+ ", - + " 5( !)* " / '("
0 ! !) ' , ! 0 0+" ' "
-" !( "6 "7 '8 - !( 0 ,9
, !(
,9 , ( - 1";< , - 5 " + - 5- ( , " = !" 4/ 0 !' !>
!"#$
?$ <7
% & ' ( ) & * + , -. * & ,
/ 0 + 1 2 +
3
# ') ( ! 1 4
-,5 6 78 3 + 0 + 1 2 333 ) & * +
, -. * & , 3+ 59
AGRADECIMENTO
Aos meus pais e minha esposa por sempre me incentivarem, por terem
compreensão e apoio nos momentos difíceis.
Ao professor José Valentim Machado Vicente e principalmente ao co&
orientador Gustavo Silva Araújo por acreditar nesse trabalho desde o início da
jornada no fim da graduação até a conclusão deste mestrado.
Agradeço muito ao Livio Cuzzi Maya pela grande ajuda durante o processo de
Este trabalho tem como objetivo verificar se o mercado de opções da
Petrobras PN (PETR4) é ineficiente na forma fraca, ou seja, se as informações
públicas estão ou não refletidas nos preços dos ativos. Para isso, tenta&se obter
lucro sistemático por meio da estratégia Delta&Gama&Neutra que utiliza a ação
preferencial e as opções de compra da empresa. Essa ação foi escolhida, uma vez
que as suas opções tinham alto grau de liquidez durante todo o período estudado
(01/10/2012 a 31/03/2013).
Para a realização do estudo, foram consideradas as ordens de compra e
venda enviadas tanto para o ativo&objeto quanto para as opções de forma a chegar
ao livro de ofertas ( ) real de todos os instrumentos a cada cinco minutos. A
estratégia foi utilizada quando distorções entre a Volatilidade Implícita, calculada
pelo modelo , e a volatilidade calculada por alisamento exponencial
(EWMA – ) foram observadas.
Os resultados obtidos mostraram que o mercado de opções de Petrobras não
é eficiente em sua forma fraca, já que em 371 operações realizadas durante esse
período, 85% delas foram lucrativas, com resultado médio de 0,49% e o tempo
médio de duração de cada operação sendo pouco menor que uma hora e treze
minutos.
Palavras&chave: Eficiência de Mercado, Opção de Petrobras, Estratégia Delta&
This work aims to verify if the Petrobras options market is ineficient on the
weak form, that is, if in fact all the public information are already reflected in asset
prices. So, the study tries to achieve profit systematically through the Delta&Gamma&
Neutral strategy using the company's preferred stock and it’s options. This asset was
chosen because it’s options were highly liquid throughout the study period
(01/10/2012 to 31/03/2013).
Purchase and sales orders for the underlying asset and it’s options were
considered in order to reach the actual book of all instruments every five minutes.
The strategy was applied when distortions between the Implied Volatility, calculated
by the Black & Scholes model, and the volatility calculated by exponential smoothing
(EWMA & Exponentially Weighted Moving Average) were detected.
The results showed that the Petrobras options market is not efficient in it’s
weak form, since in 371 transactions during this period, 85% of them were profitable,
with an average result of 0,49% and the average duration of each operation being
slightly smaller than an hour and thirteen minutes.
GRÁFICO1–PORTFÓLIO DELTA NEUTRO COM CALLS E COM PUTS ... 17
GRÁFICO2–PORTFÓLIO DELTA GAMA NEUTRO COM CALLS E COM PUTS ... 17
GRÁFICO3–RETORNO E VOLATILIDADE HISTÓRICA DA PETR4 ... 21
GRÁFICO4–EVOLUÇÃO PETR4 VS.IBX100 ... 22
GRÁFICO5–HISTOGRAMA DOS RESULTADOS DA OPERAÇÃO ... 35
GRÁFICO6 HISTOGRAMA DOS RESULTADOS DA OPERAÇÃO DA ESTRUTURA COM QUANTIDADES ARREDONDADAS ... 38
TABELA1–PRINCIPAIS MÉTRICAS DA AÇÃO DA PETROBRAS X ÍNDICE IBX100 ENTRE OUTUBRO/2012 E MARÇO/2013 ... 22
TABELA2–EXEMPLO:NEGÓCIOS REALIZADOS PARA A ABERTURA DA OPERAÇÃO ... 28
TABELA3–EXEMPLO:NEGÓCIOS REALIZADOS PARA O ENCERRAMENTO DA OPERAÇÃO ... 29
TABELA4–RESULTADOS TOTAIS:LUCRO X PREJUÍZO ... 31
TABELA5–OPERAÇÕES COM ENTRADA DE CAIXA VS.SAÍDA DE CAIXA ... 32
TABELA6–RESULTADOS DAS OPERAÇÕES COM ENTRADA DE CAIXA ... 32
TABELA7–RESULTADOS DAS OPERAÇÕES COM SAÍDA DE CAIXA ... 33
TABELA8–ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DOS RESULTADOS ... 34
!
"
"
" # $ % &
' ( ' ) *
" +
,
O presente trabalho avalia se o mercado de opções de Petrobras PN é
ineficiente em sua forma fraca, ou seja, se todas as informações públicas estão ou
não embutidas nos preços dos intrumentos.
Para encontrar uma possível distorção nos preços das opções, duas formas
de estimação da volatilidade do ativo&objeto serão comparadas a fim de se obter
lucros sistemáticos: a volatilidade implícita calculada pela equação de
e a mensurada pelo modelo (
). Se lucros sistemáticos forem obtidos, o mercado de opções de Petrobrás
não é eficiente em sua forma fraca.
A equação de é um modelo de apreçamento de opções que
leva em conta cinco fatores. Entre eles, o único que não está explícito no mercado é
a volatilidade do ativo&objeto. Sendo assim, pode&se estimar essa volatilidade futura
do ativo&objeto a partir das outras quatro variáveis (que são a taxa de juros livre de
risco da economia, o preço do ativo&objeto, o tempo para o vencimento do derivativo
e o seu preço de exercício) e do próprio preço de mercado da opção.
Já o modelo baseia&se no decaimento exponencial dos pesos
referentes às observações anteriores e, portanto, atribui maior relevância para as
observações mais recentes em uma série histórica. Este modelo foi popularizado no
mercado pelo banco quando disponibilizou seu manual de risco de
mercado, o ! .
Observada uma distorção entre a volatilidade estimada através desses dois
opções da Petrobras, com o objetivo de se “ ” contra possíveis variações no
preço do ativo&objeto, operando sua volatilidade. A estratégia consiste em comprar
opções relativamente baratas (com volatilidade implícita baixa), vender opções
relativamente caras (com volatilidade implícita alta) de mesmo ativo&objeto e
vencimento e, simultâneamente, comprar ou vender a ação em uma quantidade que
faça com que o delta e o gama da estratégia valham zero.1 Sabe&se que fazendo o
apenas no preço do ativo&objeto, a estratégia ainda segue exposta a outros
fatores além da volatilidade, como tempo para o vencimento e variações da taxa de
juros livre de risco da economia, porém a influência dessas variáveis dentro da
operação tende a ser baixa, uma vez que há operações em sentidos opostos nas
opções. Assim, grande parte do efeito gerado por uma delas é anulado pela outra.
Se as volatilidades estimadas por ambos os modelos tenderem para um
mesmo ponto, será possível auferir lucro desfazendo&se a operação. Assim, será
possível avaliar se o mercado de opções de Petrobrás foi ineficiente em forma fraca.
O intuito é de simular situações totalmente reais de mercado, para que não
restem dúvidas quanto à eficácia da estratégia. Para isso foi utilizada uma base de
dados ampla que contém todas as informações de ordens enviadas e executadas
durante o período de 10/2012 até 03/2013. Com ela, construiu&se o livro de ofertas
( ) do ativo&objeto e de todas as opções negociadas, a cada cinco minutos.
Os resultados obtidos mostraram que de fato o mercado brasileiro de opções
não foi eficiente em forma fraca, uma vez que foi possível sim auferir lucros
sistemáticos com esta estratégia. Considerando todas as operações realizadas (369
durante o período de seis meses), 85% delas foram lucrativas, sendo o lucro médio
1
de 0,49% e a mediana dos resultados de 0,32%. O retorno máximo foi um lucro de
7,67% enquanto o prejuízo máximo foi de 6,71%. O tempo médio de duração das
operações foi de uma hora, doze minutos e cinquenta e cinco segundos.
A amostra considerada neste estudo trouxe uma volatilidade média do ativo&
objeto bem próxima a sua volatilidade média histórica. Portanto como o objeto do
estudo, a estratégia “Delta&Gama&Neutra”, é uma operação de volatilidade, acredita&
se que os resultados encontrados neste trabalho possam ser extrapolados para
outros períodos.
A seguir o trabalho apresenta, na seção 2, os principais conceitos para o
entendimento do estudo bem como a literatura relacionada ao tema, no capítulo 3,
as delimitações da amostra, a metodologia utilizada e um exemplo prático, no
capítulo 4 os resultados obtidos com a estratégia “Delta&Gama&Neutra”, na seção 5
Esta seção discute os conceitos imprescindíveis para a compreensão e
realização desta dissertação, além de apresentar outras obras que fazem um estudo
similar ou trazem consigo informações importantes sobre o tema central deste
trabalho.
Fama (1970) trata como mercado eficiente em forma fraca aquele em que
todas as informações públicas (como os preços históricos, volumes, taxas etc.) já
estão refletidas nos preços dos ativos. Ou seja, não se pode determinar o
movimento do mercado apenas observando os dados públicos de mercado.
Para se testar a eficiência fraca do mercado de opções de Petrobras PN, é
utilizada a estratégia Delta&Gama&Neutra, cujo objetivo é operar apenas a
volatilidade do ativo&objeto. Como mencionado na seção anterior, é sabido que essa
estratégia não exclui a influência de outros fatores que formam o preço das opções
além do preço do ativo&objeto, porém a representatividade da volatilidade é bem
maior do que a do tempo para o vencimento e da taxa de juros livre de risco da
economia, uma vez que existem operações opostas nas opções (uma comprada e
outra vendida). Dessa forma, boa parte do efeito gerado por uma delas é anulado
pela outra.
Para se compreender como funciona a operação, é preciso entender primeiro
De acordo com Araujo, Bessada e Barbedo (2009), o delta é a primeira
derivada do valor da opção na fórmula de em relação ao preço do
ativo&objeto, ou seja, é a variação no preço da opção dada uma variação marginal
no preço do ativo&objeto, mantendo&se todos os outros fatores que afetam seu preço
constantes.
Sabendo disso, uma operação muito usual no mercado é a chamada “Delta&
Neutra”, ou seja, uma estrutura comprada em uma opção e vendida no ativo&obeto
(para “comprar” volatilidade), ou com as posições inversas (para “vender”
volatilidade).2 Assim como a proposta deste trabalho, a estrutura “Delta&Neutra”
também está posicionada apenas em volatilidade. Porém, como essa carteira tem
gama diferente de zero, ela só se mantém com a característica de delta igual a zero
para pequenas variações no preço do ativo subjacente. Caso o ativo tenha uma
variação relativamente grande, o delta da estrutura deixa de ser igual a zero,
descaracterizando a operação exclusivamente de volatilidade. Para seguir com o
portfólio delta neutro, o investidor precisaria constantemente rebalancear as
quantidades de sua posição, o que pode inviabilizar a operação dados os custos de
transação.
Ainda segundo Araujo, Bessada e Barbedo (2009), o gama é a taxa de
variação do delta do derivativo em relação ao preço do ativo&objeto, isto é, ele mede
quanto varia o delta da opção dada uma variação marginal no preço do ativo
subjacente. Matematicamente, o gama é a primeira derivada parcial do delta em
relação ao preço à vista do ativo&objeto, ou seja, é a segunda derivada parcial da
fórmula do prêmio da opção em relação ao preço da ação.
2
Portanto, a proposta deste estudo é tentar auferir lucro sistemático utilizando
a estratégia “Delta&Gama&Neutra”, que é composta por posições em duas opções de
mesmo vencimento e sobre o mesmo ativo subjacente, sendo uma comprada e uma
vendida (de forma a zerar o gama entre elas) e uma posição, positiva ou negativa,
no ativo&objeto (com o intuito de zerar o delta da carteira). Assim, a estrutura se
apresenta neutra à variações no preço do ativo&objeto (já que seu delta é nulo) e tem
a capacidade de manter essa característica mesmo para maiores variações no preço
da ação, já que a taxa de variação do delta (o gama) também é nula, operando
apenas a volatilidade desse ativo. Desta forma, estando protegido das variações do
ativo&objeto, se as volatilidades implícitas tenderem a um ponto em comum, aufere&
se lucro.
Outro conceito importante para a formulação deste estudo é o modelo EWMA
( ). De acordo com o RiskmetriksTM, manual
de risco de mercado do banco , ele é um modelo de estimação de
volatilidade que atribui pesos mais relevantes para observações mais recentes. Para
isso, incorpora&se à fórmula de estimação de volatilidade a variável lambda (λ)3, que
especifica a ponderação da observação mais recente da série. Conforme este
manual, é sugerido 0,94 como o valor de λ para dados diários.
Alguns trabalhos fazem algo próximo do que é proposto neste estudo e,
justamente por isso, serviram de fonte de consulta e inspiração.
3
O principal deles é Ederington e Guan (2001). Neste artigo, os autores testam
se o verdadeiro de volatilidades implícitas4 é constante. Porém, ele rejeita essa
hipótese. Para fazer o teste, ele realiza operações com a estratégia Delta&Gama&
Neutra, comprando a opção na base do (volatilidade mais baixa) e vendendo a
opção no topo (volatilidade mais alta). Como as operações realizadas são, em geral,
bem sucedidas, ele argumenta que ainda que alguma parte da composição do
possa ser atribuída à deficiencias no modelo de (tais como a
premissa de que a volatilidade do ativo&objeto é constante até o vencimento da série
de opções, a premissa de que a distribuição de probabilidades dos preços do ativo&
objeto é log&normal, etc.), boa parte da sua composição vem da verdadeira
volatilidade implícita.
Sudhakar (2012) apresenta diferenças entre as estratégias delta&neutra e
delta&gama&neutra estruturadas tanto com quanto com " . Os Gráficos 1 e 2,
extraídos deste trabalho, mostram as variações sofridas pelos quatro portfólios.
4
! !
Nota: O gráfico mostra as variações sofridas nos portfólios Delta&Neutros com opções de compra
(linha azul) e com opções de venda (linha vermelha). Ele mostra que basta uma variação modesta
no preço do ativo&objeto para que o portfólio seja afetado e também sofra alterações de valor.
" ! !
Nota: O gráfico mostra as variações sofridas nos portfólios Delta&Gama&Neutros também com
opções de compra (linha azul) e com opções de venda (linha vermelha). Ele mostra que o valor do
portfólio se mantém inalterado mesmo com uma variação mais relevante do preço do ativo&objeto.
Os gráficos, portanto, deixam claro que a carteira delta&gama&neutra exige
para que se evite a interferência da variação do preço do ativo&objeto no resultado
total da estrutura.
Já Figlewski (1989) trata dos problemas de se realizar uma operação de delta
. Ele traz para o mercado real a teoria de e põe à prova
alguns de seus mais fortes pressupostos, tais como a inexistência de custos de
transação, a possibilidade de divisão dos ativos, e a volatilidade do ativo&objeto ser
constante durante toda a vida da opção. O autor conclui que: a) uma má estimação
da volatilidade do ativo&objeto compromete o apreçamento das opções por
(principalmente nas opções mais fora do dinheiro); b) que a questão da
indivisibilidade afeta a razão do do portfólio delta&neutro principalmente nos
casos de o ativo&objeto ser caro ou das quantidades envolvidas na negociação
serem pequenas, que os custos de transação comuns no mercado podem gerar
“bandas” em torno dos preços impossibilitando uma operação de arbitragem e; c)
que o # $$ gerado entre rebalancear constantemente o portfólio (o que incorre
em custos de transação) ou deixar com que o portfólio se distancie da sua qualidade
de delta&neutro deve ser levado em consideração.
Um artigo que trata especificamente do confronto entre a volatilidade do ativo&
objeto implícita à opção e a volatilidade histórica é Canina e Figlewski (1993). Nele,
os autores verificam se existe correlação entre a previsão dada pela volatilidade
implícita e a praticada de fato. Eles concluem que o grau de precisão da volatilidade
implícita como previsão de volatilidade futura deve estar diretamente ligado ao quão
fácil for realizar o de arbitragem (delta ), ou seja, o quão menos custoso
for fazer o constante rebalanceamento do portfólio. Eles também constatam que nem
volatilidade futura, considerando as opções do Índice S&P 100, as mais líquidas da
época.
Por fim, uma obra no mercado brasileiro que tem um objetivo semelhante ao
deste trabalho é Fuchs e Lemgruber (2001). Nele, os autores testam, com uma base
de dados diária, se o mercado de opções de Telebrás PN (líquido na época do
estudo) era eficiente. Para realizar esse teste, eles simulam, constantemente,
operações delta&neutras compradas ou vendidas em volatilidade. A estrutura era
montada quando havia forte valorização no ativo&objeto associado a um aumento ou
leve diminuição da volatilidade implícita das opções (venda de volatilidade), ou
quando ocorria uma forte desvalorização do ativo&objeto associada a uma
diminuição ou leve aumento da volatilidade implícita das opções (compra de
volatilidade). Os autores concluem que o mercado de opções de Telebrás não era
Este capítulo esclarece quais dados, períodos e ativos foram considerados no
estudo, por que eles foram utilizados em detrimento dos outros e como eles foram
trabalhados para que se chegasse ao objetivo final.
Apresenta&se também, com o intuito de elucidar como foi realizada cada
operação, um exemplo real.
Os arquivos que alimentaram a base de dados do estudo foram obtidos
através do link FTP (“% ! $ &) da Bovespa.5 Utilizou&se seis tipos
diferentes de arquivos, sendo eles o de (1) oferta de compra dos ativos&objeto' (2)
oferta de venda dos ativos&objetos, (3) negócios realizados entre os ativos&objeto, (4)
oferta de compra das opções, (5) oferta de venda das opções e (6) negócios
realizados entre as opções.
Os arquivos referentes às ofertas têm dois diferentes tipos de " , sendo
um deles até 31/03/2013 e o outro de 01/04/2013 em diante. Essa alteração de
" ocultou uma das informações de ordens que haviam sido modificadas que é
indispensável para a realização do trabalho. Sendo assim, o estudo ficou restrito à
informações anteriores a Abril/2013. O período de análise, portanto, foi estipulado
entre 01/10/2012 e 31/03/2013 para que a amostra tivesse seis meses de duração.
5
Dado esse intervalo de observação, foi considerada a ação Petrobras PN (PETR4) e
suas respectivas opções, por terem boa liquidez à época.
Esse foi um período de volatilidade bem próxima da média histórica da
PETR4, conforme apresentado no Gráfico 3. Assim, como a proposta da estratégia é
justamente operar a volatilidade do ativo&objeto, acredita&se que os resultados
obtidos nesta amostra possam ser extrapolados para outros períodos.
# $ % & & ' ! & (
Nota: O eixo principal é referente aos retornos diários da PETR4 dentro do período de Fevereiro/09 até Março/13 enquanto o
secundário diz respeito à volatilidade anualizada do ativo, calculada como o desvio padrão dos últimos 21 retornos,
multiplicado pela raíz quadrada de 252 dias úteis. A área hachurada representa o período considerado neste trabalho.
A Tabela 1, mostra as principais métricas da ação da Petrobras PN e do
Índice IBX 100, como do comportamento do mercado. Nele, constam
informações de rentabilidade e de volatilidade no período.6 Pode&se notar que o
intervalo de tempo do estudo não foi favorável à ação PETR4 pois, enquanto o
mercado teve uma valorização de 1,93%, o ativo se desvalorizou em 18,48%. Com
relação à volatiliadade, ainda que tanto o desvio&padrão quanto a volatilidade
6
A volatilidade estimada pelo modelo EWMA foi calculada para o dia seguinte do período da amostra, com λ de 0,94, conforme sugerido pelo . Tanto a volatilidade calculada pelo modelo EWMA quanto pelo desvio padrão foram anualizadas.
0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% -10% -2% 0% 2% 10%
fev-09 jul-09 nov-09 abr-10 set-10 fev-11 jul-11 dee-11 mai-12 out-12 mar-13
estimada pelo modelo EWMA da PETR4 tenham sido maiores que os valores do
mercado, como visto no Gráfico 3, a volatilidade da PETR4 esteve sempre próxima à
sua média histórica.
$ ) ! *+ ! & ,- & . ! / 0$& 1 22 $
. 3"2 " * , 3"2 #
No próximo gráfico apresentado (Gráfico 4), foi construído um índice da
PETR4 e um do IBX100, ambos partindo do valor “1”, para que tivessem a mesma
base, facilitando a comparação visual. Nota&se, portanto, que o IBX 100 teve um
desenvolvimento bem melhor que o ativo da Petrobras PN no período estudado.
( 4 ,- ( 4!5 1 22
IBX 100 PETR4
RENTABILIDADE 1,93% -18,48%
RETORNO MÁXIMO DIÁRIO 3,14% 9,02%
RETORNO MÍNIMO DIÁRIO -1,62% -4,72%
DESVIO-PADRÃO 13,89% 31,38%
EWMA (LAMBDA 0,94) 12,82% 33,78%
0,60 0,80 1,00 1,20
out-12 nov-12 dee-12 jan-13 fev-13 mar-13
Os principais insumos para se simular as operações Delta&Gama&Neutras são
os livros de ofertas ( ) do ativo&objeto e das opções. Como a análise é realizada
de forma intra&diária, é necessário ter essas informações com o menor intervalo de
tempo possível entre elas ao longo dos dias. A partir dos seis tipos de arquivos
explicitados na seção 3.1, é possível construir os .
O intuito inicial era obter essas informações a cada segundo. Porém, a
exigência computacional disso é muito grande o que, a priori, inviabilizou a proposta.
Desta forma, este trabalho passou a considerar o intervalo de cinco minutos entre as
informações do de ofertas. Com isso, cada dia conta com 83 informações de
preços e quantidades para a PETR4 e suas opções para a compra e para a venda
(considerou&se o horário de pregão entre 10:05:00 e 16:55:00).
Para se chegar aos , utilizou&se as informações de ordens enviadas e
de negócios extraídas do FTP da Bolsa. Os arquivos de ordens enviadas as
classificam como “aceitas”, “eliminadas”, “congeladas”, “canceladas”, “totalmente
executadas”, “modificadas”, “disparadas”, “anuladas” e “rejeitadas”. Utilizou&se,
porém, apenas as ordens de classificação “aceitas”, “totalmente executadas” e
“modificadas” para a construção dos livros de ofertas do ativo&objeto e de suas
opções.
A maior parte das ordens enviadas para a bolsa são modificadas (em geral,
diversas vezes). Assim, elas são consideradas com suas características iniciais
(ativo, preço e quantidade) apenas até o momento da modificação. A partir daí, essa
ordem com as propriedades iniciais deixa de existir, sendo substituída pela nova
Outro ponto importante trata da validade da ordem. O estudo trabalha apenas
com ordens de validade diária, ou seja, ordens que podem ficar abertas por mais de
um dia foram desconsideradas.
Para os derivativos, trabalhou&se apenas com as opções de compra ( )7
com o vencimento mais próximo à cada data analisada.
Os arquivos de negócios também contam com três especificações. São elas:
“negócio”, “negócio anulado” e “complemento de anulação”. Destas, apenas as
linhas classificadas como “negócio” influenciaram na construção dos livros de
ofertas.
Essas simplificações da realidade apenas trouxeram mais dificuldade para
que a estratégia fosse bem sucedida, ou seja, tornam mais distante a comprovação
de que o mercado de opções de Petrobras não é eficiente em sua forma fraca.
Já sabendo quais são as melhores ofertas de compra e de venda e suas
respectivas quantidades de PETR4 e de todas as suas para o próximo
vencimento, a cada cinco minutos, é preciso calcular duas volatilidades implícitas
para cada opção (uma no caso do e uma no caso do ),8 também a cada cinco
minutos. Para isso são necessários: o valor da melhor oferta, do CDI no dia (extraído
do site oficial da CETIP),9 o preço do ativo&objeto (considerado como o valor médio
entre seu e seu no exato momento em que se calcula a volatilidade implícita
da opção), o seu preço de exercício ( ) e o tempo para o vencimento da
série em dias úteis.
7
Como descrito em Sudhakar (2012), a operação também é viável com as opções de venda ( ), porém elas não foram incluídas nesse trabalho porque, em geral, não tinham muita liquidez no mercado brasileiro.
8
é o nome dado ao lado da compra do livro de ofertas, enquanto o se refere ao lado da venda do . 9
Com isso, para se avaliar a entrada ou não na operação, falta apenas calcular
a volatilidade EWMA diária. Para tanto, foram utilizados os preços históricos de
fechamento do ativo&objeto, ajustados para proventos e desdobramentos, até o dia
anterior ao que se quer calcular. O último valor a compor a série para o cálculo foi o
preço médio entre o e o do momento avaliado. O valor de (λ)
utilizado foi 0,94, conforme sugerido, para dados diários, no manual de risco de
mercado do banco , o ! .
Com essas informações (volatilidades do ativo&objeto implícitas às opções
calculadas com o e com o e a volatilidade EWMA do ativo subjacente), é
feita a análise de entrada ou não na operação. A estrutura só é montada caso,
simultaneamente: a) a volatilidade implícita de uma opção (VIMP1) calculada com
seu preço seja X% menor que a volatilidade EWMA estimada e; b) a volatilidade
implícita de outra opção (VIMP2) calculada com o seu preço seja X% maior que a
volatilidade EWMA estimada.10 Essa distância “X” é arbitrária. Portanto, para
minimizar o viés de escolha dessa variável, o estudo foi feito com “X” assumindo os
valores 20%, 25%, 30%, 35%, 40%, 45% e 50%.
Dada entrada na operação, calcula&se a diferença entre VIMP2 e VIMP1. Ela é
utilizada como base para a operação ser encerrada.
10
A Volatilidade Implícita 1(VIMP1) é calculada com o preço da opção, uma vez que ela será comprada, enquanto a Volatilidade implícita 2 (VIMP2) é calculada com o preço da opção, já que esta será vendida.
A partir daí, já se sabe quais opções serão negociadas porém, as quantidades
envolvidas na estrutura ainda precisam ser estipuladas. Para isso calcula&se, pela
fórmula de , o delta e o gama das opções (tratando o preço do ativo&
objeto como a média entre o e o do momento específico e tratando a
volatilidade do ativo&objeto como a volatilidade implícita do caso a opção seja
comprada ou do , caso a opção seja vendida).
As quantidades de opções, portanto, são tais que o gama resultante da
combinação destas seja igual a zero. Porém, apesar de zerar o gama, essas
quantidades provavelmente irão deixar um valor residual de delta. Portanto, negocia&
se também uma quantidade específica de ativo&objeto de forma a zerar o delta da
estrutura.
Todas as negociações realizadas neste trabalho são , ou seja, a
abertura e o encerramento devem ocorrer sempre no mesmo dia. Assim, a operação
só é encerrada em dois casos:
1) Caso ela traga resultado positivo, com a diferença entre VIMP2 e VIMP1
representando, no máximo, dois terços da diferença calculada no momento da
abertura da operação;
2) Caso o dia se encerre sem que o primeiro critério ocorra, a operação é
finalizada às 16:55:00, último horário considerado neste estudo, indepentende do
resultado.
Por fim, existem dois cenários para se calcular o lucro percentual da
operação. Caso ela não exija margem de garantia (o investidor, portanto,
necessariamente tem custo para abrir a operação), o lucro percentual é
como realizado em qualquer operação convencional. Por outro lado, caso a estrutura
seja montada com entrada de caixa, ela exigirá margem de garantia do investidor,
calculada tanto para as opções quanto para o ativo&objeto. Para as opções, a
margem é igual a 100% do risco dos derivativos vendidos à descoberto11 e, para o
ativo&objeto, a margem foi estipulada como 130% do montante vendido à
descoberto.12 Nesse caso, o lucro percentual da estrutura é calculado sobre essa
margem total, ou seja, o valor recebido é subtraído do valor pago, e dividido pela
margem de garantia exigida.
Para ilustrar o comportamento do investidor, considere o exemplo real a
seguir:
Às 14:50:00 do dia 01/10/2012, observou&se que a de PETR4 com
de R$ 23,50 para o vencimento mais curto (Opção 1) tinha, pelo modelo de
, uma volatilidade implícita de 27,47% (calculada com seu preço )
enquanto que, simultâneamente, a de R$ 20,00 para o mesmo vencimento
(Opção 2) tinha uma volatilidade implícita de 58,08% (calculada com seu preço ).
Como neste mesmo instante, a volatilidade EWMA do ativo&objeto foi estimada em
44,89%, este se mostrou um momento ideal para a abertura da operação se
considerarmos a distância percentual entre as volatilidades (X) igual a 20% ou 25%,
já que a volatilidade implícita da opção comprada é 39% menor que a volatilidade
11
Por exemplo: Considere uma estratégia montada comprando 100 opções de 10, vendendo em 300 opções de 12 e comprando 100 ativos objetos. Nesta operação, entre as 300 opções vendidas, 100 são cobertas com o ativo objeto e 100 são cobertas com as opções compradas (já que estas têm o menor que o das opções vendidas). Com isso, o valor da margem neste caso é de: 100 (quantidade de opções vendidas à descoberto) x 12 ( dessas opções) = R$ 1.200.
12
EWMA do ativo&objeto e a volatilidade implícida da opção vendida é 29% maior que
a mesma volatilidade EWMA.
Calculou&se, portanto, a diferença entre as volatilidades implícitas das duas
opções, chegando 30,61%. Calculou&se também os valores de delta e de gama de
ambas as opções (considerando a volatilidade implícita no preço do para a
opção a ser comprada e a volatilidade implícita no para o derivativo a ser
vendido). Portanto, operou&se as quantidades exatas (restritas pela disponibilidade
no livro de ofertas de cada opção) para que o gama da carteira fosse igual a zero, ou
seja, comprou&se 498 “Opções 1” (pelo preço de R$ 0,21 por contrato) e vendeu&
se 1.754 “Opções 2” (pelo preço de R$ 2,89 cada). Esses montantes, apesar de
zerarem o gama entre si, tornaram o delta da carteira negativo. Para zerar, também,
o delta da estrutura, comprou&se as 1.400 PETR4 disponíveis no do livro de
ofertas, ao preço de R$ 22,67. Portanto, a carteira foi montada ao custo de R$
26.773, conforme a Tabela 2 abaixo.
" / ) 6 7 ! 8 & ! ) . & )
,-Nota: A Tabela 2 representa a carteira montada na abertura da operação. Ela é comprada na Opção 1
(de R$ 23,50) e no ativo&objeto e vendida na Opção 2 (de R$ 20,00). As quantidades são tais
que tanto o delta quanto o gama da carteira sejam iguais a zero, sempre respeitando o limite de
quantidade existente nos dos três instrumentos envolvidos no portfólio.
Posteriormente, às 16:45:00 do mesmo dia, a “Opção 1” tinha o em R$
0,19, com volatilidade implícita de 28,64%, a “Opção 2” tinha o em R$ 2,71 com
Hora Ativo Strike Volatilidade Preço Quantidade
volatilidade implícita de 49,03% enquanto a melhor oferta de compra da PETR4 era
de R$ 22,52. Assim, a distância entre as novas volatilidades implícitas era de
20,38%, o que representa 66,57% da distância inicial, acusando uma possibilidade
de encerramento da operação, conforme mostra a Tabela 3.
# / ) 6 7 ! 8 & ! ) $ $ & )
,-Nota: A Tabela 3 mostra o encerramento da operação. Neste momento, são vendidas as Opções 1 e os
ativos&objeto da carteira e compradas as Opções 2 que haviam sido vendidas na abertura da estratégia.
Com esses preços, o investidor recebeu R$ 26.869, o que representa um
lucro de R$ 96, ou 0,36% do investimento inicial, em uma operação que durou uma
hora e cinquenta e cinco minutos.
Hora Ativo Strike Volatilidade Preço Quantidade
"
Como mencionado na seção anterior, a operação só é aberta caso as
volatilidades implícitas de duas opções de mesmo vencimento estejam,
simultaneamente, com uma distância maior que X% (uma superior e outra inferior)
da volatilidade EWMA calculada para o ativo&objeto. Como a medida X é arbitrária,
são apresentados os resultados considerando diversos valores para esta variável.
Posteriormente, são apresentados com mais detalhes os resultados da
operação menos restritiva, ou seja, com a variável X assumindo o valor de 20%,
como de todos os demais resultados obtidos.
Por fim, o trabalho traz uma simulação da estratégia com quantidades
arredondadas. Com isso, apesar do se tornar imperfeito, a estrutura passa a
ter as características exatas de uma operação real.
"
A operação se mostrou bem sucedida independente do valor atribuído a X. A
Tabela 4 evidencia isso mostrando, para cada valor de X, a quantidade de
operações realizadas no período do estudo, a média diária de operações, bem como
o percentual de resultados positivos " o percentual de operações com
( ! & ! !6 / 9 :8
É natural que quanto maior o valor de X, menos operações sejam realizadas,
uma vez que o critério para a entrada na estratégia se torna mais restritivo. Porém,
diferentemente do que se poderia esperar, o percentual de operações lucrativas não
foi crescente com relação ao aumento de X, ou seja, o investidor ter sido mais
restritivo para a entrada na operação não significou ter sido mais preciso. Isso ocorre
porque, em geral, para que as opções tenham uma volatilidade implícita tão distante
da volatilidade EWMA, elas precisam ser muito pouco líquidas. Assim, ainda que o
investidor entre na operação, ele pode ter mais dificuldade para sair dela, tendo que
pagar um preço ruim para tal. Como o estudo se baseia apenas em , o
investidor pode ter pouco tempo para zerar a operação sendo, no limite, obrigado a
encerrá&la no fim do pregão, independente do resultado que se apresente.
Uma grande diferença entre as operações é o fato de parte delas ser montada
com saída e parte com entrada de caixa, já que pode ser exigida ou não margem de
garantia para a abertura da posição. Entretanto, a maior parte das operações foi
aberta com saída de caixa, como mostra a Tabela 5.
X
50% 12 80% 3 20%
45% 23 66% 12 34%
40% 20 79% 13 21%
35% 77 79% 20 21%
30% 123 81% 29 19%
25% 209 84% 40 16%
20% 312 82% 26 12%
1,32 2,17 3,23 Total 12 32 63 97 122 249 371
Operações por Dia
0,13 0,30 0,22 0,84
; ) ,< ! $ & & / 4!5 :& & /
Tratando as operações separadamente, as compradas (com saída de caixa)
aparentemente são mais bem sucedidas que as vendidas (com entrada de caixa).
Porém, não se pode comprovar isso com este estudo pois, existem muito poucas
operações vendidas. Inclusive, pode&se observar na Tabela 6 abaixo que, conforme
a restrição vai diminuindo (menores valores de X), o nível de sucesso das operações
vendidas vai aumentando, até ficar próximo dos níveis de lucro atingidos pelas
operações compradas, descritos na Tabela 7.
= ! & ! & ! ) ,< ! $ & & /
X Total
50% 1 7% 14 93% 12
45% 7 20% 28 80% 32
40% 10 16% 23 84% 63
35% 11 11% 86 89% 97
30% 12 10% 137 90% 122
25% 24 10% 222 90% 249
20% 29 8% 342 92% 371
Entrada de Caixa Saída de Caixa
X Total
50% 1 100% 0 0% 1
45% 3 43% 4 27% 7
40% 6 60% 4 40% 10
35% 7 64% 4 36% 11
30% 9 60% 6 40% 12
25% 16 67% 8 33% 24
20% 21 72% 8 28% 29
> ! & ! & ! ) ,< ! :& & /
"
#
$
%
&
'
(
'
)
*
Como observado, a operação se mostrou positiva independente do valor
atribuído à variável X. Portanto, os detalhes dos resultados serão apresentados
apenas considerando a distância de 20% entre as volatilidades implícitas e a
volatilidade EWMA, simplesmente por ser a menos restritiva e, consequentemente,
trazer um maior número de informações para análise.
Como se observa na Tabela 8, foram realizadas 371 operações. Destas, 85%
atingiram lucro enquanto 15% obtiveram prejuízo. Apenas 8% foram realizadas com
entrada de caixa.
O médio13 entre as operações (dada a disponibilidade máxima nos
das opções e do ativo&objeto), considerando o valor de abertura em módulo
(portanto, independente da operação ter sido aberta com entrada ou com saída de
caixa), foi de quase 81 mil reais.
13
Nome usualmente utilizado no mercado financeiro para o valor médio gasto em cada operação.
X Total
50% 11 79% 3 21% 14
45% 20 74% 7 26% 27
40% 44 82% 8 12% 22
35% 70 82% 12 18% 82
30% 114 84% 22 16% 136
25% 193 88% 27 12% 220
20% 294 87% 43 13% 337
O tempo médio de cada operação foi pouco menor que uma hora e treze
minutos de posição, variando entre o maior período de cinco horas e dez minutos, e
o menor intervalo de tempo, de apenas cinco minutos.
O resultado médio de todas as operações foi um lucro de 0,49%, enquanto a
sua mediana foi de 0,32%. O maior retorno da série foi de 7,67%, o maior prejuízo
foi de 6,71% e o desvio&padrão dos retornos, que apresenta uma medida de risco
da estratégia, foi de 1,08%.
? ! :! ! ! 4 ! & ! ! & !
O Gráfico 5 traz o histograma dos resultados das operações. Ele mostra a
cauda superior mais grossa que a inferior. Além disso, nota&se que existem muito
mais " superiores à média (6% das observações trouxeram resultado superior
a 2%) do que inferiores à ela (apenas 1% das operações acusaram prejuízos
Quantidade de Operações 371
Operações Com Lucro 312 (82%)
Operações Com Prejuízo 26 (12%)
Operações Com Entrada de Caixa 29 (8%)
Operações Com Saída de Caixa 342 (92%)
Ticket Médio R$ 80.980
Tempo Médio de Operação 1:12:22
Tempo Máximo de Operação 2:10:00
Tempo Mínimo de Operação 0:02:00
Rentabilidade Média 0,49%
Mediana da Rentabilidade 0,32%
Retorno Máximo 7,67%
Retorno Mínimo -6,71%
1o Quartil 0,07%
3o Quartil 0,68%
superiores a 2%). Como sugerido pela comparação entre a média e a mediana, o
histograma apresenta assimetria positiva.
Outro ponto importante diz respeito à dispersão dos lucros e dos prejuízos.
Enquanto a grande maioria dos prejuízos se concentra próxima ao retorno 0% (até
0,25% de rentabilidade negativa), os lucros estão mais distribuídos, sendo 33% das
observações entre 0% e 0,25% de lucro; 32% delas entre 0,25% e 0,75% de lucro e
outros 22% das observações com lucros superiores a 0,75%.
; ' ! 7 & ! ! & ! & )
,-"
+
Apesar de todos os resultados anteriores estarem baseados em valores
estritamente reais (tanto de preço quanto de quantidade) de ofertas de compra e
venda da PETR4 e suas opções, o fato de não arredondar as quantidades, com o
delta ou de gama), torna a operação viável apenas no campo teórico. Portanto, essa
seção se dedica a apresentar uma variação realizada na metodologia para que a
estrutura possa ser de fato posta em prática.
As quantidades das operações foram arredondadas para valores múltiplos de
100, já que este é o lote padrão tanto para as opções quanto para o ativo
subjacente. Porém, conforme evidenciado em Figlewski (1989), se o volume da
operação for muito pequeno, a indivisibilidade dos ativos que compõem a carteira
pode afetar de forma relevante a razão do . Para tentar minimizar esse efeito
considerou&se, para as operações com quantidades arredondadas, apenas as
estruturas que envolvam pelo menos 80 mil reais em sua abertura.
Os resultados obtidos mostram que, considerando esse corte na amostra, o
fato de se arredondar as quantidades (tornando o imperfeito) não implica em
grande perda de qualidade nas operações.
De acordo com a Tabela 9, foram realizadas 119 operações sendo 84% delas
com lucro. O valor médio de cada operação foi maior que R$ 207 mil.
O tempo médio de duração das operações foi pouco maior que uma hora e
onze minutos, sendo a de menor duração com apenas 5 minutos e a mais longa
durando cinco horas e dez minutos.
A rentabilidade média foi de 0,40%, com o maior lucro de 3,36% e o maior
@ ! :! ! ! 4 ! & ! ! & ! & ! A $ & & !
& $& & !
O histograma dos retornos é apresentado no Gráfico 6. Assim como a
dispersão dos retornos com quantidades “quebradas”, o gráfico com as quantidades
arredondadas também mostra assimetria positiva.
Todos os prejuízos apresentados (12% do total de observações) estão entre
0,25% e 0% enquanto os lucros são muito mais diversificados, uma vez que 42%
das observações estão entre 0% e 0,25%, 30% delas estão entre 0,25% e 0,75% e
16% dos resultados positivos são superiores a 0,75% de lucro.
Quantidade de Operações 119
Operações Com Lucro 100 (84%)
Operações Com Prejuízo 19 (16%)
Ticket Médio R$ 207.089
Tempo Médio de Operação 1:11:16
Tempo Máximo de Operação 2:10:00
Tempo Mínimo de Operação 0:02:00
Rentabilidade Média 0,40%
Mediana da Rentabilidade 0,20%
Retorno Máximo 3,36%
Retorno Mínimo -0,22%
1o Quartil 0,04%
3o Quartil 0,63%
= ' ! 7 & ! ! & ! & ) ,- & ! A $ & & !
& $& & !
42% 11% 19% 8% 3% 2% 0% 3% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
Com o objetivo de se verificar se o mercado de opções de Petrobras PN
(PETR4) é ineficiente em forma fraca, a estratégia Delta&Gama&Neutra foi
sistematicamente simulada durante o período de 01/10/2012 até 31/03/2013. Caso
ela fosse uma estratégia consistentemente ganhadora, a hipótese de ineficiência
poderia ser aceita.
Para tanto, foram construídos os livros de ofertas, com preços e quantidades
reais, a cada cinco minutos para o ativo&objeto e para todas as suas opções.
No total, foram realizadas 371 operações, sendo 85% com lucro. O lucro
médio foi de 0,49%, sendo o maior retorno de 7,67% e o maior prejuízo de 6,71%.
Foi realizado também outro teste considerando apenas as operações que
envolviam pelo menos oitenta mil reais em sua abertura. Com isso, tornou&se
possível arredondar as quantidades negociadas, trazendo o experimento para o
campo prático.
Os resultados encontratos corroboraram com os obtidos anteriormente, uma
vez que mantiveram um alto grau de retornos positivos, ainda que com um lucro
médio um pouco menor (0,40%).
Portanto, pode&se concluir que o mercado de opções de Petrobras não é
eficiente em forma fraca, uma vez que foi possível auferir lucro sistemático com esta
-./ 0 Mercados de Derivativos no Brasil, Editora
Record, 3ª edição, 2009.
1 , Technical Document, 4rd, J.P. Morgan, 1996.
Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work, 1970.
0 ) Why Are Those Options Smiling?, 2001.
# 1 Delta Gamma Hedging and the Black&Scholes Partial Differential Equation
(PDE), 2012.
) 1 Options Arbitrage in Imperfect Markets, 1989.
) 1 0 The Informational Content of Implied Volatility, 1993.
# 0 Estratégias de Investimento em Posições Delta&Neutras: Uma
Análise Baseada na Auto&Correlação Temporal, 2001.
0 ./ Viabilidade da Estratégia Delta&Gama&Neutro ao Comparar a
Volatilidade EWMA à Volatilidade do Ativo&Objeto Implícita à Opção. (2009).
ftp://ftp.bmf.com.br/marketdata
