Mudança de Eixos e Símbolos
Projetivos (")
E D U A R D O A . S A L G A D O
Escola Superior de Agricultura «Luiz de Queiroz»
1 _ I N T R O D U Ç Ã O
Conhecido o símbolo mileriano de uma face, em um sistema de eixos cris-talográficos, pode-se determinar o sím-bolo da mesma face em outro sistema, mediante o uso de fórmulas adequadas à mudança de eixos coordenados e cuja dedução se encontra em tratados de cristalografia.
Vamos deduzir tais expressões, va-lendo-nos dos símbolos projetivos e dos cosenos de Wulff.
2 — D E D U Ç Ã O
N a figura 1 representam-se, em projeção estereográfica, os dois sistemas XYZ e xyz e ainda o sistema retangular x'y'z', utilizado na determinação dos símbolos projetivos.
A face de pólo P tem, no sistema XYZ, o símbolo ( q r s ) , no sis-tema xyz o símbolo ( q i r1 e o símbolo projetivo ( q ' r' s ' ) .
Os pontos a, b, c, representam, respectivamente, os pólos dos círculos máximos YZ, XZ, XY e as coordenadas esféricas F são tomadas a partir de y\
Sejam m, n, p os cosenos diretores da face parametral d o sis-tema xyz, neste sistema.
Os planos XZ ( 0 1 0 ) e XY ( 0 0 1 ) darão expressões idênticas para ( h2k2l2) e ( h3k3l3) .
D e ( 1 ) tira-se:
cospx n , senpx.cosç>x ,x _
qt = — .cospP 4- . senpP. cosvP +
m m senpx.senvx ^ ^
H . senpP. sen^P.
m
De ( 2 ) obtém-se, idênticamente:
cospx , senpx.cosTX
hx = —-.cospa + . senpa. cos? a + m m
, senpx.senvx _ + — - .senpa.senpa e expressões semelhantes para h2 e h3,
m
podem ser conseguidas.
„ cospx . senpx.cos»x „ Façamos — = A ; — = B ;
m m
senpx.sen^x _
m
Podemos escrever, então:
qn = A . c o s p P + B . s e n p P . c o s p P + C . senpP. senvP hi = A . c o s p a + B . s e n p a .cos^a + , C . senpa. sen? a h2 = A . c o s p b + B.senpb .cos^b + C.senpb.sen^b h, = A . c o s p c + B . s e n p c . c o s ^ c + C.senpc.senvc
Nestas expressões ponhamos em evidência senpP e os valores que lhe correspondem: T e m o s :
q, , = senpP [ A . c o t g p P + B . C O S P P + C.sen^P ] ( 3 ) ha = senpa [ A . c o t g p a + B . c o s v a + C.sen^a ] . . . . ( 4 ) h2 = senpb [ A . c o t g p b + B . c o s v b + C.sen^b ] . . . . ( 5 ) h3 = senpc [ A . c o t g p c + B.cos«pc + C.sen^c j . . . . ( 6 )
Em virtude do teorema 3 dos símbolos projetivos ( B O L D Y -R E V , ( 1 9 3 4 ) a expressão ( 3 ) transforma-se e m :
qx = s e n p p J A s ' + Br' + C q ' j- ( 7 )
hx = senpa ^ A s3 + B s2 + ( 8 )
h2 = senpb - | A t3 + B t2 + Ctj j . ( 9 )
h3 = senpc | A U3 + B u2 4- Cux j- ( 1 0 )
N a expressão ( 7 ) substituam-se os índices projetivos pelos seus respectivos valores, obtidos da expressão [ 1 3 ] d e Boldyrey.
Obtém-se:
q, = s e nPP \A
j ^ + + SU
'> + ^ + ^ +
1 =
f q ( A s3 4- B s2 4-CsJ 4- r ( A t3 4- B t2 X C tn)
4-senpP | + s( AU j + + ( n )
D e ( 1 1 ) tira-se, levando em conta ( 8 ) , ( 9 ) e ( 1 0 ) :
f hxq h2r h3s "1
qx = senpP^ 4- 4- L
L senpa senpb senpc |
obtendo-se expressões idênticas para ri e SU
Dividindo por senpP e fazendo ! — = L , — ! —L\ senpa senpb
= L " chegase às expressões obtidas por B U T T -senpc
G E N B A C H , ( 1 9 3 5 ) :
qt = L hxq 4- L'h2r 4- L " h3s \\ = L kxq 4- L'k2r 4- L " k3s S l = L l , q 4- L'l2r 4- L " l3s
3 . — R E S U M O
4 . — S U M M A R Y
The present work presents a new deduction of the expressions which are used to the change of the coordinate axes in Crystallo-graphy, the author using the stereographic projection.
5 — L I T E R A T U R A C I T A D A
B O L D Y R E V , A.K.-1934 — Cristalografia — tradução do russo para o espanhol por Rafael Candel Vila — Editorial Labor.
