Percolação de elos em Zd no regime altamente supercrítico

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS

Departamento de Matem´atica

Tese de Doutorado

PERCOLAC

¸ ˜

AO DE ELOS EM

Z

d

_{NO REGIME}

ALTAMENTE SUPERCR´

ITICO

R´emy de Paiva Sanchis

Orientador: Gast˜ao de Almeida Braga

Co-orientador: Aldo Procacci

(2)

Resumo

Neste trabalho estudamos o modelo de percola¸c˜ao de Bernoulli nos elos de Zd _{em que cada elo est´}_a

aberto independentemente dos outros com probabilidade p ∈ [0,1]. Sejam θ(p) e τf

x,y(p) a probabi-lidade de percola¸cão e a conectividade finita de dois pontos, respectivamente. Enunciamos a seguir os principais resultados dessa tese, todos eles válidos para valores do parâmetro p suficientemente próximos de 1.

• Mostramos, através de uma expansão em pol´ımeros, que as fun¸cões 1−θ(p) eτf

x,y(p) podem ser escritas como uma série de potências absolutamente convergente em (1−p)/p, o que implica que elas são fun¸cões anal´ıticas.

• No caso em que d≥ 3, obtemos cotas superior e inferior para τf

x,y suficientemente precisas para concluir que a sua taxa de decaimento exponencial, m(p), ´e da forma m(p) = 2(d−

1) ln(1−p) +O(1−p).

• Provamos o comportamento de Ornstein-Zernike para τ_x,yf , quando os s´ıtios estiverem na mesma dire¸c˜ao principal e quandod≥3.

Abstract

We study the Bernoulli percolation model on edges on Zd _{where each edge in open with probability}

p∈[0,1] independently of one another. Letθ(p) andτf

x,y be the percolation probability and the finite connectivity function, respectively. We state the main results of this thesis. All of them are valid for

p sufficiently close to 1.

• Using a polymer expansion, we prove that 1−θ(p) andτ_x,yf (p) can be written as an absulutely convergent power series in (1−p)/p. Thus implying that these functions are analytic.

• In the case d ≥ 3, we provide upper and lower bounds for τ_x,yf sufficiently close from one another to conclude that the rate of the exponential decay, m(p), is of the form m(p) = 2(d−1) ln(1−p) +O(1−p).

• We derive an Ornstein-Zernike assymptotic formula forτf

(3)

Sum´

ario

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 1

Cap´ıtulo 2. Percola¸c˜ao de elos em Zd ₅

1. O modelo 5

2. Plaquetas, contornos e pol´ımeros 6

Cap´ıtulo 3. Expans˜ao em pol´ımeros 11

1. Estimativas de entropia 11

2. A convergência da expansão para a probabilidade de percola¸cão 14

3. A convergˆencia da expans˜ao para a conectividade finita 18

4. Cotas para a conectividade finita 21

Cap´ıtulo 4. O Comportamento de Ornstein-Zernike 29

1. A Separa¸c˜ao de Hiperplanos 29

2. O operador τf ₃₃

3. Propriedades da inversa de τf 34

4. Localiza¸c˜ao dos zeros de ˆM 37

5. Propriedades de ω 40

6. O Comportamento de Ornstein-Zernike 42

Cap´ıtulo 5. Apˆendices 45

1. An´alise Complexa 45

2. Grafos, árvores e fórmulas de domina¸cão 46

Referˆencias Bibliogr´aficas 49

(4)

CAP´ıTULO 1

Introdu¸

c˜

ao

Esse trabalho versa sobre alguns aspectos do modelo de percola¸c˜ao independente de elos em Zd _no

regime supercr´ıtico. Nesse modelo cada elo que liga vizinhos pr´oximos em Zd_{, pode estar aberto, com}

probabilidade p, ou fechado, com probabilidade 1−p, de maneira independente uns dos outros. O modelo ´e descrito na Se¸c˜ao 1.

Sabe-se que, para d ≥2, existe um valor não-trivial de p, chamado de ponto cr´ıtico, acima do qual aparece quase certamente um aglomerado infinito no sistema. Consideramos a probabilidade de um dado s´ıtio estar nesse aglomerado, θ(p). Esta fun¸cão do parâmetro p vale zero até o ponto cr´ıtico, é positiva além dele e cresce até 1, quando todos os elos estão abertos. Não é dif´ıcil ver que essa fun¸cão é cont´ınua, exceto eventualmente no ponto cr´ıtico (ver a figura), e Russo [35] mostrou que ela é, na realidade, infinitamente diferenciável em [0,1] exceto no ponto cr´ıtico. Aparentemente, desde então o problema de saber seθ(p) é anal´ıtica permaneceu em aberto. Neste trabalho mostramos

TeoremaA fun¸cão θ(p) é anal´ıtica na variávelp em uma vizinhan¸ca de 1.

Esse resultado é obtido após estabelecermos uma representa¸cão em pol´ımeros para θ(p). Provamos, então, que a expansão em pol´ımeros é convergente sepé suficientemente próximo de 1. A analiticidade de θ(p) segue da convergência da expansão.

Por um lado podemos obter facilmente uma expansão desse tipo para valores pequenos dep. Neste caso uma expansão convergente é obtida usando os aglomerados conexos (lattice animals) como pol´ımeros. Já o caso em quepestá próximo de 1 é mais delicado. Podemos tentar uma representa¸cão direta, em que os pol´ımeros são os elos fechados da fronteira dos aglomerados, uma vez que a probabilidade desses elos estarem abertos é pequena e vale 1−p. Assim, a série de 1−θ(p) pode ser cotada por uma série em|1−p|, mas para a convergência da série necessitamos que a entropia, quantidade de pol´ımeros de um certo tamanho, seja no máximo de crescimento exponencial. Infelizmente essa quantidade cresce mais rapidamente do que qualquer exponencial e a representa¸cão direta não nos serve.

No entanto, podemos mostrar que há uma maneira adequada de definirmos os pol´ımeros, feita na Se¸cão 2, de modo a se obter uma expansão convergente. Os pol´ımeros não mais são simplesmente fronteiras de animais, mas fronteiras conexas em um sentido particular. Somos levados a estudar objetos de certa forma duais aos elos do modelo, chamadas plaquetas e conjuntos conexos formados por esses objetos. Uma vez os pol´ımeros definidos, podemos obter boas estimativas de entropia, como é feito na Se¸cão 1.

Na Se¸cão 2, mostramos que expansão é efetivamente convergente. A técnica de expansão em pol´ımeros nos permite obter um resultado perturbativo, ou seja, para valores depverdadeiramente próximos de 1. Mas, mesmo se acreditamos que o resultado é válido até o ponto cr´ıtico, dever´ıamos lan¸car mão de técnicas completamente diversas para atingir tal objetivo.

(5)

2 1. INTRODUC¸ ˜AO

Uma vez que obtemos essa representa¸c˜ao, podemos analisar outra fun¸c˜ao importante do modelo. Seja

τx,y a probabilidade de dois s´ıtios x e y estarem conectados. Se, na fase subcr´ıtica, a conectividade tem decaimento exponencial na distância entrexey, na fase supercr´ıtica ela não decai pois há sempre uma probabilidade não-nula dos s´ıtios estarem no aglomerado infinito. Somos levados a considerar então τ_x,yf , a conectividade finita, isto é, a probabilidade de dois s´ıtios estarem conectados por um aglomerado finito. Na se¸cão 3 mostramos

TeoremaA fun¸c˜ao τf

x,y(p) ´e anal´ıtica na vari´avelp em uma vizinhan¸ca de 1.

Sabe-se que τ_x,yf decai exponencialmente em toda a fase supercr´ıtica ( ver [15]) e a representa¸c˜ao em pol´ımeros nos permite obter cotas bastante finas para o decaimento. Denotando por |x−y| a norma do grafo, ou seja, |x−y|=P_i|xi−yi|, para qualquer par de s´ıtios emZd mostramos

Teorema A fun¸c˜ao conectividade finita τf

x,y(p) admite as seguintes cotas para qaisquer x, y ∈ Zd e para λ=λ(p) = (1−p)/p suficientemente pequeno e parad≥3

(0.1) L(x, y)

λ

(1 +λ)2

Nx,y

≤τ_x,yf (p)≤2L(x, y)λNx,y(1 +Cλ)2Nx,y,

onde L(x, y) = (|x1−y1|+···+|xd−yd|)!

|x1−y1|!+···+|xd−yd|!, Nx,y= 2(d−1)(|x−y|+ 1) + 2e C ´e uma constante que depende somente da dimens˜aod.

Para o modelo em Z2_{, sabemos que a taxa de decaimento,}_m₍_p_{), satisfaz a rela¸c˜}_ao _m₍_p_{) = 2}_m₍₁₋_p₎

quando p > pc = 1/2 (ver [15]). Para obter esse resultado, usa-se que a redeZ2 é dual a si mesma. Em dimensões maiores não há esperan¸ca de se obter resultado análogo exato, uma vez que a dualidade está ausente. No entanto, o teorema acima nos permite obter uma compara¸cão entre a taxa para

p próximo de 1 e a taxa para p próximos de zero. Mais precisamente, mostramos que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade m´ınima de elos fechados necessários para obtermos o evento, sendo a constante de proporcionalidade a probabilidade de cada um deles estar fechado. Temos então

TeoremaSeja d≥3 ep suficientemente pr´oximo de 1. A taxa de decaimento exponencial da fun¸c˜ao conectividade finita tem o seguinte comportamento

m(p) = 2(d−1) ln(1−p) +O(1−p).

Por outro lado, podemos calcular quanto vale a taxa de decaimento da conectividade para valores de

ppróximos de 0, mostrando que ela é proporcional ao número m´ınimo de elos abertos necessários para a conexão de dois pontos, sendo a constante de proporcionalidade a probabilidade de um elo estar aberto,

m(p) = ln(p) +O(p),

podemos então concluir que há uma rela¸cão análoga ao modelo bidimensional entre os valores das taxas de decaimento, para p≈1, temos

m(p) = 2(d−1)m(1−p) +O(1−p).

(6)

1. INTRODUC¸ ˜AO 3

Obtemos em seguida uma descri¸c˜ao mais precisa do comportamento de τf

x,y, conhecido como com-portamento de Ornstein-Zernike, que dá uma corre¸cão polinomial ao decaimento exponencial. A denomina¸cão vem de [30]. Um pouco mais precisamente

Teorema Seja d ≥ 3 e tomemos x, y ∈ Zd _{tais que} _x₋_y _{= (}_x₁₋_y₁_,₀_,_{· · ·} _,_{0). Ent˜}_{ao existe um}

n´umero positivo r tal que a conectividade finita pode ser escrita como

(0.2) τ_x,yf (p) =C(p, x−y)e−

m(p)|x−y|

|x−y|d−21

, sempre que _1+r1 < p <1,

onde e−m(p) = (1−p)2d−2[1 +f(p)] eC(p, x−y) s˜ao tais que

(0.3) lim

|x−y|→∞C(p, x−y) =

(1−p)4d−d2−1 (2π)d−21

[1 +g(p)]

e f(p), g(p) s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas em p, _1+r1 < p <1, tais que limp→1f(p) = 0 = limp→1g(p).

O método utilizado não se aplica ao caso bidimensional e acredita-se, por analogia com o modelo de Ising (ver [24]), que realmente o modelo bidimensional tem um comportamento diferente. Haveria uma corre¸cão polinomial, mas da forma |x−y|−2 _{e n˜}_{ao com potência 1}_/_{2 como seria o caso previsto} por Ornstein-Zernike. O comportamento de Ornstein-Zernike está associado a um polo simples da transformada de Fourier da conectividade. Em duas dimensões, a singularidade que dá o decaimento exponencial é um ponto de ramifica¸cão.

Na se¸cão 1 usamos a separa¸cão de hiperplanos de Spencer (ver [40, 41]) para obtermos informa¸cões precisas sobre o decaimento exponencial da conectividade finita em uma dire¸cão principal. Observando que a fun¸cão τ_x,yf pode ser vista como o núcleo de um operador no espa¸co ℓ2(Zd_{), mostramos que}

ele admite um operador inverso para valores de p suficientementes próximos de 1 e que o operador inverso decai mais rapidamente que τf _{naquela dire¸c˜}_{ao. Este é o objeto da Se¸c˜}_{ao 3. Esses fatos se} refletem na transformada de Fourier do operador inverso deτf, cuja região de analiticidade, na variável correspondente à dire¸cão do decaimento, contém um zero. A localiza¸cão desse zero depende das outras variáveis. Mostramos que esse zero é simples na Se¸cão 4. Finalmente, na Se¸cão 5 achamos o m´ınimo da fun¸cão de localiza¸cão do zero e, na Se¸cão 6, aplicamos um método de Laplace multidimensional para obtermos o comportamento de Ornstein-Zernike.

O comportamento de Ornstein-Zernike foi obtido de modo rigoroso primeiramente para a correla¸cão do modelo de Ising por Paes Leme [31] que o derivou para altas temperaturas e para o modelo em qualquer dimensão. Schor [36] mostrou que a correla¸cão truncada do modelo de Ising tem esse comportamento para temperaturas muito baixas em dimensõesd≥3. Ambos os resultados são válidos para pares de s´ıtios na mesma reta ordenada.

(7)

4 1. INTRODUC¸ ˜AO

quˆantico em um campo transversal [20] e tens˜ao superficial para o modelo Blume-Capel bidimensional em baixas temperaturas [17]. Mais recentemente o resultado de Paes Leme foi estendido para qualquer temperatura supercr´ıtica (acima de Tc) em [12].

Com rela¸cão ao modelo de percola¸cão de Bernoulli, tal comportamento foi obtido para todos valores de p subcr´ıticos [13] e, neste caso, para todas as dire¸cões [11].

(8)

CAP´ıTULO 2

Percola¸

c˜

ao de elos em

Z

d

Na primeira se¸cão definimos o modelo e algumas quantidades de interesse, em particular, a probabi-lidade de percola¸cão e a conectividade finita. Na segunda se¸cão, usando um modelo definido em uma caixa finita, obtemos uma representa¸cão da probabilidade de percola¸cão e da conectividade finita em termos de certos objetos duais, chamados pol´ımeros.

1. O modelo

Uma referência já canônica para o que será feito nessa se¸cão é o livro de Grimmett [16].

Seja Zd ₌ _{x _∈ Rd_;_x_i _∈ Z _∀i _{= 1}_{, . . . , d}} _{a rede discreta d-dimensional. Chamamos cada ponto} _x

de Zd _de _s´ıtio _ou _{v´ertice. Se} _S _⊂ Zd _{´e finito denotamos por} _|S| _{a cardinalidade de} _S_{. Denotamos}

por k · k a norma euclidiana em Zd _{e por} _{| · |}_{, a norma do grafo em} Zd_{. Um par n˜}_{ao ordenado de}

s´ıtios {x, y} que são vizinhos próximos, isto é, tais que kx−yk = 1, é chamado de elo. Por vezes é interessante termos uma defini¸cão alternativa de elos como todo o segmento que liga dois s´ıtios vizinhos, essa representa¸cão é particularmente interessante quando tomamos a redeZd_{imersa em} Rd_.

Isso não dará margem a ambigüidades. O conjunto de elos de Zd _{é denotado} _B₍Zd_{). A cada elo} _e

associamos uma variável aleatória ωe que toma valores em{0,1}. Se ωe = 1 dizemos que o elo está aberto, caso contr´ario dizemos que ele estáfechado. A variávelωetoma o valor 1 com probabilidadepe o valor 0 com probabilidadeq = 1−p,p∈[0,1]. Denotamosµe essa probabilidade. Uma configura¸cão

ω ´e um elemento de Ω ={0,1}B(Zd₎

que é o espa¸co de configura¸cões. Designamos porF aσ−álgebra gerada pelos conjuntos cil´ındricos. Podemos definir então um processo de percola¸cão nos elos de Zd

com parˆametro p como a medida de probabilidade P _{em (Ω}_,_F_{) que ´e o produto das medidas} _µ_e_, P_{= Π}

e∈B(Zd₎µe. Quando queremos enfatizar o parˆametrop, escrevemos Pp.

Seja um conjunto finito Λ em Zd_{. Escrevemos}_B_{(Λ) para designar o conjunto de todos os elos}_e_⊂_Λ,

i.e. o conjunto de todos os pares {x, y} ⊂ Λ tais que kx−yk = 1 e definimos sua fronteira como

∂Λ ={x∈Λ :∃y6∈Λ tal que ky−xk= 1}. A fronteira de elos de Λ ser´a definida por

(1.1) ∂eΛ ={e∈B(Zd_);_e₌_{{x, y}}_x_∈_Λ_y_6∈_Λ_}.

Um animal AemZd _{´e um subconjunto finito de}_B₍Zd_{), conexo no sentido topol´}_{ogico. Denotamos os}

vértices de A por V_A. Um caminho entre dois pontos da rede x e y é uma sequência finita de elos

{e1, . . . , en}em queei ={xi, xi+1}, todos os vértices são distintos ex1 =xexn+1=y. Um caminho é ditoabertose todos os seus elos estão abertos. Dizemos que dois s´ıtiosx, y∈Zd_est˜_{ao conectados para}

uma dada configura¸c˜ao quando existe um caminho aberto que os cont´em. Denotamos esse evento por

{x ↔ y}. Dada uma configura¸cão, o aglomerado aberto de um vértice x, denotado Cx, é o conjunto

(9)

6 2. PERCOLAC¸ ˜AO DE ELOS EMZd

de vértices conexo por elos abertos, que contém x e maximal com rela¸cão a essa propriedade. A probabilidade de percola¸cão θ(p) é a probabilidade de que a origem (ou, por invariância translacional, qualquer outro s´ıtio fixo) tenha um aglomerado aberto infinito.

(1.2) θ(p) =P₍_|C₀_|₌_∞₎_.

Para qualquer dimensãod≥2 existe umvalor cr´ıtico0< pc <1 tal que, quandop < pc a probabilidade de percola¸cão é nula e quando p > pc ela é estritamente positiva. Se p < pc dizemos que o sistema está na fase subcr´ıtica e se p > pc dizemos que ele está na fase supercr´ıtica.

Outra fun¸cão que será estudada é a probabilidade de que dois s´ıtios estejam conectados, τx,y(p).

(1.3) τx,y(p) =P(x↔y).

Essa probabilidade tende a zero exponencialmente quando a distância entre x e y tende a infinito se o parâmetro do modelo ép < pc. No entanto, sep > pc, usando a desigualdade FKG, a unicidade do aglomerado infinito e a invariância por transla¸cões do modelo, temos

τx,y(p) =P(x↔y)≥P(|Cx|=∞ e |Cy|=∞)≥P(|Cx|=∞)·P(|Cy|=∞) =θ(p)2,

ou seja, τx,y(p) está uniformemente distante de zero para quaisquer x e y. Definimos então, na fase supercr´ıtica, duas fun¸cões que serão, de certo modo, análogas à conectividade na fase subcr´ıtica:

A conectividade truncada

τ_x,yt =P₍_x_↔_y₎₋_θ₍_p₎2

e aconectividade finita

τ_x,yf =P₍_x_↔_y_|C_x_|_<_∞₎_.

Sabemos que essas duas quantidades decaem exponencialmente quando kx−yk → ∞ em toda a fase supercr´ıtica e isso acontece com a mesma taxa ou massa (ver [15]). Supondo que x−y =α~v, onde

α∈R_e_~v _∈_Sd−1

lim α→∞

−lnτ_x,yf

kx−yk =m(p, ~v) = limα→∞

−lnτ_x,yt kx−yk.

2. Plaquetas, contornos e pol´ımeros

Definimos, finalmente, o modelo de percola¸c˜ao a volume finito. Seja Λ∈ Zd_{. Uma configura¸c˜}_{ao em}

B(Λ) ser´a um elemento de Ω_B(Λ)={0,1}B(Λ). Assumiremos que Λ ´e um cubo [−N, N]demZd_{. Nessa}

nota¸c˜ao limΛ_→∞significar´a limN_→∞.

Uma medida de probabilidadeP_Λ_est´_{a naturalmente definida em Ω}_B(Λ)_{, a saber, a restri¸c˜}_{ao ao conjunto}

B(Λ) da probabilidade de Bernoulli emB(Zd_{). Dada uma configura¸c˜}_ao _ω _{em Ω}_B(Λ) _{denotamos por}

Aω o conjunto de todos os elos abertos deωe porFω o conjunto de todos os elos fechados deω. Logo, a probabilidade dada aω ´e simplesmente

P_Λ₍_ω_{) =}_p|Aω|₍₁₋_p₎|Fω|_.

Essa probabilidade j´a ´e normalizada

(2.1) X

ω∈ΩB(Λ)

P_Λ₍_ω_{) =} X

ω∈ΩB(Λ)

(10)

2. PLAQUETAS, CONTORNOS E POL´IMEROS 7

Podemos reescrever (2.1) da seguinte forma

(2.2) 1 =p|B(Λ)| X

ω∈ΩB(Λ)

1−p p

_|Fω|

.

Definimos, paraλ∈C_{, a “fun¸c˜}_{ao parti¸c˜}_ao”

(2.3) ZΛ(λ) =

X

ω∈ΩB(Λ)

λ|Fω|.

Ent˜ao, por (2.2)

(2.4) ZΛ(λ)

λ=1−_pp =p

−|B(Λ)|_.

Para cada elo fechadoeda configura¸c˜aoω, colocamos um hiper-quadradoe∗unit´ario (d− 1)-dimensio-nal, perpendicularmente ae, com arestas paralelas aos eixos ordenados deZd_{e de modo que}_e∗_∩_e_seja

o baricentro do elo e e do hiper-quadradoe∗. Chamamos esse hiper-quadrado de plaqueta dual a e. Os v´ertices da plaqueta se situam na rede transladada pelo vetor (1/2, . . . ,1/2) ∈Rd_{. Denotamos por}

B∗_{(Λ) o conjunto das plaquetas duais a} _B_{(Λ) e por} _B∗₍Zd_{) o conjunto de todas as plaquetas duais.}

De maneira geral, dado um subconjunto S ⊂ B(Zd_{), denotamos por} _S∗ _{o seu dual, i.e.} _S∗ ₌_{e∗ _∈

B(Zd_{) :} _e_∈ _S}_{. Em particular, para}_d _{= 3, uma plaqueta ser´}_{a simplesmente um quadrado. Dados}

dois conjuntos β⊂B∗(Zd_{) e}_β′ _⊂_B∗₍Zd_{), escrevemos} _β_∩_β′₌_{e∗ _∈_B∗₍Zd_{) :}_e∗ _∈_β _e _e∗ _∈_β′_}_.

Duas plaquetase∗ _{e ¯}_e∗ _s˜_ao_{incompat´ıveis}_{se elas partilham uma aresta (}_d−_{2)-dimensional. Escrevemos}

e∗6∼¯e∗. Em d= 3 duas plaquetas s˜ao incompat´ıveis se elas partilham uma aresta. Um conjunto finito

γ ⊂ B∗₍Zd_{) ´e um} _{animal dual} _{se, para qualquer parti¸c˜}_ao _γ ₌ _γ₁ _∪_γ₂_{, existem plaquetas} _e∗

1 ∈ γ1 e

e∗

2 ∈γ2 tais que e∗1 6∼e∗2. Denotaremos por Γ o conjunto de todos os animais duais emB∗(Zd) e por ΓΛ, o conjunto de todos os animais duais emB∗(Λ).

Consideramos γ imerso em Rd_{. Um animal dual} _γ _{´e chamado um} _{contorno de Peierls} _se Rd₋_γ

tem duas componentes conexas e ´e m´ınimal com rela¸c˜ao a essa propriedade. Neste caso γ particiona

Zd _{de maneira ´}_{unica em dois conjuntos disjuntos, um finito e outro infinito. Chamamos de}_interior

de γ a componente finita e o denotamos por I(γ). Um animal dual γ ´e dito um contorno se existe pelo menos um subconjunto γ′ ⊂ γ que ´e um contorno de Peierls. Seja γ ∈ Γ um contorno e sejam

γ1, . . . , γn os contornos de Peierls nele contidos. DefinimosI(γ) =∪ni=1I(γi). O conjunto I(γ), que é finito, será chamado deinterior do contorno γ. Dado um contorno γ ∈Γ ek vértices x1, . . . , xk (não necessariamente distintos), dizemos que γ cerca x1, . . . , xk e escrevemos γ ⊙ {x1, . . . , xk}, se existe um animal A ⊂B(Zd_{) tal que}_x_i _∈_V_A _{para todos} _i_{= 1}_{, . . . , k}_,_{A ⊂}_I₍_γ_{), e} _A∗_∩_γ ₌_∅_{. Dizemos que}

dois animais duais γ, γ′ _∈ _{Γ s˜}_ao _{compat´ıveis, e escrevemos} _γ _∼_γ′_{, se} _γ _∪_γ′ _∈_/ _{Γ. Denotaremos por}

|γ|a cardinalidade deγ, i.e. o número de plaquetas que formam o animal dualγ. Associamos a todo animal dualγ um peso estat´ıstico (ou atividade)λ|γ|. Com essas nota¸cões, dada uma configura¸cãoω, existe uma correspondência biun´ıvoca entre o conjunto de elos fechados em B(Λ) e a distribui¸cão de animais duais emB∗(Λ).

A fun¸c˜ao parti¸c˜ao (2.3) pode ser reescrita como

(2.5) ZΛ(λ) = 1 +X

n≥1

X

{γ}n:_γi∈_ΓΛ

γi∼_γj

λ|{γ}n|_,

(11)

Definimos a conectividade finita a volume finito por

(2.6) τ_x,yΛ (p) =P_Λ₍_x_↔_y _:_C_x_∩_∂_{Λ =}_∅_{) =}

p|B(Λ)| X

ω∈Ω_B_(Λ) y∈Cx

Cx∩∂Λ=∅

1−p p

|Fω|

= 1

ZΛ(λ(p))

X

ω∈_ΩΛ

y∈Cx

Cx∩∂Λ=∅

λ(p)|Fω|.

Ou seja, τ_x,yΛ (p) é a probabilidade de que x e y estejam conectados através de um caminho aberto que não intersecte a fronteira da caixa. Uma nota¸cão mais consistente seria τ_x,yΛf, mas ficaria muito carregada.

Definimos tamb´em o complementar da probabilidade de percola¸c˜ao a volume finito:

(2.7) θc_Λ(p) =P(C ∩∂Λ =∅) = X ω∈_ΩΛ C∩∂Λ=∅

p|Aω|(1−p)|Fω|= 1

ZΛ(λ(p))

X

ω∈_ΩΛ C∩∂Λ=∅

λ(p)|Fω|.

Podemos ver que, para qualquer p∈[0,1],

(2.8) lim

Λ→∞τ

Λ

x,y(p) =τx,yf (p) e lim Λ→∞θ

c

Λ(p) =θc(p), ondeτf

x,y(p) ´e a fun¸c˜ao conectividade finita definida em (1.3) e θc(p) = 1−θ(p).

Provemos o limite da esquerda em (2.8). Seja r(C) = sup_x_∈Cmax1≤i≤d|xi| o raio do aglomerado C. Por um lado temos:

(2.9) θc(p) =P₍_|C₀_|_<_∞_{) =} ∞

X

n=0

P₍_r₍_C₀_{) =}_n₎_,

por outro, lembrando que Λ = [−N, N]d, temos:

(2.10) θ_Λc(p) =P_Λ₍_C₀_6↔_∂_{Λ) =}P₍_r₍_C₀₎_{< N}_{) =}

N_X−1

n=0

P₍_r₍_C₀_{) =}_n₎_.

O limite decorre de (2.9) e (2.10). Com rela¸cão à conectividade finita, o argumento é o mesmo.

Em termos de animais duais a condi¸cão de que, na configura¸cãoω,yperten¸ca ao aglomerado dex,Cx, e que este não intersecte a fronteira, corresponde a uma configura¸cão{γ}nque satisfa¸ca duas condi¸cões. Primeiramente deve existir pelo menos um contornoγi que cerque o conjunto{x, y}, i.e. γi⊙ {x, y} e ainda nunhum outro animal dual pode cercar x e não cercar y ou vice-versa. É importante notar que essa condi¸cão se dá sobre a configura¸cão inteira de animais duais. Se uman-upla não-ordenada {γ}n de contornos satisfizer essa condi¸cão, denotamos{γ}n⊙ {x, y}.

Logo podemos, lembrando (2.4), (2.5) e (2.6), reescrever a conectividade na nota¸c˜ao de contornos como

(2.11) τ_x,yΛ (p) =τ_x,yΛ (λ) λ=1−_pp ondeτΛ

x,y(λ) é uma fun¸cão de uma variável complexa λdada por

(2.12) τ_x,yΛ (λ) =

P

n≥1

P

{γ}n: _γi∈_ΓΛ_{, γi}∼_γj {γ}n⊙{x,0}

λ|{γ}n|

1 +P_n_≥₁P{γ}n: _γi∈_ΓΛ

γi∼_γj λ

(12)

2. PLAQUETAS, CONTORNOS E POL´IMEROS 9

Dois animais duais compat´ıveis em Λ∗. Seus interiores são as regiões em cinza. O animal dual da direita não atinge a fronteira∂B(Λ) e tem arigem em seu interior. O animal dual da esquerda atinge a fronteira∂B(Λ).

Embora usemos a mesma nota¸cão para designar duas fun¸cões distintas em (2.11), sempre estará claro no texto a que fun¸cão estamos nos referindo.

Com rela¸cão à probabilidade de percola¸cão, a razão do lado direito de (2.7) nos permite reinterpretar

θc_Λ(p) como um valor esperado no sentido clássico da mecânica estat´ıstica. Come¸cando dessa razão, desenvolvemos uma representa¸cão paraθc

Λ(p) em termos de animais duais.

Observamos que a condi¸c˜ao no somatorio do lado direito de (2.7) ´e a de somar sobre os ωΛ tais que

C ∩∂B(Λ) =∅pode ser reescrita como a soma sobre configura¸c˜oes de animais duais {γ1, . . . , γn}tais que existe γi com 0∈I(γi). Logo, usando (2.7) obtemos

(2.13) θ_Λc(p) =

P

n≥1

P

{γ₁,...,γn}⊂_ΓΛ:_γi∼_γj ∃_γk: 0∈I(_γk)

λ|γ1|_{. . . λ}|γn|

1 + P n≥1

P

{γ₁,...,γn}⊂_ΓΛ

γi∼_γj

λ|γ1|. . . λ|γn|.

Queremos mostrar que existe um disco em torno de λ= 0 no qual as fun¸cõesτ_x,yΛ (λ) e θΛ_c(λ) podem ser expressas como séries convergentes uniformemente no volume, o que nos permitirá concluir que o limite termodinâmico dessas fun¸cões, i.e. Λ → ∞, existe e é anal´ıtico. Para tanto reescrevemos as razões (2.12) e (2.13) como séries de potências em λ via uma expansão em termos de objetos mais complexos chamados pol´ımeros, que definiremos a seguir.

Seja

Γx1,...,xn ₌_{{γ

1, . . . , γk};∀i, γi∈Γ e para algum j∈ {1, . . . , n}γi⊙ {xj}} e, analogamente,

Γx1,...,xn

(13)

Um pol´ımero ˜γconstitu´ıdo de trˆes contornosγ1,γ2 eγ3.

A ´area em cinza ´e o interior de ˜γ.

Usaremos somente os casos em que {x1, . . . , xn}={x, y} ou{x1, . . . , xn}={x}. Escreveremos

(2.14) Gx1,...,xn _{= Γ}_∪_Γx1,...,xn _Gx1,...,xn

Λ = ΓΛ∪Γ x1,...,xn Λ .

Definic¸˜ao 2.15. Um conjunto γ ∈ Gx1,...,xn _ser´_{a chamado de pol´ımero. Dizemos que dois pol´ımeros}

γi∈ Gx1,...,xneγj ∈ Gx1,...,xns˜ao compat´ıveis, e denotamosγi ≈γj, seγi∪γj∈ G/ x1,...,xn; analogamente,

γi∈ Gx1,...,xn eγj ∈ Gx1,...,xn s˜ao incompat´ıveis, e denotamos γi6≈γj, se γi∪γj ∈ Gx1,...,xn.

Notemos que se γ ∈ Γx1,...,xn _e _γ′ _∈ _Γx1,...,xn_{, ent˜}_{ao necessariamente} _γ _6≈ _γ′_{. A qualquer} _γ _{∈ G}x,y associamos uma atividadeλ|γ|, onde|γ|é a cardinalidade deγ, i.e. o número de plaquetas que formam o pol´ımero γ. O interior de um pol´ımeroγ = {γ1, . . . , γn} é simplesmente I(γ) = ∪iI(γi). Dizemos que o pol´ımero γ ∈ Gx1,...,xn _cerca _{x

1, . . . , xn} se γ ∈Γ é um contorno tal que γ⊙ {x1, . . . , xn}, ou então se γ ={γ1, . . . , γk} ∈Γx1,...,xn e {γ}k⊙ {x1, . . . , xn}. Observamos que se dois pol´ımeros γ e γ′ cercam {x1, . . . , xn},γ⊙ {x1, . . . , xn} eγ′⊙ {x1, . . . , xn}, então necessariamente γ 6≈γ′.

(14)

CAP´ıTULO 3

Expans˜

ao em pol´ımeros

O objetivo desta se¸cão é mostrar que a representa¸cão das fun¸cõesτf(p)x,y eθc(p), usando os pol´ımeros definidos na se¸cão anterior, é convergente para valores de p próximos de 1. Primeiramente faremos algumas estimativas do número de animais duais que têm certa propriedade. Em seguida, usando essas estimativas, mostraremos a convergência das séries que representamτf(p)x,y eθc(p).

1. Estimativas de entropia

Dado e∗₀ ∈B∗(Zd_{), denotamos por} _S_d _{o n´}_{umero de plaquetas} _e∗ _{incompat´ıveis com} _e∗

0. Observamos que Sd = 6(d−1). Denotamos a rede transladada pelo vetor d-dimensional (1/2, . . . ,1/2) por Zd∗ a que chamamos por vezes de rede dual. Provemos inicialmente

Lema1.1. O n´umero de animais duaisγ de um certo tamanho |γ|=nque passam por um ponto dado

x∗_∈Zd∗ _{cresce, no m´}_{aximo, exponencialmente em} _|γ_|_{, i.e., para todos} _x∗ _∈Zd∗ _e_n_∈N

(1.2) X

γ: x∗∈γ

|γ|=n

1≤C₀n,

onde C0 =S_d−Sd(1 +Sd)1+Sd

Demonstra¸c˜ao. Seja 0∗ _{a origem da rede dual. Pela invariˆ}_{ancia translacional, ´e suficiente mostrar}

que

(1.3) X

γ: 0∗ ∈γ

|γ|=n

1≤C₀n.

Primeiramente observamos que a probabilidade de termos um animal dual fixo γ ´e dada porP(γ) = (1−p)|γ|_p|∂γ|_onde _∂γ _{´e a fronteira do animal dual}_γ _{definida como}

∂γ={σ /∈γ:σ6∼σ′, para algumσ′ ∈γ}.

Observando que|∂γ| ≤Sd|γ|, temos

X

γ: 0∗∈γ

|γ|=n

(1−p)|γ|pSd|γ|≤ X

γ: 0∗ ∈γ

|γ|=n

(1−p)|γ|p|∂γ|<1,

onde o termo do meio na desigualdade acima ´e a probabilidade de termos um animal dual de tamanho

npassando por 0∗. Temos ent˜ao

X

γ: 0∗ ∈γ

|γ|=n 1≤

1 (1−p)pSd

n

, para qualquer p∈(0,1).

(15)

12 3. EXPANS ˜AO EM POL´IMEROS

Como, parap∈(0,1), temos

min 0≤p≤1

1

(1−p)pSd = (1 +Sd)

1 +Sd

Sd

,

obtemos a desigualdade

X

γ: 0∗∈γ

|γ|=n 1≤

(

(1 +Sd)

1 +Sd

Sd

Sd)n

.

Assim, o lema est´a provado.

Continuando com a contagem

Lema 1.4. O n´umero de animais duais γ com uma certa cardinalidade |γ| = n tais que 0 ∈ I(γ) cresce, no m´aximo, exponencialmente emn, i.e., para n∈N _{para qualquer}

(1.5) X

γ: 0∈I(γ)

|γ|=n

1≤C₁n,

onde C1 = 2dC0 e C0 ´e dado pelo Lema (1.1).

Demonstra¸cão. Usando que o volume do interior de um animal dual γ de cardinalidade n é, no máximo,nd e aplicando o Lema (1.1), obtemos

X

γ:0∈I(γ)

|γ|=n

1≤nd X

γ:0∗∈γ

|γ|=n

1≤2dnC₀n≤C₁n.

Finalmente provamos a principal estimativa de entropia para a Se¸c˜ao 2.

Lema 1.6. O n´umero de pol´ımeros γ˜ de uma dada cardinalidade |˜γ| = n e com 0 ∈ I(˜γ) cresce, no m´aximo, exponencialmente emn, i.e., para qualquer n∈N

(1.7) X

˜

γ∈G0: 0∈I(˜γ)

|˜γ|=n

1≤C₂n,

onde C2 = 2C1 eC1 ´e dado pelo Lema (1.4).

Demonstra¸cão. Lembremos que o pol´ımero ˜γ é uma cole¸cão de animais duais compat´ıveis da forma ˜

(16)

1. ESTIMATIVAS DE ENTROPIA 13

´e imediato ver que a soma (1.7) ´e limitada por cima por

n

X

k=1

X

|γ1|+···+|γk|=n k Y i=1    X

γ: 0∈I(γ)

|γ|=|_γi|

1    ≤ n X k=1 X

|γ1|+···+|γk|=n k

Y

i=1

C₁|γi|

= n

X

k=1

X

|γ1|+···+|γk|=n

C₁n

≤ C₁n

n

X

k=1

X

|γ1|+···+|γk|=n 1

≤C₁n

n

X

k=1

n−1

k−1

=C₁n2n−1 ≤C₂n.

(1.8)

A próxima estimativa será usada na Se¸cão 3

Lema 1.9. O n´umero de pol´ımeros que cercam x e y de tamanho n cresce, no m´aximo, exponencial-mente em n

(1.10) X

γ∈Γx,y;γ⊙{x,y} |γ|=n

1< C₃n,

onde a constante C3 depende somente da dimens˜ao.

Demonstra¸c˜ao.

X

γ∈Γx,y_:_|_γ_|_=n 1≤

n

X

k=1

X

n1+···+nk=n k Y i=1     2 X

γ∈Γ:|γ|=_niou γ⊙0 ou

γ⊙x 1      ≤ n X k=1

2k X

n1+···+nk=n k

Y

i=1

[2dC1]2ni

= [2dC1]2n n

X

k=1

2k X

n1+···+nk=n 1

≤[2dC1]2n n

X

k=1 2k

n−1

k−1

(17)

2. A convergência da expansão para a probabilidade de percola¸cão

Usando os pol´ımeros definidos na Se¸c˜ao 1, podemos reescrever

(2.1) 1 +X

n≥1

X

{γ₁,...,γn}⊂_ΓΛ

γi∼_γj

λ|γ1|_{. . . λ}|γn|_{= 1 +}X n≥1

X

{γ˜1,...,γn˜ }⊂G_Λ0

˜ γi≈_γj˜

λ|˜γ1|_{. . . λ}|γn˜ |

e

(2.2) X

n≥1

X

{γ₁,...,γn}⊂_ΓΛ

γi∼_{γj ,}∃_γk: 0∈I(_γk)

λ|γ1|_{. . . λ}|γn|₌X n≥1

X

{˜γ₁,...,˜γn}⊂G_Λ0

˜

γi≈_{γj ,}˜ ∃γ˜;˜γ⊙{0}

λ|γ˜1|_{. . . λ}|˜γn|_.

Observamos que na soma sobre as configura¸c˜oes de pol´ımeros{γ˜1, . . . ,γ˜n}no lado direito de (2.2) um, e somente um, pol´ımero cerca a origem. Por (2.1) e (2.2), temos

(2.3) θ_Λc(p) =

P

n≥1

P

{˜γ₁,...,˜γn}⊂G_Λ0

˜

γi≈˜_{γj ,} ∃˜γ;˜γ⊙{0}

λ|γ˜1|_{. . . λ}|˜γn|

1 + P n≥1

P

{˜γ1,...,˜γn}⊂G_Λ0

˜ γi≈_γj˜

λ|γ˜1|_{. . . λ}|˜γn|.

ondeλ=λ(p).

A representa¸cão (2.3) nos permite exprimir θc_Λ(p) como uma derivada do logar´ıtmo de uma fun¸cão parti¸cão adequada. Para tanto, definimos uma nova atividade dos pol´ımeros ˜γ. Letα∈R_{e ˜}_γ _∈_Γ0 _e

definimos

(2.4) ρα(˜γ) =

(

(1 +α)λ|˜γ| _{se ˜}_γ_{⊙ {}₀_}

λ|γ˜| caso contr´ario.

Seja ΞΛ, α(λ) a fun¸cão parti¸cão grancanônica

(2.5) ΞΛ, α(λ) = 1 +

X

n≥1

X

{γ˜1,...,γn˜ }⊂G0_Λ

˜ γi≈_γj˜

ρα(˜γ1). . . ρα(˜γn).

Definimos

(2.6) fΛ(λ) =

∂ ∂α

α=0ln ΞΛ, α(λ). Verificamos que

(2.7) θ_Λc(p) =fΛ(λ(p)).

A vantagem das fórmulas (2.5) e (2.7) é que elas nos permitem reescrever fΛ(λ), e por consequência

θc

Λ(p), diretamente como uma série e não mais como uma razão entre duas somas finitas como em (2.3). Na realidade, o lado direito de (2.5) é novamente uma fun¸cão parti¸cão grancanônica de um gás de pol´ımeros “hard-core”em que os pol´ımeros são os objetos emG_Λ0, com atividade dada porρα(˜γ) e que interagem por um potencial “hard-core”(no sentido que eles devem ser compat´ıveis). Se definirmos

(2.8) U(˜γi,γ˜j) =

(

(18)

2. A CONVERGÊNCIA DA EXPANS ÃO PARA A PROBABILIDADE DE PERCOLAÇ ÃO 15

o lado direito de (2.5) pode ser reescrito como

(2.9) ΞΛ, α(λ) = 1 +

X

n≥1 1

n!

X

(˜γ1,...,˜γn)∈(GΛ0)n

ρα(˜γ1). . . ρα(˜γn)e

− P

1≤i<j≤n U(˜γi,˜γj)

,

onde (G0

Λ)n ´e o produto cartesianon vezes deGΛ0.

Computamos a expansão da série de Mayer da fun¸cão ln ΞΛ, α(λ) explicitamente (ver por exemplo [10], [21] [39] ou ainda [32]), obtendo

(2.10) ln ΞΛ, α(λ) =

∞

X

n=1 1

n!

X

(˜γ1...˜γn)∈(G0Λ)n

ΦT(˜γ1, . . . ,γ˜n)ρα(˜γ1). . . ρα(˜γn),

onde os coeficientes de Ursell s˜ao

(2.11) ΦT(˜γ1, . . . ,˜γn) =

  

P

g∈Gn

Q

{i,j}∈g

(e−U(˜γi,˜γj)−1) sen≥2

1 sen= 1

,

ondeGn são os grafos conexos sobre{1,2, . . . , n}(ver apêndice). O que nos dá

(2.12) fΛ(λ) =

∞

X

n=1 1

n!

X

(˜γ1...γn˜ )∈(G0_Λ)n ∃˜γ;˜γ⊙{0}

k(˜γ1, . . . ,γ˜n)ΦT(˜γ1, . . . ,γ˜n)ρ(˜γ1). . . ρ(˜γn)

onde o inteiro k(˜γ1, . . . ,˜γn), é o número de pol´ımeros em (˜γ1, . . . ,˜γn) que cercam a origem. Vemos que k(˜γ1, . . . ,γñ)≤n.

Teorema 2.13. Existe uma constante positiva λ0, que é independente do volume Λ, tal que a série dada pela equa¸cão (2.12) converge absolutamente para valores complexos de λno disco |λ|< λ0.

Observa¸cão. Na prova do teorema acima veremos queλ0 = 1/(6·2deC0), ondeC0 é dado pelo Lema 1.1. Como corolário desse teorema, obtemos o resultado principal da se¸cão:

Teorema 2.14. Para qualquer caixa Λ, a fun¸c˜ao fΛ(λ) em (2.12) ´e anal´ıtica no disco complexo

|λ|< λ0 e o limite

(2.15) f(λ) = lim

Λ→∞fΛ(λ)

existe e ´e anal´ıtico no mesmo disco.

Observa¸cão. Pelo Teorema 2.14, a fun¸cão f((1−z)/z) é anal´ıtica no dom´ınio complexo D={z ∈

C _:_|₍₁₋_z₎_/z|_{< λ}₀_} _{e, por (2.8) e (2.7),} _f₍₍₁₋_p₎_/p_{) =} _θc₍_p_{) for} _p _∈ _[0_,_{1]. Logo} _f₍₍₁₋_z₎_/z_{) ´e a}

´

unica continua¸c˜ao anal´ıtica deθc(p) no dom´ınioD.

Demonstra¸cão do Teorema 2.13 No que se segue, iremos cotar, uniformemente em Λ, a série dada pela equa¸cão (2.12). Lembrando que a configura¸cão dos pol´ımeros {˜γ1, . . . ,˜γn} que contribuem para o somatório (2.12) tem pelo menos um pol´ımero cujo interior contém a origem, obtemos

(2.16) |fΛ(λ)| ≤ X

˜

γ1∈G_Λ0:˜γ⊙{0}

|λ||˜γ1|



1 +X n≥2

n

(n−1)!Bn,Λ(˜γ1)

 ,

onde

Bn,Λ(˜γ)≡

X

(˜γ2...˜γn)∈(GΛ0)n−1

ΦT(˜γ,γ˜2. . .γ˜n)λ

Pn i=2|˜γi|

(19)

Para continuar necessitamos de uma cota superior para Bn,Λ(˜γ). Definimos

(2.17) ν ≡ X

˜ γ∈G0

0∗∈˜γ

(e|λ|)|γ˜|+ X ˜ γ∈G0

˜ γ⊙{0}

(e|λ|)|˜γ|,

observando queνn˜ao depende de Λ pois em (2.17) fazemos a soma sobreG0 _{e n˜}_{ao em}_G0

Λ. Na sequˆencia usaremos o seguinte lema cuja prova segue abaixo.

Lema 2.18. Seja n≥2, para qualquerΛ e qualquer pol´ımero γ˜: (2.19) Bn,Λ(˜γ)≤(n−1)!e|γ˜|[2dν]n−1.

Colocando a estimativa (2.19) em (2.16), obtemos

(2.20) |fΛ(λ)| ≤

X

˜ γ∈G0

Λ:˜γ⊙{0}

|λ||˜γ|



1 +e|γ˜|X

n≥2

n(2dν)n−1

 .

A série P_n_≥₂n(2d_ν₎n−1 _ser´_{a convergente e limitada por 3 se 2}d_{ν <}₁_/_{2 e essa condi¸c˜}_{ao ser´}_{a satisfeita} se |λ| ≤ 1/(4d12eC0), onde C0 é a constante do Lema (1.1). Aliás, usando os Lemas (1.4) e (1.6), obtemos

ν ≤X

n≥1

   X

˜ γ: 0∗∈γ˜

|γ˜|=n

(|λ|e)n+ X ˜

γ: ˜γ⊙{0}|˜γ|=n (|λ|e)n

  ≤X

n≥1

[(|λ|eC1)n+ (|λ|eC2)n].

Lembrando queC2= 2C1, o último somatório acima converge se|λ|eC1 <1/2 e for menor que 6|λ|eC1 if |λ|eC1 < 1/4. Logo, lembrando que C1 = 2dC0 onde C0 é a constante do Lema 1.1, a condi¸cão 2d_{ν <} ₁_/_{2 é satisfeita se} _|λ|_< ₁_/₍₄d₁₂_eC

0). Se usarmos a cota (2.20), o Lema (1.6) novamente e o fato que P_n_≥₂n(2d_ν₎n−1 _<_{3 se} _λ_{estiver no disco} _|λ|_<₁_/₍₄d₁₂_eC

0), obtemos

|fΛ(λ)| ≤

X

˜ γ⊙{0}

|λ||˜γ|h1 + 3e|˜γ|i

≤ X

n≥2d

X

˜ γ: ˜γ⊙{0}

|γ˜|=n

h

|λ||γ˜|+ 3(e|λ|)|˜γ|i

≤ X

n≥2d

[(C2|λ|)n+ 3(C2|λ|e)n]

≤ X

n≥2d

h

(2d2C0|λ|)n+ 3(2d2C0|λ|e)n

i

.

A última soma será absolutamente convergente para |λ|<1/(4d12eC0) e será cotada pelo menos por

|fΛ(λ)| ≤8(Ed|λ|)2d se |λ|< 1 4d₁₂_eC

0

,

ondeEd≤(2d+1eC0). Observamos queEd|λ| ≤1/6·2d<1/6 em todo o disco|λ|<1/4d12eC0.

Demonstra¸c˜ao do Lema 2.18. Para obtermos a cota superior (2.19), usaremos a cota (ver o Apˆendice 2) bem conhecida

(2.21) X

g∈Gn

Y

{i,j}∈g

(e−U(˜γi,˜γj)−1)

≤ X

τ∈Tn

Y

{i,j}∈τ

(20)

2. A CONVERGÊNCIA DA EXPANS ÃO PARA A PROBABILIDADE DE PERCOLAÇ ÃO 17

onde a soma da esquerda é feita sobre todos os grafos conexos sobre{1,2,· · · , n}, denotados porGne a soma da direita sobre todas as árvores no conjunto{1,2,· · · , n}, denotadas porTn. Se fixarmosτ ∈Tn, não é dificil calcularmos exatamente o fator Q_{_i,j_}∈_τ|e−U(˜˜ γi,˜γj)₋₁_|_{. Na realidade, se}_g_(˜_γ

1, . . . ,˜γn) for o grafo sobre{1,2,· · · , n}(n˜ao necessariamente conexo) definido por

(2.22) {i, j} ∈g(˜γ1, . . . ,γ˜n) se e somente se ˜γi 6≈γ˜j, usando a defini¸c˜ao (2.8), obtemos

(2.23) e−U(˜˜ γi,˜γj)−1=

(

0 se ˜γi≈γ˜j 1 se ˜γi6≈γ˜j.

Logo

(2.24) Y

{i,j}∈τ

e−U(˜˜ γi,˜γj)−1=

(

1 se τ ⊂g(˜γ1, . . . ,γ˜n) 0 caso contr´ario

onde τ ⊂ g(˜γ1, . . . ,γ˜n) significa que {i, j} ∈ τ implica {i, j} ∈ g(˜γ1, . . . ,γ˜n). Logo, usando (2.21) e (2.24) podemos cotar |Bn,Λ(˜γ1)|superiormente por

Bn,Λ(˜γ1)≤

X

(˜γ2...˜γn)∈(G_Λ0)n−1

 X

τ∈Tn

Y

{i,j}∈τ

|e−U(˜γi,˜γj)−1||ρ(˜γ2)|. . .|ρ(˜γn)|

 

≤ X

τ∈Tn



 X

(˜γ2...˜γn)∈(G0)n−1

Y

{i,j}∈τ

|e−U(˜γi,˜γj)₋₁_|λPni=2|γ˜i|

 

≤ X

τ∈Tn

   

X

(˜γ₂...γn˜ )∈(G0_Λ)n−1

g(˜γ₁,···,˜γn)⊃τ

|λ||˜γ2|_{. . .}_|λ||γn˜ |

   ≡

X

τ∈Tn

̺(τ).

Para obtermos uma cota superior para̺(τ), usaremos a seguinte desiguldade. Seja ˜γ0 fixo e sejaF(˜γ) uma fun¸c˜ao positiva dada. Ent˜ao

(2.25) ̺(τ) = X

{˜γ2...˜γn}∈G0

Y

{i,j}∈τ

|e−U(˜γi,˜γj)−1||ρ(˜γ2). . . ρ(˜γn)|

X

˜ γ:˜γ6≈γ˜0

F(˜γ)≤2d|γ˜0| sup x∗_∈_γ_˜₀

X

˜ γ:x∗_∈_˜_γ

F(˜γ) + X ˜ γ: 0∈I(˜γ)

F(˜γ)

≤2d|γ˜0|



 X

˜ γ:0∗_∈_γ_˜

F(˜γ) + X ˜ γ:0∈I(˜γ)

F(˜γ)





≡2d|γ˜0|

X

˜ γ

∗

F(˜γ).

(2.26)

Fixando a árvoreτ, sejadi o número de coordena¸cão do vérticei. Avaliando a soma̺(τ) somando de fora para dentro os pol´ımeros do grafo g(˜γ1,· · · ,γñ)⊃τ e usando (2.26), obtemos

̺(τ)≤h2d|˜γ1|

id1Yn

i=2  X ˜ γi ∗h

2d|γ˜i|

idi−1

|λ||γi˜|



(21)

Assim, usando a estimativa acima e a f´ormula de Cayley, obtemos

Bn,Λ(˜γ1)≤

X

τ∈Tn

̺(τ)

≤ X

d1+···+dn=2n−2

h

2d|γ˜1|

id1 (n−2)!

Qn

i=1(di−1)! n

Y

i=2

 X

˜ γi

∗h

2d|˜γi|

idi−1

|λ||˜γi|

 

≤2(n−1)d(n−1)!

∞

X

d1=1

|γ˜1|d1

d1! n

Y

i=2



X

˜ γi

∗X∞

di=1

|γ˜i|di−1 (di−1)!|λ|

|γi˜|





≤2(n−1)d(n−1)!e|˜γ1| n

Y

i=2

 X

˜ γi

∗

(e|λ|)|˜γi|

 

≤(n−1)!e|γ˜|h2dνin−1.

Demonstra¸cão do Teorema 2.14 Com rela¸cão à demonstra¸cão do Teorema 2.14, é obvio, a partir da demonstra¸cão do Teorema 2.13, quefΛ(λ) é anal´ıtica na variávelλno disco|λ|< λ0uniformemente em Λ. A existência e analiticidade do limitef(λ) = limΛ→∞fΛ(λ) são obtidas provando que fΛ(λ) é, quandoN → ∞ (e logo Λ→ ∞), uma sequência de Cauchy uniforme no disco |λ|< λ0. Observamos simplemente quefΛ(λ)−fΛ′(λ) (supondo Λ⊂Λ′) pode ser escrito em termos dan-upla de pol´ımeros

(˜γ1, . . . ,γñ) em que todos os pol´ımeros tem interse¸cão não vazia com Λ′\Λ e pelo menos um deles tem a origem em seu interior. Logo, a série de potências em λde fΛ(λ)−fΛ′(λ) come¸ca com pelo menos

uma potência |λ|d(0,∂Λ) _onde _d₍₀_{, ∂}_{Λ) é a distˆ}_{ancia m´ınima entre a origem e a fronteira de Λ. Essa} potência levafΛ(λ)−fΛ′(λ) a zero quando Λ→ ∞.

3. A convergˆencia da expans˜ao para a conectividade finita

Procedemos de maneira análoga com rela¸cão à conectividade finita, obtendo

τ_x,yΛ (λ) =

P

n≥1

P

{γ}n:_γi∈G_Λx,y_{, γi}≈_γj ∃!_γi:_γi⊙{x,y}

λ|{γ}n|

1 +P_n_≥₁P{γ}n:_γi∈G_Λx,y

γi≈_γj

λ|{γ}n| .

Definimos agora, para α∈R _e_γ _{∈ G}x,y

ρα(γ) =

(

(1 +α)λ|γ| _se_γ_{⊙ {x, y}}

λ|γ| caso contr´ario

ent˜ao

(3.1) τ_x,yΛ (p) = d

dαln ΞΛ(α)

_α=0,

onde

(3.2) ΞΛ(α) = 1 +

X

n≥1

X

{γ}n:_γi∈Gx,y_Λ

γi≈_γj

n

Y

i=1

(22)

3. A CONVERGˆENCIA DA EXPANS ˜AO PARA A CONECTIVIDADE FINITA 19

A fun¸cão ΞΛ(α) a a fun¸cão parti¸cão grancanônica de um gás de pol´ımeros “hard-core” onde os pol´ımeros γ são elementos de G_Λx,y, eles têm atividade ρα(γ) e a condi¸cão “hard-core” é expressa pelo fato de que quaisquer dois pares γi, γj em {γ}n devem ser compat´ıveis, sendo que a no¸cão de compatibilidade éγi ≈γj.

O logaritmo dessa fun¸cão parti¸cão pode ser expresso em termos de uma série de potências formal. Para simplificar a expressão da série de potências, introduzimos algumas nota¸cões. EscrevemosBΛ=

∪n∈N(G_Λx,y)n (B=∪_n_∈N(Gx,y)n), onde (G_Λx,y)n ((Gx,y)n) ´e o produto cartesiano nvezes de G_Λx,y (Gx,y),

e denotamos por η um elemento genérico de B. Logo, um elemento η ∈ B é uma n-upla ordenada (γ1, . . . , γn) em (Gx,y)n para algumn∈N. Se η= (γ1, . . . , γn), escrevemos|η|=Pi=1n |γi|e kηk=n. A série de potências formal para ln ΞΛ(α) pode ser escrita como

(3.3) ln ΞΛ(α) = X

η∈BΛ 1

kηk!Φ

T_[_η_]_ρ_a(_η₎_,

onde se η = (γ1, . . . , γn), ent˜ao ρa(η) =Qn_i=1ρa(γi), e ΦT[η] ´e o fator de Ursell de ordem ndefinido como:

(3.4) ΦT[η] =

        

1 sekηk= 1

0 sekηk ≥2 eg[η]∈/ G_k_η_k

P

f∈G_k_η_k f⊂gη

(−1)|f| _se_{kηk ≥}_{2 e}_g_η _∈_G kηk

G_k_η_ké o conjunto de todos os grafos conexos sobre os vértices{1,2, . . . ,kηk}egη é o grafo com vértices

V = {1, . . . ,kηk} e arestas E = {{i, j} : γi 6≈ γj}. Notamos que a defini¸cão (3.4) é equivalente à (2.11). Usando (3.3) em (3.1) temos uma expansão formal expl´ıcita paraτ_x,yΛ (λ) dada por

(3.5) τ_x,yΛ (λ) = X

η∈B_Λ

η⊙{x,y}

kη

kηk!Φ

T_[_η_]_λ|η|_,

onde, paraη= (γ1, . . . , γn), a nota¸c˜ao η⊙ {x, y} significa que pelo menos para umi= 1, . . . , n temos

γi: γi⊙ {x, y}. Al´em disso

(3.6) kη = #{i∈ {0, . . . , n}; γi⊙ {x, y}}. Tomando o limite Λ→ ∞ na express˜ao (3.5) podemos tamb´em definir

(3.7) τ_x,yf (λ) = X

η∈B

η⊙{x,y}

kη

kηk!Φ

T_[_η_]_λ|η|_,

que representa a expans˜ao da conectividade finita.

Teorema 3.8. Existe uma constante positiva r0, que é independente do volume Λ, tal que a série (3.7) converge absolutamente para |λ|< r0 e para todos os paresx, y∈Zd. Além disso

(3.9) τ_x,yf (p) =τ_x,yf (λ)

λ=(1−p)\p

para qualquer p no intervalo real (_1+r1₀,1].

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão é bastante semelhante à da se¸cão anterior. Definimos, paraε≥0,

(3.10) |τf|x,y(ε) =

X

η∈B

η⊙{x,y}

kη

kηk!|Φ

(23)

Temos, ent˜ao, a cota

(3.11) |τ_x,yf (λ)| ≤ |τf|x,y(|λ|)≤

∞

X

n=1 1 (n−1)!

X

τ∈Tn

X

η∈B: kηk=n η⊙{0,x}

gη⊃τ

|λ||η|,

onde o fator |ΦT_[_η_]_| _{foi cotado, quando n˜}_{ao-nulo, usando formula de domina¸c˜}_{ao das ´}_{arvores, pelo} número de sub-árvores em gη (ver o apêndice). Observe que para uma árvore fixada τ, {i, j} ∈ τ significa que temos uma soma sobre η = (γ1, . . . γn) de modo que γi 6≈ γj. Devemos, então, cotar quantidades da forma P_γ_∈Gx,y_:_γ_6≈_γ_˜₀λ|γ|. Usando as defini¸cões da Se¸cão 1, escrevemos

(3.12) X

γ∈Gx,y

γ6≈γ₀

λ|γ|≤ |γ0|

h X

γ∈Γ γ6∼ε∗₀

λ|γ|+ X γ∈Gx,y

γ⊙{x,y}

λ|γ|i≡ |γ0|

X

γ∈Gx,y

∗

λ|γ|,

onde, por simetria, e∗₀ é qualquer plaqueta fixada; além disso usamos, por (2.14), que Gx,y_\_Γx,y _⊂_Γ. Usando (3.12) não é dif´ıcil ver que, para qualquer árvore τ com número de coordena¸cão dos vértices

d1, . . . , dn respectivamente, temos

(3.13) X

(γ)n∈(Gx,y)n γ1⊙{x,y}

G[(γ)n]⊃τ

|λ||(γ)n|≤ X

γ₁∈Gx,y

γ₁⊙{x,y}

|γ1|d1|λ|γ1|| n

Y

i=2

X

γi∈Gx,y

∗

|γi|di−1|λ||γi|.

Podemos ver que

|τ_x,yf (λ)| ≤

∞

X

n=1

n X

d₁₊···+dn=2n−2 1≤d₁≤n−1

X

˜ γ1⊙{0,x}

|˜γ1|d1

d1! |ρ(˜γ1)| n Y i=2 X ˜ γi

∗ |˜γi|di−1 (di−1)!|ρ

(˜γi)|

≤ ∞ X n=1 n X ˜ γ1⊙{0,x}

∞

X

d1=1

|˜γ1|d1

d1!

|ρ(˜γ1)| n Y i=2    X ˜ γi

∗ X∞

di=1

_|

˜

γi|di−1 (di−1)!

|ρ(˜γi)|

   ≤ ∞ X n=1 n X ˜ γ1⊙{0,x}

|ρ(˜γ1)|e|˜γ1| n Y i=2    X ˜ γi ∗

|ρ(˜γi)|e|γi˜|

   ≤ ∞ X n=1 n X ˜ γ1⊙{0,x}

|ρ(˜γ1)|e|˜γ1|

 X

˜ γ

∗

|ρ(˜γ)|e|˜γ|

 

n−1

= X

γ₁∈Gx,y

γ₁⊙{x,y}

(e|λ|)|γ1|_|

∞ X n=1 n   X

γ∈Gx,y

∗

(e|λ|)|γ|

 

n−1

.

(3.14)

O ´ultimo somat´orio converge se

(3.15) X

γ∈Gx,y

∗

(24)

4. COTAS PARA A CONECTIVIDADE FINITA 21

Pela Defini¸c˜ao (3.12)

X

γ∈Gx,y

∗

(e|λ|)|γ|= X ˜ γ∋_∆0

˜ γ simples

(|λ|e)|γ˜|+ X ˜ γ ˜ γmultiplos

(|λ|e)|γ˜|

=

∞

X

n=1

(|λ|e)n X γ∋_∆0 |˜γ|=n

1 +

∞

X

n=4

(|λ|e)n X ˜

γ: ˜γ⊙!{x,y} |γ˜|=n

1

≤

∞

X

n=1

(|λ|e)nC¯n+

∞

X

n=2d

(|λ|e)nCn,

onde ¯Cn=Pγ∈Γ:|γ|=n, γ6∼e∗

01 e Cn=

P

γ∈Γx,y_:_|_γ_|_=n1.

Usando os Lemas 1.1 e 1.9, vemos que ¯Cn ≤ (C0)n e Cn ≤ (C3)n. Podemos ent˜ao escolher r0 suficientemente pequeno para que, se |λ|< r0, a seguinte desigualdade ´e satisfeita,

(3.16)

∞

X

n=1

(eC0r0)n+

∞

X

n=1

(eC3r0)n < 1 2,

entãoP_γ_∈Gx,y∗(e|λ|)|γ|<1 e logo (3.14) converge. Lembramos que o raio de convergênciar0 em (3.16) não é ótimo. Portanto podemos concluir que τ_x,yΛ (λ) é uma fun¸cão anal´ıtica de λ se |λ|< r0 e para qualquer Λ. Não é dif´ıcil ver que limΛ→∞|τx,yΛ (λ)−τx,yf (λ)|= 0 sempre que|λ|< r0 (ver demonstra¸cão do Teorema 2.14). Isso conclui a demonstra¸cão do Teorema 3.8.

Não é dif´ıcil agora obter cotas superior e inferior para a (continua¸cão anal´ıtica de) conectividade finita usando a fórmula (3.7). No que diz respeito à cota superior, colocando (3.16) em (3.14) e recordando (1.11) obtemos, para |λ|< r0,

(3.17) τ_x,yf (λ)≤τf_x,y(|λ|)≤4 X γ₁∈Gx,y

γ1⊙{x,y}

(e|λ|)|γ1|_≤₄

∞

X

n=Nx,y

(Ce|λ|)n≤8(Ce|λ|)Nx,y,

onde Nx,y = (2d−2)(|x−y|+ 1) + 2 ´e o n´umero m´ınimo de plaquetas de um pol´ımero γ tal que

γ⊙ {x, y}.

4. Cotas para a conectividade finita

Obtemos agora uma cota superior e uma cota inferior para a conectividade finita para valores de λ

próximos o suficiente deλ= 0, mais precisamente|λ|< r0, usando a representa¸cão da se¸cão anterior. As cotas que serão obtidas são mais finas que as já estabelecidas. Com rela¸cão à cota superior, lembramos que o caso tratado é somente o caso em que d≥3. Dado {γ}n⊙ {x, y}, seja γ0⊂ ∪ni=1αi o contorno de Peierls m´ınimo cercando {x, y}. Denotamos nesta se¸cão o conjunto dos contornos de Peierls de B(Zd_{) por}_C∗ _{de modo an´}_{alogo, o conjunto dos contornos de Peierls de}_B_{(Λ) ser´}_a_C∗

Λ.

τ_pΛ(x, y)≤ X

γ₀∈C∗_Λ

γ₀⊙{x,y}

λ|γ|

P

{γ}n:_γi∈_ΓΛ

γi⊂(B∗(Λ)−γ)_{, γj}∼_γi

λ|{γ}n|

P

{γ}n:_γi∈_ΓΛ

γj∼_γi λ

|{γ}n| ≤

X

γ₀∈C∗

γ₀⊙{x,y}

(25)

Devemos, ent˜ao, cotar a s´erie

(4.1) X

γ∈C∗

γ⊙{x,y}

λ|γ|.

Denotando

(4.2) N =Nx,y= 2(d−1)(|x−y|+ 1) + 2,

qualquer contorno de Peierls que cerca {x, y} tem pelo menos N hiper-quadrados. Separamos a série (4.1) em dois termos, o primeiro contém a soma de contornos “pequenos”, ou seja, contornos cuja cardinalidade é no máximo 3d_2d−₋4₂N (a escolha da constante (3d−4)/2(d−1) ficará clara no que segue), e a segunda contém os contornos “grandes”, com cardinalidade maior do que 3d_2d−₋4₂N. Escrevemos, então

(4.3) X

γ∈C∗

γ⊙{x,y}

λ|γ|= X

γ∈C∗:γ⊙{x,y}

N≤|γ¯|≤3₂d_d−₋4₂N

λ|γ|+ X

γ∈C∗: γ⊙{x,y} |γ|>3₂d_d−₋4₂N

λ|γ|.

Consideramos primeiramente

X

γ∈C∗: γ⊙{x,y} |γ|>3₂d_d−₋4₂N

λ|γ|= X n >3₂d_d−₋4₂N

Fn(x, y)λn,

onde

Fn(x, y) =

X

γ∈C∗: γ⊙{x,y} |γ|=n

1

´e o n´umero de contornos de Peierls de tamanho n cercando {x, y}. Usaremos a cota de Ruelle [34] para valores grandes de n. Fn(x, y)<3n, logo

X

γ∈C∗:γ⊙{x,y} |γ|>3₂d_d−₋4₂N

λ|γ|≤ X

n>3d−4 2d−2N

λn3n=λN X

n>3d−4 2d−2N

3nλn−N =

=λN X

k>₂d_d−₋2₂N

3N+kλk ≤λNX

k≥1

3dkλk≤λN

desde que 3dλ≤1/2. Ent˜ao

(4.4) X

γ∈C∗: γ⊙{x,y} |γ|>3₂d_d−₋4₂N

λ|γ|≤λN.

Boa parte do resto da se¸cão será dedicado a provar a cota superior do primeiro fator no lado direito de (4.3) que, com exce¸cão de pequenas corre¸cões em (1−p), nos dá um comportamento exponencial similar ao de (4.4). Primeiramente cotamos

(4.5) X

γ∈C∗:γ⊙{x,y} |γ|=N+k

λ|γ| onde 0≤k≤ (d−2)N

2d−2 .

Seja c um caminho em B(Zd_{), como definido na Se¸c˜}_{ao 1. Seja} _V_c _{o conjunto dos v´ertices de} _c_{. Se}

B(Vc) =c, dizemos que o caminho ´e umcaminho tubular, por vezes escrevemos simplesmente CT. Se

t ´e um caminho tubular de x a y, chamamos τ = [∂et]∗ de tubo de x a y gerado por t. Se A ´e um animal qualquer,

(26)

4. COTAS PARA A CONECTIVIDADE FINITA 23

.

Denotamos por T∗

x,y o conjunto de todos os tubos de x a y. Observamos que um tubo ´e sempre um contorno de Peierls. Dizemos que um tubo dex ay ´e minimal se |t|=|x−y|. Dizemos que um tubo

τ ∈ T∗

x,y ´e minimal com rela¸c˜ao a um contorno de Peierls γ se I(τ) ⊂ I(γ) e qualquer outro tubo

τ′ ∈ T∗

x,y comI(τ′)⊂I(γ) ´e maior do queτ,|τ′| ≥ |τ|.

Lema 4.7. Seja γ ∈ C∗ _{um contorno de Peierls tal que} _{{x, y} ⊂} _I_γ _{e seja} _τ _{∈ T}∗

x,y um tubo minimal com rela¸c˜ao a γ. Ent˜ao

(4.8) |γ−τ| ≥ 2d−3

d−1 |τ −γ|.

Demonstra¸cão. Daremos a prova em qualquer dimensão com ênfase no caso tridimensional que é de mais fácil visualiza¸cão. Neste último caso a (4.8) se escreve

(4.9) |γ−τ| ≥ 3

2|τ −γ|.

Primeiramente provamos que a cada plaqueta em τ−γ podemos associar injetivamente uma plaqueta emγ−τ. Sejaeum elo tal quee∗ ∈τ−γ e sejaz0 um vértice dee={z0, z1}que pertence ao caminho tubulartque geraτ. Considere o caminho dos vérticesz0, . . . , zn,zi−zi−1 =z1−z0 ezné o primeiro vértice que não está emI(γ). Claramente {zn−1, zn} ∈γ e chamamos essa plaqueta de proje¸cão dee∗ sobreγ, denotando Πγ(e∗). Certamente Πγ(e∗)∈γ−τ caso contrário zn−1∈te existiria um caminho mais curto de x ay que, entrez0 e zn seria reto, contradizendo a minimalidade deτ.

SejaVt={x1=x, x2, ..., xn−1, xn=y}o conjunto de vértices do CTtque geraτ. Para 2≤i≤n−1, diremos quexiéretil´ıneose os elos do CT emtque contêmxisão paralelos, ou seja,xi−xi−1 =xi+1−xi (assumimos que o vértice inicial x e o vértice final y são retil´ıneos). Sexi não é retil´ıneo, é chamado de cotovelo. Comecemos pelos vértices retil´ıneos em t. Para cadaxi retil´ıneo, consideramos os dois planos (hiperplanos sed >3) πi, πi+1 contendo as plaquetas duais aos dois elos {xi−1, xi} e{xi, xi+1} (se i = 1 ou i = n é evidente de quais hiperplanos se trata, sendo os vértices x e y retil´ıneos por defini¸cão). Sejame∗_i,k (k= 1, . . . ,2d−2) as plaquetas duais aos elos que contêmxi diferentes das duas consideradas acima.

(27)

Consideremos as duas (2d−4 em geral) plaquetas de γi conectadas a Πγ(e∗), caso haja mais (neste caso elas devem ser exatamente 3, em qualquer dimensão) plaquetas conectadas a Πγ(e∗), por uma das 2d−4 hiper-arestas que não pertencem aos planosπi eπi+1, podemos escolher uma plaqueta incidente em particular, a dual ao elo que contém zn−1 (na nota¸cão que usamos para mostrar a existência da proje¸cão). Ambas as plaquetas (todas as 2d−4) estão em γ−τ e nenhuma pode ser a proje¸cão sobre

γ de alguma outra plaqueta pertencente aτ, já que em qualquer dos casos existiria um tubo minimal dentro de γ, contido na região do espa¸co entre os dois planosπi eπi+1, que conecta dois cubos deτ, contradizendo novamente a hipótese de queτ é minimal com rela¸cão a γ. Essa situa¸cão é ilustrada na Figura 4. No caso 1, os tubos minimais de γ são mostrados se assumirmos que as plaquetas que pertencem a γi e conectadas a e∗1 estão em τ. No caso 2, tubos m´ınimos em γ são mostrados se assumirmos que as plaquetas pertencentes a γi e conectadas a e∗1 são proje¸cões sobre γ de alguma outra plaqueta pertencente a τ.

Nos restam, então, os cotovelos. Chamamos novamente dee∗_i,kas plaquetas duais aos elos que incidem sobre xi diferentes dos que pertencem ao caminho tubular. Essas plaquetas não são todas perpen-diculares a um hiper-plano fixo. Chamemos novamente de e∗ _{uma das plaquetas} _e∗

i,k e assumimos que e∗ ∈τ −γ. Devemos novamente escolher dois planos πi(e∗) e πi+1(e∗). Eles dependem agora da plaqueta e não somente do vértice. Os dois planos πi(e∗) e πi+1(e∗) são escolhidos de modo que eles sejam perpendiculares ao plano que contém os dois elos do caminho tubular e ao plano que contém

e∗. Essa escolha pode não ser única, pois alguns e∗ podem ser paralelos ao plano que contém os dois elos do caminho tubular. A constru¸cão pode agora ser repetida do mesmo modo.

Mostramos, então, que, a cada plaqueta e∗ ∈τ −γ, podemos associar a proje¸cão e∗₁ ∈γ−τ, e ainda (2d−4) plaquetas deγ−τ que não podem ser a proje¸cão sobreγ de outras plaquetas deτ−γ. Cada uma dessas plaquetas pode ser obtida pela constru¸cão, no máximo, 2(d−1) vezes. Isso conclui a prova.

Podemos agora cotar a soma (4.5). Primeiramente observamos que ´a poss´ıvel construir um contorno de Peierlsγ⊙ {x, y}com|γ|=N+kescolhendo inicialmente um tuboτ dexayde tamanho|τ|=N+q

onde 0≤q ≤k, ent˜ao tomando um conjuntoµde |µ|=m plaquetas em τ (µ coincidir´a comτ −γ e

m=|τ−γ|) e colando às hiper-arestas que estão em uma só das plaquetas restantes, ∂sµ, um número de plaquetas igual a k−q+m para reconstruirγ (logo |γ−τ|=k−q+m). Pela cota de Ruelle, o número de maneiras com que podemos colar aos elos em ∂sµ, k−q+m plaquetas para formar um contorno fechado, é menor do que 3k−q+m_{. Observamos que, pelo lema acima,} _m_≤ d−1

d−2(k−q)≡mmax. Para simplificar escreveremos no resto da se¸c˜aoD= d_d−₋1₂. Escreveremos N_αpara indicar _⌊N_α_⌋quando

α n˜ao for inteiro. Logo temos

(4.10) X

γ∈C∗

γ⊙{x,y} |γ|=N+k

1≤

k

X

q=0

X

τ∈T ∗_xy |τ|=N+q

m_Xmax

m=1

N+q m

3k−q+m≤3dk k

X

q=0

X

τ∈T ∗_xy |τ|=N+q

m_Xmax

m=1

N+q m

.

Lembrando que m≤D(k−q)≤D k≤ N₂ e queq≤k≤ _2DN , n˜ao ´e dif´ıcil verificar que

N+q m

≤3q

N m

≤3k

N D(k−q)