tal Fuzzy, O Teorema da Probabilidade Condicional ToTo-tal Fuzzy e o Teorema de Bayes Fuzzy. Neste capítulo também será introduzido um estudo sobre as cadeias de Markov fuzzy e a classificação de seus estados baseados nas duas noções de probabilidade fuzzy propostos neste trabalho.
• Capítulo 6 - Teoria Fuzzy Intuicionista, serão abordados em primeiro lugar as no-ções básicas da teoria fuzzy intuicionista, onde será introduzida a métrica de Moore sobre o conjunto de todos os números fuzzy intuicionistas para estudar a noção de limites de sequências de números fuzzy intuicionistas.
• Capítulo 7 - Teoria da Probabilidade Fuzzy Intuicionista, será abordado um
es-tudo sobre a teoria da probabilidade fuzzy intuicionista onde será apresentado uma proposta para uma axiomática da probabilidade fuzzy intuicionista inspirada pelo trabalho de Walley em [149]. Serão introduzidas também duas noções de probabili-dade fuzzy intuicionista, denominadas de probabiliprobabili-dade fuzzy intuicionista restrita e de probabilidade fuzzy intuicionista, as quais satisfazem os axiomas propostos para uma teoria de probabilidade fuzzy intuicionista. Considerando estas duas no-ções de probabilidade fuzzy intuicionista, serão provados neste contexto os princi-pais teoremas vindos da teoria da probabilidade clássica, tais como: O Teorema da Probabilidade Total Fuzzy Intuicionista, O Teorema da Probabilidade Condicional Total Fuzzy Intuicionista e o Teorema de Bayes Fuzzy Intuicionista. Neste capítulo também será introduzido um estudo sobre as cadeias de Markov fuzzy intuicionistas e a classificação de seus estados baseados nas duas noções de probabilidade fuzzy intuicionista propostos neste trabalho.
Capítulo 2
Teoria Intervalar
2.1
Considerações Iniciais
A Computação Intervalar é uma área relativamente nova das ciências da computação, surgiu da necessidade em que os pesquisadores da programação científica precisavam para obter resultados mais precisos, e com o menor erro possível. Alguns registros mos-tram que a partir de 1914 pesquisadores começaram a utilizar intervalos numéricos para representar medidas de distância e tempo. Mas, foi na década de 50, através dos traba-lhos de Moore [107], que essa teoria se consolidou. Moore contribuiu significativamente para fundamentação da Teoria Intervalar, propondo uma aritmética e uma topologia para intervalos, dando origem a uma alternativa à computação pontual.
Existem três tipos de fontes de erros na computação númerica clássica, são eles: a propagação do erro nos dados iniciais, os erros que ocorrem por arredondamentos e os erros por truncamentos.
A matemática intervalar vem buscando resolver esse problema que fundamenta-se em dois aspectos: Na criação de um modelo computacional que exprima o controle e a análise de erros ocorridos no processo computacional e na escolha de técnicas de programação adequadas para desenvolvimentos de softwares científicos buscando minimizar os erros nos resultados.
necessá-Capítulo 2. Teoria Intervalar
rio identificar sua origem. Com isso, o uso da matemática intervalar torna-se uma forte alternativa na resolução de problemas caracterizados pela falta de exatidão.
A aritmética intervalar é uma aritmética bem elaborada matematicamente, onde são definidas as principais operações aritméticas para intervalos, baseadas nas respectivas operações reais sobre os extremos dos intervalos como Moore em [107], Campos, Di-muro, Costa e Araújo em [29], Kulish em [91], Jaulin, Kieffer, Didrit e Walter em [75].
Atualmente, a matemática intervalar ultrapassou as fronteiras das aplicações numéri-cas desenvolvidas em diversas áreas das ciências, tais como: teoria fuzzy [58, 57], pro-cessamento de sinais [27], inteligência artificial [15], teoria de controle [158], economia [136], sistemas de informações geográficas [134], controle robustos e robótica [75], com-putação gráfica [34], e em outras diversas aplicações que lidam com dados imprecisos.
2.2
Aritmética Intervalar
Nesta seção será apresentada as definições básicas da aritmética intervalar que serão utilizadas no desenvolvimento deste trabalho.
SejaIRo conjunto de todos os intervalos fechados de números reais, definido por:
IR={[a,b]:a,b∈R,a≤b}
Os intervalos degenerados, ou seja, da forma[a,a],serão escritos na forma simplificada
[a].
A seguir será apresentada as definições das operações aritméticas sobreIRem termos de respectivas operações aritméticas no conjunto da reta real.
Definição 2.2.1 (Adição)Sejam X , Y ∈IR, então asomade X com Y é dada por:
X+Y ={x+y:x∈X,y∈Y}.
Definição 2.2.2 (Pseudo Inverso Aditivo)Seja X ∈IR, opseudo inverso aditivode X
é dado por:
−X ={−x:x∈X}.
O nome de pseudo inverso aditivo é devido ao fato que, nem sempre a igualdade
X−X = [0]é verdadeira. De fato, tome um intervaloX= [0,1], assim−X= [−1,0], logo
Capítulo 2. Teoria Intervalar
Definição 2.2.3 (Subtração) Sejam X e Y ∈IR, então a diferença entre X e Y é dada
por:
X−Y ={x−y:x∈X,y∈Y}.
Definição 2.2.4 (Multiplicação)Sejam X e Y ∈IR, então amultiplicaçãoentre X e Y é
dada por:
X·Y ={x·y:x∈X,y∈Y}.
Definição 2.2.5 (Divisão)Sejam X e Y ∈IRtal que06∈Y , então adivisãoX/Y é dada
por:
X Y =
x
y :x∈X,y∈Y
Definição 2.2.6 (Pseudo Inverso Multiplicativo) Seja X ∈IR tal que 06∈X , então o
pseudo inverso Multiplicativode X é dado por:
X−1=
1
x :x∈X
Os elementos deIRalgumas vezes serão denotados por: X= [l(X),r(X)].Neste caso, l(X)é o extremo esquerdo do intervaloX er(X)é o extremo direito deX.
Teruo Sunaga [137] provou que
• X+Y = [l(X) +l(Y),r(X) +r(Y)];
• X−Y = [l(X)−l(Y),r(X) +r(Y)];
• −X= [−r(X),−l(X)];
• X·Y = [minS,maxS]ondeS={l(X)·l(Y),l(X)·r(Y),r(X)·l(Y),r(X)·r(Y)};
• X/Y = [minT,maxT]ondeT ={l(X)/l(Y),l(X)/r(Y),r(X)/l(Y),r(X)/r(Y)}.
Definição 2.2.7 Seja X= [l(X),r(X)]um intervalo, diz-se que X é positivo, e será deno-tado por X>0,se l(X)for positivo, isto é se l(X)>0.Será denotado porIR+o conjunto dos intervalos positivos.
Observação 2.2.8 Se X = [l(X),r(X)] e Y = [l(Y),r(Y)] são dois intervalos positivos, então o produto e a divisão de X e Y podem ser descritos da seguinte maneira:
Capítulo 2. Teoria Intervalar
• (ii) X/Y = [l(X)/r(Y),r(Y)/l(Y)].
Proposição 2.2.9 Para todo X,Y,Z∈IRtêm-se:
• Associatividade na adição:(X+Y) +Z=X+ (Y+Z)
• Comutatividade na adição: X+Y =Y+X
• Identidade na adição: [0] é o único elemento ∈ IRtal que
X+ [0] = [0] +X =X
• Associatividade na multiplicação:(X·Y)·Z=X·(Y·Z)
• Comutatividade na multiplicação: X·Y =Y·X
• Identidade na multiplicação: [1] é o único elemento ∈ IRtal que
X·[1] = [1]·X =X
• Subdistributividade: X·(Y+Z)⊆X·Y+X·Z
Prova: Ver [108]
Note que, emIR+é satisfeita a lei de distributividade no seguinte sentido:
X·(Y+Z) =X·Y+X·Z
2.3
Métrica sobre
IR
Definição 2.3.1 Dados dois intervalos fechados [a,b] e [c,d], define-se a distância de
Moore, dM([a,b],[c,d]),por
dM([a,b],[c,d]) =max{|a−c|,|b−d|}.
É fácil provar que, esta noção de distância entre intervalos fechados define uma mé-trica sobreIR,ou seja,dM:IR×IR→Rsatisfaz as seguintes propriedades: SeA,B,C∈
IRentão
(i) dM(A,B)≥0;
(ii) dM(A,B) =0 se , e somente se,A=B;
(iii) dM(A,B) =dM(B,A);
(iv) dM(A,C)≤dM(A,B) +dM(B,C).
Capítulo 2. Teoria Intervalar
2.4
Sequências e Limites de Intervalos
Nesta seção será estudada a noção de sequências convergentes emIR,que será útil no estudo do comportamento a longo prazo de cadeias de Markov intervalares.
Definição 2.4.1 Umasequência de intervalos fechadosé uma função f :N→IR.
Se f,g:N→IRsão duas sequências de intervalos fechados, define-se asoma f+g
e oproduto f·gcomo sendo as funções definidas por
(f+g)(n) = f(n) +g(n) e (f·g)(n) = f(n)·g(n), para todon∈N.
Se f :N→IRé uma sequência de intervalos fechados, então para cadan∈Nexistem únicosan,bn∈Rtais que, f(n) = [an,bn].Por este motivo, a sequência f :N→IRserá
identificada como o conjunto formado pelas suas imagens
{[an,bn]∈IR:n∈N}.
De agora em diante, diz-se que{[an,bn]}n∈Né uma sequência de intervalos fechados,
ou uma sequência em IR, para representar a sequência f : N→IR dada por f(n) = [an,bn].Note que, com esta identificação têm-se que a soma e produto de sequências de
intervalos fechados pode ser descrita assim:
{[an,bn]}n∈N+{[cn,dn]}n∈N={[an,bn] + [cn,dn]}n∈N={[an+cn,bn+dn]}n∈N
e
{[an,bn]}n∈N· {[cn,dn]}n∈N={[an,bn]·[cn,dn]}n∈N={[xn,yn]}n∈N,
ondexn=inf{ancn,andn,bncn,bndn}eyn=sup{ancn,andn,bncn,bndn}.
Definição 2.4.2 Diz-se que a sequência{[an,bn]}n∈N convergepara[a,b]∈IR,e será escrita
[an,bn]→[a,b] ou lim
n→∞[an,bn] = [a,b]
se dadoε>0,existe n0∈Ntal que dM([an,bn],[a,b])<εpara todo n≥n0.
Proposição 2.4.3 A sequência{[an,bn]}n∈Nconverge se, e somente se, as sequências de números reais{an}n∈Ne{bn}n∈Nconvergem. Neste caso, têm-se que
lim[an,bn] =
h
liman,limbn
i
=nlimcn:an≤cn≤bn, para todo n∈N
o
Capítulo 2. Teoria Intervalar
Prova:Se lim
n→∞[an,bn] = [a,b],então dadoε>0,existen0∈Ntal quedM([an,bn],[a,b])<
εpara todon≥n0.Mas,
dM([an,bn],[a,b]) =max{|an−a|,|bn−b|}.
Logo,|an−a|<εe|bn−b|<εpara todon≥n0.Portanto, lim
n→∞an=ae limn→∞bn=b. Reciprocamente, se lim
n→∞an=ae limn→∞bn=b,então dadoε>0,existen1,n2∈Ntais que|an−a|<εpara todon≥n1e|bn−b|<εpara todon≥n2.Sejan0=max{n1,n2}.
Então,
dM([an,bn],[a,b]) =max{|an−a|,|bn−b|}<ε
para todon≥n0,ou seja, lim
n→∞[an,bn] = [a,b],o que prova a afirmação e a primeira igual-dade.
A segunda igualdade segue das propriedades dos limites de sequências de números reais. De fato, se{cn}n∈N é uma sequência de números reais tais quean≤cn≤bn para
todon∈Nentão,
lim
n→∞an≤nlim→∞cn≤nlim→∞bn, ou seja, lim
n→∞cn∈ h
lim
n→∞an,nlim→∞bn i
.Por outro lado, se lim
n→∞an=ae limn→∞bn=bec∈[a,b] então, existet∈[0,1]tal quec=a+t(b−a).Definacn=an+t(bn−an), n∈N.É fácil
verificar que lim
n→∞cn=ce quean≤cn≤bn.
2.5
Relações de Ordem sobre Intervalos
Na aritmética intervalar existem várias ordens que podem ser definidas para intervalos, tais como: a ordem da inclusão, a ordem de Moore [107], a ordem de Kulisch-Miranker [91], a ordem dos conjuntos.
Definição 2.5.1 (Ordem da Inclusão)
[a,b]⊆[c,d]⇔c≤a e b≤d
Definição 2.5.2 (Ordem de Kulisch-Miranker)
Capítulo 2. Teoria Intervalar
Definição 2.5.3 (Ordem de Moore)
[a,b]<M[c,d]⇔b<c.
Note que, <M não é de fato uma ordem, pois não é reflexiva, porém seu fecho
refle-xivo, denotado por≤M, é uma ordem parcial sobreIR. Uma caracterização de≤M é dada
por:
X ≤MY ⇔X<MY ouX =Y.
Definição 2.5.4 Define-se a seguinte relação de ordem sobreIR:
[a,b]E[c,d]⇔b<d ou (b=d e c≤a)
É fácil provar que esta ordem é uma ordem total sobreIR,a qual está sendo introdu-zida neste trabalho e desenvolverá um papel importante nos capítulos subsequentes.
Observação 2.5.5 Note que, a ordemEé mais fina que a ordem de inclusão entre
inter-valos, no sentido que se A,B∈IRe A⊆B então, AEB.
Lema 2.5.6 Sejam A,B,C intervalos positivos tais que B⊆C.Então, AB ⊆ A
C.
Prova: EscrevaA= [a1,a2],B= [b1,b2]eC= [c1,c2].ComoB⊆Ctem-se quec1≤b1≤ b2≤c2. Por outro lado, pela Observação 2.2.8, tem-se que AB = [ab12, ba21] e CA = [ac21, ac21].
Como os intervalosA,B,Csão positivos, o resultado então segue do fato que
a1 c2 ≤
a1 b2 ≤
a2 b1 ≤
Capítulo 3
Teoria de Probabilidade Intervalar
3.1
Considerações Iniciais
É muito comum uma má interpretação das expressões probabilísticas cotidianas para distinguir entre incerteza e a ignorância, e entre a certeza e a confiança. As pessoas fazem uma distinção entre julgamentos probabilísticos seguro e inseguro. Este fato tem motivado diversos pesquisadores a buscar alternativas para esse formalismo.
Às vezes é mais confortável atribuir um intervalo ao invés de uma estimativa pon-tual de incerteza, expressando assim a nossa ignorância, dúvida ou falta de confiança no julgamento necessário. As probabilidades intervalares, são probabilidades representadas através de números intervalares, cuja soma dessas probabilidades, ao contrário da teoria de probabilidade clássica, pode ser diferente de[1]. Dessa forma, para trabalhar com as
probabilidades intervalares de forma correta, tem-se que fazer uma restrição na aritmé-tica intervalar clássica (seção 3.3). A noção de probabilidade intervalar será utilizada no cálculo das probabilidades de transição de uma cadeia de Markov. Cabe destacar que o estudo sobre as cadeias de Markov clássicas tem sido de grande importância em diversas aplicações nas áreas de tomada de decisão [3], teoria de jogos [147], automação [93], reconhecimento de voz [124], teoria das filas [103], previsão da idade de uma população [96], entre outras.
3.2
Axiomática da Probabilidade Intervalar
Nesta seção será apresentada uma das vertentes da teoria de probabilidade intervalar, a qual tem como objetivo generalizar a teoria de probabilidade clássica com o intuito de descrever a incerteza de um modo geral.
condi-Capítulo 3. Teoria de Probabilidade Intervalar
cional. Mais precisamente, em teoria de probabilidades clássica, umespaço de
proba-bilidadeé um par(Ω,
F
), consistente de um espaço amostralΩ e umaσ-álgebraF
desubconjuntos de Ω, cujos elementos são chamados de eventos. Uma probabilidade é
uma funçãoP:
F
→[0,1]que satisfaz os seguintes axiomas de Kolmogorov:Axioma I:P(A)∈ReP(A)≥0 para todoA∈
F
;Axioma II:P(Ω) =1;
Axioma III:Dada qualquer sequência enumerável, mutuamente disjunta,{An}n∈N
de elementos de
F
tem-se queP[
n∈NAn
=
∑
n∈N P(An).
A seguir serão apresentados os axiomas que regem a teoria de probabilidade intervalar na ótica de Walley em [149].
Definição 3.2.1 Seja (Ω,
F
) um espaço de probabilidade. Uma probabilidadeinter-valar é uma função P :
F
→ I([0,1]), dada por P(A) = [P(A),P(A)], que satisfaz as seguintes propriedades:Axioma IV:P(/0) =0e P(Ω) =1;
Axioma V:P(A) =1−P(Ac),para todo A∈
F
,onde Ac=Ω\A é o complementarde A;
Axioma VI:(Super aditividade) Se A∩B= /0, então P(A∪B)≥P(A) +P(B);
Axioma VII:(Sub aditividade) Se A∩B= /0, então P(A∪B)≤P(A) +P(B).
As funções P e P são chamadas deprobabilidade inferioreprobabilidade superior,
respectivamente.
Note que, o axioma V é equivalente à propriedade P(A) = [1]−P(Ac), pois pelo axioma V,P(Ac) =1−P(Acc) =1−P(A).
Pécoerentese existir um conjunto não-vazio
M
de funções de probabilidadesclás-sicas sobre
F
tal queCapítulo 3. Teoria de Probabilidade Intervalar
Neste caso, pelo Axioma V, necessariamente tem-se que
P(A) =sup{π(A):π∈
M
}, para todoA
∈F
.Note que, se P é coerente então, P(/0) =0 e P(Ω) =1. Portanto, se P é coerente, P(/0) = [0]eP(Ω) = [1].
Pé2-monótonase satisfaz
P(A) +P(B)≤P(A∪B) +P(A∩B).
Neste caso, pelo Axioma V, necessariamente tem-se que
P(A) +P(B)≥P(A∪B) +P(A∩B).
É possível provar que todas probabilidades inferiores que são 2-monótonas são também coerentes (veja por exemplo [68], Lemma 2.5).
3.3
Probabilidade Intervalar
Nesta seção serão estudadas duas noções de Probabilidade Intervalar: uma essencial-mente dada por Buckley e outra de natureza original.
A definição de probabilidade intervalar foi dada essencialmente por Buckley em [20]. Diz "essencialmente"pois de fato Buckley trabalha somente com probabilidade fuzzy e nessa definição está embutida uma noção de probabilidade intervalar. Uma outra diferença com as noções de probabilidade intervalar que será apresentada é a noção de ordem em IRutilizada, pois aqui foi usada a ordemE entre intervalos em vez da ordem usada por
Buckley (veja a Observação 4.3.15). O motivo pelo qual prefere-se a ordem E entre
intervalos deve-se ao fato que é fácil de ser verificada em exemplos concretos, é mais fina que a ordem de inclusão entre intervalos, no sentido que, seA⊆B são intervalos então AEB, e além disso é útil para provar propriedades importantes sobre probabilidadde
intervalar.
3.3.1
Probabilidade Intervalar Restrita
Capítulo 3. Teoria de Probabilidade Intervalar
SejaI= (I1, . . . ,Ir)umar-tupla de intervalos positivos com a propriedade que
Ii⊆[0,1]e existamai∈Ii,i=1, . . . ,r tais que r
∑
i=1
ai=1. (3.1)
Neste caso, diz-se queIsatisfaz a restrição aritmética intervalar (3.1). Observe que, esta
condição garante que 1∈ ∑n
i=1Ii.
Diz-se que a= (a1, . . . ,ar) pertence a I, e será escrito a∈ I, se ai∈ Ii para todo
i=1, . . . ,r.
Definição 3.3.1 SejaΩ={x1, . . . ,xr}.Dado qualquer subconjunto A deΩ, defina a
pro-babilidade intervalar restritade A,denotada por PIR(A), como sendo o conjunto
PIR(A) =
(
∑
i∈IA
ai:a= (a1, . . . ,ar)∈I e
r
∑
i=1 ai=1
)
. (3.2)
onde IA ={j∈ {1, . . . ,r}:xj ∈A}. Esta função PIR algumas vezes será denotada por
PIRIpara enfatizar a dependência desta função de probabilidade com o conjuntoI.
Intuitivamente na definição acima,Ωrepresenta um conjunto finito de amostras e cada
Iié um intervalo que aproxima a probabilidade dexiocorrer.
A equação (3.1) define uma restrição à aritmética intervalar para este modelo de pro-babilidade intervalar.
Teorema 3.3.2 Para cada A⊆Ω, PIR(A)é um intervalo fechado contido em [0,1].Em
particular, tem-se uma função PIR:℘(Ω)→I([0,1]),ondeI([0,1])é o subconjunto de
IRconsistindo dos intervalos fechados contidos em[0,1].
Prova: SejaS={(y1, . . . ,yr)∈[0,1]r: r
∑
i=1yi=1}. DefinaD=S∩ r
∏
i=1Iie f :D→[0,1]
por
f(a1, . . . ,ar) =
∑
i∈IA
ai. (3.3)
Têm-se que f é contínua e D é conexo, fechado e limitado. Assim, a imagem de f é um subintervalo limitado e fechado de [0,1]. Mas, pela equação (3.2), é claro que
PIR(A) = f(D)
A funçãoPIRé chamada deprobabilidade intervalar restrita.
Capítulo 3. Teoria de Probabilidade Intervalar
Corolário 3.3.3 As funções PIR,PIR:℘(Ω)→[0,1],definidas para todo A⊆Ωpor:
PIR(A) =
1− ∑
i6∈IA
r(Ii), se ∑ i∈IA
l(Ii) + ∑ i6∈IA
r(Ii)≤1
∑
i∈IA
l(Ii), caso contrário
(3.4)
PIR(A) =
∑
i∈IA
r(Ii), se ∑ i∈IA
r(Ii) + ∑ i6∈IA
l(Ii)≤1
1− ∑
i6∈IA
l(Ii), caso contrário
(3.5)
são tais que PIR(A) = [PIR(A),PIR(A)].
Prova: Suponha que ∑
i∈IA
l(Ii) + ∑ i6∈IA
r(Ii)≤1.Como, pela restrição aritmética intervalar,
existem pi ∈Ii,i=1, . . . ,r, tais que r
∑
i=1pi=1 tem-se que r
∑
i=1r(Ii)≥1. Mas, a função f : ∏
i∈IA
Ii→Rdada por f((ai)i∈IA) = ∑ i∈IA
ai+ ∑ i6∈IA
r(Ii)é contínua e ∏ i∈IA
Iié um subconjunto
conexo deR♯A, portanto pelo Teorema do Valor Intermediário ([98] p.56), existem ai∈
Ii,i∈IA,tais que ∑ i∈IA
ai+ ∑ i6∈IA
r(Ii) =1.
Portanto,
PIR(A) =
∑
i∈IA
ai=1−
∑
i6∈IAr(Ii).
Suponha agora que ∑
i∈IA
l(Ii) + ∑ i6∈IA
r(Ii)≥1.Como, pela restrição aritmética intervalar,
existempi∈Ii,i=1, . . . ,r,tais que r
∑
i=1pi=1 tem-se que r
∑
i=1l(Ii)≤1.
Mas, a função f : ∏
i∈IA
Ii→Rdada por f((ai)i6∈IA) = ∑ i∈IA
l(Ii) + ∑ i6∈IA
aié contínua e ∏ i6∈IA
Ii
é um subconjunto conexo de R♯Ac, portanto pelo Teorema do Valor Intermediário ([98] p.56), existemai∈Ii,i6∈IA,tais que ∑
i∈IA
l(Ii) + ∑ i6∈IA
ai=1.Logo,
PIR(A) =
∑
i∈IA l(Ii).
Portanto,
PIR(A) =
1− ∑
i6∈IA
r(Ii), se ∑ i∈IA
l(Ii) + ∑ i6∈IA
r(Ii)≤1
∑
i∈IA
l(Ii), caso contrário
.
A outra igualdade prova-se de maneira análoga.
