Percolação auto-destrutiva

Percolação Auto-Destrutiva

por

Elisa Fonseca Sena e Silva

Orientador: Bernardo Nunes Borges de Lima

Percolação Auto-Destrutiva

Dissertação de mestrado, feita sob orientação de Bernardo Nu-nes Borges de Lima, apresentada como requisito da obtenção do título de Mestre pelo Departamento de Matemática, Univer-sidade Federal de Minas Gerais.

Belo Horizonte-MG

2010

Aos meus pais, por sempre me incentivarem a estudar. À minha irmã Ana Paula, por estar

sempre a meu lado.

Ao meu orientador Bernardo Nunes Borges de Lima, por ter guiado meu estudo durante todos

esses anos.

Aos professores Gastão de Almeida Braga, Adrian Pablo Luna e Remy de Paiva Sanchis pela

participação na banca e pelas sugestões.

Aos meus companheiros do mestrado, em especial aos meus amigos Bárbara e Roney, pelo

apoio e pela companhia nas horas de estudo.

Às minhas amigas Cândida, Priscila, Eliane e Letícia, com as quais sempre pude contar nos

O modelo de percolação auto-destrutiva, introduzido por van den Berg e Brower, é defi-nido como segue: considere o modelo de percolação ordinária com parâmetrop>pc,. Remova

o aglomerado infinito e dê a cada sítio (ou, para percolação de elos, a cada elo) que está vago uma chance extraδ de se tornar ocupado. Sejaδc(p) o valor mínimo deδnecessário para se

reintroduzir um aglomerado infinito.

O principal objetivo dessa dissertação é estudar o valor deδc(p)quando p>pc é

pró-ximo do ponto crítico para grafos bidimensionais, como a rede quadrada e a árvore binária, dentre outras. Para tanto, vamos estudar os artigos "Self-destructive percolation" escrito por

van den Berg e Brower, e "Linear lower bounds for δc(p) for a class of 2D self-destructive

The self-destructive percolation model, introduced by van den Berg and Brower, is defi-ned as follows: consider the ordinary percolation model parameterp>pc. Remove the infinite

occupied cluster and give each vertex (or, for bond percolation, each edge) that is vacant an extra chanceδto became occupied. Letδc(p)be the minimal value ofδneeded to reintroduce

an infinite occupied cluster.

The main goal of this dissertation is to study the value ofδc(p)when p>pcis near the

critical point for bidimensional graphs, like the square lattice and the binary tree, among others. We will study the articles "Self-destructive percolation" written by van den Berg and Brower,

and "Linear lower bounds for δc(p) for a class of 2D self-destructive percolation models"

Introdução . . . vii

1 Percolação Auto-Destrutiva . . . . 1

1.1 Percolação: definições e resultados básicos . . . 1

1.2 Percolação auto-destrutiva: definindo o modelo . . . 6

2 Percolação Auto-Destrutiva em Grafos Bidimensionais . . . . 14

2.1 Percolação auto-destrutiva na rede quadrada . . . 14

2.2 Outras redes bidimensionais . . . 18

2.3 A Conjectura de van den Berg . . . 23

3 Percolação Auto-Destrutiva na Árvore Binária . . . . 31

A - Propriedades da Associação . . . . 38

B - Existência de Percolação . . . . 40

Historicamente, o modelo de percolação surgiu do estudo do fenômeno do transporte de um fluido através de um meio poroso, como, por exemplo, a água em um filtro de areia. Formulado no final da década de 50 por Broadbent e Hammersley ([4]), tal modelo considera o meio poroso como constituído por poros e canais microscópicos por onde passa o fluido. Se o número de canais for suficientemente grande então eles estarão interligados e o meio se tornará permeável à passagem do líquido. Nesse caso dizemos que houve apercolaçãodo fluido.

Os canais e poros que constituem o meio podem estar abertos ou fechados à passagem do fluido dependendo de diversas características que poderiam ser resumidas em um só parâme-tro. Para isso, vamos descrever probabilisticamente a distribuição de poros (ou canais) abertos e fechados: cada poro (ou canal), independentemente dos demais, estará aberto com probabi-lidade p - o parâmetro do modelo - e fechado com probabilidade complementar. A questão

básica é a ocorrência de percolação, ou seja, queremos saber se existe uma quantidade infinita de poros abertos adjacentes (chamado caminho aberto infinito) que permitam a passagem do

fluido através do meio poroso. No primeiro capítulo deste trabalho introduziremos esse mo-delo de maneira mais formal, bem como alguns resultados que serão usados ao longo do texto. Dentre esses resultados está a existência de um valor crítico do parâmetrop, denominadoponto críticoe denotado porpc, tal que sep>pc a probabilidade de percolar é positiva e se p<pca

probabilidade de percolar é nula.

O principal objetivo deste trabalho é estudar o modelo depercolação auto-destrutiva,

introduzido por van den Berg e Brower em [1] e [5], descrito a seguir: sejaΓum subconjunto

de poros do meio em questão. Primeiro, vamos declarar cada poro como aberto com probabili-dadep, e fechado com probabilidade 1₋p, independente dos outros poros. Então, no próximo

seja, cada poro que pertence a um caminho aberto atéΓse torna fechado. Finalmente, no último passo, cada poro que está fechado ao final da etapa anterior ganha uma chance extra de se tor-nar aberto com probabilidadeδ. Ainda no primeiro capítulo definiremos tal modelo de maneira mais formal e demonstraremos alguns resultados técnicos que serão utilizados posteriormente.

Nos capítulos seguintes iremos abordar a principal questão da percolação auto-destrutiva: depois da catástrofe, qual é o valor deδnecessário para haver percolação, ou seja, para existir

um caminho aberto infinito? Para encontrar essa resposta vamos estudar o comportamento da funçãoθ(p,δ) (probabilidade de existir percolação ao final de todo o processo) para diversos valores de p eδ. No segundo capítulo vamos mostrar que, ao representarmos graficamente o meio porZ2, teremos que seδ_≤ p−pc

p entãoθ(p,δ) =0, ou seja, não há percolação. Veremos

também alguns resultados similares para outras possíveis representações do meio, dedicando o Capítulo 3 exclusivamente para a árvore binária (representação gráfica em que existe um único caminho ligando quaisquer dois de seus poros).

1.1 Percolação: definições e resultados básicos

Suponha que uma grande pedra porosa seja imersa num balde de água. Qual é a pro-babilidade de seu centro se molhar? Ao formular um modelo para tal situação, Broadbent e Hammersley ([4]) criaram o modelo de percolação. A pedra porosa é considerada como um meio constituído de poros e canais microscópicos por onde passa o líquido. Estes podem estar abertos ou fechados à passagem do fluido dependendo de diversas características que poderiam ser resumidas em um só parâmetro. Para isso, vamos descrever probabilisticamente a distri-buição de poros (ou canais) abertos e fechados: cada poro (ou canal), independentemente dos demais, estará aberto com probabilidade p- o parâmetro do modelo - e fechado com

probabili-dade complementar. Iremos representar graficamente o meio através de umgrafo.

Definição 1.1. Um grafo G é um par (V,E), onde V é um conjunto enumerável de pontos chamadosvértices(ousítios) e E é um conjunto de pares não-ordenados de vértices chamados

elos. (veja exemplos nas figuras abaixo.)

Dessa forma, os vértices representam os poros e os elos, os canais. O modelo que estuda o estado (aberto ou fechado) dos poros é chamadopercolação independente de sítiose aquele

que trata do estado dos canais é ditopercolação independente de elos. A questão básica é a

existência de um caminho infinito de sítios (ou elos) abertos atravessando o meio. À resposta afirmativa damos o nome depercolação. A seguir, introduziremos o modelo em detalhe.

Um conjunto de vértices distintos de_{v1,v2,v3, ...,vn} ⊂V será dito umcaminhose

es-tes formarem uma seqüencia de sítios adjacenes-tes. Sev1=vn, dizemos que os vértices formam

umcircuito. Se um grafoGtiver a propriedade de existir um único caminho ligando quaisquer

dois de seus vértices dizemos que o grafoGé umaárvore(veja figura abaixo). Ograude um

Figura 4: Árvore Binária

vérticevem um grafo Gé definido como o número de vértices adjacentes av. Na rede

trian-gular representada acima, por exemplo, temos que todo vértice tem grau 6, enquanto na árvore binária o vérticeA(veja fig. 4) tem grau 2 e os demais tem grau 3. Um grafo é ditolocalmente finitose cada vértice possui grau finito. Note que todos os exemplos de grafos mostrados neste

trabalho são localmente finitos. Definimos adistância entre dois vértices de um grafo como

o número mínimo de elos necessários para formar um caminho que os conecta. Dados dois vértices adjacentesx,y_∈V denotamos o elo que os une por_hx,y_i.

Sejaptal que 0_≤p_≤1. Cada vérticevdeV estáabertocom probabilidadepefechado

com probabilidade 1₋p, independente dos outros vértices. Denotaremos a distribuição assim

definida por

P

p. O espaço amostral do modelo será dado por Ω={0,1}V, cujos pontos, as

configurações, são representados por ω= (ω(v):v_∈V). O valor ω(v) =0 corresponde a v

estar fechado, enquantoω(v) =1 corresponde avestar aberto. Aσ-álgebra é a usual, denotada por

E

, gerada pelos eventos cilíndricos, a saber, aqueles que dependem apenas de elos em

Considerando uma configuração, um caminho será ditoabertose todos os seus vértices

estiverem abertos, ou seja, se ω(vi) =1,∀i=1,2, . . . ,n. Podemos, de forma análoga, definir

circuito aberto. Diremos que dois sítios da rede, xe y, estão conectados(notação: x_↔y) se

existir um caminho aberto_{v1,v2,v3, ...,vn}, comx=v1ey=vn.

Dada uma configuração ω_∈Ω, considere todos os caminhos abertos que partem de

um dado vértice x do grafo G. Ao conjunto de vértices desses caminhos damos o nome de aglomeradodex, representado porCx.

Cx(ω)≡ {y∈V;x↔yemω}

Um vértice do grafo será chamado deorigeme seu aglomerado será denotado porC, objeto

bá-sico de nosso estudo. Estaremos interessados inicialmente em_|C_|, o volume (ou cardinalidade)

do aglomerado da origem, mais precisamente em sua distribuição. Observe que em grafos tran-sitivos (aqueles em que dado qualquer par de vérticesx eyexiste um automorfismo de grafos

que leva x a y ) a distribuição de _|C_| é a mesma de _|Cx| para todo sítio x. Especificamente,

queremos saber se aglomerados infinitos podem ocorrer com probabilidade positiva.

Definimos comoprobabilidade de percolaçãoa probabilidade de um dado sítio da rede

pertencer a um aglomerado de tamanho infinito. Vamos trabalhar com grafos transitivos pode-mos tomar tal sítio como sendo a origem. Desse modo, definipode-mos:

θ(p) _≡

P

p(ω∈Ω;|C|=∞)

≡

P

p(|C|=∞).

Essa função é objeto de extenso estudo na área de percolação e sobre a qual ainda existem várias questões em aberto. Sobre o grafoZd_{, por exemplo, sabemos que em qualquer dimensão}

espaciald _≥1, se p_≈0, então θ(p) =0; se d_≥2 e p_≈1, temos θ(p)_≈1. O interessante é saber quando ocorre essatransição de fase, ou seja, quando o estado da rede muda da posse

de somente aglomerados finitos para o surgimento de um aglomerado infinito. Sendo assim, é conveniente definir o ponto crítico (ou probabilidade crítica) como o supremo de todos os

valores deppara os quaisθ(p) =0:

pc≡sup{p:θ(p) =0}. (1.1)

Chamamos defase subcríticao intervalo 0_≤p<pce defase supercíticaao intervalo 1≥p>

Teorema 1.1. Para d _≥2, existe um valor crítico pc do parâmetro p, chamado ponto crítico,

no intervalo aberto(0,1)tal que

θ(p) =0, se p<pc

θ(p)>0, se p>pc.

O Teorema 1.1 não informa o que acontece emp=pc. Para o grafoZd, sabe-se queθ(p)

é uma função contínua, exceto possivelmente em p=pc (veja [8], seção 8.3), e queθ(pc) =0

emd =2 (provado por Kesten em [11] ) e d _≥19 (provado por Hara-Slade em [10]). Segue

abaixo um esboço do que esperaríamos que fosse o gráfico da funçãoθ(p).

Figura 5: Esboço do possível gráfico da funçãoθ(p)paraZd_{, quandod=2 oud≥19 .}

A possibilidade de uma descontinuidade de salto empc(d)ainda não foi excluída quando

3_≤d<19.

As definições acima correspondem à descrição do modelo de percolação independente de sítios, que será o mais utilizado nesse trabalho. Embora a maior parte do que foi dito seja análogo para percolação de elos, algumas definições e resultados são diferentes neste modelo. Para maiores informações sobre esses e outros resultados de percolação consulte [8] ou [7].

A maior parte dos argumentos disponíveis para modelos de percolação pode ser adaptada para percolação tanto de elos quanto de sítios. De fato, existe uma maneira para qual todo modelo de elos pode ser reformulado como modelo de sítios; mas o inverso é falso. Dessa forma, percolação de sítios mais geral que percolação de elos. Dado um grafo G, o grafo de cobertura Gc é construído da seguinte forma: a cada elo deGcorresponde um vértice distinto

de Gc, e dois tais vértices são ditos adjacentes se, e somente se, os elos correspondentes de

G compartilham um vértice. Suponha que exista um processo de percolação de elos em G.

Dizemos que um vértice deGc está aberto se, e somente se, o elo correspondente de G está

todo caminho de elos abertos emG corresponde a um caminho de vértices abertos emGc (e

vice-versa). Assim, usando(1.1), concluímos que

pelo_c (G) = psitio_c (Gc).

Figura 6: Construção do grafo de cobertura da rede quadrada.

Figura 7: Grafo de cobertura da rede qua-drada, conhecido como tabuleiro de xadrez.

Existe uma relação entre os pontos críticos da percolação de elos e da percolação de sítios em um dado grafoG.

Teorema 1.2. Seja G= (V,E)um grafo conexo infinito com uma quantidade enumerável de elos, com origem0, e grau máximo∆finito. As probabilidades críticas de G satisfazem

1

∆₋1 ≤ peloc ≤ psitioc ≤ 1−(1−peloc )

∆_.

Uma consequência desse teorema é quepelo_c (G)<1 se, e somente se, psitio_c (G)<1. A

demonstração desse resultado pode ser encontrada na Seção 1.6 de [8].

Na fase supercrítica temos diversos resultados interessantes. As demonstrações dos se-guintes teoremas são feitas para percolação de elos, mas com poucas modificações pode-se fazê-las para percolação de sítios.

Teorema 1.3(Unicidade do aglomerado infinito). EmZd, se p é tal queθ(p)>0, então

P

p(existir um único aglomerado infinito) =1.

une algum vértice do lado esquerdo deBa algum vértice do lado direito deB, mas que não usa

elos da fronteira do retângulo. Para inteiros positivoskel, defina o retângulo

B(kl,l) = [₋l,(2k₋1)l]_×[₋l,l];

além disso,B(l,l) =B(l). Considere

LR(kl,l)_{≡ {}existe um cruzamento esquerda-direita emB(kl,l)_},

e abreviamosLR(l,l)paraLR(l).

Teorema 1.4. Para o grafoZ2, seθ(p)>0então

P

p(LR(n))→1quando n→∞.

SejaA(l)o anelB(3l)_\B(l), e seja

O(l)_{≡ {}existe um circuito aberto emA(n)contendo a origem da rede em seu interior_}.

Uma contribuição duradoura de Russo, Seymour e Welsh é a demonstração de que, se existe uma probabilidade significativa do cruzamento aberto na caixaB(l), há uma probabilidade sig-nificativa de existir um circuito no anelA(l).

Teorema 1.5(RSW). Para percolação de elos emZ2, se p>pce

P

p(LR(l)) =τ>0então

P

p(O(l))≥ {τ(1−

√

1₋τ)4_}12.

Demonstrações desses resultados podem ser encontradas nas seções 8.8 e 11.7 de [8].

1.2 Percolação auto-destrutiva: definindo o modelo

SejamG= (V,E)um grafo conexo, infinito, localmente finito e transitivo, Γum

sub-conjunto deV ou o símbolo∞. Sejam p,δ_∈[0,1]. Primeiro, vamos declarar cada vértice como

ocupado (ou aberto) com probabilidade p, e vago (ou fechado) com probabilidade 1₋p,

Brower em [1] e [5].

SejaP(G,Γ)

p,δ a distribuição da configuração final desse processo (quando a escolha deG

está clara, este não aparece na notação; o mesmo ocorre quandoΓ=∞) e defina

θ(p,δ)_≡P(G,Γ)

p,δ (0↔∞).

Uma definição mais formal desse modelo é a que segue. Sejam

X

i, i∈V, variáveis

ale-atórias independentes, sendo

X

i=1 com probabilidade pe

X

i=0 com probabilidade 1−p.

Defina também

Y

i, i∈V, como variáveis aleatórias independentes, sendo

Y

i=1 com

probabi-lidadeδe

Y

i=0 com probabilidade 1−δ. Além disso, tome a coleção{

Y

i}independente de

{

X

i}.

Seja

X

_i∗,i_∈V, definida por

X

_i∗=

(

1, se

X

i=1 e não há caminho

X

-ocupado deiaΓ,

0, caso contrário. (1.2)

em que por "caminho

X

-ocupado" queremos dizer um caminho no qual cada vértice j tem

X

j=1.

Finalmente, definimos

Z

i =max{

X

i∗,

Y

i}. Dessa forma, a sequência{

Z

i}, i∈V, é a

configuração final eP(G,Γ)

p,δ é sua distribuição. Para entender melhor seu comportamento vamos

calcular explicitamente a distribuição quandoΓ=∞. Nesse caso, temos:

Z

i= (

0, se

X

_i∗=0 e

Y

i=0,

1, se

X

_i∗=1 ou

Y

i=1.

(1.3)

Primeiro, temos que

Z

i =0 se o sítio i está

X

-vago e

Y

-vago; ou se está

X

-ocupado, mas

pertence ao aglomerado infinito, e está

Y

-vago. Observe que em ambos os casos temos

X

_i∗=0.

Assim, podemos calcular:

P(G)

p,δ(

Z

i=0) = (1−p)(1−δ) +p.θ(p)(1−δ) = (1−δ)(1−p+pθ(p)).

Temos que

Z

i=1 se

X

i∗=1, ou seja, sei está

X

-ocupado, mas não pertence ao

aglo-merado infinito; ou se

Y

i=1 eiestá

Y

-ocupado.

P(G)

Continuando o estudo deP(G,Γ)

p,δ , precisaremos de mais algumas definições. Dadoω∈

Ω= [0,1]V, definimos umaordem parcialemΩ, como segue:

ω_≤ω′ se ωi≤ω′i, ∀i∈V.

Definição 1.2. Dizemos que um evento A é crescente quando ω _∈A e ω <ω′ implicar que ω′_∈A.

Em outras palavras, um evento A é crescente quando, ao aumentar o número de elos

abertos de uma configuração, aumentam-se as chances do evento ocorrer. Se uma configuração faz com que o evento ocorra, ao acrescentarmos elos abertos à mesma, o mesmo continua ocorrendo. Um evento édecrescentese seu complementar for crescente. Eventos crescentes têm

um papel fundamental em percolação. Um exemplo de evento crescente éA=_{x_↔y_}: dois

sítios estarem conectados por um caminho aberto.De forma análoga, dizemos que uma variável aleatóriaN é crescente se, dadoω_≤ω′, temosN(ω)_≤N(ω′). Um resultado importante sobre eventos e variáveis aleatórias crescentes é adesigualdade de FKG.

Teorema 1.6. (Desigualdade de FKG)

(a) Se X e Y são variáveis aleatórias crescentes tais queEp(X2)<∞eEp(Y2)<∞, então

E_p(XY)_≥E_p(X)E_p(Y).

(b) Se A e B são eventos crescentes, então

P

p(A∩B)≥

P

p(A)

P

p(B).

Uma demonstração desse resultado pode ser encontrada no Capitulo 2 de [8]. Desigual-dades similares são válidas para variáveis aleatórias e eventos decrescentes. Por exemplo, seX

eY são ambas decrescentes então₋X e₋Y são crescentes, temos que

E_p(XY)_≥E_p(X)E_p(Y),

desde que X e Y tenham segundo momento finito. Analogamente, se X é crescente e Y é

decrescente, então podemos aplicar a desigualdade de FKG aX e₋Y e encontrar

E_p(XY)_≤E_p(X)E_p(Y). (1.4)

Uma coleção finita de variáveis aleatórias binárias (νi,1≤i≤n) (ou, sua medida de

probabilidade correspondente, a saberµ, em _{0,1_}n_{) é dita ser associada se para todo evento}

crescenteA,B_{⊂ {}0,1_}n_,

Isso é equivalente a dizer que, para todas funções crescentes f,gem_{0,1_}n_,

E_µ(f g)_≥E_µ(f)E_µ(g), (1.6)

ondeE_µ(f) =∑x∈{0,1}nµ(x)f(x). De fato, observe que se tomarmos f =I_Aeg=I_B, em queI

é a função indicadora, temos que

E_µ=E_µ(I_AI_B) =E_µ(I_A∩B) =µ(A_∩B).

No entanto, por(1.6), temos

µ(A_∩B) =E_µ(f g)_≥E_µ(f)E_µ(g) =µ(A)µ(B),

e obtemos(1.5). Por outro lado, usando que função crescente é soma de função degrau pode-mos obter(1.6)a partir de(1.5).

Lema 1.1. SejaG= (V,E)um grafo finito, e sejamΓ,p,δcomo acima. EntãoP(_pG_,δ;Γ) é associ-ada.

Demonstração. Os fatos abaixo (a) - (c) sobre variáveis aleatórias binárias serão demonstrados

no apêndice A.

(a) Uma coleção de variáveis aleatórias independente é associada.

(b) Se uma coleção(νi,1≤i≤n)é associada, e uma coleção(σi,1≤i≤m)é associada, e

essas duas coleções são independentes, então a coleção conjunta(νi,1≤i≤n;σi,1≤i≤m)é

associada.

(c) Se a coleção(νi,1≤i≤n)é associada, e f1, . . . ,fksão funções binárias não-decrescentes

em_{0,1_}n_{, então a coleção}

(f1(ν1, . . . ,νn), . . . ,fk(ν1, . . . ,νn))

é associada.

Agora sejam as variáveis

X

i,

Y

i,

X

_i∗e

Z

icomo definidas anteriormente. Usando os fatos

mencionados acima, para provar o lema, é suficiente mostrar que

X

_i∗,i_∈V, é associada. De

fato, temos por(a)que

X

ie

Y

isão associadas, por(b)concluímos que, se

X

i∗e

Y

iforem

associ-adas e independentes uma da outra,_{

X

_i∗,

Y

i}serão associadas. Por(c), ao tomarmos fi=max,

teremos que

Z

=max_{

X

_i∗,

Y

i}é associada. Observe que as variáveis

X

i∗não são independentes

entre si, mas são independentes de

Y

i.

SejaΩ=_{0,1_}V_{. Para ω∈Ω, sejaC=C(Γ,ω) o aglomerado ocupado deΓ (isto é,}

denota o conjunto que é a união deW e de todos seus vizinhos. Se A _⊂Ω for um evento crescente, o evento_{Aocorre fora deW_}irá denotar o conjunto de todas configuraçõesω_∈Ω

tais queω′, definida por

ω′_i=

(

0, sei_∈W,

ωi, caso contrário.

(1.7)

está emA. Em outras palavras, para saber se uma configuraçãoω_∈Ωpertence a_{Aocorre fora deW_}

fecha-se todo sítioi_∈W e verifica-se se o eventoAainda ocorre nessa configuração, ou seja, se Aocorre nos vértices fora deW.

Sejaµpo produto de medidas de Bernoulli com parâmetro pemΩ, isto é,µpé a medida

correspondente à coleção de variáveis aleatórias(

X

i,i∈V). Sejaµ∗pa medida emΩ

correspon-dente à coleção(

X

_i∗,i_∈V). Somando sobre todos subconjuntosW _⊆V, temos que

µ∗_p(A_∩B) =

_∑

W

µp(C(Γ) =W,A∩Bocorre fora deW),

pois para que a intersecção ocorra, como

X

∗=_{

X

_i∗}fecha todos os sítios do aglomerado deΓ,

A_∩Btem que acontecer fora deW. O evento_{A_∩Bocorre fora deW_}depende dos sítios de

V_\W enquantoC(Γ) =W depende dos sítios deW e assim, temos:

µ∗_p(A_∩B) =

_∑

W

µp(C(Γ) =W)µp(A∩Bocorre fora deW)

≥

∑

W

µp(C(Γ) =W)µp(Aocorre fora deW)µp(Bocorre fora deW).

A desigualdade usa a propriedade de associação da medida da coleção

X

=_{

X

i,i∈V}. Note

que, paraW fixo, os eventos_{Aocorre fora deW_}e_{Bocorre fora deW_}são crescentes.

Agora seja f(W), paraW _⊂V, notação paraµp(Aocorre fora deW)eg(W)para

µp(Bocorre fora deW). Então a expressão acima é igual a:

µ∗_p(A_∩B) _≥

∑

ω∈Ω

µp(ω)f(C(Γ,ω))g(C(Γ,ω))

=

_∑

W _ω∈Ω;C

∑

_(Γ,ω)=W

µp(ω)f(W)g(W)

SeW _⊂W′, então f(W)_≥ f(W′), e analogamente para g. De fato, para verificar seAocorre

fora deW′ fechamos uma quantidade maior de sítios do que seria necessário para verificar se A ocorre fora deW. Logo a seguinte desigualdade vale porque f(C(Γ,ω)) e g(C(Γ,ω)) são ambos decrescentes emωe então podemos aplicar a propriedade da associação:

µ∗_p(A_∩B) _≥

_∑

ω∈Ω

µp(ω)f(C(Γ,ω))

∑

ω∈Ω

Além disso, fazendo a mesma argumentação, mas no sentido inverso, temos:

∑

ω∈Ω

µp(ω)f(C(Γ,ω)) =

∑

W _ω∈Ω;C

∑

_(Γ,ω)=W

µp(ω)f(W)

=

_∑

W

µp(C(Γ) =W)f(W)

=

_∑

W

µp(C(Γ) =W)µp(Aocorre fora deW)

=

_∑

W

µp(C(Γ) =W;Aocorre fora deW) =µ∗p(A).

Portanto,

µ∗_p(A_∩B) _≥ µ∗_p(A)µ∗p(B),

e

X

_i∗é uma coleção de variáveis aleatórias associada, provando o lema.

Dando continuidade ao nosso estudo deP(G;Γ)

p,δ , vamos demonstrar alguns resultados

so-bre monotonicidade. Primeiro, vemos queP(G;Γ)

p,δ éestocasticamente crescente: paraAfixo, se

δ<δ′, temos queP_p,δ(A)_≤P_p,δ′(A). De fato, seδ<δ′, então ao final doδ-processo teremos mais sítios abertos do que no final doδ-processo, o que contribui para a ocorrência de A.

Não há monotonicidade estrita emp. Contudo, vamos mostrar que há alguma forma de

monotonicidade, resultado que será importante quando, no Capítulo 3, estivermos estudando percolação auto-destrutiva em árvores binárias.

Lema 1.2. Seja 0_≤p<q_≤1. Paraqfixo, a família de medidas de probabilidade

{P(G;Γ)

p,q₁−₋p_p, 0<p<q}

é estocasticamente decrescente em p. Isto é, se 0<p<p′<q, entãoP(G;Γ)

p,q₁₋−p_p dominaP (G;Γ)

p′,q₁₋−p_p′_′.

Demonstração. Considere a seguinte evolução temporal. No tempo 0 cada sítio deGestá vago.

Vértices tornam-se, independentemente uns dos outros, ocupados com taxa 1. Se isso sim-plesmente continuasse, então, para cadat_≥0, a distribuição da configuração no tempot seria

P

1−e−t.

Agora suponha que em um tempo determinísticoT uma catástrofe aconteça: todos os

sítios que têm, nesse tempo, um caminho ocupado até Γ, se tornam instantaneamente vagos.

acontece.

SejamU_i(k), i_∈V,k_{∈ {}1,2_}variáveis aleatórias independentes com distribuição expo-nencial com esperança 1.U_i(1)denota o tempo no qualise torna ocupado pela primeira vez. Se

um sítio se torna vago pela catástrofe no tempoT, então se torna ocupado de novo no tempo T+U_i(2). Mais formalmente, se deixarmosηi(t)denotar o estado [ocupado (=1) ou vago (=0)]

deino tempot, então temos_∀t>T:ηi(t) =0⇔U

(1)

i >t; ouU

(2)

i >t−T e existe um caminho

πdeiaΓcomU(_j1)_≤T para todos os sítios jdeπ. Como essa condição vale paraT <t, então

a mesma vale para todoT′_∈(T,t).

Pela definição acima, temos que a distribuição de (ηi(t),i∈V(G)) é P_1−e−t_,1−e−(t−T).

Isso, juntamente com a observação de monotonicidade deT, nos dá que, parat fixo, a familia

de distribuições

P_1−e−t_,1−e−(t−T), 0≤T <t

é estocasticamente decrescente em T. O lema segue tomando t e T tais que p=1₋e−T e q=1₋e−t, e então(q₋p)/(1₋p) =1₋e−(t−T).

Uma conseqüência imediata desse lema e da monotonicidade de

P

_p(G_,δ;Γ) em δ é a

se-guinte:

Corolário 1.1. Se p2≥p1e p2+ (1−p2)δ2≤p1+ (1−p1)δ1, então

P(G;Γ)

p1,δ1 dominaP

(G;Γ)

p2,δ2.

Demonstração. Tomeq_∈[0,1],q>p1tal que possamos escrever

δ1= q−p1 1₋p1.

De fato, basta tomarq=p1+ (1−p1)δ1. Dessa forma, temos

P(G;Γ)

p1,δ1 =P

(G;Γ)

p₁,q₁₋−p_p1

1

.

Aplicando o lema anterior, temos

P(G;Γ)

p1,q1−−pp1₁

dominaP(G;Γ)

p2,q1−−pp2₂ .

Pela hipótese acima,

ou seja,

q₋p2 1₋p2 ≥δ2.

Com isso, usando a monotonicidade deP(G;Γ)

p,δ emδ, concluímos queP (G;Γ)

p2,q1−−pp2₂

dominaP(G;Γ)

p1,δ1, e o resultado está provado.

Não será necessário usar a notação geralP(G;Γ)

p,δ durante todo o texto. A partir do próximo

mensionais

Considerando o processo de percolação auto-destrutiva é natural pensar que se p> pc

e destruímos o aglomerado infinito vamos precisar de umδ>0 mínimo (que depende de p)

para reintroduzir o aglomerado infinito. Na primeira seção deste capítulo vamos mostrar que tal intuição é verdadeira para percolação de sítios (ref. [1]) e elos (ref. [2]) na rede quadrada. Em seguida vamos estender esse resultado para um número maior de redes bidimensionais, fato demonstrado por van den Berg e de Lima em [2].

Continuando a explorar as características do modelo, como na percolação ordinária te-mosθ(p)_ցθ(pc) =0 quandopցpc, poderíamos concluir que o mesmo vale para percolação

auto-destrutiva, ou seja, que limpցpcθ(p,δ) =θ(pc,δ). No artigo "Self-destructive

Percola-tion" de van den Berg e Brower (ref. [1]) conjectura-se que tal conclusão é falsa e estudaremos

esse assunto na última seção deste capítulo.

2.1 Percolação auto-destrutiva na rede quadrada

Na percolação auto-destrutiva a principal questão é, depois da catástrofe, encontrar qual valor deδé necessário para se reintroduzir um aglomerado infinito. Para isso, vamos começar

estudando o comportamento da funçãoθ(p,δ)para diversos valores depeδ.

No caso em quep_≤pc, como não há percolação (poisθ(p) =0), não existe aglomerado

após o processo de percolação com parâmetroδ, os sítios estão ocupados com probabilidade

p+ (1₋p)δ. Formalmente, se p_≤pc, temos:

P_p,δ=P_p+(1−p)δ.

Em particular,

θ(pc,δ) =θ(pc+ (1−pc)δ)>0

para cada δ> 0. Logo, se p= pc, qualquer δ>0 é suficiente para que exista aglomerado

infinito. Por outro lado, temos que seδ>pc, entãoθ(p,δ)>0 para todop. De fato,

P_p,δ(

Z

i=1) =δ+ (1−δ)(p−pθ(p))> pc+ (1−pc)(p−pθ(p))>pc,

o que implica que há percolação.

Lembre-se que, como observamos na última seção, na percolação auto-destrutiva há monotonicidade emδ, ou seja, seδ′>δpodemos concluir queθ(p,δ′)>θ(p,δ). Essa caracte-rística implica que para cada p>pc, vai existir um delta críticoδc(p)∈[0,1]tal que

θ(p,δ) =0,_∀δ_∈[0,δc(p))

θ(p,δ)>0,_∀δ_∈(δc(p),1].

Como observamos anteriormente, seδ> pc, então,θ(p,δ)>0,∀p∈[0,1], logo

δc(p)≤pc ∀p.

Como limite inferior paraδc(p), vamos mostrar que, para percolação de sítios na rede quadrada,

δc(p)é no mínimo linear emp−pc. Mais precisamente, van den Berg e Brower demonstraram

em [1] que:

se p(1₋δ)_≥ pc, então θ(p,δ) =0,

ou, equivalentemente,

δc(p)≥

p₋pc

p ,p≥pc. (2.1)

Em outras palavras, é possível mostrar que, se p > pc e destruímos o aglomerado infinito,

vamos precisar de uma chance extra (que depende dep) para reintroduzir um aglomerado aberto

infinito.

Teorema 2.1. Para percolação auto-destrutiva de sítios na rede quadrada

Em particular,

(b) se p(1₋δ)_≥ pc(ou, equivalentementeδ≤

p₋pc

p ), entãoθ(p,δ) =0.

Demonstração. Observe que se demonstrarmos a parte(b), poderemos concluir que a parte(a)

é verdadeira. Para provar (b), vamos usar as variáveis

X

e

Y

introduzidas na seção anterior.

A princípio, vamos colorir cada sítio i de vermelho se

X

i =1 e

Y

i =0. Então, cada sítio é,

independente dos outros, vermelho com probabilidade p(1₋δ). Agora suponha que o par p,δ

satisfaz a condição(b), a saber, p(1₋δ)_≥ pc. Seδ=0, depois da destruição do aglomerado

infinito, não houve mudança na configuração, resultando emθ(p,δ) =0.

Como p(1₋δ)_≥pc, decorre do Teorema(1.5)que existem quase certamente infinitos

circuitos vermelhos disjuntos contornando a origem. Além disso, como p > pc, existe q.c.

um aglomerado infinito

X

-ocupado. Esse aglomerado intercepta, exceto um número finito,

todos os contornos mencionados acima. No entanto, como dizer que um sítio i é vermelho

significa

X

i=1, cada um dos circuitos vermelhos em torno da origem que é interceptado pelo

aglomerado infinito

X

-ocupado está contido nele. Então, em cada contorno desse tipo, temos

X

∗=0 e, como

Y

=0, temos

Z

=0. Logo, podemos concluir que não existe q.c. caminho infinito saindo da origem no qual

Z

=1. Portanto,θ(p,δ) =0.

Observe que, pela monotonicidade mencionada anteriormente, para todoδ′ menor que umδque satisfaz a parte(a)deste Teorema, temosθ(p,δ′) =0.

A seguir, veremos que o teorema acima também vale para percolação de elos na rede quadrada, resultado demonstrado por van den Berg e de Lima em [2]. Para tanto, precisaremos da construção dografo de emparelhamento, que é muito útil quando se estuda percolação de

sítios. Um par de grafos de emparelhamento

G

1e

G

2é construído da seguinte forma: começa-mos com um grafo planarGcom origemO, e selecionamos alguma família arbitrária

F

de faces

deG. Vamos obter

G

1 (respectivamente

G

2) a partir de G ao se adicionar todas as diagonais de todas as faces de

F

(respectivamente, todas as diagonais das faces que não estão em

F

).

Em outras palavras, dois grafos

G

1 e

G

2 são emparelhados se existe um grafo planar Ge um subconjunto

F

de faces deG tais que

G

1 é obtido a partir deG quando adicionamos todas as diagonais das faces de

F

, e

G

2é obtido deGquando adicionamos todas as diagonais das faces

que não estão em

F

.

Por exemplo, sendo a rede quadrada um grafo planar, seu grafo emparelhado é obtido quando adicionamos em cada face as duas diagonais como elos extras. Além disso, observe que o emparelhamento da rede triangular é a própria.

Figura 2: Rede quadrada e seu emparelhamento.

Os grafos G,

G

1 e

G

2 têm o mesmo conjunto de vértices, e com isso, um processo de percolação de sítios emGinduz processos em

G

1e

G

2. Se a origemOpertence a um aglome-rado aberto finito de

G

1, então o limite externo desse aglomerado forma um circuito fechado de

G

2, e essa é uma propriedade muito útil. Para maiores informações sobre grafos emparelhados veja a seção 3.1 de [8].

Para mostrar que o Teorema(2.1)vale para percolação de elos na rede quadrada, vamos usar percolação de sítios na rede do tabuleiro de xadrez. Lembre-se que, sendo a rede tabuleiro de xadrez o grafo de cobertura da rede quadrada, como foi mostrado na seção (1.1), percolação de sítios na primeira é equivalente à percolação de elos na segunda. Além disso, observe que a rede do tabuleiro de xadrez é uma translação do seu emparelhamento, o que é fundamental na demonstração feita por van den Berg e de Lima em [2].

Figura 3: Rede do tabuleiro de xadrez e seu emparelhamento.

Teorema 2.2. Para o modelo de percolação auto-destrutiva de sítios na rede do tabuleiro de xadrez (ou, equivalentemente, percolação auto-destrutiva de elos na rede quadrada), temos que

Portanto,

δc(p)≥

p₋pc

p .

Demonstração. Dadoi_∈V, vamos usar a notaçãoi_≡i+ (1,0). Tome

X

i,

Y

ie

Z

i,i∈V, como

definidos na seção (1.2). Vamos colorir cada vértice i_∈V de vermelho se

X

i=1 e

Y

i =0.

Figura 4: Representação deieina rede do tabuleiro de xadrez.

Então, cada vérticeivai se tornar vermelho com probabilidade p(1₋δ), independente dos

ou-tros vértices. Comop(1₋δ)>pc, segue que existe, quase certamente, um aglomerado infinito

vermelho que contém vários circuitos ao redor da origem (Teorema(1.5)).

Sejaγum desses circuitos. Defina

γ=γ+ (1,0).

Observe queγé um circuito no emparelhamento do grafo.

Sejai_∈γ. Por construção

Y

_i=0. Além disso, comoié vizinho do aglomerado infinito

X

-ocupado (poisi=i₋(1,0)é vermelho), temos

X

_i∗=0. Então,

Z

_i=0. Concluindo, temos que, quase certamente, existe um circuito

Z

-vago no grafo emparelhado ao redor ou que contém

a origem. Portanto,θ(p,δ) =0.

Observe que na demonstração do Teorema(2.1)utilizamos indiretamente o fato da rede quadrada estar contida em seu emparelhamento, e como isso não vale para a rede tabuleiro de xadrez, houve a necessidade de modificarmos a demonstração a fim de obter o mesmo resultado.

2.2 Outras redes bidimensionais

Nesta seção vamos mostrar um resultado que, apesar de ser um pouco mais fraco do que(2.1), tem a vantagem de conseguirmos demonstrá-lo para uma quantidade maior de redes

bidimensionais. Queremos mostrar que:

Na demonstração dos teoremas anteriores, a definição de vértices vermelhos foi feita para que cada vértice fosse vermelho independentemente dos outros vértices. Nessa seção, a cor de cada vértice vai envolver o valor da variável aleatória

Y

de todos seus primeiros vizi-nhos. Essa estratégia, desenvolvida por van den Berg e de Lima em [2] para mostrar(2.2) é

válida para uma grande classe de redes bidimensionais, mas leva a dependências um pouco mais complicadas de se analisar.

Teorema 2.3. Para percolação auto-destrutiva de sítios no grafo emparelhado das redes qua-drada ou hexagonal, e para percolação auto-destrutiva de elos na rede triangular, o que segue é verdadeiro:

Existempˆ> pc e C>0tais que

∀p_∈[pc,p]ˆ, δc(p)≥C(p−pc).

Demonstração. Denote porG= (V,E)o grafo emparelhado das rede quadrada ou hexagonal, ou o grafo de cobertura da rede triangular, e seja pc a probabilidade crítica da percolação de

sítios emG.

Nesta demonstração vamos atribuir cores aos vértices, mas estas não serão independen-tes como ocorreu na demonstração dos teoremas anteriores. No entanto, ainda conseguiremos comparar essa percolação colorida com o processo de percolação usual e obter o resultado que queremos.

Para começar, para cada vérticei_∈V, definimos

Di={j∈V,hi,ji ∈E}.

Sejad=_|Di|. No grafo emparelhado da rede quadrada, por exemplo, temosd=8.

Observe que, sem o fato do grafo ser localmente finito, essa definição e, conseqüente-mente, essa estratégia de demonstração, não seriam possíveis.

Sejam

X

i e

Y

i, i∈V, como definidas na Seção (1.2). Um vértice i∈V será

verme-lho se for

X

-ocupado e seus primeiros vizinhos forem

Y

-vagos. Em outras palavras, defina a

seqüencia de variáveis aleatórias

R

i,i∈V,

R

i= (

1, se

X

i=1 e

Y

j=0,∀j∈Di,

0, caso contrário (2.3)

dizemos queié vermelho se

R

i=1.

Para que possamos continuar com a demonstração do teorema vamos precisar de dois resultados auxiliares. O primeiro é um teorema cuja demonstração está em [12]; e o segundo é um lema que iremos provar.

Teorema 2.4. Seja γ um circuito em G. Então todo caminho que começa no interior de γ e termina no exterior deγcontém um vértice que é adjacente a um vértice deγ.

Lema 2.1. Sejaε>0. Existe uma constantecε>0 tal que para o modelo de percolação

auto-destrutiva de sítios emGcom parâmetros 0<δ_≤pcep∈(pc,1−ε)o que segue é verdadeiro:

para todoi_∈V, todo conjunto finito de vérticesF_⊂V e todo conjunto de cores(rj,j∈F)de

F,

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F)

P_p,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F) ≤

cεδ. (2.4)

Então,

P_p,δ(

Y

i=1|

R

j=rj,∀j∈F)≤cεδ. (2.5)

Demonstração. Primeiro observe que, se provarmos (2.4), encontramos (2.5). De fato, por (2.4), temos:

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F)≤cεδPp,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F).

Logo,

P_p,δ(

Y

i=1|

R

j=rj,∀j∈F) =

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F)

P_p,δ(

R

j=rj,∀j∈F)

≤ Pp,δ_P(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F)

p,δ(

R

j=rj,∀j∈F)

cεδ

Na última desigualdade usamos queP_p,δ(

Y

i=0|

R

j =rj,∀j∈F) é medida de probabilidade,

sendo menor ou igual a 1.

Para provar(2.4)temos que estudar a dependência entre as variáveis

Y

ie

R

j. Como

R

j

depende de j_∈F e de todos os seus primeiros vizinhos, para que

Y

i e

R

j sejam independentes

temos que nos assegurar de queinão é um desses vizinhos. Colocando de outra forma,

quere-mos que emDi, o conjunto dos primeiros vizinhos dei, não exista j∈F. Logo, seDi∩F= /0,

a variável aleatória

Y

ié independente da seqüencia

R

j,∀j∈F, e então

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F)

P_p,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F)

= Pp,δ(

Y

i=1)Pp,δ(

R

j=rj,∀j∈F) P_p,δ(

Y

i=0)Pp,δ(

R

j=rj,∀j∈F)

= Pp,δ(

Y

i=1) P_p,δ(

Y

i=0)

= δ

1₋δ.

Assim, se escolhermoscε≥₁₋1_δ, chegamos ao resultado de(2.4).

Para o caso em que as variáveis

Y

ie

R

jnão são independentes, ou seja, seF′=Di∩F6=

/0, consideramos dois subcasos:

⋆_∃j_∈F′tal querj=1. Observe que se j∈Dientãoi∈Dj, logo, para que

R

j=rj=1,

teremos

Y

i=0, o que nos leva a concluir que

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F) =0

e, pela definição de

R

j, vemos que Pp,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F)>0. Então, nesse caso,

pode-mos escolher qualquer valor paracε>0 e(2.4)está demonstrada.

⋆Serj=0,∀j∈F′, temos que:

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F) = Pp,δ(

Y

i=1)Pp,δ(

R

j=rj,∀j∈F|

Y

i=1)

≤ δP_p,δ(

R

j=rj,∀j∈F\F′|

Y

i=1), pois F\F′é subconjunto deF,

= δP_p,δ(

R

j=rj,∀j∈F\F′).

A última igualdade ocorre pois, para j_∈F_\F′,

R

j e

Y

isão independentes. Além disso,

P_p,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F) = Pp,δ(

Y

i=0)Pp,δ(

R

i=rj,∀j∈F|

Y

i=0)

A desigualdade ocorre pois o evento_{

R

j=rj,∀j∈F ;

X

z=0,∀z∈Di}está contido no evento

{

R

j=rj,∀j∈F}. Usando a propriedade de probabilidade condicional

P_p,δ(A_∩B_|C) =P_p,δ(A)P_p,δ(B_|A_∩C),

temos que

P_p,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F) ≥ (1−δ)(1−p)dPp,δ(

R

j=rj,∀j∈F|

Y

i=0;

X

z=0,∀z∈Di)

≥ (1₋δ)(1₋p)dP_p,δ(

R

j=rj,∀j∈F\F′).

Combinando essas duas equações, temos

P_p,δ(

Y

i=1;

R

j=rj,∀j∈F)

P_p,δ(

Y

i=0;

R

j=rj,∀j∈F) ≤

δ

(1₋δ)(1₋p)d ≤

δ

(1₋pc)(1−p)d ≤

δ (1₋pc)εd

.

Observe que na segunda desigualdade acima usamos queδ_≤pcenquanto a última é valida uma

vez quep_∈(pc,1−ε)Logo, basta tomarcε= ₍₁₋1_pc)εd.

Agora vamos continuar a demonstração do teorema. Sejaε>0. Suponhap_∈(pc,1−ε),

e sejaδtal que p(1₋dcεδ)>pc, ondecεé a constante dada no lema acima.

Seja i_∈V, F um conjunto finito de vértices que não contém i e rj∈ {0,1}, ∀j∈F.

Temos que:

P_p,δ(

R

i=1|

R

j=rj,∀j∈F) = Pp,δ(

X

i=1;

Y

z=0,∀z∈Di|

R

j=rj,∀j∈F)

= P_p,δ(

X

i=1)Pp,δ(

Y

z=0,∀z∈Di|

R

j=rj,∀j∈F),

em que usamos a independência das variáveis

X

e

Y

. Além disso,

P_p,δ(

Y

z=0,∀z∈Di|

R

j=rj,∀j∈F) = 1−Pp,δ((

Y

z=0,∀z∈Di)c|

R

j=rj,∀j∈F)

= 1₋P_p,δ([

z∈Dz

Y

z=1|

R

j=rj,∀j∈F)

> 1₋

_∑

z∈Dz

P_p,δ(

Y

z=1|

R

j=rj,∀j∈F)

> 1₋dcεδ.

A última desigualdade segue do Lema(2.1). Assim,

Comop(1₋dcεδ)>pc, o processo(

R

i,i∈V)domina um processo i.i.d. com parâmetro

maior quepc. Uma comparação com percolação comum mostra que q.c. existe um aglomerado

infinito

R

-ocupado (veja o Lema(3.1)no apêndice B) que contém um circuito ao redor da ori-gem. Sejaγtal circuito. Observe que pela definição de coloração,γpertence a um aglomerado infinito

X

-ocupado. Defina:

Γ_≡[

i_∈γ

Di.

Para cadaw_∈Γtemos que ou

X

w=1 caso em quewpertence a um aglomerado infinito

X

-aberto, ou temos,

X

w=0. Em ambos os casos,

X

w∗=0. Como temos também

Y

w=0, temos

Z

w=0,∀w∈Γ. Pelo Teorema(2.4), concluímos que não existe aglomerado infinito

Z

-aberto

começando na origem.

Então, provamos que_∀ε>0 e p<1₋ε, se p(1₋dcεδ)> pc, temos queθ(p,δ) =0,

ou seja,

δc(p)≥

p₋pc

pdcε ,

p<1₋ε,

o que completa a demonstração deste teorema.

2.3 A Conjectura de van den Berg

Como emZ2θ(p)_ցθ(pc) =0 quando pցpc, temos que, se p> pctem valor muito

próximo ao do ponto críticopc, somente uma porção pequena (a saber,θ(p)) de sítios é afetada

pela catástrofe. Considere a distribuição P_p,δ. Fazendo um paralelo com percolação usual, seria razoável pensar que basta um processo comδpequeno para reintroduzir um aglomerado

infinito, ou seja, intuitivamente achamos que

∀δ>0, _∃p> pc tal que θ(p,δ)>0. (2.6)

Podemos ir mais adiante e nos perguntar se

lim

pցpc

θ(p,δ) =θ(pc,δ),

o que, como observamos antes, é igual aθ(pc+ (1−pc)δ), que é positivo.

De fato, durante algum tempo acreditou-se que isso era verdade. (E podemos provar esse resultado para a árvore binária, veja no Capítulo 3). Mas van den Berg e Brower conjecturaram em [1] e [5] que a afirmativa(2.6)acima não é verdade para redes planas regulares incluindo a

Conjectura 2.1 (van den Berg). Para percolação auto-destrutiva de sítios na rede quadrada

conjectura-se que

∃δ>0 tal que_∀p>pc, θ(p,δ) =0.

A seguir, vamos definir a seqüencia (an(δ)) e provar que se para algum δ>0 esta é

afastada de 1, então a Conjectura (2.1) acima é verdadeira. Seja n>0 e p= pc. Considere

a caixa [0,3n]_×[0,2n]como subconjunto da rede quadrada, o que forma um grafo, denotado

porG=G(n). Seja L=L(n)o lado de baixo_{(i,0): 0_≤i_≤3n_}da caixa,M=M(n)a linha horizontal do meio_{(i,n): 0_≤i_≤3n_}, eU =U(n)o lado de cima _{(i,2n): 0_≤i_≤3n_} da

caixa.

Figura 6: GrafoG(n): caixa[0,3n]_×[0,2n].

Entãoan=an(δ)é formalmente definido como

an≡P(_pG_c,δ,U)(L→M). (2.7)

Baseado em simulações computacionais, acredita-se no que segue:

Conjectura 2.2.

∃δ>0 tal que a sequência(an(δ))é afastada de 1. (2.8)

Em outras palavras,_∃δ>0 tal que(an(δ))tem a seguinte propriedade:

∃ε>0 tal quean(δ)<1−ε, ∀n.

No decorrer dessa seção vamos estudar vários resultados que são válidos se assumirmos que a conjectura acima é verdadeira.

Teorema 2.5. Se para algumδa seqüencia de probabilidades(an(δ))é afastada de 1, então

Este teorema mostra que a conjectura (2.2) acima implica na Conjectura de van den

Berg(2.1). Para prová-lo precisamos de alguns lemas auxiliares. Para isso vamos introduzir algumas notações. Defina

B(n) = [₋n,n]_×[₋n,n], n_≥0. S(n) =B(n)_\B(n₋1), n>1,

isto é,S(n)é a fronteira deB(n). Além disso, defina o anel

A(n,m) =B(m)_\B(n₋1), 1_≤n_≤m.

Figura 7: Representação dos anéisA(n,5n),A(3n,5n)e da caixaB(3n).

Além da seqüencia(an)acima, vamos definir a seqüencia(bn)como segue: tome o anel

A(n,5n) como subconjunto da rede quadrada e o considere como um grafo finito. Primeiro vamos fazer percolação usual com parâmetro p, ou seja, cada sítio do grafo será dito ocupado

com probabilidade p ou vago com probabilidade complementar, independentemente dos

de-mais. Então vamos tornar vago cada sítio cujo aglomerado contém um contorno ao redor de

B(3n). Finalmente, faremos um processo de percolação independente de sítios com parâmetro δ. Definimos bn=bn(p,δ)como a probabilidade de que a configuração final tenha um

Lema 2.2. Seδ>0 é tal que a seqüencia(an(δ)), definida por(2.7), é afastada de 1, então a

seqüencia(bn(pc,δ))também é afastada de 1.

Demonstração. Escrevaanparaan(δ)ebnparabn(pc,δ), a fim de simplificar a notação.

Afir-mamos que

bn ≤ Ppc,δ(não existe contorno emA(3n,5n))

+(1₋(1₋a2n)4)Ppc,δ(existe contorno ocupado emA(3n,5n)).

Observe que o lado direito da inequação acima é estritamente menor que 1, fazendo com que

(bn)seja afastada de 1. De fato, primeiro temos que

P_pc,δ(existe contorno emA(3n,5n)) +P_pc,δ(não existe contorno emA(3n,5n)) =1,

pois são eventos complementares. Usando o Teorema RSW(1.5), podemos garantir que

P_pc,δ(existe contorno emA(3n,5n))>0. Como 0 <(1₋(1₋a2n)4)<1, uma vez que a2n é

probabilidade e é afastada de 1, temos que

bn ≤ Ppc,δ(não existe contorno emA(3n,5n))

+(1₋(1₋a2n)4)Ppc,δ(existe contorno ocupado emA(3n,5n))<1,

o que demonstra o lema, desde que a afirmação seja verdadeira.

Prova da Afirmação. Defina

X

i,

Y

i, i∈V(A(n,5n)) como na seção (1.2) e defina as

seguintes variáveis aleatórias em termos das variáveis

X

e

Y

:

X

_i(∗c)=

(

1, se

X

i=1 mas o aglomerado

X

-ocupado deinão contém contorno ao redor deB(3n),

0, caso contrário.

(2.9) e

X

_i(∗S)=

(

1, se

X

i=1 mas∄caminho

X

-ocupado emA(n,5n)deiaS(5n),

0, caso contrário. (2.10)

parai_∈V(A(n,5n)).

Além disso, seja

Z

_i(c)_≡max_{

X

_i(∗c),

Y

i},

e

Então, na notação acima,bn=Ppc,δ(∃caminho

Z

(

c)

i -ocupado deS(n)aS(3n)).Parai∈A(n,3n),

cada caminho deiaS(5n)intercepta todo contorno emA(3n,5n). A partir disso e das definições

acima, segue que se existe um contorno

X

-ocupado emA(3n,5n), então, para todoi_∈A(n,3n),

X

_i(∗c)_≤

X

_i(∗S). De fato, existindo tal contorno, o caminho aberto deiaS(5n)pode existir (o que

daria

X

_i(∗c)=0_≤

X

_i(∗S)=0) ou não (o que daria

X

_i(∗c)=0_≤

X

_i(∗S)=1). Então

bn = Ppc,δ(∃caminho

Z

(c)-ocupado deS(n) aS(3n))

≤ P_pc,δ(∄contorno

X

-ocupado em A(3n,5n))

+ P_pc,δ(_∃contorno

X

-ocupado emA(3n,5n);_∃caminho

Z

(S)-ocupado deS(n)aS(3n))

Na desigualdade observe que

{∃caminho

Z

(c)-ocupado deS(n) aS(3n)_{} ⊂}

{∄contorno

X

-ocupado em A(3n,5n)_{} ∪ {∃}contorno

X

-ocupado em A(3n,5n)_},

pois essa união é o espaço amostral. Contudo, se

ω_{∈ {∃}caminho

Z

(c)-ocupado deS(n) aS(3n)_{} ∩ {∃}contorno

X

-ocupado em A(3n,5n)_},

todo sítioido caminho

Z

C_{-ocupado dessa configuração é tal que}

_Y

i=1 ou

X

i=1, o que implica

Z

_i(S)=1. Usando que o evento_{∃contorno

X

-ocupado em A(3n,5n)_}, que depende somente

de

X

i,i∈A(3n,5n), é crescente nessas variáveis enquanto o evento{∃caminho

Z

(S)-ocupado de

S(n)aS(3n)_}é decrescente nas mesmas, podemos usar a Desigualdade de FKG (mais

especi-ficamente, a equação(1.4)), e obter:

bn ≤ Ppc,δ(∄contorno

X

-ocupado emA(3n,5n)) (2.11)

+ P_pc,δ(_∃contorno

X

-ocupado emA(3n,5n))_×P_pc,δ(_∃caminho

Z

(S)-ocupado deS(n)aS(3n)).

SejamR1,R2,R3,R4os quatro retângulos de comprimento 6ne largura 2ncuja união é

A(n,3n). Mais explicitamente, sejaR1, dentre os retângulos horizontais, o inferior. Denote os dois lados maiores deR1porL1eL2, ondeL2é a base{(i,−3n);−3n≤i≤3n}. SejaRa união deR1e sua imagem refletida em um espelho colocado emL2. Finalmente, seja L3a base deR, formada pelo conjunto_{(i,₋5n);₋3n_≤i_≤3n_}.

O fator

P_pc,δ(_∃caminho

Z

(S)-ocupado deS(n)aS(3n))

do lado direito da equação(2.11), de acordo com a notação introduzida na seção(1.2), é

Figura 8: A região sombreada representa o retânguloR.

Usando o fato de que um caminho deS(n)aS(3n)sempre contém um subcaminho em um dos

quatro retângulosR1,R2,R3,R4, entre os dois lados mais compridos do mesmo, temos

P(A(n,5n);S(5n))

pc,δ (S(n)→S(3n))≤

P(_pA_c,δ(n,5n);S(5n))

4

[

i=1

∃caminho

Z

(S)-ocupado entre os lados mais compridos deRi !

=1₋P(A(n,5n);S(5n))

pc,δ

4

\

i=1

(_∃caminho

Z

(S)-ocupado entre os lados mais compridos deRi)C !

.

Como (A(n,5n) é um grafo finito, P(A(n,5n);S(5n))

pc,δ é uma medida associada (Lema (1.1)),

po-demos aplicar a propriedade (1.5) e, juntamente com a simetria da construção (cada um dos

retângulos desempenha o mesmo papel), obtemos

P(A(n,5n);S(5n))

pc,δ (S(n)→S(3n)) ≤ 1−P

(A(n,5n);S(5n))

pc,δ (A(n,5n;S(5n)))(L19L2emR1)

4

= 1₋(1₋P(A(n,5n);S(5n))

pc,δ (L1→L2emR1))

4_.

Usando um argumento de monotonicidade, temos

P(A(n,5n);S(5n))

pc,δ (S(n)→S(3n))≤1−(1−P

(R;L3)

pc,δ {L1→L2})

Por definição dean, isso é igual a 1−(1−a2n)4e usando esse fato em(2.11), a demonstração

da afirmação está completa.

Lema 2.3. Seδ>0 é tal que a seqüencia(bn(pc,δ))é afastada de 1, então∃ε>0 tal que a

família(bn(p,ε),n=1,2, . . . ,p∈[pc,pc+ε])é afastada de 1.

Demonstração. Tomeεtão pequeno que

(pc+ε) + (1−pc−ε)ε<pc+ (1−pc)δ.

Sep1=pc,δ1=δ, p2= pc+εeδ2=ε, usando o Corolário(1.1), temos

P_pc+ε,εé dominado porP_pc,δ.

Com isso,

bn(p,ε)≤bn(pc,δ), p∈[pc,pc+ε].

Portanto, comobn(pc,δ)é afastada de 1, chegamos ao resultado desejado.

Lema 2.4. Seδ>0 é tal que a seqüencia_{an(δ)}é afastada de 1, então

∃ε>0 tal que θ(p,ε) =0, p_∈(pc,pc+ε].

Observação.De fato, vamos provar a seguinte afirmação mais forte: se existe umδ>0

para o qual a seqüencia(an(δ))é afastada de 1, então existemε>0 eα>0 tais que

∀p_∈(pc,pc+ε], ∃C ∀n Pp,δ(O→S(n))≤Cn−α.

Demonstração. Suponha que δ satisfaz a condição do enunciado. Então, pelos dois lemas

anteriores, podemos encontrar umε>0 e umb<1 tais que, para todos p_∈[pc,pc+ε]e todos

n_≥1,

bn(p,ε)<b. (2.12)

Sejam n_≥1 e p_∈(pc,pc+ε). SejaC1 uma constante positiva (no momento vamos tomar

C1arbitrária; mais adiante vamos escolher um valor adequado, dependendo de p). Defina, para cadai_∈Z2, as variáveis aleatórias

X

i,

X

i∗,

Y

ie

Z

icomo anteriormente. Além disso, defina agora

X

_i(∗C)=

(

1, se

X

i=1 mas seu algomerado

X

-ocupado não contém contorno ao redor deB(C1logn),

0, caso contrário.

(2.13) e

Com isso, temos

P_p,δ(O_→S(n)) = P(_∃caminho

Z

-ocupado de O aS(n))

≤ P(_∃caminho

Z

-ocupado deS(C1logn)aS(n))

Note que se existe um caminho infinito

X

-ocupado saindo de S(C1logn), então, como esse caminho intersepta todo contorno ao redor deB(C1logn), temos

X

i∗≤

X

i∗C (e assim

Z

i≤

Z

Ci )

para todoi_∈Z2_\B(C1logn).

P_p,δ(O_→S(n)) _≤ P_p,δ(_∃caminho

Z

(C)-ocupado deS(C1logn)aS(n)) (2.14)

+P_p,δ(∄caminho infinito

X

-ocupado saindo deS(C1logn)).

Da percolação usual sabemos que o último termo do lado direito da equação(2.14)é no máximo (veja seção 8.6 de [8])

C2e(−β1(p)C1logn), (2.15) ondeC2(p)eβ1(p)são constantes positivas que dependem somente de p.

Agora vamos tratar do primeiro termo do lado direito da equação (2.14). Seja K o

conjunto de todos os inteiros positivos k comC1logn<3k<5×3k <n, e considere o anel

A(3k,5_×3k),k_∈K. Esses anéis são disjuntos par a par. Assim, pela construção, temos que

P_p,δ(_∃caminho

Z

(C)-ocupado deS(C1logn)aS(n))≤

∏

k∈K

b₃k(p,ε)<b|K|, (2.16)

em que a última desigualdade vem de(2.12)e_|K_|denota o tamanho deK. A partir da definição

deKsabemos que existe umC3>0 (que é uma função deC1), e uma constanteβ2>0 tais que, para todon, (2.16)é no máximoC3n−β2. Então para todoC1>0, existeC3>0 constante tal que para todop_∈(pc,pc+ε)e todon≥1,

P_p,δ(_∃caminho

Z

-ocupado de O aS(n)) _≤ C2(p)e(−β1(p)C1logn)+C3n−β2

= C2(p)e(logn−

β₁(p)C₁₎

+C3n−β2

= C2(p)n−β1(p)C1+C3n−β2.

Se escolhermosC1tão grande (dependendo dep) queC1β1≥β2,

P_p,δ(_∃caminho

Z

-ocupado de O aS(n))_≤C2(p)n−β2+C3(p)n−β2= (C2(p) +C3)n−β2.

O grafo

T

, a árvore binária, é uma árvore infinita na qual um vértice, que chamaremos

de raiz, tem dois vizinhos, e todos os outros têm três vizinhos. Denotaremos a raiz por 0 e seus

Figura 1: Árvore Binária

dois vizinhos por 1 e 2, respectivamente. Os sítios 1 e 2 podem ser considerados como raízes das sub-árvores

T

1e

T

2, respectivamente.

Considerando percolação usual de sítios em

T

com parâmetro p, como

T

1 e

T

2 são cópias de

T

, tais grafos possuem o mesmoθ(p). Assim, para que exista percolação em

T

, a raiz

0 tem que estar aberta (o que ocorre com probabilidadep) e tem que existir um caminho aberto

raiz de alguma das sub-árvores percolar é 1₋(1₋θ2(p)). Portanto, a probabilidade de existir

caminho infinito aberto em

T

é

θ(p) = p(1₋(1₋θ2(p))) =p(2θ(p)₋θ2(p)). (3.1)

Resolvendo essa equação paraθ(p), temos, parap> pc, que

θ(p)_≡

P

p(0→∞) =

2p₋1

p . (3.2)

A funçãoθ(p)é contínua, pois é raiz do polinômio p(2x₋x2). Comoθ(p) =0 para p< pc,

concluímos queθ(pc) =0 e

θ(pc) =0 ⇔

2p₋1

p =0 ⇔ pc=

1 2.

Portanto, o ponto crítico de

T

é pc=1/2.

Partindo para o estudo do processo de percolação auto-destrutiva na árvore binária

T

,

vamos mostrar que é(2.6)válida. Na verdade, mostraremos algo mais específico,

lim

pցpc

θ(p,δ) =θ(pc,δ),

lembrando queθ(pc,δ) =θ(pc+ (1−pc)δ)>0. Tais resultados foram demonstrados por van

den Berg e Brower na seção 5 do artigo [1] e na seção 2.6 da tese [5].

Teorema 3.1. No processo de percolação auto-destrutiva com parâmetros p eδem

T

, temos que:

(i) _∀p> pc,∃δ>0, tal queθ(p,δ) =0.

Em particular,

(ii) se p(1₋δ)_≥pc, entãoθ(p,δ) =0.

(iii) _∀δ>0_∃pˆ>pce∃α>0tais que∀p∈[pc,p], temosˆ θ(p,δ)>α.

Mais geralmente,

(iv) lim

p_ցpc

θ(p,δ) =θ(pc,δ),∀δ>0.

Demonstração. Assim como fizemos na percolação usual para encontrar (3.1), vamos usar o

variá-veis aleatórias para que tais complicações possam ser tratadas de forma mais simples. Sejam

X

i,

Y

i,

X

_i∗e

Z

i,i∈V, como definidas na seção (1.2). Sendo assim, defina parai∈V,

X

_i∗+=

(

1, se

X

i=1 e não existe caminho

X

-ocupado saindo deipara∞ou para 0,

0, caso contrário.

(3.3) e

Z

_i+=max_{

X

_i∗+,

Y

i}.

Observe que, a partir dessa definição, temos

X

₀∗+=0.

Também vamos definir variáveis análogas para

T

1 e

T

2. Assim,

X

_i∗(1), i ∈V(

T

1) é definida por:

X

_i∗(1)=

(

1, se

X

i=1 e não há caminho infinito

X

-ocupado saindo deiem

T

1,

0, caso contrário. (3.4)

A definição de

X

_i∗+(1),i_∈V(

T

1)é a que segue:

X

_i∗+(1)=

(

1, se

X

i=1 e não existe caminho

X

-ocupado em

T

1saindo deipara∞ou para 1,

0, caso contrário.

(3.5) Além disso, defina

Z

_i(1)=max_{

X

_i∗(1),

Y

i}, i∈V(

T

1),

e

Z

_i+(1)=max_{

X

_i∗+(1),

Y

i}, i∈V(

T

1).

Finalmente, defina

X

_i∗(2),

X

_i∗+(2),

Z

_i(2) e

Z

_i+(2),i_∈V(

T

2)de modo análogo.

Vamos primeiro demonstrar a parte(ii)do teorema. Para isso, observe que se o aglome-rado

Z

-ocupado da origemOé infinito, então o eventoAa seguir tem que ocorrer:

A_{≡ {}max_{

X

O,

Y

O}=1 e∃i∈ {1,2}tal queiestá em um caminho infinito

Z

(i)-ocupado em

T

i}.

Assim

P_p,δ(A) = P_p,δ{max_{

X

O,

Y

O}=1}Pp,δ{∃i∈ {1,2}tal quei→∞em

T

i}

= (p+ (1₋p)δ)P_p,δ{∃i_{∈ {}1,2_}tal quei_→∞em

T

i}

Note que a última igualdade é válida por argumentos análogos aos usados para encontrar(3.1),

basta trocarθ(p)porθ(p,δ). Como o evento_{0_→∞_}está contido emA, temos

θ(p,δ)_≤P_p,δ(A) = (p+ (1₋p)δ)(2θ(p,δ)₋θ(p,δ)2). (3.6)

Por outro lado, seAocorre e o aglomerado

X

-ocupado de 0 é finito, então o aglomerado

Z

-ocupado de 0 é infinito. De fato, se

X

0=1 e aglomerado

X

-ocupado é finito, temos

X

0∗=1 e, assim,

Z

0=1; se

Y

0=1, temos também

Z

0=1. Se acrescentarmos o fato de que a raiz de uma das subárvores percola, temos que o aglomerado

Z

-ocupado de 0 é infinito. Então, temos

θ(p,δ)_≥P_p,δ(A)₋θ(p) = (p+ (1₋p)δ)(2θ(p,δ)₋θ(p,δ)2)₋θ(p). (3.7)

Em seguida vamos melhorar o limite superior(3.6). Primeiro definimos o evento

B_{≡ {}

X

O=1,

Y

O=0 e ∃i∈ {1,2}tal queiestá em um caminho infinito

Z

(i)-ocupado

em

T

ie 3−iestá em um caminho infinito

X

-ocupado em

T

3−i.}

Podemos ver queB_⊂A, mas também se B ocorre, então

Z

0=0 e a origem não está em um caminho infinito

Z

-ocupado. Logo, para que a raiz 0 percole, é necessário que ocorraAsemB

e, assim, temos:

θ(p,δ)_≤P_p,δ(A)₋P_p,δ(B). (3.8) Resta, agora, saber a probabilidade deBocorrer:

P_p,δ(B) = p(1₋δ)

× (2θ(p,δ)θ(p)₋P_p,δ{iestá em um caminho infinito

Z

(i)-ocupado em

T

i

e está em um caminho infinito

X

-ocupado em

T

i,i∈ {1,2}})

≥ p(1₋δ)_×(2θ(p,δ)θ(p)

−P_p,δ{iestá em um caminho infinito

Z

(i)-ocupado em

T

i,i∈ {1,2}})

= p(1₋δ)(2θ(p,δ)θ(p)₋θ(p,δ)2).

Isso, juntamente com(3.8)e a expressão paraP_p,δ(A)em(3.6), nos dá

θ(p,δ)_≤(p+ (1₋p)δ)(2θ(p,δ)₋θ(p,δ)2)₋p(1₋δ)(2θ(p,δ)θ(p)₋θ(p,δ)2).

Então, seθ(p,δ)>0,