7.3 Probabilidade Fuzzy Intuicionista
7.3.1 Probabilidade Fuzzy Intuicionista Restrita
Primeiramente define-se a noção de probabilidade fuzzy intuicionista proposta neste trabalho, a qual baseia-se na noção de probabilidade fuzzy restrita:
Seja F = (F1, . . . , Fr) um conjunto ordenado de números fuzzy intuicionistas positivos com a
propriedade que
S(Fi) ⊆ [0, 1] e existam ai∈ N(Fi), i = 1, . . . , r tais que r
∑
i=1ai= 1, (7.1)
onde S(Fi) e N(Fi) denotam o suporte e núcleo de Firespectivamente.
Neste caso, diz-se que F satisfaz a restrição aritmética fuzzy intuicionista (7.1).
Se F = (F1, . . . , Fr) é um conjunto ordenado de números fuzzy intuicionistas, denotado por
F(α,β)o conjunto ordenado dos (α,β)-níveis de F1, . . . , Fr, ou seja, F(α,β)= (F1,(α,β), . . . , Fr,(α,β))
para todo (α,β) ∈ L∗.
Definição 7.3.1 SejaΩ = {x1, . . . , xr} e seja seja F = (F1, . . . , Fr) um conjunto ordenado de nú-
meros fuzzy intuicionistas positivos que satisfazem a restrição aritmética fuzzy intuicionista (7.1). Dado qualquer subconjunto A de Ω, defina a probabilidade fuzzy intuicionista restrita de A como sendo o conjunto fuzzy intuicionista PFIR(A) cujos (α, β)-níveis são dados por:
(PFIR(A))(α,β)= (
∑
i∈IA ai: a = (a1, . . . , ar) ∈ F(α,β) e r∑
i=1 ai= 1 ) . (7.2) onde IA = { j ∈ {1, . . . , r} : xj∈ A}. Esta função PFIR algumas vezes será denotada por PFIRFpara enfatizar a dependência desta função de probabilidade com o conjuntoF.
A equação (7.1) define uma restrição à aritmética para este modelo de probabilidade fuzzy intuicionista.
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
Note que, existe uma íntima relação entre a probabilidade fuzzy intuicionista restrita e a pro- babilidade intervalar restrita, dada por:
(PFIR(A))(α,β)= PIRF(α,β)(A) (7.3)
para todo (α,β) ∈ L∗e para todo A ⊆ Ω.
O resultado seguinte generaliza um resultado provado por Buckley em [20, p.32]
Teorema 7.3.2 Para cada A⊆ Ω, PFIR(A) é um número fuzzy intuicionista cujo suporte está contido em[0, 1]. Em particular, tem-se uma função
PFIR: ℘(Ω) →
N I
([0, 1]).Prova: Será provado que,(PFIR(A))(α,β)são os (α,β)-níveis de um número fuzzy intuicionista
PFIR(A). Seja S = {(y1, . . . , yr) ∈ [0, 1]r: r ∑ i=1 yi= 1}. Defina D[(α, β)] = S ∩ r ∏ i=1 Fi,(α,β)e f : D[(α,β)] → [0, 1] por f(a1, . . . , ar) =
∑
i∈IA ai. (7.4)Tem-se que f é contínua e D[(α,β)] é conexo, fechado e limitado. Assim, a imagem de f é um subintervalo limitado e fechado de [0,1]. Mas, pela equação (7.2), é claro que PFIR(A) =
f(D[(α, β)]). Além disso, PFIR(A) é normal pois (PFIR(A))(1,0)6= /0.
A função PFIR é chamada de Probabilidade Fuzzy Intuicionista Restrita.
Observação 7.3.3 Suponha que P : ℘(Ω) → [0, 1] é uma função de probabilidade no sentido clás- sico, onde Ω = {x1, . . . , xr}. Por exemplo, P({xk}) = ak, ∀k = 1, . . . , r. Então,
a1+ a2+ . . . + ar= 1
Seja F = (a1, . . . , ar). Então, PFIRF= P, ou seja, esta definição de probabilidade fuzzy intui-
cionista estende a noção de probabilidade clássica.
Teorema 7.3.4 SejaΩ = {x1, . . . , xr} e seja PFIR :℘(Ω) →
N I
([0, 1]) a função de probabilidadefuzzy intuicionista restrita. Então, para cada A, B ⊆ Ω têm-se as seguintes propriedades:
(i) Se A∩B = /0, então PFIR(A∪B) ⊆ PFIR(A)+PFIR(B). Em particular, tem-se que PFIR(A∪ B) PFIR(A) + PFIR(B).
(ii) Se A⊆ B, então PFIR(A) ≤K PFIR(B) e PFIR(A) PFIR(B) onde ≤K é a ordem de
Kulisch-Miranker sobre IR.
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
(iv) 1 ⊆ PFIR(A) + PFIR(Ac). Em particular, 1 PFIR(A) + PFIR(Ac).
(v) Se A∩ B 6= /0, então PFIR(A ∪ B) ⊆ PFIR(A) + PFIR(B) − PFIR(A ∩ B). Em particular PFIR(A ∪ B) PFIR(A) + PFIR(B) − PFIR(A ∩ B).
Prova: Itens(ii) e (iii) são triviais e item (iv) segue do item (i). Portanto, será provado apenas os itens (i) e (v).
Note que, A ∩ B = /0 se e somente se, IA∩ IB= /0.
Para provar (i) é suficiente provar que dado (α,β) ∈ L∗, tem-se que
(PFIR(A ∪ B))(α,β)⊆ (PFIR(A))(α,β)+ (PFIR(B))(α,β)
e que
(PFIR(A ∪ B))(α,β) (PFIR(A))(α,β)+ (PFIR(B))(α,β).
Mas, isto segue do Teorema 3.3.5 e da equação (7.3).
Para provar (v), é suficiente mostrar que dado (α,β) ∈ L∗, têm-se que
(PFIR(A ∪ B))(α,β)⊆ (PFIR(A))(α,β)+ (PFIR(B))(α,β)− (PFIR(A ∩ B))(α,β)
e que
(PFIR(A ∪ B))(α,β) (PFIR(A))(α,β)+ (PFIR(B))(α,β)− (PFIR(A ∩ B))(α,β).
Mas, isto segue do Teorema 3.3.5 e da equação (7.3).
Proposição 7.3.5 A Probabilidade fuzzy intuicionista restrita PFIR é uma probabilidade fuzzy intuicionista no sentido axiomático, ou seja, satisfaz as propriedades (1) − (4) da seção 7.2 da teoria de probabilidade fuzzy intuicionista. Além disso, PFIR é2-monótona, e portanto coerente. Prova: Seja(α, β) ∈ L∗. Será provado que estas relações (1) − (4) são verdadeiras quando res- tringidos aos seus (α,β)-níveis. Mas, isto segue diretamente do Corolário 3.3.6 e da equação (7.3). A seguinte observação é útil para entender melhor as cadeias de Markov fuzzy intuicionista. Observação 7.3.6 Note que, para cada(α, β) ∈ L∗e para cada a = (a1, . . . , ar) ∈ F(α,β)com
r
∑
i=1
ai=
1 será definida a seguinte função de probabilidade no sentido clássico P(a,α,β): ℘(Ω) −→ [0,1],
dada por:
P(a,α,β)(A) =
∑
i∈IA
ai, para todo A ⊆ X.
Em outras palavras, a probabilidade fuzzy intuicionista restrita pode ser entendida como uma família de probabilidades intervalares, parametrizadas por (α,β) ∈ L∗
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
PFIR(α,β)de PFIR, as quais são parametrizadas por todos os a = (a1, . . . , ar) ∈ F(α,β)com r ∑ i=1 ai= 1. Mais precisamente,
PFIR(α,β)(A) = (PFIR(A))(α,β)= ( P(a,α,β)(A) : a ∈ F(α,β) e
∑
r i=1 ai= 1 ) . Além disso,PFIR(α,β)(A) = inf ( P(a,α,β)(A) : a ∈ F(α,β) e
∑
r i=1 ai= 1 ) ePFIR(α,β)(A) = sup
( P(a,α,β)(A) : a ∈ F(α,β) e r
∑
i=1 ai= 1 ) , o que confirma o fato de PFIR ser coerente.7.3.2
Probabilidade Fuzzy Intuicionista
Agora será definida a noção de probabilidade fuzzy intuicionista proposta neste trabalho. Definição 7.3.7 Seja F= (F1, . . . , Fr) um conjunto ordenado de números fuzzy intuicionista posi-
tivos. SejaΩ = {x1, . . . , xr}. Dado qualquer subconjunto A de Ω, defina a probabilidade fuzzy
intuicionista de A como sendo o conjunto fuzzy intuicionista PFI(A) cujos (α, β)-níveis são dados por: (PFI(A))(α,β)= ∑ i∈IA ai r ∑ i=1 ai : a = (a1, . . . , ar) ∈ F(α,β) . (7.5)
onde IA= { j ∈ {1, . . . , r} : xj∈ A}. Esta função PFI algumas vezes será denotada por PFIFpara
enfatizar a dependência desta função de probabilidade com o conjuntoF.
Note que, existe uma íntima relação entre a probabilidade fuzzy intuicionista e a probabilidade intervalar dada por:
(PFI(A))(α,β)= PIF(α,β)(A) (7.6)
para todo (α,β) ∈ L∗e para todo A ⊆ Ω.
Teorema 7.3.8 Para cada A⊆ Ω, PFI(A) é um número fuzzy intuicionista cujo suporte está con- tido em[0, 1]. Em particular, tem-se a função
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
Prova: Será provado que(PFI(A))(α,β)são os (α,β)-níveis de um número fuzzy intuicionista
PFI(A). Defina D[(α,β)] = ∏r i=1 Fi,(α,β)e f : D[(α,β)] → [0,1] por f(a1, . . . , ar) = ∑ i∈IA ai r ∑ i=1 ai . (7.7)
Tem-se que f é contínua e D[(α,β)] é conexo, fechado e limitado. Assim, a imagem de f é um subintervalo limitado e fechado de [0,1]. Mas, pela equação (7.5), é claro que PFI(A) =
f(D[(α, β)]).
A função PFI é chamada de Probabilidade Fuzzy Intuicionista.
Observação 7.3.9 A probabilidade fuzzy intuicionista proposta neste trabalho é menos restrita que a probabilidade fuzzy intuicionista restrita pois não foi assumida que os números fuzzy intui- cionista positivos F1, . . . , Frtenham seus suportes contidos em [0,1] e nem que satisfaça a restrição
aritmética fuzzy intuicionista dada pela condição (7.1). Por esta razão, a probabilidade fuzzy intui- cionista PFI(A) é mais fácil de ser calculada que a probabilidade PFIR(A). No entanto, existe uma forte relação entre as duas abordagens que a seguir serão discutidas. Suponha que F = (F1, . . . , Fr)
é um conjunto ordenado de números fuzzy intuicionistas positivos, cujos suportes estejam conti- dos em [0,1], que satisfazem a condição (7.1). Neste caso, as duas funções de probabilidade fuzzy intuicionista estão bem definidas. Além disso, analogamente ao que ocorre com probabilidade intervalar e fuzzy, tem-se que para todo subconjunto A de Ω,
PFIR(A) ⊆ PFI(A)
pois, das equações (7.3) e (7.6) têm-se que para todo (α,β) ∈ L∗, (PFIR(A))
(α,β)⊆ (PFI(A))(α,β).
Observação 7.3.10 Suponha que P : ℘(Ω) → [0, 1] é uma função de probabilidade no sentido clássico, onde Ω = {x1, . . . , xr}. Por exemplo, P({xk}) = ak, ∀k = 1, . . . , r. Então,
a1+ a2+ . . . + ar= 1
Seja F = (a1, . . . , ar). Então, PFIF= P, ou seja, esta definição de probabilidade fuzzy intuicionista
estende a noção de probabilidade clássica.
Teorema 7.3.11 SejaΩ = {x1, . . . , xr} e seja PFI :℘(Ω) →
N I
([0, 1]) a função de probabilidadefuzzy intuicionista. Então, para cada A, B ⊆ Ω têm-se as seguintes propriedades:
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
(ii) Se A⊆ B, então PFI(A) ≤KPFI(B) e PFI(A) PFI(B) onde ≤K é a ordem de Kulisch-
Miranker sobre IR.
(iii) PFI( /0) = 0 PFI(A) 1 = PFI(Ω).
(iv) 1 ⊆ PFI(A) + PFI(Ac). Em particular, 1 PFI(A) + PFI(Ac).
(v) Se A∩ B 6= /0, então PFI(A ∪ B) ⊆ PFI(A) + PFI(B) − PFI(A ∩ B).
Prova: Itens(ii) e (iii) são triviais e item (iv) segue do item (i). Portanto, será provado apenas os itens (i) e (v).
Note que, A ∩ B = /0 se e somente se, IA∩ IB= /0.
Para provar (i) é suficiente provar que dado (α,β) ∈ L∗, tem-se que
(PFI(A ∪ B))(α,β)⊆ (PFI(A))(α,β)+ (PFI(B))(α,β)
e que
(PFI(A ∪ B))(α,β) (PFI(A))(α,β)+ (PFI(B))(α,β).
Mas, isto segue do Teorema 3.3.12 e da equação (7.6).
Para provar (v), é suficiente mostrar que dado (α,β) ∈ L∗, têm-se que
(PFI(A ∪ B))(α,β)⊆ (PFI(A))(α,β)+ (PFI(B))(α,β)− (PFI(A ∩ B))(α,β)
e
(PFI(A ∪ B))(α,β) (PFI(A))(α,β)+ (PFI(B))(α,β)− (PFI(A ∩ B))(α,β).
Mas, isto segue do Teorema 3.3.12 e da equação (7.6).
Proposição 7.3.12 A probabilidade fuzzy intuicionista PFI é uma probabilidade fuzzy intuicio- nista no sentido axiomático, ou seja, satisfaz as propriedades(1) − (4) da seção 7.2 da teoria de probabilidade fuzzy intuicionista. Além disso, PFI é2-monótona, e portanto coerente.
Prova: É suficiente provar que estas relações são verdadeiras quando restritas aos seus (α, β)- níveis. Mas, isto segue diretamente do Corolário 3.3.13 e da equação (7.6).
A seguinte observação é útil para entender melhor as cadeias de Markov fuzzy intuicionista. Observação 7.3.13 Note que, para cada(α, β) ∈ L∗e para cada a = (a1, . . . , ar) ∈ F(α,β)defina a
seguinte função de probabilidade no sentido clássico P(a,α,β): ℘(Ω) −→ [0,1] dada por
P(a,α,β)(A) =
∑
i∈IA
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
Em outras palavras, a probabilidade fuzzy intuicionista pode ser entendida como uma família de probabilidades intervalares, parametrizadas por (α,β) ∈ L∗, que são os (α, β)-níveis PFI
(α,β)
de PFI, as quais são parametrizadas por todos os a = (a1, . . . , ar) ∈ F(α,β).
Mais precisamente,
PFI(α,β)(A) = (PFI(A))(α,β)=nP(a,α,β)(A) : a ∈ F(α,β)o.
Além disso,
PFI(α,β)(A) = inf
n
P(a,α,β)(A) : a ∈ F(α,β)
o
e
PFI(α,β)(A) = supnP(a,α,β)(A) : a ∈ F(α,β)o, o que confirma o fato de PFI ser coerente.
Observação 7.3.14 Retomando o exemplo da observação 5.3.14, tem-se que o número fuzzy in- tuicionista triangular de Atanassov (NFITA) que representa a probabilidade fuzzy intuicionista de Atanassov do Peru ganhar o Chile no próximo jogo é(0.22, 0.33/0.4/0.49, 0.58).