5.5 Cadeias de Markov Fuzzy
5.5.1 Cadeias de Markov Fuzzy finitas com tempo discreto
Nesta seção, com o intuito de unificar as teorias de cadeias de Markov fuzzy, PF denotará qualquer uma das funções de probabilidade fuzzy PFR ou PF.
Nesta seção é considerada apenas cadeias de Markov fuzzy finitas com tempo discreto, ou seja, aquelas nas quais os estados mudam em certos instantes de tempo discreto, indexados por uma variável inteira n. A cada passo de tempo n, a cadeia de Markov tem um estado, denotado por Xn, que pertence a um conjunto finito S de possíveis estados. Sem perda de generalidade, suponha
que o conjunto de estados é S = {1,...,m}, onde m é um inteiro positivo. A cadeia de Markov é descrita em termos de suas probabilidades fuzzy de transição PFi j; sempre que o estado passa
a ser i, existe uma probabilidade fuzzy PFi j que o próximo estado seja j. Matematicamente, se
i, j ∈ S,
PFi j= PF(Xn+1= j | Xn= i).
A suposição principal que norteia os processos de Markov é que as probabilidades fuzzy de tran- sição PFi j estão definidas sempre que o estado i seja visitado, independente do que aconteceu no
Capítulo 5. Teoria de Probabilidade Fuzzy
Matematicamente, suponha a seguinte propriedade de Markov:
PF(Xn+1= j | Xn= i, Xn−1= in−1, . . . , X0= i0) = PF(Xn+1= j | Xn= i) = PFi j
para todos os tempos n, todos os estados i, j ∈ S e todas as sequências possíveis i0, . . . , in−1
de estados passados. Em outras palavras, a lei de probabilidade fuzzy do estado seguinte Xn+1
depende do passado apenas através do valor do estado presente Xn.
Defina a probabilidade fuzzy de transição de n-passos PFi j(n) como a probabilidade fuzzy de
um processo no estado i estar no estado j após n transições adicionais. Matematicamente, PFi j(n) = PF(Xn= j | X0= i).
Note que, pelo Teorema da probabilidade total fuzzy tem-se que PF(Xn= j) ⊆ m
∑
i=1 PF(X0= i) · PF(Xn= j | X0= i) = m∑
i=1 PF(X0= i) · PFi j(n).Além disso, das equações (5.10) e (5.11) tem-se que
(PFi j(n))α= (PFα)i j(n) para todo n ∈ N, (5.13)
onde a probabilidade intervalar do lado direito é considerada com respeito da família de intervalos Fα.
Observação 5.5.1 Note que, pela Observação 5.4.2 os processos Markovianos fuzzy podem ser olhados como famílias de processos Markovianos clássicos. Mais precisamente, pode-se olhar os α-níveis das probabilidades de transição fuzzy PFi j como uma família de probabilidades de
transição clássica da seguinte forma: (PFi j)α= n P(a,α)(X1= j | X0= i) : a ∈ Fα o =nPi j(a,α): a ∈ Fα o , se PF = PF ou (PFi j)α = P(a,α)(X1= j | X0= i) : a ∈ Fαe r ∑ i=1 ai= 1 = Pi j(a,α): a ∈ Fαe r ∑ i=1 ai= 1 ,
se PF = PFR, onde P(a,α)(A | B) é definido como na Observação 5.4.2
Da mesma forma pode-se caracterizar os α-níveis da probabilidade fuzzy de transição de n- passos PFi j(n) como uma família de probabilidades de transição de n-passos clássica da seguinte
forma:
Capítulo 5. Teoria de Probabilidade Fuzzy se PF = PF ou (PFi j(n))α = P(a,α)(Xn= j | X0= i) : a ∈ Fαe r ∑ i=1ai= 1 = Pi j(a,α)(n) : a ∈ Fαe r ∑ i=1ai= 1 , se PF = PFR.
A seguir será provado a versão fuzzy da importante equação de Chapman-Kolmogorov, pois ela fornece um método eficaz de computar as probabilidades fuzzy de transição de n-passos PFi j(n).
Teorema 5.5.2 Sejam s,t ∈ N. Então, PFi j(s + t) ⊆
m
∑
k=1PFik(s) · PFk j(t).
Prova: Sejaα ∈ [0, 1]. Será provado que (PFi j(s + t))α⊆
m
∑
k=1(PFik(s))α· (PFk j(t))α.
Mas, isto segue do Teorema 3.6.2 e da equação (5.13).
Um estado j é dito fuzzy acessível a partir do estado i, e escreve-se i → j, se existir n ∈ N tal que PFi j(n) > 0. Isto significa que se iniciar com o estado i, existe uma probabilidade fuzzy
positiva (mas não necessariamente igual a 1) que a cadeia estará no estado j após n passos. Como, pela equação (5.13)
(PFi j(n))α= (PFα)i j(n) para todo n ∈ N,
então, j é fuzzy acessível a partir do estado i se, e somente se, j é acessível intervalarmente a partir do estado i com respeito da probabilidade intervalar PFα para todo α ∈ [0,1].
Se um estado j é fuzzy acessível a partir de i e i é fuzzy acessível a partir de j, diz-se que i e j se comunicam no sentido fuzzy, e escreve-se i ↔ j. Esta relação de comunicação fuzzy é uma relação de equivalência, ou seja, satisfaz as seguintes propriedades:
Proposição 5.5.3 (1) (Reflexividade) i↔ i, para todo estado i. (2) (Simetria) Se i↔ j, então j ↔ i.
(3) (Transitividade) Se i↔ k e k ↔ j, então i ↔ j.
Prova: Como PFii(0) = PF(X0= i|X0= i) = 1 > 0, tem-se a propriedade (1). A propriedade
Capítulo 5. Teoria de Probabilidade Fuzzy
existem inteiros s,t ∈ N tais que PFik(s) > 0 e PFk j(t) > 0. Em particular, m
∑
k=1
PFik(s)·PFk j(t) > 0.
Portanto, pelo Teorema 5.5.2 tem-se que PFi j(s + t) > 0. Assim, i ↔ j.
Como esta relação de comunicação fuzzy é uma relação de equivalência, tem-se que o espaço de estados S pode ser decomposto em uma união finita disjunta de classes de equivalência módulo a relação "↔", ou seja, existem subconjuntos C1, . . . ,Csde S, dois a dois disjuntos, tais que S =
s S i=1
Ci
e tais que todos os estados em Cise comunicam entre si no sentido fuzzy. Os conjuntos C1, . . . ,Cs
são chamados de classes de comunicação fuzzy da cadeia de Markov.
Seja i um estado e AF(i) o conjunto de todos os estados que são acessíveis no sentido fuzzy a partir de i. Diz-se que i é recorrente no sentido fuzzy se para todo j que é fuzzy acessível a partir de i tem-se que i é fuzzy acessível a partir de j; ou seja, i satisfaz a propriedade que se j ∈ AF(i) então, i ∈ AF( j). Em particular, tem-se que i é recorrente no sentido fuzzy se, e somente se, i é recorrente intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PFαpara todo α ∈ [0,1].
Quando a cadeia de Markov começa no estado recorrente no sentido fuzzy i, somente podem ser visitados os estados j ∈ AF(i) a partir dos quais i é fuzzy acessível, ou seja, dado qualquer estado futuro, existe sempre alguma probabilidade fuzzy de retornar ao estado i e, após um certo tempo, tem a certeza que isto de fato vai acontecer. Assim, repetindo este argumento indefinida- mente, conclui-se que, se um estado recorrente no sentido fuzzy i é visitado alguma vez, ele será revisitado uma infinidade de vezes.
Um estado i que não é recorrente no sentido fuzzy é dito transiente no sentido fuzzy. Assim, o estado i é transiente no sentido fuzzy se existirem estados j ∈ AF(i) tais que i não é acessível a partir de j. Em particular, tem-se que i é transiente no sentido fuzzy se, e somente se, i é transiente intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PFαpara algum α ∈ [0,1].
Após a cadeia ter visitado o estado transiente no sentido fuzzy i, há uma probabilidade fuzzy positiva de visitar o estado j e, após algum tempo, isto de fato vai acontecer, e quando aconteça, o estado i nunca mais será visitado. Assim, pode-se concluir, que um estado transiente no sentido fuzzy será visitado somente um número finito de vezes.
Note que, uma cadeia de Markov fuzzy finita sempre possue pelo menos um estado recorrente no sentido fuzzy pois, se todos os estados forem transiente no sentido fuzzy então, pelo comentado acima, após um número finito de passos (tempo) a cadeia deixará todos os estados e nunca mais os visitará. Para onde irá?
Pode-se dividir os estados transientes no sentido fuzzy em dois tipos: os fortemente transientes no sentido fuzzy, ou seja, aqueles que são fortemente transientes intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PFα para todo α ∈ [0,1], e os fracamente transientes no sentido fuzzy,
ou seja, aqueles que são fracamente transientes intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PFαpara algum α ∈ [0,1].
As propriedades de recorrência e transiência fuzzy são propriedades solidárias, no seguinte sentido:
Capítulo 5. Teoria de Probabilidade Fuzzy
Proposição 5.5.4 Se i↔ j, então
(1) i é recorrente no sentido fuzzy se, e somente se, j também é.
(2) i é fortemente transiente no sentido fuzzy se, e somente se, j também é.
(3) i é fracamente transiente no sentido fuzzy se, e somente se, j também é.
Prova: O item (3) é uma consequência imediata dos itens anteriores, portanto será provado apenas os itens (1) e (2).
Foi visto que, i é recorrente (resp. fortemente transiente) no sentido fuzzy se, e somente se, i é recorrente (resp. transiente) intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PFα para
todo α ∈ [0,1]. Portanto, o resultado segue da Proposição 3.6.4
Segue desta proposição que se i é um estado recorrente no sentido fuzzy, então o conjunto de estados AF(i) que são acessíveis no sentido fuzzy de i formam uma classe de comunicação fuzzy, a qual é recorrente no sentido fuzzy, no sentido que todos os estados em AF(i) são recorrentes no sentido fuzzy. Além disso, segue também que um estado transiente no sentido fuzzy não pode ser fuzzy acessível de um estado recorrente no sentido fuzzy, ou seja, se i é recorrente no sentido fuzzy e i → j então j é recorrentes no sentido fuzzy.
Com o intuito de entender o comportamento a longo prazo das cadeias de Markov fuzzy é importante entender o que acontece com cadeias que consistem somente de uma classe recorrente de comunicação fuzzy. Por este motivo, é importante caracterizar as classes recorrentes de comu- nicação fuzzy de acordo com a presença ou ausência de padrões de periodicidade nos tempos que um estado é visitado. Por isto, diz-se que uma classe recorrente de comunicação fuzzy é periódica no sentido fuzzyse seus estados podem ser agrupados em d > 1 subconjuntos disjuntos S1, . . . , Sd
de tal forma que todas as transições fuzzy de um subconjunto levam ao seguinte subconjunto. Matematicamente,
Se i ∈ Sk e PFi j> 0 então,
(
j∈ Sk+1, se k = 1,...,d − 1,
j∈ S1, se k = d.
Uma classe recorrente de comunicação fuzzy que não é periódica é chamada de aperiódica no sentido fuzzy, ou seja, em uma classe recorrente de comunicação fuzzy periódica os estados se visitam no sentido fuzzy seguindo a sequência de subconjuntos e, depois de d passos, termina no mesmo subconjunto.
É interesse deste trabalho o estudo dos estados estacionários de uma cadeia de Markov fuzzy. Os estados estacionários representam uma característica crucial das cadeias de Markov pois, como será visto, elas controlam em vários aspectos o comportamento a longo prazo da cadeia. Mais precisamente, é interesse deste trabalho em estudar as probabilidades fuzzy de transição de n- passos PFi j(n) quando n é suficientemente grande.
Capítulo 5. Teoria de Probabilidade Fuzzy
Se a cadeia de Markov fuzzy possui duas ou mais classes de estados recorrentes é claro que o valor fuzzy limite de PFi j(n) dependerá do estado inicial i pois, visitar j a longo prazo vai
depender se j está ou não na mesma classe recorrente de comunicação fuzzy que i. Por esta razão, será restringido o estudo a cadeias de Markov que consistem somente de uma classe recorrente de comunicação fuzzy e possivelmente alguns estados transientes no sentido fuzzy. Esta suposição não é restritiva como possa em principio parecer pois sabe-se que se um estado entra numa classe recorrente de comunicação fuzzy particular, ele permanecerá nessa classe para sempre.
Observe que, a sequência fuzzy PFi j(n) pode não convergir, mesmo que a cadeia de markov
fuzzy possua uma única classe recorrente de comunicação fuzzy. Isto decorre da equação (5.13) e do fato que foi visto que Pi j(n) pode não convergir. Por exemplo, considere a classe recorrente
com dois estados, 1 e 2, tais que PF12= PF21= 1, ou seja, a partir do estado 1 somente pode-se
ir para o estado 2, e vice-versa. Portanto, ao começar em um desses estados, estará no mesmo estado após um número par de transições e no outro estado após um número ímpar de transições. O que está por trás deste fenômeno é que a classe de comunicação fuzzy é periódica e, para esta classe, PFi j(n) oscila. Será provado a seguir que para qualquer estado j, as probabilidades fuzzy
de transição de n-passos PFi j(n) se aproxima de um valor fuzzy limite, o qual é independente
do estado inicial i, desde que seja excluído as duas situações descritas acima: classes recorrentes múltiplas e/ou classes periódicas.
Teorema 5.5.5 (Teorema da Convergência Estacionária Fuzzy) Considere uma cadeia de Markov fuzzy com uma única classe recorrente de comunicação fuzzy, a qual é aperiódica. Então, dado qualquer estado j existe um único número fuzzy
A
j que satisfaz as seguintes propriedades:(1) lim
n→∞(PFi j(n))α= (
A
j)α, para todo i, j ∈ S e para todo α ∈ [0, 1].(2)
A
j⊆ m ∑ k=1A
k· PFk j para todo j∈ S. (3) 1 ⊆ m ∑ k=1A
k. (4) tem-se que(a)
A
j= 0, se j é fortemente transiente no sentido fuzzy. (b) 0 ∈ S(A
j), se j é fracamente transiente no sentido fuzzy. (c)A
j> 0, se j é recorrente no sentido fuzzy.Prova: Sabe-se pelo Teorema 3.6.5 que dado qualquerα ∈ [0, 1] e qualquer estado j existe um único intervalo πα
j = [παj, παj] que satisfaz as seguintes propriedades:
(1) lim
n→∞(PFα)i j(n) = π α
j, para todo i, j ∈ S.
Capítulo 5. Teoria de Probabilidade Fuzzy (3) ∑m k=1 παk ≤ 1 ≤ ∑m k=1 παk. (4) tem-se que (a) πα
j = [0], se j é fortemente transiente intervalarmente.
(b) πα
j = [0, παj], com παj > 0, se j é fracamente transiente intervalarmente.
(c) πα
j > 0, se j é recorrente intervalarmente.
Portanto, o resultado segue se considerado
A
jcomo o número fuzzy cujos α-níveis são dadospor πα j.
Capítulo 6
Teoria Fuzzy Intuicionista
6.1
Considerações Iniciais
A teoria de conjuntos fuzzy tem se mostrado uma ferramenta útil para descrever as situações em que os dados são imprecisos ou vagos. Os conjuntos fuzzy lidam com tais situações, atribuindo um grau para que um determinado objeto pertence ou não a um conjunto.
Na vida real, no entanto, existem várias situações em que um objeto pertence a um conjunto para um certo grau, mas é possível que ele não é tão certo sobre isso. Em outras palavras, pode haver uma hesitação ou incerteza sobre o grau de pertinência. Na teoria dos conjuntos fuzzy, não há meios para incorporar essa hesitação na adesão dos graus.
Dessa forma, em 1983 Krassimir Atanassov [5] introduziu o conceito de conjunto fuzzy intui- cionista que se caracteriza por considerar duas funções expressando o grau de pertinência e o grau de não-pertinência, respectivamente, de um elemento ao conjunto. A vantagem de utilizar a teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas em vez da teoria dos conjuntos fuzzy é a habilidade para lidar com diferentes tipos de incertezas que podem surgir dentro do mesmo problema.
Assim, os conjuntos fuzzy intuicionistas, que abreviaremos por CFI, são uma generalização natural dos conjuntos fuzzy. O grau de não-pertinência, determina o grau de hesitação que se tem ao momento de aferir um grau de pertinência. Em conjuntos fuzzy não há essa hesitação e por isso o grau de não pertinência é, por defeito, o complemento do grau de pertinência.
Como a teoria dos CFI é uma generalização da teoria dos conjuntos fuzzy, é natural espe- rar que a maioria dos conceitos e propriedades intrínsecas da teoria dos conjuntos fuzzy sejam generalizadas para o CFI, como por exemplo, as noções de t-normas e t-conormas [43, 44, 38].
Diferentemente dos conjuntos fuzzy convencionais em que a imprecisão é apenas modelada pelo grau de pertinência, os conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov consideram dois valores no intervalo [0,1] para representar os graus de pertinência e de não-pertinência, com a restrição de que a soma seja no máximo 1. O grau de não-pertinência reflete uma possível hesitação do especi- alista ao momento de ser atribuído o grau de pertinência, quando este grau de não-pertinência for o complemento do grau de pertinência significa que não há hesitação. Assim, um conjunto fuzzy convencional pode ser visto como um conjunto fuzzy intuicionista sem hesitação. Portanto, a te-
Capítulo 6. Teoria Fuzzy Intuicionista
oria dos conjuntos fuzzy intuicionistas é uma generalização da teoria dos conjuntos fuzzy. Neste sentido, diversos conceitos da teoria dos conjuntos fuzzy tem sido estendidos para esta teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas. Em particular, números fuzzy foram estendidos para núme- ros fuzzy intuicionistas como Grzegorzewski em [60], Wei e Tang em [153]. Desde então, esta área tem sido alvo de intensas pesquisas com aplicações nas mais diversas áreas, tais como: em segmentação de imagens médicas [30], tomada de decisão [101], reconhecimento de padrões [69].